精品解析：江西省上饶市蓝天教育集团2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

蓝天蓝教育集团高二数学期中测试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助斜率公式计算即可可得. 【详解】直线的斜率为. 故选：D. 2. 已知直线，则直线在轴上的截距为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，令，求得，即可得到直线在轴上的截距，得到答案. 【详解】由直线方程为，令，可得，解得， 所以直线在轴上的截距为. 故选：D. 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用两条直线互相垂直列式求解. 【详解】由直线与直线垂直，得，所以. 故选：C. 4. 圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件得出圆心到轴的距离等于半径，再利用圆心坐标和半径得出圆的方程，最后对比判断选项即可． 【详解】圆心坐标为，且圆与轴相切， 圆的半径等于圆心到轴的距离， 圆的方程为：，故D正确． 故选：D． 5. 已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算可得． 【详解】因为为的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为6，所以周长是12， 即，得， 又，所以，． 故选：B． 6. 已知双曲线的两条渐近线相互垂直，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得双曲线渐近线方程为，再由直线斜率为-1可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为，因为的两条渐近线相互垂直， 所以.，又，则. 故选：B. 7. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线准线为. 故选：D． 8. 若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得方程有且仅有两个不同的实数根，将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况，再用数形结合，先求出相切时的斜率，再得到有两个交点的情况. 【详解】关于的方程有且仅有两个不同的实数根， 所以，即方程有且仅有两个不同的实数根， 将方程转化为：半圆与直线有两个不同交点， 当直线与半圆相切时，有，解得， 所以半圆与直线有两个不同交点时. 直线一定过， 由图象知直线过时直线的斜率取最大值为1， . 故选：A 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知点到直线距离为3，则实数等于（ ） A. 0 B. C. 3 D. 2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】依题意，即,解得或. 故选：AB. 10. 已知曲线，则下列正确的有（ ） A. 若，则曲线的离心率为 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则为双曲线，其渐近线方程为 D. 若，则是圆，其半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆、椭圆、双曲线的标准方程和几何性质即可逐项判断. 【详解】对于选项A：若，则C为双曲线，，故A正确； 对于选项B：若，则是椭圆，其焦点在x轴上，故B错误； 对于选项C：若，则为双曲线，其渐近线方程为，即，故C正确； 对于选项D：若，则是圆,半径为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为， 变形可得：， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误； 对于C，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故C正确； 对于D，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】由直线方程求得与坐标轴的交点，根据已知焦点求得抛物线的标准方程，可得答案. 【详解】令得，令得，所以抛物线的焦点为或. 当焦点为时，抛物线方程为；焦点为时，抛物线方程为. 故答案为：或. 13. 已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设动点，根据两点间距离公式，列方程即可求解. 【详解】设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 14. 若点、为椭圆的长轴顶点，过椭圆上任一不同于、的点作的垂线，垂足为点，若，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】不妨假设椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，设点，其中，且有，利用已知条件得出的值，再利用可求得该椭圆离心率的值. 【详解】不妨假设椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，设， 设点，其中，则，，， 由题意可得，所以， 所以， 因此该椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知直线经过、两点． （1）求直线的方程； （2）设直线，若，求实数值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程； （2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数的值. 【小问1详解】 直线经过、两点， ， 直线，即：． 【小问2详解】 由，直线，， 得，解得， 即实数的值为． 16. 已知圆M过点 （1）求圆M的方程； （2）过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求圆的方程； （2）由已知求出圆心到直线的距离，分斜率存在和不存在讨论，再利用点到直线的距离公式，即可求出直线的斜率，进而得到直线的方程. 【小问1详解】 设圆， 则，解得，满足， 所以圆的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，，半径， 设圆心到直线的距离为，则，即，解得， 当直线的斜率不存在时，为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设，故，解得， 此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 17. 已知椭圆的离心率为，短轴长为. （1）求C的方程； （2）若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而解出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 则椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设， 联立，得， 则，解得， 且， 所以， 点到直线的距离为， 则，解得或，满足， 则或. 18. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合. （1）求抛物线的方程； （2）已知点，在曲线上是否存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值？若存在点，求出点的坐标以及的最小值. 【答案】（1） （2）存在，，的最小值为13 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求解椭圆的右焦点，进而求得抛物线方程； （2）利用抛物线的定义进行转化，根据三点共线解点的坐标，以及的最小值. 【小问1详解】 由题意知，椭圆的右焦点为，则，， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值，理由如下： 如图所示，根据抛物线的定义得， 所以当三点共线时，点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值， 此时点为直线与抛物线的交点，又直线的方程为， 联立，解得或（舍去），则点， 此时最小，且最小值为， 因此在曲线上存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值， 且的最小值为13. 19. 如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. （1）求点的坐标，及双曲线的离心率； （2）若线段AB的中点为，求直线的方程； （3）若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）过定点，定点坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，，即可求得左顶点坐标以及离心率； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解； （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【小问1详解】 由题可得：， 所以双曲线C的左顶点为，双曲线的离心率为： 【小问2详解】 由消去整理得，， 则，且， 设，则， 由为的中点，可得， 解得，满足， 所以直线l的方程为，即. 【小问3详解】 由（2）知，．且， 则 ， 因以为直径的圆恒过点P，则有， 即，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓝天蓝教育集团高二数学期中测试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知直线经过点，则直线斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，则直线在轴上截距为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的两条渐近线相互垂直，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 7. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A B. C. D. 8. 若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ） A. 0 B. C. 3 D. 2 10. 已知曲线，则下列正确的有（ ） A. 若，则曲线的离心率为 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则为双曲线，其渐近线方程为 D. 若，则是圆，其半径为 11. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为______. 13. 已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________. 14. 若点、为椭圆的长轴顶点，过椭圆上任一不同于、的点作的垂线，垂足为点，若，则该椭圆的离心率为__________. 四、解答题 15. 已知直线经过、两点． （1）求直线的方程； （2）设直线，若，求实数的值． 16. 已知圆M过点 （1）求圆M的方程； （2）过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程. 17. 已知椭圆的离心率为，短轴长为. （1）求C的方程； （2）若直线与C交于两点，O为坐标原点，面积为，求t的值. 18. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合. （1）求抛物线的方程； （2）已知点，在曲线上是否存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值？若存在点，求出点的坐标以及的最小值. 19. 如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. （1）求点坐标，及双曲线的离心率； （2）若线段AB的中点为，求直线的方程； （3）若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $