精品解析：安徽省合肥市第六中学2025-2026学年高二上学期期中教学质量检测数学试卷

合肥六中2025-2026学年上学期高二期中教学质量检测 数学 （考试时间：120分钟满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将一般方程化为斜截式方程，得出斜率即可得出倾斜角. 【详解】直线可化为，则斜率，即 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据方程求直线的倾斜角，属于基础题. 2. 已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简圆的方程为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】解：由圆，可得， 可得，解得， 又由点在圆外，则，解得， 综上可得：，所以实数的取值范围是. 故选：D. 3. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意 ， 又，，， . 故选：D. 4. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 1 B. 9 C. 1或9 D. 2或10 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义及焦半径的范围即可求得. 【详解】，，，，由题意得， 又，所以或9，又，所以. 故选：B. 5. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 6. 若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，通过点差法即可求解. 【详解】设，，则， 所以， 整理得， 因为为弦的中点， 所以，， 所以， 所以弦所在直线的方程为， 即. 故选：A. 7. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示求得点的轨迹方程为圆，再利用两圆相交得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】设点，则，， 所以，则， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为3， 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得，即的取值范围是， 故选：A. 8. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为，则下列说法错误的是（ ） A. 轨迹的方程为 B. 在上存在点，使得 C. 在轴上存在异于，的两点，，使得 D. 当，，三点不共线时，射线是的角平分线 【答案】B 【解析】 【分析】设，由题意可得，化简整理，可判断A的正误；设，由题意得，化简整理，可得M的轨迹方程，与C的方程联立求解，即可判断B的正误；设，，可得与C的方程联立求解，可判断C的正误；当，，三点不共线时，，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：在平面直角坐标系中，，，点满足， 设，则，化简可得，故A正确； 选项B，若在上存在点，使得， 设，则， 化简得， 联立，解得， 将代入，得，方程组无解， 故在上不存在点，使得，因此B错； 选项C：假设在轴上存在异于，的点，，使得， 设，，可得， 化简可得， 由的轨迹方程为， 因此，解得或（舍）， 即在轴上存在异于，的两点，使得，故C正确； 选项D：当，，三点不共线时，， 可知射线是的角平分线，故D正确. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 B. "”是“直线与直线互相平行”的必要不充分条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线垂直的充要条件，直线平行的充要条件结合充分条件、必要条件的定义可判定A、B，利用直线的斜率与倾斜角的关系可判定C、D. 【详解】A选项：当时，直线与直线斜率分别为， 斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立， 若“直线与直线互相垂直”， 则，故或，不能推出，故必要性不成立，故A正确； B选项：由直线平行得， 所以是“直线与直线互相平行”的充要条件， 故B错误； C选项：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C正确； D选项：如图，由，，结合图像知，故D正确. 故选：ACD. 10. 曲线与直线有两个交点，则实数的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，得到直线过定点，曲线表示位于轴上方的半圆，画出图形，结合图形，利用斜率公式和点到直线的距离公式，分别求得和，进而得到答案. 【详解】由题意得，直线可化为，可得直线过定点， 将曲线化为，则曲线表示以原点为圆心，半径为1， 且位于轴上方的半圆，如图所示， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，此时， 当直线过点且与半圆相切于点时，直线与曲线只有一个交点， 由得，即， 曲线与直线有两个交点，结合图形，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：BC 11. 在四棱柱中，底面是平行四边形，，且，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则，，，四点共面 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 四棱柱的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量运算求解判断A；根据空间向量共面定理判断B；根据异面直线所成角的向量求法求解判断C，根据向量法求得点到平面的距离，代入柱体体积公式求解判断D. 【详解】由题意知， 若，则，故A正确； 由题意知，若，则， 可得，所以， 即，所以，，，四点共面，故B正确； 因为，，， 且，所以，又， 所以， 所以， 所以， 即直线与直线所成角的余弦值为，故C错误； 记点在平面内的投影为，设， 所以， 又，， 所以， ， 解得，，所以，所以，即四棱柱的高为， 所以四棱柱的体积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍的直线方程为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】分直线在x轴上的截距和在y轴上截距均为零和不为零两种情况进行分析，可得所求直线方程. 【详解】当直线过原点时，在x轴上的截距和在y轴上截距均为零，满足题意， 可设方程为，代入点，可得，故方程为，即； 当直线不过原点时，可设方程为，代入点，可得，故方程为，即 . 故所求方程为：或. 13. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦距及方程求得，然后代入焦点在y轴上的双曲线渐近线方程求解即可 【详解】由题意可知，又，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为. 故答案为： 14. 已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先得，，取点关于直线的对称点为，结合三角形三边关系即可求解. 【详解】 由题意即，即， 所以， 注意到点不满足和， 所以化简得， 又， 两式相减得公共弦方程为， 所以直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以 ， 当且仅当点与与直线的交点重合时，等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是取点关于直线的对称点为，由此即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三条直线，且与间的距离是. （1）求的值； （2）若点，求点到的距离与点到的距离之比. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简直线，利用两平行线间的距离公式，列出方程，即可求解； （2）根据题意，利用点到直线的距离公式，分别求得点到和的距离，即可求解. 【小问1详解】 解：由直线，可得， 因为与间的距离为，可得，即， 又因为，可得，解得. 【小问2详解】 解：由点，且， 可得点到的距离为， 点到的距离为， 所以点到的距离与点到的距离之比是. 16. 已知圆，圆. （1）若圆与圆外切，求实数的值； （2）设时，圆与圆相交于、两点，求. 【答案】（1）3或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据两圆外切的条件直接可得； （2）将两圆的公共弦转化为直线与圆的相交弦问题，进而可得. 【小问1详解】 因圆，得圆心，半径. 又圆，得圆心，半径. 所以圆心距，， 因圆与圆外切，所以，得， 解得或. 故实数的值为3或. 【小问2详解】 当时，圆，此时两圆的圆心距，此时两圆相交. 将两圆方程相减得直线的方程为， 所以圆心到直线的距离，且半径， 由圆的弦长公式得. 故. 17. 在平面直角坐标系中，已知，，，. （1）求经过，，三点的圆的方程，并判断点是否在该圆上 （2）过点作（1）中圆的切线，求切线方程； （3）设（1）中圆的圆心为，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 【答案】（1）（或）；点在该圆上； （2）或； （3）25 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，代入三点坐标求得方程，即可判断； （2）通过斜率存在和不存在两类情况讨论即可求解； （3）由与直线垂直时，四边形面积最小，结合点到线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 设经过，，三点的圆的方程为， 则， 解方程组可得，，， 所以圆的方程为（或）； 又点的坐标满足上述圆的方程， 点在圆上； 【小问2详解】 由（1）知，圆的方程为，圆心为，半径为5， 当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立； 当斜率存在时，设过点的直线方程为，即， 所以可得，可得， 所以直线为， 所以所求切线方程为或； 【小问3详解】 由（1）知，圆的方程为，圆心为，半径为5， 四边形面积等于2倍三角形的面积，， ， 又，即最小时，最小，此时三角形的面积最小， 即四边形面积最小， 当最小时，即与直线垂直时，四边形面积最小， 此时圆心到直线的距离， 四边形EMTN面积最小值为. 18. 如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，分别连接、就得到了一个空间五面体（如图2）. （1）若是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面； （2）若图2中的，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为?若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3）存在，与点重合 【解析】 【分析】（1）取中点，构造平行四边形，结合线线平行证线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面夹角即可； （3）利用空间向量研究面面夹角，建立方程计算参数即可. 【小问1详解】 取中点，连接，， 由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点， 所以且，所以且， 则四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为在图1中，，且，， 在图2中上述关系依然成立， 以为坐标原点，，分别为轴，轴正向， 垂直平面向上方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ，，，所以， 又因为，平面，所以， 所以，，， 设平面的一个法向量， 则，则有， 取， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 假设存在满足条件的点， 设，所以， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 所以，取， 由（2）知平面的一个法向量， 则， 又平面与平面所成的二面角的余弦值为， 则，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以当与点重合时，满足题意， 即在棱上存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为. 19. 已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2），是上任意两点， （i）与轴的交点分别为，（自下而上），点位于轴的右侧，若点，直线交轴于点，设和的面积分别为，，当时，求点的坐标； （ii）已知直线与坐标轴不垂直，为线段的中点，直线与交于，两点，当时，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到且，求得，进而求得椭圆的标准方程； （2）（i）由，得到，求得的方程为，联立方程组，即可求得点的坐标； （ii）设直线的方程为，联立方程组，求得，得到直线的方程为，求得，结合，列出方程，求得的值，进而求得直线的斜率. 【小问1详解】 解：由椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，离心率为， 可得且，解得，，则， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：（i）由（1）知，点，且， 可得， 且，，， 因为，所以，即， 所以，所以， 可得，所以直线的方程为， 联立方程组可得或， 又因为点位于轴的右侧，所以. （ii）因为且 ，所以，设直线的方程为，且，， 联立方程组，整理得， 则 ， 所以， 又由，两式相减得，可得， 因为， 设，因为为的中点，可得， 所以，则直线的方程为， 联立方程组，解得， 又因为点与点关于原点对称，则，， 所以， 因为，所以， 即，解得，所以直线的斜率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥六中2025-2026学年上学期高二期中教学质量检测 数学 （考试时间：120分钟满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 1 B. 9 C. 1或9 D. 2或10 5. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为，则下列说法错误的是（ ） A. 轨迹的方程为 B. 在上存在点，使得 C. 在轴上存在异于，的两点，，使得 D. 当，，三点不共线时，射线是的角平分线 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 B. "”是“直线与直线互相平行”的必要不充分条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 10. 曲线与直线有两个交点，则实数的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 11. 在四棱柱中，底面是平行四边形，，且，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则，，，四点共面 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 四棱柱的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍的直线方程为_____. 13. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为______. 14. 已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三条直线，且与间的距离是. （1）求的值； （2）若点，求点到的距离与点到的距离之比. 16. 已知圆，圆. （1）若圆与圆外切，求实数的值； （2）设时，圆与圆相交于、两点，求. 17. 在平面直角坐标系中，已知，，，. （1）求经过，，三点的圆的方程，并判断点是否在该圆上 （2）过点作（1）中圆的切线，求切线方程； （3）设（1）中圆的圆心为，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 18. 如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，分别连接、就得到了一个空间五面体（如图2）. （1）若是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面； （2）若图2中的，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为?若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2），是上任意两点， （i）与轴的交点分别为，（自下而上），点位于轴的右侧，若点，直线交轴于点，设和的面积分别为，，当时，求点的坐标； （ii）已知直线与坐标轴不垂直，为线段的中点，直线与交于，两点，当时，求直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $