精品解析：安徽省合肥市A10联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024级高二上学期11月期中质量检测 数学（人教A版） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，已知点，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点间的距离公式即可得. 【详解】由两点间的距离公式得 故选:B. 2. 已知是空间一个基底，向量，若，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量平行的表示，结合基底的概念求解. 【详解】因为，所以，即，所以. 故选：C. 3. 若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆焦点在轴上列不等式计算求解. 【详解】因为表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：B. 4. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆的圆心关于直线的对称点，就是所求圆的圆心，而半径不变，从而可求出圆的方程. 【详解】圆的圆心坐标为，关于直线对称点的坐标为， 所以圆的方程是. 故选：C. 5. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A 3 B. C. 或3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线一般方程平行的关系得，进而解方程并检验即可. 【详解】直线与平行， 则，解得或， 经检验，当时，，，重合，舍去， 当，，，满足题意. 所以实数的值为 故选：B. 6. 已知椭圆的左､右焦点分别为，椭圆上点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由最大距离和最小距离解出，再求离心率即可. 【详解】因为点到焦点的最大距离为7，最小距离为3， 所以，即，则椭圆的离心率. 故选：D. 7. 已知平面与平面所成的二面角的大小为，，且，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，两边平方，根据向量数量积的运算性质求解. 【详解】∵平面与平面所成的二面角的大小为，， ∴的夹角为，， ， 因为， 所以 ， 故. 故选：A. 8. 在空间直角坐标系中，球心的坐标为，半径为，则球面的方程为.已知为坐标原点，，点满足，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设，由得点的轨迹，再根据轨迹关系求解最值即可. 【详解】设，由得， 整理得：， 所以点在以为球心，为半径的球面上， 所以的最大值为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆和直线，则（ ） A. 圆的半径为5 B. 直线恒过点 C 直线不过点 D. 直线与圆一定相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线的方程可以找到直线恒过一个定点，然后结合圆得标准方程，进行逐一判定. 【详解】对于A，将圆化为， 可得圆的圆心为，半径为5，故A正确； 对于B，将直线化为， 由得，所以直线恒过点，故B错误； 对于C，将圆心代入直线中，得， 显然圆心不在直线上，故C正确； 对于D，因为， 所以点在圆内，则直线与圆一定相交，故D正确. 故选:ACD. 10. 已知为椭圆的焦点，直线与椭圆交于两点，且点恰好是线段的中点，则（ ） A. B. 椭圆的离心率为 C. 直线方程为 D. 的周长为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据椭圆的焦点在轴上，以及,计算出;对于B：由选项A可得,再根据离心率公式计算；对于C：根据椭圆的弦的中点坐标以及中点弦斜率公式可求得直线;对于D：由选项C可知直线,注意到它经过上焦点,因此的周长等于. 【详解】对于A，因为为椭圆的下焦点，则， 所以,故A错误； 对于B，椭圆的方程为,则,离心率,故B正确； 对于C，因为点恰好为线段的中点，所以由椭圆中点弦斜率公式可知， 弦的斜率满足（为原点与点连线的斜率）， 又因为,从而,所以直线的方程为,即,故C错误； 对于D，由直线的方程知直线过上焦点,所以周长为,故D正确. 故选：BD. 11. 在棱长为1的正方体中，为底面内部（包括边界）一动点，下列结论正确的是（ ） A. 存在点使得 B. 存在点使得平面和平面的夹角大小为 C. 若与底面所成角的正切值为，则点的轨迹长度为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求解数量积计算判断A，先求出法向量再应用夹角余弦公式计算判断B，线面角及弧长公式计算判断C，应用余弦公式计算判断D. 【详解】以点为原点，为轴建立空间直角坐标系， 依题意设， ， 所以，. 对于A，有， 当点为时，，即，故A正确； 对于B，显然平面，则平面的一个法向量为， 另设平面的法向量为， 则， 令，则，所以平面的一个法向量为， 若平面和平面的夹角大小为， 则，即， 解得，当，满足，故B正确； 对于C，若与底面所成角的正切值为，即， 则点轨迹在以为圆心，为半径， 且在底面内的圆弧上，则圆弧与底面交于两点，所以圆心角为， 即其长度为，故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离. 故答案为：. 13. 已知与的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题知，进而根据模的公式计算即可. 【详解】因为与的夹角为， 所以， 所以，故. 故答案为： 14. 在边长为3的正方形中，点为边的中点，已知点为正方形内（包括边界）一动点，且到点的距离和到边的距离的比为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用椭圆的第二定义结合椭圆的定义及距离和最短计算求解. 【详解】假设正方形边在平面直角坐标系的轴上， 由题意得，点到点的距离和到边的距离的比为， 根据椭圆的第二定义（平面内与定点（焦点）和与定直线（准线）的距离的比为离心率的点的轨迹为椭圆）， 点在以点为右焦点，直线为右准线的椭圆上. 设，则准线的方程为，所以， 解得，故椭圆的标准方程为. 结合正方形的几何约束，如图，点的轨迹为该椭圆上满足的弧段，且，椭圆另一焦点为. 由椭圆的定义知， ，当三点共线时，最短， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆的离心率相等. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点在椭圆上，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意椭圆焦点在轴上，，，进而根据的关系求解即可； （2）由椭圆定义得，进而根据解得，再根据得，最后计算面积即可. 【小问1详解】 解：设椭圆的标准方程为， 由题意知，又因为椭圆和椭圆的离心率相同， 所以， 因为，所以，则， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：由（1）知，椭圆的长半轴，焦距， 又由椭圆的定义知，， 所以联立，即 所以，解得 因为 又因为，所以 所以的面积 16. 如图，已知正方体的棱长为6，点在棱上，且为的中点，点在棱上，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量证明垂直于平面的法向量从而证明平面； （2）利用空间向量法来求点到面的距离即可. 【小问1详解】 以点为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以为平面一个法向量， 因为，所以， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面的一个法向量为， 所以由点到平面的距离公式得， 所以点到平面的距离为. 17. 已知,圆经过三点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，再将点代入求解即可； （2）设直线的方程时要注意考虑斜率存在与斜率不存在两种情况，再根据圆心到直线的距离等于半径求解. 【小问1详解】 依题意可设圆的方程为，由圆经过三点知， ，解得； 所以圆的方程为，其标准方程为. 【小问2详解】 若过点的直线的斜率不存在，其方程为， 经检验恰与圆相切，满足题意. 若过点的直线的斜率存在，且设为，其方程为， 即，由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于2， 得，即，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 18. 如图，在三棱柱中，平面. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）若球为三棱锥的外接球，求平面截球的截面面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意依次得到、，进而得到平面，再由面面垂直判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角公式求解； （3）以三棱锥的顶点为顶点补成正方体，则正方体中心为三棱锥外接球球心，球的半径为，利用向量法求得球心到平面的距离，进而可得截面圆的半径及截面面积. 【小问1详解】 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以. 又由（1）知两两垂直， 所以可以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的一个法向量为，则， 令，则，所以， 而. 设与平面所成角为， 则， 因为，所以. 【小问3详解】 以三棱锥的顶点为顶点补成正方体，则正方体中心为三棱锥外接球球心， 所以，则球的半径为， 设球心到平面的距离为，则. 设平面截球的截面圆的半径，则， 所以平面截球的截面面积为. 19. 已知椭圆的左顶点为，且椭圆过点. （1）求的方程； （2）已知为的左焦点，在轴上有两动点，且. （i）若的外接圆与在第一象限的交点为，连接交轴于点，求； （ii）直线分别与交于点，求证：直线恒过定点. 【答案】（1） （2）（i）3；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据左顶点及点在椭圆上列式计算求解； （2）（i）根据的外接圆是以为直径的圆再设化简得出，即可得出比值；（ii）设直线联立后应用斜率乘积计算得出即得定点. 【小问1详解】 因为椭圆的左顶点为，所以， 又椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由得，所以. 显然的外接圆是以为直径的圆， 则其方程为，化简得. 设，则， 消去得，， 化简得，又，所以， 所以. （ii）设直线的方程为 联立，消去整理得， 则. 因为，所以， 故，即，化简得， 因为，所以， 所以直线的方程为，即直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二上学期11月期中质量检测 数学（人教A版） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，已知点，则长为（ ） A B. C. 8 D. 24 2. 已知是空间一个基底，向量，若，则值是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 0 6. 已知椭圆的左､右焦点分别为，椭圆上点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面与平面所成二面角的大小为，，且，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 8. 在空间直角坐标系中，球心的坐标为，半径为，则球面的方程为.已知为坐标原点，，点满足，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆和直线，则（ ） A. 圆的半径为5 B. 直线恒过点 C. 直线不过点 D. 直线与圆一定相交 10. 已知为椭圆的焦点，直线与椭圆交于两点，且点恰好是线段的中点，则（ ） A. B. 椭圆的离心率为 C. 直线的方程为 D. 的周长为 11. 在棱长为1的正方体中，为底面内部（包括边界）一动点，下列结论正确的是（ ） A. 存在点使得 B. 存在点使得平面和平面的夹角大小为 C. 若与底面所成角的正切值为，则点的轨迹长度为 D. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点到直线的距离为__________. 13. 已知与夹角为，则__________. 14. 在边长为3的正方形中，点为边的中点，已知点为正方形内（包括边界）一动点，且到点的距离和到边的距离的比为，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆的离心率相等. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点在椭圆上，且，求的面积. 16. 如图，已知正方体的棱长为6，点在棱上，且为的中点，点在棱上，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 已知,圆经过三点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相切，求直线的方程. 18. 如图，在三棱柱中，平面. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）若球为三棱锥的外接球，求平面截球的截面面积. 19. 已知椭圆的左顶点为，且椭圆过点. （1）求的方程； （2）已知为的左焦点，在轴上有两动点，且. （i）若的外接圆与在第一象限的交点为，连接交轴于点，求； （ii）直线分别与交于点，求证：直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $