精品解析：江西省南昌市第二中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

南昌二中2025-2026学年度上学期高二数学期中试卷 命题人：龙光鹏 审题人：周启新 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则A，B两点间的距离为（ ） A. B. C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】由空间两点间距离公式求解. 【详解】因为， 所以， 故选：B 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 解得， 即的取值范围为， 故选：B 3. 若圆与圆有且仅有三条公切线，则（ ） A. 6 B. 4 C. 36 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由圆与圆有且仅有三条公切线，得到圆与圆外切，则有，计算求解即可. 【详解】，圆的半径为， ，圆的半径为， 圆与圆有且仅有三条公切线， 圆与圆外切， ，，. 故选：D. 4. 经过点和的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【详解】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C 5. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行等价条件求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当，则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立， 若直线和直线平行， 当时，直线分别为和，不满足条件， 当时，满足，即，解得或， 当时，两直线重合，故不满足条件，故，即必要性成立， 综上“”是“直线和直线平行”的充要条件， 故选：C． 6. 已知圆，当圆心到原点的距离最小时，圆的面积为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心和半径，再利用两点间距离公式求出，利用二次函数求出最小值时的值，代入半径，求出半径，利用圆的面积公式求解. 【详解】由可知圆心为， 半径为， 设原点为，则， 设，对称轴为，开口向上， 则在处取得最小值，即在处的最小值， 此时圆的半径为， 圆的面积为. 故选：B. 7. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求解即可． 【详解】，所以． 故选：A． 8. 已知椭圆的左焦点为，为椭圆上任意一点，若点，则的最大值为（     ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合图形即得. 【详解】因为椭圆， 所以，， 则椭圆的右焦点为， . 由椭圆的定义得： ， 当点Q在点处，取等号， 所以的最大值为5， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. 的虚部为 D. 和都是方程的解 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由模的计算公式验算即可；对于B，由复数的几何意义、共轭复数的概念判断即可；对于C，由虚部的概念判断即可；对于D，由求根公式验算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，在复平面内对应的点在第四象限，故B正确； 对于C，的虚部为1，故C错误； 对于D，方程的解为，故D正确. 故选：BD. 10. 椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于左、右顶点的任意一点，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 存在点，使得 D. 的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知求得，，.又椭圆的定义，即可判断AB项；设出点的坐标，表示出，根据椭圆的范围即可得到范围，进而判断C项；由椭圆的定义可得，，，求出时的值域，即可判断D项. 【详解】 对于A：由椭圆方程可得， 即， 所以椭圆的离心率为，正确， 对于B：的周长为，正确； 对于C项，设，，，，. 则，， 则.因为， 所以， 所以，又， 所以， 所以的取值范围为， 即不成立，故C错误； 对于D项，由可得，， 由C知，，则， 因为，所以，所以，同理有. 所以， 当时有最大值4，当或时，值为3， 但是且， 所以的取值范围为，故D错误. 故选：AB 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则复数___________. 【答案】0 【解析】 【分析】由复数的乘除运算可得. 详解】， . 故答案为：0. 13. 已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【详解】设正方形边长为1，则 14. 如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】取AC中点O，连接BO，因为，根据勾股定理，可得，根据正弦定理角化边可得，如图建系，求得各点坐标，根据椭圆定义，可得D点轨迹为椭圆，进而可得其方程，根据两点间距离公式，可得，根据二次函数的性质，结合y的范围，即可得答案. 【详解】取AC中点O，连接BO，因为， 所以，又，则， 所以， 因 由正弦定理角化边得， 以O为原点，AC所在直线为x轴，BO所在直线为y轴，建系，如图所示， 则，设， 因为， 由椭圆的定义可得D点轨迹是以A、C为焦点的椭圆， 所以，解得，又， 则，所以D点轨迹方程为：， 即，且， 则， 因为，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以当时，有最大值10， 则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 圆过点和点，且圆心在轴上. （1）求圆的方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意，设圆的方程为，再由圆过点和点，代入求解； （2）分直线的斜率不存在和存在，利用圆的弦长公式求解. 小问1详解】 因为圆心在轴上， 所以设圆心坐标为，则圆的方程为， 因为圆过点和点， 所以，解得， 所以圆方程为； 【小问2详解】 由（1）知圆的半径，又直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离， 则弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 即， 由题意得，圆心到直线的距离为， 解得， 所以直线的方程为， 综上：直线的方程为或. 16. 已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点，经过点且斜率为1的直线与椭圆相交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求的中点和． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上得到，再结合即可求解； （2）直线方程、椭圆方程联立，由韦达定理和弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设椭圆方程为， 由题意，， 又椭圆上， 所以， 所以，解得：， 所以椭圆方程为， 【小问2详解】 的方程：，联立椭圆方程 消去可得： ， 设，中点为， 则 则，， 即中点坐标为， 17. 如图，在多面体中，，，，侧面为矩形，平面，平面． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由为矩形得到，由平面得到，从而得到平面，又平面，从而得到. （2）利用空间向量法求解； （3）利用空间向量法求解. 【小问1详解】 为矩形，， 平面，平面，， 平面，平面，，平面， 平面，. 【小问2详解】 如图所示，以为原点，分别为轴建系. 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，，取，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则， .即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设点到平面的距离，， . 18. 已知定点，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线与，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）设动点坐标为，根据题意列出等量关系并化简即可求得其轨迹方程； （2）讨论直线斜率是否存在，先求出其中一条直线斜率不存在时四边形的面积.再设出两条直线的方程，求出圆心到两直线的距离，由垂径定理求得两条弦长，然后得到四边形面积的表达式.先讨论当时的面积，再当时利用基本不等式求出其最大值.然后得出四边形的最大值. 【小问1详解】 设动点的坐标为， 因为，，且， 所以， 整理得，即：， 所以动点的轨迹的方程为， 【小问2详解】 当直线与轴重合时，，，， 当直线不与轴重合，设直线的方程为， 则直线的方程为， 设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，，圆的半径为， 则，，， 所以， ， 所以， 当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上所述，四边形面积的最大值为7. 【点睛】本题考查了圆的方程与直线方程，在讨论动直线的时候需要考虑直线的斜率是否存在. 19. 如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，，． （1）若． （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． （2）求三棱锥外接球的半径的最小值． 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）； （2）4. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）由和得到平面，平面平面；（ⅱ），过作交于，由平面平面， 得到平面，过作，以为原点，分别为轴建系，利用空间向量法求解； （2）根据题中条件找到三棱锥外接球的球心为直线和直线的交点，求出的外接圆的半径为和的外接圆的半径为， 找到为二面角的平面角，设，利用余弦定理求出，利用四点共圆，得到为四边形的外接圆的半径，利用正弦定理得到，通过换元法及基本不等式得到的最小值，三棱锥外接球的半径为，由，得到的最小值. 【小问1详解】 （ⅰ），，，平面，平面， 平面，平面，平面平面； （ⅱ）平面平面，过作交于，平面， 平面，过作，以为原点，分别为轴建系，如图所示. 是等腰三角形，，，， 是等腰三角形，，，， ，，， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， ，，取，解得， ， 平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， ， 平面与平面的夹角的余弦值为； 【小问2详解】 设的中点为，，为的外心，过作平面， 设的外接圆的外心为，过作平面的垂线， 则球心在直线上，球心在直线上， 三棱锥外接球的球心为直线和直线的交点， 的外接圆的半径为， 在中，设的外接圆的半径为，，，， ，， 设的中点为，则， 则为二面角的平面角，设， ，，， ，， ， ， ，四点共圆， 为四边形的外接圆的半径， ， 设，则，， ， 当且仅当时，即时取等号，， 三棱锥外接球的半径为，， ，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2025-2026学年度上学期高二数学期中试卷 命题人：龙光鹏 审题人：周启新 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则A，B两点间的距离为（ ） A. B. C. 12 D. 24 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 若圆与圆有且仅有三条公切线，则（ ） A. 6 B. 4 C. 36 D. 16 4. 经过点和的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知圆，当圆心到原点的距离最小时，圆的面积为（     ） A. B. C. D. 7. 棱长为2正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 8. 已知椭圆的左焦点为，为椭圆上任意一点，若点，则的最大值为（     ） A 4 B. 3 C. 6 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. 虚部为 D. 和都是方程的解 10. 椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于左、右顶点的任意一点，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 存在点，使得 D. 的取值范围为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则复数___________. 13. 已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______． 14. 如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 圆过点和点，且圆心在轴上. （1）求圆的方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 16. 已知椭圆两个焦点分别为，且椭圆过点，经过点且斜率为1的直线与椭圆相交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求的中点和． 17. 如图，在多面体中，，，，侧面为矩形，平面，平面． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知定点，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线与，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，求四边形面积的最大值. 19. 如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，，． （1）若． （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． （2）求三棱锥外接球的半径的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $