精品解析：江西省抚州市崇仁县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

崇仁一中2025级高一数学期中考试试卷 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版必修第一册第一章～第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法表示集合A，再利用交集的定义求解即得． 【详解】依题意，，而， 所以． 故选：B 2. 设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ② 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的定义逐项判断即可. 【详解】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 3. 下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】定义域和对应法则均一致才为同一函数，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为，即两个函数不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 即两个函数不是同一函数； 对于C，，函数与函数的定义域和对应法则一致， 即两个函数是同一函数； 对于选项D，函数的定义域为， 函数的定义域为，即两个函数不是同一函数． 故选：C． 4. 已知，，，则三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的性质比较指数式的大小即可. 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A. 5. 若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分是否为0两种情况进行讨论，结合二次方程根的情况列式求解即可. 【详解】当时，，故符合题意； 当时，由题意，解得，符合题意， 满足题意的值的集合是. 故选：D. 6. 已知函数，则函数的解析式为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法计算可得. 【详解】设，则且，因为，可得， 所以函数. 故选：B. 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域为，得，则， 即的定义域为，在函数中，由，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：A 8. 已知，函数在上的最大值是5，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数单调性得出，再结合函数解析式去绝对值得出函数最值,分，两种情况讨论即可确定参数范围. 【详解】因为在上单洞递减，因此． 若，则的最大值为5，符合题意； 若时，的最大值为与中较大的，由，即，解得， 显然时，的最大值为， 时，的最大值不为定值． 综上可得，时，在上的最大值是5． 故选:A． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每个题目有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.） 9. 下列四个结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 命题“任意，则”的否定是“存在，则”． D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【解析】 【分析】依据不等式性质和命题的判断等相关定义即可. 【详解】A. 取，不满足，故A错误； B. 取符合题意，但，故B错误； C.全称命题的否定：任意改存在，则后改否定，故C正确； D.若 ，则不一定成立，例如； 若，则成立，故D正确. 故选：CD. 10. 已知函数的图象经过点，，则正确的是（ ） A. B. C. 曲线关于轴对称 D. 不等式的解集为. 【答案】AC 【解析】 【分析】代入点的坐标求解可判断AB，由偶函数的定义、结合函数的单调性可判断CD. 【详解】由题意可得，，解得，故选项A正确，选项B错误； 由，其定义域为关于原点对称， 且， 为偶函数，即曲线关于轴对称，故选项C正确； 由函数解析式可知：在区间上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得， 解得，故选项D错误； 故选：AC. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 分别在区间与上单调递增 C. 当时， D. 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由奇函数性质可判断；C选项，由奇函数写出对称区间上的解析式；B选项，先研究当时，的单调区间，再研究的奇偶性可得的单调区间；D选项项，解分式不等式可. 【详解】对于A选项，∵在上为奇函数，∴，故A错误； 对于C选项，∵当时，， ∴当时，，∴， ① 又∵在上为奇函数，∴  ， ② ∴由①②得：当时，，故C正确； 对于B选项， 当时，， ∴当时，；当时，； ∴当时， ， ∴由单调性可得：当时，单调递减区间，单调递增区间， 又∵在上为奇函数， ∴设，则 ∴为偶函数，即为偶函数， ∴在对称区间上的单调性相反， ∴当时，单调递减区间，单调递增区间， ∴综述：单调递增区间为，，故B正确； 对于D选项，∵， ∴或，即或， 即或，解得：或， ∴的解集为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则_______. 【答案】3 【解析】 【分析】由分段函数解析式即可直接求解. 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以. 故答案为：3 13. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出分段函数在不同区间函数的值域，再结合函数值域为,得出参数范围. 【详解】当, 当, 因为函数的值域为,所以. 故答案为：. 14. 已知函数的最大值为M，最小值为m，则_______. 【答案】4 【解析】 【分析】先化简，再应用奇函数的最大值与最小值和为0，最后计算得出最值和. 【详解】==2+， 令,则，所以为奇函数，的最大值与最小值的和为0， 故, 故. 故答案为：4. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的解析式； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性，建立方程，可得答案； （2）由（1）可得函数解析式，整理不等式，构造新函数，利用二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以，即 解得或2， 因为在上单调递增，所以，即； 【小问2详解】 由（1）知即，要使此不等式在上恒成立， 只需使函数在上的最小值大于0即可， 因为在上单调递减， 所以， 由，解得，所以实数的取值范围是. 16. （1）求值：； （2）已知，求值：. 【答案】（1）；（2）6 【解析】 【分析】（1）利用根式与分数指数幂的转化和分数指数幂的运算公式化简计算即得； （2）由条件等式求得和，再代入计算即得. 【详解】（1） ； （2）由两边取平方，，即得， 再两边取平方，可得，即得. 故. 17. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【小问1详解】 当时，； 当时，， ． 【小问2详解】 若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 18. 已知函数满足对任意，恒成立． （1）求t的值． （2）证明：为奇函数． （3）已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增．设O为坐标原点，，，其中，且直线AB与x轴平行，记的面积为S，求S的取值范围． 【答案】（1）； （2） 由（1）得，函数的定义域为R， 而，所以为奇函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用恒成立的条件求出值. （2）利用奇函数的定义推理得证. （3）根据给定条件，可得，再求出三角形面积的函数关系并求出值域即得. 【小问1详解】 对任意，恒成立， 则对任意，恒成立， 因此且，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 得函数在上单调递增，在上单调递减， 由直线AB与x轴平行，得且，即， 整理得，则，即，， ，由，得 因此，即有， 所以S的取值范围为. 19. 若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制. （1）设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集； （2）设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据奇函数确定，再解不等式即可. （2）设，根据函数为偶函数，得到，不等式转化为，根据函数的值域和单调性计算最值得到答案. （3）确定函数的解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为，再考虑，，三种情况，分别计算综合得到答案. 【小问1详解】 设，则，函数为奇函数，故， ，则，， 函数为奇函数，满足， ，设，，解得或（舍） 即，解得，故 【小问2详解】 设，则，函数为偶函数， 故，故，， ，即， 设，，则，函数在上单调递减，在上单调递增，故， ， 即，函数在上单调递减， 故，故. 【小问3详解】 根据（1）（2）知：， 当时，，设，则，， 函数单调递增，， 时，，设，则，单调递增， 故，函数在上的偶函数， 故， 综上所述： ， 当时，即，即，解得； 当时，即，即，成立； 当时，即，即，解得； 综上所述： 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇仁一中2025级高一数学期中考试试卷 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版必修第一册第一章～第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ② 3. 下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，，，则三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则函数的解析式为（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数在上的最大值是5，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每个题目有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.） 9. 下列四个结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 命题“任意，则”的否定是“存在，则”． D. “”是“”的必要不充分条件 10. 已知函数的图象经过点，，则正确的是（ ） A. B. C. 曲线关于轴对称 D. 不等式的解集为. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 分别在区间与上单调递增 C. 当时， D. 的解集为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则_______. 13. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是___________. 14. 已知函数的最大值为M，最小值为m，则_______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的解析式； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 16. （1）求值：； （2）已知，求值：. 17. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数满足对任意，恒成立． （1）求t的值． （2）证明：为奇函数． （3）已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增．设O为坐标原点，，，其中，且直线AB与x轴平行，记的面积为S，求S的取值范围． 19. 若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制. （1）设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集； （2）设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $