精品解析：福建省莆田市荔城区莆田第十五中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025-2026学年高二上学期期中考试试卷 命题人：高二备课组 审核人：高二备课组 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知等差数列，其中，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 12 3. 对于圆：，下列说法正确的为（    ） A. 点圆的内部 B. 点圆的外部 C. 圆的圆心为 D. 圆的半径为3 4. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 5. 已知直线与平行，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 或3 6. 过点，且法向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，若直线平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 10. 在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，有一种图形后人称之为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…..设各层球数构成一个数列，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列的通项公式为 D. 数列的一个递推公式为 11. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与的交点坐标是________． 13. 直线与直线之间的距离是______． 14. 一条光线从射出，经y轴后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 正项数列满足，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 16. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，， 求BC边上的高所在直线的方程； 求的面积． 17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求过原点且与圆相切的直线方程. 18. 已知数列的前项和为，且1，，成等比数列. （1）求，； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 19. 已知圆． （1）若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中考试试卷 命题人：高二备课组 审核人：高二备课组 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程及斜率公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则， 所以. 故选：. 2. 已知等差数列，其中，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质即可求解. 【详解】由等差中项可得， 故选：C 3. 对于圆：，下列说法正确的为（    ） A. 点圆的内部 B. 点圆的外部 C. 圆的圆心为 D. 圆的半径为3 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的一般方程及点与圆的位置关系的判定方法，结合直线与圆的位置关系的判定方法即可求解. 【详解】对于A，B，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确，B错误； 对于C，D，由得，所以圆的圆心为，半径为，故C，D错误. 故选：A. 4. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】写出两圆圆心和半径，求圆心距并与两圆半径比较即可得到结果. 【详解】圆心，半径.圆心，半径， ∵， ∴两圆的位置关系是外切. 故选：B. 5. 已知直线与平行，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】结合两直线平行的条件列式求解，然后代入检验是否平行，即可得解. 【详解】由题意时，由得，则或， 当时，与，两条直线恰好重合，矛盾， 而时，与平行，且不重合，符合题意. 所以m的值为3. 故选：B． 6. 过点，且法向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线的点法式方程即可得出正确答案. 【详解】由直线的点法式方程可得所求直线方程为：， 即. 故选：A. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，可得，根据等差数列通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以数列为首项，公差为3的等差数列， 所以，所以. 故选：D 8. 设，若直线平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线过圆心得，将目标式配方后使用基本不等式求解可得. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线平分圆的周长， 所以直线过点， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据，求出，然后逐项分析即可. 【详解】时，， 时，， 综上，， 所以，数列是递减数列，故A错误； ，故B正确； 时，，故C正确； ，所以当或时，取得最大值，故D错误； 故选：BC. 10. 在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，有一种图形后人称之为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…..设各层球数构成一个数列，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列的通项公式为 D. 数列的一个递推公式为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题可得数列递推公式，从而可得数列通项公式，即可判断各选项正误. 【详解】对于D，由题可得，则可得的一个递推公式为， 从而.故D错误； 对于C，由D分析可知：， 又符合上式，则的通项公式为，故C正确； 对于AB，由C可知：，，故A错误，B正确. 故选：BC 11. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为， 变形可得：， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误； 对于C，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故C正确； 对于D，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与的交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】解方程组可得答案. 【详解】由得， 所以两直线的交点坐标是. 故答案为：. 13. 直线与直线之间的距离是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行线间距离公式求解. 【详解】直线与直线之间的距离为. 故答案为：. 14. 一条光线从射出，经y轴后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出点关于轴的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可. 【详解】设关于轴的对称点， 则有，即， 反射光线所在直线为：， 整理得：. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 正项数列满足，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）整理得，即， 令，则，故是首项为4，公比为4的等比数列； （2） 【解析】 【分析】（1）利用构造法整理递推公式即可证明； （2）求出数列通项公式，利用分组求和求出前n项和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，即， 根据分组求和可得 16. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，， 求BC边上的高所在直线的方程； 求的面积． 【答案】（1）；（2）3 【解析】 【分析】求出直线BC的斜率，结合直线垂直的性质求出高线的斜率即可 求出点到直线的距离，以及底BC的距离，结合三角形的面积公式进行计算即可 【详解】由题意，直线BC的斜率，则BC边上高的斜率， 则过A的高的直线方程为，即， 的方程为，． 点A到直线的距离， ， 则三角形的面积． 【点睛】本题主要考查了三角形高线的计算，以及三角形的面积的求解，其中解答中结合距离公式以及直线垂直的斜率关系是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求过原点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【小问1详解】 线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 18. 已知数列的前项和为，且1，，成等比数列. （1）求，； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1）1，3； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列定义可得，进而求出. （2）由（1）的结论，利用求出通项公式. （3）由（2）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 由1，，成等比数列，得，所以，. 【小问2详解】 当时，，而满足上式， 所以的通项公式是. 【小问3详解】 由（2）知，， 则， 则. 19. 已知圆． （1）若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 【答案】（1）（ⅰ）； （ⅱ）设，，由根与系数的关系得 所以． 即直线的斜率之和为定值． （2）． 【解析】 【分析】（1）将直线代入圆方程消去，由得的取值范围；由韦达定理得；（2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点，则和为等腰直角三角形，利用两平行线距离公式可求. 【小问1详解】 将直线的方程代入圆的方程，可得． （ⅰ）因为直线与圆有两个交点，所以，解得，即的取值范围是． （ⅱ）略 【小问2详解】 设直线和圆交于点，直线与圆交于点． 因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接，则， 所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为， 同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $