精品解析：福建省厦门市湖滨中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

厦门市湖滨中学2025--2026学年第一学期期中考试 初三数学 考试时间：2025年11月17日 考试时长120分钟 一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 抛物线y=2(x－1)2－6的对称轴是( ). A. x=－6 B. x=－1 C. x= D. x=1 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式，直接得出结论即可． 【详解】解：∵抛物线y=2（x-1）2-6， ∴抛物线的对称轴是x=1． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，要熟悉二次函数的顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h． 3. 如图，内接于圆，点D在弧上，连接，．下列角中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆内角度的关系是解题关键． 同弧或等弧所对的圆周角相等，从同弧或等弧的角度去寻找相等的角即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 4. 如图，在中半径与弦垂直于点D，且，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案． 【详解】解：连接， 设， ∵， ∴， ∵， ∴由垂径定理可知：， 由勾股定理可知： ∴， ∴， 故选C. 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型． 5. 如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点，，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ 　）． A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解． 【详解】解： 旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°． 故选D． 【点睛】考点：旋转的性质． 6. 若要得到抛物线，可以将抛物线（ ） A. 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线平移的规律：根据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律，分析目标函数相对于原函数的变换. 【详解】解：∵ 可由 先向右平移2个单位长度得到 （右减），再向上平移3个单位长度得到 （上加）； ∴ 平移方式为先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度. 故选：C. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 8. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过作于 求解 结合旋转：证明 可得为等边三角形，求解 再应用锐角三角函数可得答案． 【详解】解：如图，过作于 由， 结合旋转： 为等边三角形， ∴A到的距离为3． 故选C 【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 9. 被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为、宽为的矩形绣品(如图所示)，为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题，根据题意，塑封的长为，宽为，根据塑封后的面积可列式求解． 【详解】解：根据题意，塑封后的长为，宽为，面积为， ∴列方程为： 故选：D ． 10. 已知函数，下列说法正确的序号是（ ） ①若该函数图象与x轴只有一个交点，则； ②方程至少有一个整数根； ③若，则的函数值都是负数； ④不存在实数a，使得对任意实数x都成立． A. ①② B. ②④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括与轴的交点、方程的根、函数值的符号以及恒成立问题；需要分类讨论和的情况. 【详解】解：对于①：当时，函数与轴有一个交点；当时，判别式，得， ∴或时，图象与轴只有一个交点，故①错误； 对于②：当时，方程，根为整数；当时，方程因式分解为 ，根或，其中为整数根； ∴方程至少有一个整数根，故②正确； 对于③：当 时，，函数开口向上，在内；但当时，函数开口向下，在内， ∴结论不一定成立，故③错误； 对于④：当时，的函数值有正有负，故不恒成立； 当时，若，开口向下，但，有两实根，在根之间； 若 ，函数图象为开口向上的抛物线，函数值可以取到任意大的正数；特别地，时，； ∴不存在实数使对任意成立，故④正确； 综上所述，②④正确， 故选：B. 二、填空题（本大题共有6小题，每题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均变为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 下图是抛物线的示意图，则a的值可以是________（填写符合条件一个数值即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键．由图象可知，抛物线开口向上，，即可写出a的值． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，即， 则a的值可以是1， 故答案为：1（答案不唯一）． 13. 已知是方程的解，则m的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】直接把代入方程，即可求出的值． 【详解】由题意得： 把代入方程中， 则，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义，正确求出的值． 14. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 《弹簧探险家的能量之旅》 假设你是一名年轻的物理探险家，正在实验室中研究一个神奇的弹簧系统．想象一下：光滑如镜的水平实验台上（忽略所有摩擦和空气阻力），一个银色的金属小球（质量）连接着一根轻质弹簧，弹簧的劲度系数——这意味着一拉一压之间，它就蕴含着可观的能量！你小心翼翼地用机械臂将弹簧压缩了（负号表示压缩方向），然后从静止状态（初速度）释放小球．瞬间，弹簧“嗡”的一声舒展开，小球开始舞蹈般地滑动．整个系统的总机械能守恒，遵循公式： 其中： E是总机械能（单位：焦耳，），在无能量损失的情况下保持不变． 是小球的动能（速度v的单位：米/秒，）． 是弹簧的弹性势能（位移x的单位：米，；以弹簧原长位置为参考点）． 请阅读以上内容回答问题： 当时，你要像侦探一样，根据总机械能守恒公式，追踪能量如何在动能和势能之间流转，记住，能量守恒是你的指南针——系统总能量E终恒定，但形式会变！那么，此时小球的速度v为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用以及跨学科考题，根据机械能守恒定律，系统初始总机械能等于任意位置的总机械能，初始时弹簧压缩，小球静止，总机械能仅为弹性势能；当弹簧位移为x时，总机械能等于动能与弹性势能之和，由此列出方程求解速度. 【详解】解：初始时，弹簧压缩量，小球速度 ，总机械能 当时，， 整理得， 解得：（舍去负值）， 故答案为：. 16. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点C是弦的“可及点”．已知P是直线上一点，且存在的弦，使得点P是弦的“可及点”．记点P的横坐标为t，则t的取值范围是________． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，已知两点求距离等知识点，正确添加辅助线，找到临界状态情况是解题的关键；分类讨论临界的情况，即可得出取值范围． 【详解】解：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆， ∵若点C关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点C是弦的“可及点”， ∴点C应在的圆内或圆上， ∴点P需要在的圆内或圆上， 作出的外接圆，连接， ∵点P在以为圆心，为半径的运动（不包括端点）， ∴， ∴， 由对称得点，在的垂直平分线上， ∵的外接圆为， ∴点也在的垂直平分线上，记与交于点， ∴， ∴， 随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，， 连接， ∵， ∴当最大，时，此时为等边三角形， 由上述过程知， ∴， 当，的最大值为2， 设， 则， 解得： ， 设直线与交于T，S，与y轴交于点K，过点S作轴， 当，当时，， ∴与x轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 即点， ∴t的取值范围是 或， 故答案为： 或． 三、解答题（本题共9题，共86分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解．运用公式法解方程即可． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 18. 如图，四边形是平行四边形，，连接，证明：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质． 根据平行四边形得到，再证明即可． 【详解】略． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化；运用相关公式、法则正确进行分式的化简是解题的关键． 20. 某市为减少汽车尾气污染，改善空气质量，鼓励市民选择新能源汽车作为出行的交通工具，并大力推进新能源汽车充电基础设施建设．据统计，该市2020年新建100座充电站，2022年新建169座，求该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程，难度不大． 设该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率为，，根据该市2020年底和2022年底的充电站数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设新建充电站的数量的年平均增长率为， 根据题意得：． 解得：，（舍去）． 答：该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率为． 21. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（），求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过 点和点作 y轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解. 【详解】解：如图；分别过 点和点作 y轴的垂线，垂足分别为和， ∵四边形正方形 ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 由题意得： ∴ ∴ 整理得： ∵ ∴ ∴ ∴. 22. 如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若点B是的中点，且，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ，即， ． 为的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解题的关键： （1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，等边对等角，得到，结合，推出，即可得证； （2）根据线段之间的数量关系求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点B是的中点， ． ， ． ， ． 又， ． ． 在中． ． 即半径为． 23. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． （2）如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）240 （2） 解：． 理由如下：连接，． 六边形是等边半正六边形． ，． ． ． 在与中， ， ． ； （3）如图，六边形即为所求（答案不唯一）． 作法一： 作法二： ． 【解析】 【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键． （1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为； （2）连接，，通过已知条件可证，得到，，进一步证明证出； （3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了． 【小问1详解】 解：∵六边形内角和为，且，， ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为， 故答案为：240； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 综合与探究 问题情境 如图1，在矩形中，，延长至点．使得．点是边上一点，且，连接，． 操作发现 （1）若，则的长为________，的长为________． 拓展探索 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若，分别与，相交于点，． ①请判断和的数量关系，并说明理由． ②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上．请探索并直接写出图3中所有与图1中相等的线段． 【答案】（1）；； （2）①，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， 连接，如图： 由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴； ②、 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，结合题意得出垂直平分，由垂直平分线的性质可得，证明为等腰直角三角形，得出，求出，即可得解； （2）①连接，由题意结合旋转的性质可得为等腰直角三角形，，从而得出，推出，，证明，即可得解； ②由（1）可得：，解直角三角形得出，由题意结合旋转的性质可得为等腰直角三角形，，证明，得出，由①可得：，即可得解． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故答案为，； （2）①略 ②由（1）可得：， ∵四边形为矩形， ∴，， 连接，如图： ， ∵，， ∴， ∴， 由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①可得：， ∴图3中所有与图1中相等的线段为、． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25. 某施工队在屋顶上安装太阳能光伏板，发现光伏板的输出功率（瓦）受太阳光入射角影响，与倾斜角有关．实验测定中发现：当倾斜角为时功率为；当倾斜角为时功率为；当倾斜角为时功率为．假设在某范围内（在至之间）可以近似将视为关于的二次函数． （1）请估算出这条二次函数的解析式． （2）某地冬季太阳高度较低，而夏季太阳高度较高．当地屋顶安装太阳能板，若只固定一次倾斜角，则应兼顾全年输出．根据经验，最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间．此外，当倾斜角不当时，反射、阴影和面尘积累都会使功率进一步下降．假设一年中晴天的总时长是某个固定的常数，按照秋冬季、春夏季时间的长短比例分布在秋冬季、春夏季两季． ①已知该地春夏季时间、秋冬季时间之比．实验测定发现秋冬季太阳能板的功率相较于（1）中的下降至，春夏季太阳能板的功率相较于（1）中的上升至．若要使年总功最大，求该地摆放太阳能板的最佳倾斜角．（其中：） ②根据地理学相关知识，一年中春夏季时间、秋冬季时间之比随纬度增高而减小，且变化规律呈一条直线，在北极点（）处．已知①中该地的纬度是．经过一番计算，发现最佳倾斜角和存在关系．为了使年总功尽可能大，试判断“最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间的角度”对于纬度多少的区域是适用的．（仅考虑的地区） 【答案】（1） （2）①②“最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间的角度”对于纬度在到之间的区域是适用的． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意求出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设关于的二次函数解析式为，把题中的三组数据代入即可求解； （2）①将（1）中关于的二次函数解析式代入，中，再将，代入中，得到关于的二次函数解析式，再由二次函数的顶点求最值； ②由题意可得与满足一次函数关系，当时，，当时，，由此可得出关于的函数解析式，再根据最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间的角度列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设关于的二次函数解析式为， 由题意得：解得 故关于的二次函数解析式为． 【小问2详解】 ① ， ， 、之比， ． ， 当时，最大， ． ②设关于的函数解析式为：， 依题意得：解得， 关于的函数解析式为：． ． ， ． ∵， ∴， 解不等式：，即， ∴， 解得：（，不合题意的已舍去）， 解不等式：，即， 解得：（，不合题意的已舍去）， ． “最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间的角度”对于纬度在到之间的区域是适用的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市湖滨中学2025--2026学年第一学期期中考试 初三数学 考试时间：2025年11月17日 考试时长120分钟 一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线y=2(x－1)2－6的对称轴是( ). A. x=－6 B. x=－1 C. x= D. x=1 3. 如图，内接于圆，点D在弧上，连接，．下列角中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中半径与弦垂直于点D，且，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点，，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ 　）． A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 6. 若要得到抛物线，可以将抛物线（ ） A. 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 8. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（ ） A. B. C. 3 D. 2 9. 被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为、宽为的矩形绣品(如图所示)，为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的序号是（ ） ①若该函数图象与x轴只有一个交点，则； ②方程至少有一个整数根； ③若，则的函数值都是负数； ④不存在实数a，使得对任意实数x都成立． A. ①② B. ②④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共有6小题，每题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 下图是抛物线的示意图，则a的值可以是________（填写符合条件一个数值即可）． 13. 已知是方程的解，则m的值为____________． 14. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 15. 《弹簧探险家的能量之旅》 假设你是一名年轻的物理探险家，正在实验室中研究一个神奇的弹簧系统．想象一下：光滑如镜的水平实验台上（忽略所有摩擦和空气阻力），一个银色的金属小球（质量）连接着一根轻质弹簧，弹簧的劲度系数——这意味着一拉一压之间，它就蕴含着可观的能量！你小心翼翼地用机械臂将弹簧压缩了（负号表示压缩方向），然后从静止状态（初速度）释放小球．瞬间，弹簧“嗡”的一声舒展开，小球开始舞蹈般地滑动．整个系统的总机械能守恒，遵循公式： 其中： E是总机械能（单位：焦耳，），在无能量损失的情况下保持不变． 是小球的动能（速度v的单位：米/秒，）． 是弹簧的弹性势能（位移x的单位：米，；以弹簧原长位置为参考点）． 请阅读以上内容回答问题： 当时，你要像侦探一样，根据总机械能守恒公式，追踪能量如何在动能和势能之间流转，记住，能量守恒是你的指南针——系统总能量E终恒定，但形式会变！那么，此时小球的速度v为________． 16. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点C是弦的“可及点”．已知P是直线上一点，且存在的弦，使得点P是弦的“可及点”．记点P的横坐标为t，则t的取值范围是________． 三、解答题（本题共9题，共86分） 17. 解方程： 18. 如图，四边形是平行四边形，，连接，证明：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某市为减少汽车尾气污染，改善空气质量，鼓励市民选择新能源汽车作为出行的交通工具，并大力推进新能源汽车充电基础设施建设．据统计，该市2020年新建100座充电站，2022年新建169座，求该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率． 21. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（），求的值． 22. 如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若点B是的中点，且，求的半径． 23. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． （2）如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 24. 综合与探究 问题情境 如图1，在矩形中，，延长至点．使得．点是边上一点，且，连接，． 操作发现 （1）若，则的长为________，的长为________． 拓展探索 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若，分别与，相交于点，． ①请判断和的数量关系，并说明理由． ②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上．请探索并直接写出图3中所有与图1中相等的线段． 25. 某施工队在屋顶上安装太阳能光伏板，发现光伏板的输出功率（瓦）受太阳光入射角影响，与倾斜角有关．实验测定中发现：当倾斜角为时功率为；当倾斜角为时功率为；当倾斜角为时功率为．假设在某范围内（在至之间）可以近似将视为关于的二次函数． （1）请估算出这条二次函数的解析式． （2）某地冬季太阳高度较低，而夏季太阳高度较高．当地屋顶安装太阳能板，若只固定一次倾斜角，则应兼顾全年输出．根据经验，最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间．此外，当倾斜角不当时，反射、阴影和面尘积累都会使功率进一步下降．假设一年中晴天的总时长是某个固定的常数，按照秋冬季、春夏季时间的长短比例分布在秋冬季、春夏季两季． ①已知该地春夏季时间、秋冬季时间之比．实验测定发现秋冬季太阳能板的功率相较于（1）中的下降至，春夏季太阳能板的功率相较于（1）中的上升至．若要使年总功最大，求该地摆放太阳能板的最佳倾斜角．（其中：） ②根据地理学相关知识，一年中春夏季时间、秋冬季时间之比随纬度增高而减小，且变化规律呈一条直线，在北极点（）处．已知①中该地的纬度是．经过一番计算，发现最佳倾斜角和存在关系．为了使年总功尽可能大，试判断“最佳屋顶倾斜角常取该地纬度之间的角度”对于纬度多少的区域是适用的．（仅考虑的地区） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $