精品解析：广东省广州市七十五中学2025-2026学年高一下学期第二次阶段考试数学试题

2025学年广州市第七十五中学第二学期第二次阶段考 高一数学 一、单选题 1. 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】将数据从小到大排列：2，3，3，5，6，7，8，10， 因为，不是整数， 所以该组数据的第70百分位数为第6个数字，即7. 2. 和垂直的一个单位向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，，结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于、的方程组，即可得解. 【详解】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，， 所以，解得或， 故或，结合选项可知选项B即为所求. 故选：B 3. 如图，水平放置的的直观图恰为腰长为2的等腰直角三角形，则中最长边的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法中原图和直观图之间的联系，确定原三角形为直角三角形，即可根据勾股定理即可求得结论． 【详解】由图可知，， ∴原三角形中，,, ∴,故最长的边为6， 故选：D． 4. 如图，在中，，点E是的中点．设，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】 . 故选：B. 5. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用可能平行判断，利用线面平行的性质判断，利用或与异面判断，与可能平行、相交、异面，判断. 【详解】，，则可能平行，错； ，，由线面平行的性质可得，正确； ，，则， 与异面；错， ，，与可能平行、相交、异面，错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 6. 正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为（ ）． A. 28 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用侧棱长结合勾股定理可求出棱台的高，结合台体体积公式，即可求出体积. 【详解】 正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3， 如图可得正四棱台的高， 由棱台体积公式可得， 故选：D. 7. 如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 200 m B. 400 m C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】在中， 在中， 在中 ． 故选：C 8. 如图，等边三角形与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用圆台和圆锥的表面积公式计算求解. 【详解】过点作，垂足为， 绕旋转一周形成的面所围成的几何体是圆台去掉同底圆锥， 几何体的表面积是底面半径分别为1,2，母线为2的圆台表面积去掉上底面再加上底面半径为1，母线为2的圆锥的侧面积， 则； 故选：C． 二、多选题 9. 某校举行了微电影评比活动，甲、乙两部微电影播放后，6位评委分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（ ） A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的均值大于乙得分的均值 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】AC 【解析】 【分析】根据折线统计图可分别计算出甲、乙得分的中位数、极差、均值即可判断出选项ABC，再根据两组数据的离散程度可判断D选项. 【详解】对于A，将甲的得分从大到小排列为8.1，8.2，8.3，8.4，8.4，8.7，易知其中位数为， 乙的得分从大到小排列为7.8，7.9，8.0，8.0，8.4，8.6，易知其中位数为， 所以可得甲得分的中位数大于乙得分的中位数，即A正确； 对于B，易知甲得分的极差为，乙得分的极差为， 因此甲得分的极差小于乙得分的极差，即B错误； 对于C，甲得分的均值为， 乙得分的均值为， 所以甲得分的均值大于乙得分的均值，即C正确； 对于D，结合统计图以及甲、乙得分的极差可知，乙得分的离散程度较大， 因此甲得分的方差小于乙得分的方差，可得D错误. 故选：AC 10. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（ ） A. B. 事件A与事件B为独立事件 C. D. 事件B与事件C为互斥事件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据古典概型计算判断A，独立事件乘法公式计算判断B，根据概率性质计算判断C，应用互斥事件的定义判断D. 【详解】对于A：由古典概率的计算易得，故A正确； 对于B：因为，，， 所以，即事件A与事件B为独立事件，故B正确； 对于C：因为，故C错误； 对于D：当摸出的两个球编号为2，3时，事件B与事件C同时发生，故D错误， 故选:AB 11. 如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的正弦值为 B. 平面 C. 直线与是异面直线 D. 过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用定义法作出异面直线所成的角，然后求解即可判断A，利用线面平行的判定定理即可判断B，利用平面的性质判断C，作出截面利用菱形的定义判断D. 【详解】对于A，如图所示， 取的中点，连接，因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 故或其补角即为异面直线与所成角， 设正方体的棱长为， 在中，，所以， 即异面直线与所成角的正弦值为，故A正确； 对于B，由选项A可知，，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图所示， 连接，因为，，所以，所以四点共面， 所以直线与直线共面，故C错误； 对于D，如图所示， 取的中点，连接，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，同理，所以， 所以四边形为平行四边形， 则过，，三点的平面截正方体所得的截面为四边形， 又，所以四边形为菱形，故D正确， 故选：ABD 三、填空题 12. 已知向量，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标公式计算即可. 【详解】因为，， 所以，得. 故答案为：. 13. 某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下： 性别 人数 平均数 方差 男生 100 172 18 女生 60 164 30 根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由样本的方差和平均数的计算公式，计算可得答案． 【详解】根据题意，在样本中，男生有人，女生有人， 则其平均数， 其方差， 故答案为：． 14. 在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求解作答. 【详解】在中，，，，则， 设外接圆半径为，则，即，令外接圆圆心为， 三棱锥外接球球心为，半径为，有平面， 由平面，得，又，取中点，于是四边形为矩形， 则球心到平面的距离， 因此， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为： 四、解答题 15. 已知平面向量，且．求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因， 则， 可得； 【小问2详解】 因， ， 设向量与的夹角为， 则. 16. 如图，在三棱柱中，为的中点，设平面与底面的交线为． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1） 证明：如图，连接与交于点O，连接 在三棱柱中，侧面为平行四边形， 所以O为的中点， 又因为点M为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）证明：在三棱柱中， 平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）连接与交于点O，连接，根据三角形中位线的性质可得,再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）利用面面平行证明，再根据线面平行的判定定理即可证明； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知分别为三个内角的对边，． （1）求角； （2）已知，延长到点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和公式和三角变换公式，可求角. （2）在中，利用余弦定理先求，再求，可得，再在中，利用余弦定理求. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 又， 所以. 因为，所以，所以. 又，所以. 【小问2详解】 如图： 在中，. 所以. 所以. 因为，所以. 在中，由余弦定理得： ， 所以 18. 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图： （1）用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； （2）在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率； （3）现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由频率分布直方图的频率求法求得[80,90)，[90,100]两个区间样本中的学生人数，按照分层抽样的方法即可求得结果； （2）利用列举法及古典概型的概率公式即可求得所求概率； （3）根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为时的区间左端点，即所求最低分数线. 【小问1详解】 依题意，设区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人，得 成绩在[80,90)区间样本中的学生人数为：； 成绩在[90,100]区间样本中的学生人数为：； 所以，解得， 所以区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人. 【小问2详解】 由（1）得，不妨记区间[80,90)中人为，区间[90,100]中人为， 则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为共20件， 其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]（记为事件）的基本事件为共8件， 故，即第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率为. 【小问3详解】 由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为， 所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)中，不妨记为， 故，解得， 所以成绩良好的最低分数线为. 19. 如图，在等腰直角三角形中，，M是半圆弧上异于A，B的动点，平面平面．设O，N分别为，的中点，，三棱锥体积的最大值为． （1）证明：平面； （2）当时，求二面角的正切值； （3）求点N到平面的距离（用表示）． 【答案】（1） 由为等腰直角三角形，且，且，分别为，的中点，连接，， 则，又平面平面，且平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为为直径所对的圆周角，所以，即， 又，所以，因，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，可得，再利用线面垂直即可证明求解； （2）利用二面角知识且结合（1）可得即为二面角，从而可求解； （3）利用等体积转换法可得，从而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由题意可知当时，三棱锥体积取到最大， 此时，解得， 由（1）知平面，平面，所以， 又，所以即为二面角， 因，所以，， 所以， 故二面角的正切值为. 【小问3详解】 连接，如图，由（1）知平面，平面，所以， 所以，，， 所以， 在中，，所以 设点到平面的距离为， 则，即，即， 解得， 故点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年广州市第七十五中学第二学期第二次阶段考 高一数学 一、单选题 1. 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 2. 和垂直的一个单位向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，水平放置的的直观图恰为腰长为2的等腰直角三角形，则中最长边的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 4. 如图，在中，，点E是的中点．设，，则（ ）． A. B. C. D. 5. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为（ ）． A. 28 B. C. D. 7. 如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 200 m B. 400 m C. D. 8. 如图，等边三角形与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某校举行了微电影评比活动，甲、乙两部微电影播放后，6位评委分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（ ） A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的均值大于乙得分的均值 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 10. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（ ） A. B. 事件A与事件B为独立事件 C. D. 事件B与事件C为互斥事件 11. 如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的正弦值为 B. 平面 C. 直线与是异面直线 D. 过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 三、填空题 12. 已知向量，若，则__________. 13. 某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下： 性别 人数 平均数 方差 男生 100 172 18 女生 60 164 30 根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差______. 14. 在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为____________． 四、解答题 15. 已知平面向量，且．求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值． 16. 如图，在三棱柱中，为的中点，设平面与底面的交线为． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 17. 已知分别为三个内角的对边，． （1）求角； （2）已知，延长到点，求． 18. 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图： （1）用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； （2）在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率； （3）现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 19. 如图，在等腰直角三角形中，，M是半圆弧上异于A，B的动点，平面平面．设O，N分别为，的中点，，三棱锥体积的最大值为． （1）证明：平面； （2）当时，求二面角的正切值； （3）求点N到平面的距离（用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $