精品解析：山东省菏泽市2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题（B）

2025—2026学年度第一学期期中考试 高三数学试题（B） 2025.11 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，结合题中定义可得结合. 【详解】因为集合，， 所以且. 故选：A. 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根复数的定义求出其共轭复数，再计算确定其复平面内对应的点的坐标. 【详解】已知，，，对应复平面内坐标点. 故选：D 3. 下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（ ） A. ，对应关系 B. ，对应关系 C. ，对应关系 D. ，对应关系 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：集合中的元素，按照对应关系在集合中没有实数与之对应，所以不是的函数； B：集合中的任何实数，按照对应关系在集合都有唯一的实数与之对应，所以是的函数； C：集合中非的实数，按照对应关系在集合都有两个实数与之对应，所以不是的函数； D：集合中的正奇数，按照对应关系在集合中没有自然数与之对应，所以不是的函数， 故选：B 4. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】因为，，所以， 由不等式的性质可得. 因此，的取值范围是. 故选：C. 5. 函数是（ ） A. 偶函数，且最小值为 B. 偶函数，且最大值为 C. 周期函数，且在上单调递减 D. 非周期函数，且在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AB选项；利用函数周期性的定义、复合函数的单调性可判断CD选项. 【详解】因为的定义域为， 因为，， 所以，即函数不是偶函数，AB选项都错； 因为， 故函数是周期函数， 因为， 当时，令，， 因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为减函数， 由复合函数的单调性可知，函数在上为减函数，C对D错. 故选：C. 6. 已知在点处的切线与轴平行，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可得出，结合题意得出，可得出，，即可得出的表达式，即可得出合适的选项. 【详解】因为，则， 由题意可知，则， 且， 又因为切点为，所以，又， 所以， 则， 故，D满足要求. 故选：D. 7. 在平行四边形中，已知，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义可求出，进而可得出的大小，再利用平面向量数量积的定义和运算性质可求得的值，即可得解. 【详解】在平行四边形中，，则，， 所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以 ，所以，故向量与的夹角的余弦值为， 故选：B. 8. 已知关于的方程在内有两个不等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为函数与在上有两个交点，再根据两个函数的图象分析可得答案. 【详解】因为方程在上有两个实数根 等价于在上有两个实数根， 等价于函数与在上有两个交点， 显然为一个交点， 结合与的图象，图象如下： 当经过点时，． 当与相切时，设切点为， 由，根据导数的几何意义得，又 ，所以， 令，所以， 所以在上递减，在上递增， 所以时取得最小值1，所以， 所以当时，函数与在上只有一个交点. 所以当时， 函数与在上有两个交点， 所以当时，关于的方程在上有两个实数根. 故选：B. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 已知都是正数，且，则 C. 若，则的最小值为 D. 若且，则的取值范围为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用不等式性质可知A错误；由基本不等式及取等条件可知B错误；根据指数函数值域和基本不等式可求得C正确；利用表示，结合可求得，将化为关于的式子，利用基本不等式可求得D正确. 【详解】对于A，，，又，，A错误； 对于B，，，（当且仅当时取等号）， 又，，B错误； 对于C，，，（当且仅当，即时取等号）， 即的最小值为，C正确； 对于D，，，解得：（舍）或； （当且仅当，即时取等号）， 的取值范围为，D正确. 故选：CD. 10. 设为复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】AD 【解析】 【分析】通过反例可说明BC错误；设，，根据模长运算和复数乘法运算可分析得到AD正确. 【详解】对于A，设，，则， ，即，，A正确； 对于B，令，，则，此时，B错误； 对于C，令，，则，此时，C错误； 对于D，设，，则， ，即，则； 若，则成立，此时； 若，，由知：；由知：；此时； 同理可知：当，时，； 若，，由得：，，此时； 综上所述：若，则或，D正确. 故选：AD. 11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】中心对称函数的性质，利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C，直接利用定义判断,求出对称中心点.选项D，不等式恒成立问题，根据的函数性质证明即可. 【详解】对于选项A，记． 因为，所以为奇函数，故选项A正确； 对于选项B，由选项A可知，从而， 所以，故选项B错误； 对于选项C，记．若为奇函数，则， ，即， 所以，即． 上式化简得，． 则必有，解得， 因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确； 对于选项D，由选项C可知，． 当时，是减函数，，所以 ， 故选项D正确． 故选：ACD． 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 已知“，”为真命题，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由参变量分离法可得出，求出函数在上的最小值，可得出实数的取值范围，即可得出实数的最小值. 【详解】因为“，”为真命题， 当时，由可得， 因为函数在上单调递减，则. 综上所述，，即实数的最小值为. 故答案为：. 13. 已知是的重心，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形重心的性质得到和的表达式，然后通过向量的数量积运算，将展开并进行化简，最终求出结果. 【详解】是的重心，，， 又，，， . 故答案为：. 14. 在中，已知，，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式以及正弦、余弦函数的有界性可得出、、的值，利用余弦定理可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】因为，即， 其中为锐角，且， 由，所以，， 因为，，则， 又因为，故， 因为，则，故，所以， 所以，， 因为，，则， 因为，则，所以，所以， 由余弦定理可得， 可得，故. 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求、的值； （2）对任意的，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由可求得的值，再由奇函数的定义可求得的值； （2）分析出函数为上的奇函数且为增函数，将所求不等式变形为，可出关于的不等式对任意的恒成立，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意知：是定义在上的奇函数，，， 即， 所以，，即对任意的恒成立，. 故：，； （2）由（1）知， 因此在上是增函数， 对任意的，恒成立， 可转化， 根据在上是奇函数可知恒成立. 恒成立，即恒成立， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 16. 在中，角、、的对边分别为、、，为锐角，且. （1）求角的大小； （2）再从下面①、②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积. ①，；②，. 注：如果选择①和②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 条件①：的面积为； 条件②：的面积为. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得出的值，结合已知条件可得出角的值； （2）选①，利用余弦定理可求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积；选②，利用正弦定理求出的值，并求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，则，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 条件①：，； 因为，，由（1）得， 所以根据余弦定理得，化简整理为，解得， 所以的面积； 条件②：，， 由（1）知，， 根据正弦定理得，所以. 因为， 所以， 所以的面积. 17. 如图，在中，，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，且，其中. 求的最大值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）1. 【解析】 【分析】(I）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算； (II）利用向量坐标运算，得到三角函数，根据三角函数求出最大值. 【详解】（Ⅰ） . （Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则，. 设，， 由， 得. 所以. 所以，， ， 因为，. 所以，当，即时，的最大值为. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性质，属于中档题． 18. 已知函数在处取得极值. （1）求实数、的值； （2）证明：在上有两个零点，且两个零点的和小于. 【答案】（1）， （2） 由（1），得， 令，， 因为当时，， 所以， 所以在上单调递增. 又，， 所以存在唯一的，使得， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 又，，， 所以存在，， 使得，所以有两个零点. 因为， 又，所以， 所以. 因为，在上单调递增， 所以在上单调递增，， 所以，所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，即可求得实数、的值； （2）利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得在上有两个零点、，推导出，可得出，由，结合函数在上的单调性可证得结论成立. 【小问1详解】 由，得. 由题意，得，，解得，， 经检验，符合题意. 【小问2详解】 略 19. 若定义在上的函数满足如下两条性质，则称为函数： ①对任意，且，使得； ②存在正数T，M，对任意，使得. （1）分别判断函数和是否为函数，并说明理由； （2）若函数满足性质②，求M的所有可能取值； （3）若为函数，，且.求证：. 【答案】（1） 函数是函数，函数不是函数，理由如下： 任意，且，， ，即，满足性质①. 对任意，使得，此时， 满足 ，，即存在正数满足性质②. 函数是函数. 任意，且，， ，即，满足性质①. 对任意，使得，此时不满足性质②. 函数不是函数. （2）. （3） 为函数，满足②，， 又，、、，， 又满足①，，即， ， 又，当时，；当时，， 综上所述. 【解析】 【分析】（1）依据题干的两条性质，即单调性和周期性变形特征，分别验证函数是否满足. （2）对于给定含三角函数的函数，利用函数性质②的等式展开化简，结合三角函数本身的性质，即可推导出参数的可能取值. （3）基于函数性质，由初始值递推后续函数值，再结合单调关系推导目标值，依据给定参数范围，确定最值取值范围，完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数满足性质②， ， ，即. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中考试 高三数学试题（B） 2025.11 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，若且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（ ） A. ，对应关系 B. ，对应关系 C. ，对应关系 D. ，对应关系 4. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数是（ ） A. 偶函数，且最小值为 B. 偶函数，且最大值为 C. 周期函数，且在上单调递减 D. 非周期函数，且在上单调递减 6. 已知在点处的切线与轴平行，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，已知，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ） A. B. 0 C. D. 8. 已知关于的方程在内有两个不等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 已知都是正数，且，则 C. 若，则的最小值为 D. 若且，则的取值范围为 10. 设为复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 已知“，”为真命题，则的最小值为__________. 13. 已知是的重心，，，，则______． 14. 在中，已知，，则的面积为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求、的值； （2）对任意的，都有恒成立，求的取值范围. 16. 在中，角、、的对边分别为、、，为锐角，且. （1）求角的大小； （2）再从下面①、②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积. ①，；②，. 注：如果选择①和②分别解答，按第一个解答计分. 17. 如图，在中，，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，且，其中. 求的最大值. 18. 已知函数在处取得极值. （1）求实数、的值； （2）证明：在上有两个零点，且两个零点的和小于. 19. 若定义在上的函数满足如下两条性质，则称为函数： ①对任意，且，使得； ②存在正数T，M，对任意，使得. （1）分别判断函数和是否为函数，并说明理由； （2）若函数满足性质②，求M的所有可能取值； （3）若为函数，，且.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $