精品解析：江西省萍乡市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

萍乡市2025—2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线过点，且一个方向向量为，下列直线与平行的为（ ） A. B. C. D. 3. 方程的化简结果为（ ） A. B. C. D. 4. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A. 9 B. 18 C. 20 D. 36 5. 在四面体中，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系中，由点出发的一束光线经直线反射后到达圆上某一点，则光线经过的最短路程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，若斜率为的直线过原点且与相交于两点，，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 斜椭圆是由焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定角度得到的图象.已知曲线的图象是如图所示的斜椭圆，点是上任意一点，点，，为坐标原点，则下列说法错误的为（ ） A. 该椭圆的焦点在直线上 B. 该椭圆的离心率为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间向量的命题中，正确的为（ ） A. 长度相等､方向相同的两个向量是相等向量 B. 平行且模相等的两个向量是相等向量 C. 只有零向量的模等于零 D. 若，则是钝角 10. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，点在上，则下列结论正确的为（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. D. 点到的焦点的距离为5 11. 已知直线和圆，点是上的任意一点，则下列说法正确的为（ ） A. 过定点 B. 恒与相交 C. 到的距离的最大值为 D. 若上存在四个点到的距离为1，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为__________. 13. 已知空间向量，，则在方向上的投影向量的坐标为__________. 14. 已知双曲线的中心在原点，右焦点为，且经过点，则的标准方程为_________；直线与轴交于点，点是右支上一动点，直线与以为直径的圆相交于另一点，若在该圆内部，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知两点，，直线为线段的中垂线，直线过点，且与直线平行. （1）求与的一般方程； （2）求，与轴围成的三角形的面积. 16. 已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 17. 设，两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为.设点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过原点的直线与交于，两点（与不重合），证明：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 18. 如图，在平行六面体中，，，，，设，，. （1）用，，表示，，； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若点为线段的四等分点，且，点为线段的中点，在线段上是否存在一点，使得点与点，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图，造型可以看作图中曲线的一部分，其中过原点，且上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线（）的距离之积为. （1）求的值； （2）若点在上，求证：； （3）如图，过作两条互相垂直的弦，分别交于点，，，，其中（），求四边形的面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萍乡市2025—2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标的定义推理即得. 【详解】点关于平面的对称点的坐标为. 故选：D. 2. 直线过点，且一个方向向量为，下列直线与平行的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方向向量求得斜率，得到直线的方程，再比较选项即可求解. 【详解】由直线的方向向量， 可得， 则直线的方程为：， 即， 结合选项可知只有C满足， 故选：C 3. 方程的化简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，将条件中的等式转化为，即动点的轨迹为双曲线，然后得到双曲线的，求出，即可写出双曲线方程. 【详解】设，，点， 则，， ∴， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线，焦点为，， ∴，，，则， ∴动点的轨迹为双曲线方程为：. 故选：B. 4. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A. 9 B. 18 C. 20 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由得，设得，然后由勾股定理建立方程组，然后化简得到. 【详解】∵，∴， 设，则， ∵，∴，∴， 即. 故选：B. 5. 在四面体中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】∵，∴， ∵，∴， ∴. 故选：C. 6. 汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系中，由点出发的一束光线经直线反射后到达圆上某一点，则光线经过的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作图，得到光线经过的路程，然后求关于对称的点，利用对称性求得何时光线经过的路程最小，求出最小值. 【详解】如图，设光线由点出发，经过直线上的点后反射后与圆交于点， ∴光线经过的路程为. 设是点关于直线的对称点， 则，即，∴，即， 由对称性可知，，即， 显然当四点共线时，最小， 此时. 故选：A. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，若斜率为的直线过原点且与相交于两点，，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出直线方程和双曲线交点坐标，联立方程组解得交点坐标，然后得到向量，由得建立方程，解得，然后由离心率公式求得结果. 【详解】直线， 联立方程组得，整理得或， 即，， 则，， ∵，∴， 即，∴或（舍去）， ∴离心率. 故选：A. 8. 斜椭圆是由焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定角度得到的图象.已知曲线的图象是如图所示的斜椭圆，点是上任意一点，点，，为坐标原点，则下列说法错误的为（ ） A. 该椭圆的焦点在直线上 B. 该椭圆的离心率为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】通过验证点关于直线，对称的点在曲线上，结合图象可知A正确；将，与曲线方程联立可得顶点坐标，由此可长轴长和短轴长，结合椭圆之间关系和离心率定义可求得B正确；当直线与曲线相切时，取得最大值，联立后利用可求得C正确；将转化为，根据可求得D错误. 【详解】对于A，点关于直线，对称的点分别为，，可知点，在曲线上， 曲线的图象关于直线和对称； 由图象可知：曲线的长轴在上，则焦点在直线上，A正确； 对于B，由得：或， 椭圆长轴长，则； 由得：或， 椭圆短轴长，则； ，离心率，B正确； 对于C，当直线与曲线相切时，取得最大值； 由得：， ，解得：（舍）或， 的最大值为，C正确； 对于D，中点为椭圆的焦点， ， ，， ，D错误. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间向量的命题中，正确的为（ ） A. 长度相等､方向相同的两个向量是相等向量 B. 平行且模相等的两个向量是相等向量 C. 只有零向量的模等于零 D. 若，则是钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相等向量的定义判断即可；利用零向量的定义判断C；根据向量数量积的定义，结合余弦函数的图象分析即可判断. 【详解】对于A，根据相等向量的定义即可判断，故A正确； 对于B，因一对相反向量满足平行且模相等，但不是相等向量，故B错误； 对于C，因任何非零向量的模都是正数，只有零向量的模等于零，故C正确； 对于D，由可得，结合余弦函数的图象知， 当时，满足，但是不是钝角,故D错误. 故选：AC. 10. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，点在上，则下列结论正确的为（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. D. 点到的焦点的距离为5 【答案】BD 【解析】 【分析】由双曲线离心率与渐近线方程定义计算可得A、B；由抛物线焦点与双曲线焦点定义可得C；借助抛物线定义可得D. 【详解】对A：的离心率，故A错误； 对B：的渐近线方程为，故B正确； 对C：的焦点为，的焦点为， 由，则有，故，故C错误； 对D：由抛物线定义可得，到的焦点的距离与其到准线的距离相等， 的准线方程为，则到的焦点的距离为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知直线和圆，点是上的任意一点，则下列说法正确的为（ ） A. 过定点 B. 恒与相交 C. 到的距离的最大值为 D. 若上存在四个点到的距离为1，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线进行变形，求得直线l过定点，可判断A；求得圆心，半径，，可知当时，直线与圆C相离，可判断B；到的距离的最大值为，可判断C；若上存在四个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离应满足，求解可判断D． 【详解】将直线进行变形得， 令，解得，所以直线l过定点，选项A正确； 圆，即， 可知圆心，半径，则， 可知当时，直线与圆C相离，选项B错误； 到的距离的最大值为，选项C正确； 直线过定点，且不垂直轴， 若上存在四个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离应满足， 因为， 所以，可得，即， 即，解得，选项D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由中点坐标公式求出圆心和两点距离公式求出半径即可得解. 【详解】线段的中点为，则半径为， 则以线段为直径的圆的标准方程为. 故答案为： 13. 已知空间向量，，则在方向上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用坐标计算，，最后根据公式计算. 【详解】由题意得，， ， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为： 14. 已知双曲线的中心在原点，右焦点为，且经过点，则的标准方程为_________；直线与轴交于点，点是右支上一动点，直线与以为直径的圆相交于另一点，若在该圆内部，则的最大值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设双曲线的方程为，由求解；得到直线AF的方程为，令得到，易得点F为线段AB的中点，以AB为直径的圆是以点F为圆心，以为半径，且，再由求解. 【详解】由题意可设双曲线的方程为， 则，解得， 所以双曲线的方程为：； ，则直线AF的方程为， 令，得，则， 又， 所以点F为线段AB的中点， 所以以AB为直径的圆是以点F为圆心，以为半径， 如图所示： 且， 由双曲线的几何性质得， 则，， 所以， ， ， ， 故答案为： ，48 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知两点，，直线为线段的中垂线，直线过点，且与直线平行. （1）求与的一般方程； （2）求，与轴围成的三角形的面积. 【答案】（1）的一般方程为，的一般方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，线段的中点坐标，即可求出中垂线方程，利用平行关系求得的斜率，代入点斜式方程，化为一般式方程即可； （2）先求，与轴的交点，然后结合图形求得三角形的底和高，即可求解. 【小问1详解】 由题知，直线的斜率，线段的中点坐标为， 则的斜率，直线过点， 故的一般方程为，即； 的斜率，直线过点， 故的一般方程为，即； 【小问2详解】 如图： 令求得，与轴的交点分别为，， 联立，解得，即与的交点坐标为， 则，与轴围成的三角形为，其面积为. 16. 已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程，可得点坐标，由题意，设圆心，则，根据两点间距离公式，求出值，可得圆心和半径，即可得答案. （2）根据弦长公式，可得圆心到直线l的距离，分别讨论垂直轴和不垂直轴两种情况，根据点到直线的距离公式，分析求解，综合即可得答案. 【小问1详解】 联立与，解得交点， 由圆心在轴上，则设圆心，则， 所以，解得， 则，半径， 所以圆的标准方程为 【小问2详解】 因为，半径，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 当直线垂直轴时，方程为，此时圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线不垂直轴时，设斜率为，则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离，解得， 则的方程为，即， 综上，直线的一般方程为或. 17. 设，两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为.设点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过原点的直线与交于，两点（与不重合），证明：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2）证明见解析，定值为 【解析】 【分析】（1）依题意求出与的斜率，写出并化简曲线的轨迹方程即可； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，分别写出直线与直线的斜率，化简并计算斜率之积即得结论. 【小问1详解】 设，则，， 由题意有， 化简得点的轨迹的方程为：； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，交点为的上､下顶点，不妨设， 则； 当直线的斜率存在时，设，与的方程联立､化简得， 不妨设， 则， 综上所述，直线与直线的斜率之积为定值. 18. 如图，在平行六面体中，，，，，设，，. （1）用，，表示，，； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若点为线段的四等分点，且，点为线段的中点，在线段上是否存在一点，使得点与点，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），， （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）应用空间向量加减法运算； （2）空间向量数量积运算律结合模长公式代入余弦公式计算求解； （3）设，应用四点共面的条件得出与矛盾. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 由题知，，，， 则，，，， ， 则， 故异面直线与所成角的余弦值为； 【小问3详解】 假设在线段上存在符合题意的点，设，则， ，，， 因为与点四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 即， 则，与矛盾，所以假设不成立， 故在线段上不存在点，使得点与点四点共面. 19. 如图，造型可以看作图中曲线的一部分，其中过原点，且上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线（）的距离之积为. （1）求的值； （2）若点在上，求证：； （3）如图，过作两条互相垂直的弦，分别交于点，，，，其中（），求四边形的面积的最小值. 【答案】（1） （2） 曲线的方程为， 化简得：， 因为点在上，所以，且， 则，故，当且仅当时取等号； （3） 【解析】 【分析】（1）根据曲线C上的点满足的条件，列式可求a的值； （2）当点在C上时，利用解不等式求解；（3）讨论直线的斜率，当斜率存在时，设直线AB的方程为，其中，利用弦长公式，三角形面积公式可得，再结合换元法以及三角函有界性可求四边形面积的最小值. 【小问1详解】 由曲线过原点得，， 因为，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，， 当其中一条直线的斜率为， 另一条直线不存在斜率时，， 当两条直线均存在斜率且均不为时，设直线的斜率为，倾斜角为， 由对称性不妨设，， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与的方程并化简得， 则， 则， 故， ， 同理，， 所以， 令，，，即，则， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以当，即时，， 此时，四边形的面积取到最小值为， 因为，所以四边形的面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $