精品解析： 江苏省南通市通州区2025--2026学年上学期八年级数学期中试卷 （B卷）

2025～2026学年（上）初二期中学业水平质量监测 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选B． 2. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，根据同底数幂的乘除法；合并同类项的法则；幂的乘方运算进行计算，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A． 不是同类项，无法合并，故该选项不正确，不符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了关于x轴对称点的坐标变化规律，掌握横纵坐标的变化是关键． 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】∵点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于x轴对称的点的横坐标为3，纵坐标为， ∴对称点的坐标为． 故选：Ａ． 4. 如果等腰的一个内角为，那么底角的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 分两种情况讨论：为顶角或为底角，分别计算底角． 【详解】解：∵ 等腰三角形两底角相等， 情况一：若为顶角， 则底角； 情况二：若为底角， 则底角为。 ∴ 底角为或， 故选：B． 5. 如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和含的直角三角形的性质，当点是的中点时，最小，根据等腰三角形等边对等角的性质求得，根据等腰三角形三线合一的性质求得，然后根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：当点是的中点时，如图所示， ，， ，，此时最小， ， 在中，， 则的长不可能是， 故选：A． 6. 如图，△ABC≌△DCB，点A和点D是对应点，若AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝7cm，则DB的长为（　　） A. 6cm B. 8cm C. 7cm D. 5cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质即可求出：AC＝BD＝7cm. 【详解】解：∵△ABC≌△DCB，AC＝7cm， ∴AC＝BD＝7cm． 故选C． 【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键. 7. 已知图中有三个正方形，则图中所有的全等三角形共有（　　）　对． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及正方形的性质，根据正方形的性质利用即可求解，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， 在和中， ， ； ∵四边形为正方形， ， ， ， 在和中， ， ； 同理可得：， 综上可知全等的三角形有3对，故选B． 8. 已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下作法不正确的是（ ） A. 取中点，连接 B. 作的平分线交于点 C. 过点作于点，且 D. 过点作，垂足为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键． 利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论． 【详解】A.利用SSS判断出， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上，不符合题意； B.利用SAS判断出， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上，不符合题意； C. 过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，符合题意； D.利用判断出， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上，不符合题意， 故选：C． 9. 若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（　　） A. ﹣1 B. 2 C. 3 D. ﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】先将式子（x2+2x+4）（x+k）展开，根据关于x的多项式乘多项式（x2+2x+4）（x+k）的结果中不含有x的一次项，可以求得k的值． 【详解】解：（x2+2x+4）（x+k） ＝x3＋kx2+2x2+2kx+4x+4k ＝x3＋（k+2）x2+（2k+4）x+4k， ∵关于x的多项式乘多项式（x2+2x+4）（x+k）的结果中不含有x的一次项， ∴2k+4＝0， 解得，k＝−2， 故选D． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 10. 如图，在中，，BC边上的高，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】连接CE， ∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线 ∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC， ∴EB=EC， 当C. F. E三点共线时，EF+BE=EF+EC= CF， ∵等边△ABC中，F是AB边的中点， ∴AD=CF=8， ∴EF+BE的最小值为8， 故选D. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键.解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论. 二、填空题（本大题共6小题，第11～12小题每小题3分，第13～16小题每小题4分，共22分．不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】该题考查了零指数幂，根据零指数幂的法则，任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】解：因为 ，所以 ． 故答案为：1． 12. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，掌握运算法则是解题的关键． 利用多项式除以单项式的法则，将括号内的每一项分别除以m，然后进行化简． 【详解】解：原式． 故答案为：． 13. 已知是等腰三角形，，，则的度数是______． 【答案】50 【解析】 【分析】此题考查了等边对等角，三角形内角和定理，利用等腰三角形的性质，两底角相等，结合三角形内角和定理求解． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：50． 14. 若代数式是一个完全平方式，则___________． 【答案】或10 【解析】 【分析】把写成，解答即可； 本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， 故将写成， 根据多项式对应项的系数相等，得到， 故答案为：或10． 15. 若等腰三角形的顶角为30°，腰长为6，则此等腰三角形的面积为______. 【答案】9 【解析】 【分析】过点作于点，根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半求得，然后利用三角形面积公式解答即可． 【详解】解：如图所示，过作于， ，， ， ， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 16. 已知实数，满足，则的取值范围是______，的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式， 利用完全平方的非负性，通过和 推导出的取值范围．将化简为，然后根据的取值范围求最小值． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的取值范围为； ∵， ∴原式． ∵， ∴当最大时，表达式取最小值． ∵， ∴当时，最小值为． 故答案为：，． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则和熟记乘法公式是解答的关键． （1）先进行积的乘方运算和单项式除以单项式，再合并同类项即可求解； （2）先利用平方差公式和多项式乘法法则，进行括号内整式计算，再利用去括号合并同类项求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ， 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练运用单项式乘多项式法则展开并合并同类项． 利用单项式乘多项式法则展开各项，去括号后合并同类项化简原式，代入计算最终值． 【详解】解： ； 当时，原式． 19. 已知：如图，点，，，在一条直线上，且，，．求证：． 【答案】 证明：， ， . 在和中， . 【解析】 【分析】利用“”即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理．熟记定理内容是解题关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． （1）画出关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标； （2）求的面积； （3）在y轴上找一点P，使得最小． 【答案】（1） 如图，即为所求；； （2） （3） 如图，点P即为所求； 【解析】 【分析】此题考查画轴对称图形，轴对称的性质， （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用网格特点直接列式求出三角形面积； （3）作点C关于y轴的对称点，连接与y轴的交点即为点P． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积； 【小问3详解】 略 21. 如图，已知． （1）作边的垂直平分线，分别交边，于点，（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，的周长为，求的周长． 【答案】（1） 解：如图所示，边的垂直平分线即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作法、垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线，分别交边，于点，即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，，再利用三角形的周长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， ∴的周长． 22. 如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示）留下一个“T”型的图形（阴影部分） （1）用含，的代数式表示“T”型图形的面积并化简． （2）若米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价． 【答案】（1） （2）34000元 【解析】 【分析】（1）利用大长方形的面积减去两个小正方形的面积可得“”型图形的面积，再根据整式的乘法与加减法法则进行化简即可得； （2）根据米可得米，代入（1）中的结论可得“”型图形的面积，再根据草坪每平方米20元即可得． 【小问1详解】 解：“”型图形的面积= ， 答：“”型图形的面积为． 【小问2详解】 解：由米得：米， 则“”型图形的面积=（平方米）， 所以草坪的造价为（元）， 答：草坪的造价为34000元． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式以及合并同类项的应用，根据图形正确列出代数式是解题关键． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于E，CF⊥BD于F. (1)求证：CF＝BE； (2)若BD＝2AE，求证：∠EAD＝∠ABE. 【答案】 证明：(1)∵∠ABC＝90°，CF⊥BD，AE⊥BD， ∴∠ABE＋∠EBC＝90°＝∠EBC＋∠BCF， ∴∠ABE＝∠BCF. 又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝CB， ∴△ABE≌△BCF， ∴CF＝BE. (2)由(1)知△ABE≌△BCF， ∴BF＝AE，∠ABE＝∠BCF.又∵BD＝BF＋FD＝2AE， ∴BF＝DF. 又∵CF⊥BD于F，∴CB＝CD， ∴CF平分∠ACB. 又∵∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴AE∥CF，∴∠EAD＝∠ACF. ∵∠ABE＝∠BCF＝∠ACF， ∴∠EAD＝∠ABE. 【解析】 【详解】分析：（1）根据已知条件证明△ABE≌△BCF即可求证CF＝BE. （2）由（1）可知：∠ABE＝∠BCF，且AE∥CF所以∠EAD＝∠ACF，只需证明∠ABE＝∠BCF＝∠ACF即可证明出∠EAD＝∠ABE. 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；角平分线的性质.熟记性质是解答本题的关键. 24. 人教版八年级上册数学教材第118页的第7题：已知，，求的值．老师讲解了解这道题的方法： ， ， ， ， ， 方法运用 请你参照上面解法，解答以下问题． （1）已知，，求的值； （2）在（1）的条件下，求的值； 拓展提升 （3）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）（2）17（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的变形． （1）利用完全平方公式进行求解即可； （2）利用完全平方公式进行求解即可； （3）设，，表示出相关线段的数量关系，然后利用完全平方公式求出，最后求出三角形的面积之和即可． 【详解】解：（1）由条件可得， ， ， ， ， ； （2） 由（1）得，，，代入上式， ∴； （3）设，， 由条件可知，，，， ， ， ， 解得：， ． 25. 在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，点为轴正半轴上的一个动点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰． （1）如图1，若，，则点的坐标为________； （2）如图2，若，点为延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰，连接，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，以为直角顶点，为直角边在第二象限作等腰．连接，交轴于点，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 证明：过点作轴于， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ∵， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）过点C作轴于H，结合题意证明，得出，从而可求出，即得出； （2）过点E作轴于F，结合题意证明，得出，进而可证明为等腰直角三角形，即得出； （3）过点C作轴G，由（1）可知，从而易证，得出，即得出． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作轴于H， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，               ∴， ∴， ∴点， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作轴于点， 由（1）可知：， ，， ，， ，， 又， ， ， ， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年（上）初二期中学业水平质量监测 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如果等腰的一个内角为，那么底角的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 5. 如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，△ABC≌△DCB，点A和点D是对应点，若AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝7cm，则DB的长为（　　） A. 6cm B. 8cm C. 7cm D. 5cm 7. 已知图中有三个正方形，则图中所有的全等三角形共有（　　）　对． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下作法不正确的是（ ） A. 取中点，连接 B. 作的平分线交于点 C. 过点作于点，且 D. 过点作，垂足为 9. 若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（　　） A. ﹣1 B. 2 C. 3 D. ﹣2 10. 如图，在中，，BC边上的高，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共6小题，第11～12小题每小题3分，第13～16小题每小题4分，共22分．不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算：_____． 12. 计算：______． 13. 已知是等腰三角形，，，则的度数是______． 14. 若代数式是一个完全平方式，则___________． 15. 若等腰三角形的顶角为30°，腰长为6，则此等腰三角形的面积为______. 16. 已知实数，满足，则的取值范围是______，的最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知：如图，点，，，在一条直线上，且，，．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． （1）画出关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标； （2）求的面积； （3）在y轴上找一点P，使得最小． 21. 如图，已知． （1）作边的垂直平分线，分别交边，于点，（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，的周长为，求的周长． 22. 如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示）留下一个“T”型的图形（阴影部分） （1）用含，的代数式表示“T”型图形的面积并化简． （2）若米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于E，CF⊥BD于F. (1)求证：CF＝BE； (2)若BD＝2AE，求证：∠EAD＝∠ABE. 24. 人教版八年级上册数学教材第118页的第7题：已知，，求的值．老师讲解了解这道题的方法： ， ， ， ， ， 方法运用 请你参照上面解法，解答以下问题． （1）已知，，求的值； （2）在（1）的条件下，求的值； 拓展提升 （3）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积． 25. 在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，点为轴正半轴上的一个动点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰． （1）如图1，若，，则点的坐标为________； （2）如图2，若，点为延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰，连接，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，以为直角顶点，为直角边在第二象限作等腰．连接，交轴于点，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $