浙江省北仑中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（2-17班）

北仑中学2025学年第一学期高二年级期中考试数学试卷 答案 (2-17班使用) 1.如果点M(c,)在运动过程中，总满足关系式Vx2+0y+3)》+Vx2+(0y-3)2=45,那么 点M的轨迹是() A.不存在 B.椭圆 C.线段 D.双曲线 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求解即可， 【详解】√2+0y+3)2+Vx2+0-3}=4V5表示平面内到点(0，-3)，(0,3)的距离之和为 4√5的动点M(x,y)的轨迹，由于3-(-3)=6<4√5，所以点M的轨迹是椭圆 故选：B 2.如图，在三棱锥P-ABC中，点D满足PB=4PD,CD=xAB+yAC+zAP,则 x-y+z=() D A A.月 3 7 B. 2 C.2 D. 【答案】C 【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算进行求解. 【详解】CD=而-C=B+即-C-+护-AC-丽-C+子， 4 4 A 所以=-l:改-+=2. 故选：C 3.已知等比数列{an}的公比g=2,a4=-8,则首项a=() A.2 B.1 C.-2 D.-1 【答案】D 试卷第1页，共19页 【分析】由等比数列通项公式求解即可. 【详解】由题意知首项a=2=-1 q 故选：D 4.若圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A、B,则AB所在直线方程是 () A.4x-4y+1=0B.4x-4y-1=0C.x+y-1=0 D.x-y+1=0 【答案】A 【分析】将两圆方程作差，可得出直线AB的方程. 【详解】因为圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A、B, 将这两圆方程作差可得4x-4y+1=0, 因此，直线AB的方程为4x-4y+1=0. 故选：A. 5.已知双曲线y =1,则顶点到渐近线的距离为() 97 A.47 B.4V6 C.37 D.36 3 3 4 4 【答案】C 【分析】写出双曲线的顶点和渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求解即可 【的解】双脚线号号-1的顶点坐标为+司，南近线方程为= V万t即 3x±√7y=0, 根据双曲线的对称性，取顶点(0,3)，渐近线3x+√7y=0, 0+3√7 根据点到直线的距离公式得顶点到渐近线的距离为 37 N9+7 4 故选：C 6、直线1与双曲线 -y2=1交于P,Q两点，线段PQ的中点为M(4,1),则直线l的方程为 4 () A.y=x-3 B.y=-x-3 C.y=x+5 D.y=-x+5 【答案】A 【分析】由点差法求出直线1的斜率，再由点斜式方程求解即可， 试卷第2页，共19页 【详解】设P(x,y),Q(x2,y2), 因为线段P9的中点为M(4,1),所以x+x2=8,y+y2=2, 足-=1 所以 两式相减可得： 三-= 足发=-片， 44 4 即s+区-=(y+)0-⅓)， 4 所以提空4即是山， x1-x2 所以直线1的斜率为1，所以直线1的方程为：y-1=x-4, 化简为：y=x-3，经检验符合题意. 故选：A. 7.若经过点(1,2)且半径大于1的圆与两坐标轴都相切，若该圆上至少有三个不同的点到直 线x+y+c=0的距离等于5-2√2，则实数c的取值范围是() A.[-4,4] B.[-66 C.[-146] D.[-12,8] 【答案】C 【分析】先由圆与两坐标轴相切和过点(L,2)求出圆的方程，再由圆的对称性得到圆上至少 有三个不同的点到直线x+y+c=0的距离等于5-22可转化为圆心到直线x+y+c=0的距 离d≤2√2，利用点到直线的距离公式列不等式求解即得. 【详解】由题意，可设圆心为(a,a),则半径为a,则a>l,圆的方程为 (x-a)2+(y-a)2=a2, 因该圆经过点(1,2)，则得1-a)2+(2-a)2=a2,解得a=5或a=1（舍去)， 故圆的方程为：(x-5)2+y-5)2=25, 因该圆上至少有三个不同的点到直线x+y+c=0的距离等于5-2√2， 故圆心到直线x+y+c=0的距离d≤25，即C+0≤2W2,解得-14≤c≤-6. √2 故选：C. 8.已知双曲线号-芳=1(a>0b0)的左，右袋点分别为5P为双击线上的一点，/ 试卷第3页，共19页 为△PFE的内心，且匠+2E=2P,则C的离心率为() A.3 B.2 C.5 D.2 【答案】D 【分析】 延长P到A且|IPPA,延长IE,到B且IE曰FB|,结合向量的线性关系知I是△ABE的 重心，根据重心和内心的性质，进而得到PF HFE=2PF,由双曲线定义得到齐次方程， 即可求离心率. 【详解】如下图示，延长P到A且|IPPA,延长IF到B且IF曰FB, 所以IE+2IE=2Pi,即匠+B+A=0, 故I是△ABF的重心，即S。AB=S。BE=SAB, S.AIR=2.PIS=2S.AB=4SP 所以S,Ps=Ss=2S,Ps,而I是aPFF的内心，则|PE日FE上2|PE, 由|P℉-PF,上2a,FE=2c,则1PF,=2a,故2c=4a,即e=C=2. a 故选：D 9.下列有关数列的说法正确的是（) A.已知数列{an}为等差数列，若a+a2s=2026,则ao3=1013 B.数列{an}的通项公式为a,=n(n-1),则110是该数列的第11项 C.在数列1，√2,5,2,5，，第8个数是22 D.数列{a,}的前n项和为S,已知S,=-n2+7n,{a}是递增数列 试卷第4页，共19页 【答案】ABC 10.已知椭圆c:+y 4+3 =1的右焦点为F,抛物线「以F为焦点，过F的直线1交抛物 线于A(x,y),B(x2y2)两点，下列说法正确的是() A.若x+2=8,则AB=10 B.BF=4FA,直线1的倾斜角为45或135 C.若M(4,2),P为抛物线T上一点，则PM+|PF的最小值为√13 D.4AF+BF的最小值为9 【答案】AD 【分析】A选项，先得到F(L,O)和抛物线方程，由焦半径公式得到AB=10:B选项，设 直线AB:x=y+1,联立y2=4x,得到两根之和，两根之积，根据y2=-4y,得到直线1 的斜率为±：C选项，根据焦半径公式转化为PM+P=PG+PA,数形结合得到最 4 小值，得到C错误：D选项，在B选项基础上得到、=1，由基本不等式得到 16 4AF+BF=4x+x3+5≥2V4x5,+5=9 【详解】A选项，由题意得F(1,0),故抛物线方程为y2=4x, 由抛物线定义得1AB=x+x2+2=8+2=10,A正确： B选项，由于直线I的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去， 设直线AB:x=y+1,联立y2=4x,得y2-4y-4=0, 设A(x,y),B(x2,2),由于BF=4FA,则y2=-4 由韦达定理得y1+y2=4m,yy2=-4, 故-3=4m,4=4,解得y=士m=-3 .3 故直线1的斜率为士， 倾斜角不为45°或135°，B错误； C选项，由题意得，准线方程为x=-1,过点P作PG垂直于直线x=-1于点G, 试卷第5页，共19页 由抛物线定义得PM=PG,故PM+|PF=PG+PF, 要想求得PM+PF列的最小值，则过点M作MQ垂直于直线x=-1于点Q, 故PM+PF的最小值为MQ,最小值为4+1=5，C错误： y G O F D选项，由题意得1=+山BF=。+1,由于=4，放55==1， 16 4AF+BF=4x+4+x2+1=4x+x2+5, 因为x,x>0,由基本不等式得4AE+BF=4x+2+5≥2V4x52+5=9, 当且仅当4x=x=2时，等号成立， 故4AF+BF的最小值为9，D正确. 故选：AD 【点睛】方法点晴：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： (1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解 决： (2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数， 再求这个函数的最值或范围。 11.如图，图中外形轮廓像阿拉伯数字8”的曲线叫双纽线，它不仅在数学曲线领域占有至 关重要的地位，同时也具有艺术美，是形成其他一些常见的漂亮图案的基石.图中双纽线 C的方程：(x2+y2)=9(x2-y2),对于此曲线，下列结论正确的是() A.曲线C关于原点对称 B.曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 D.若直线y=ax与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(-o,-1[L,+∞) 试卷第6页，共19页 【答案】ACD 【分析】将(-x,-y)代入曲线中证明关于原点对称判断A;先求出部分整点，再判断不存在 其他整点求解B,结合给定条件并利用放缩法得到x2+y2≤9，再设出曲线上的点到原点 的距离，解不等式得到≤3判断C,先找到特殊交点，再转化为方程有解问题，建立不等 式判断D即可. 【详解】对于A,设曲线C上任意一点P(x,y),则坐标满足曲线方程，即方程 (x2+y2)2=9(x2-y2）成立， 可得[(x2+(2了=9[(x-()2]成立， 即点P关于原点的对称点P'(-x,y)也适合曲线方程，所以曲线C关于原点对称，故A正 确： 对于B,方程(x2+y2)=9(x2-y2）可化为x+(2y2-9)x2+y2(y2+9)=0, 令t=x2,则方程为2+(2y2-9)t+y2(y2+9)=0, 由判别式△=(2y2-9°-4y(y2+9）=98y2-9列≥0，可得y≤？ 若y是整数，则y2=0或y2=1. 令y2=0,则x4-9x2=0,解得x=0或3或-3，有三个整点(0,0)，(3,0)，(-3,0)： 令y2=1,则x4-7x2+10=0,解得x2=2或5，此时无整点. 所以曲线C共经过3个整点，故B错误； 对于C,设曲线C上任一点P(x,y),当P为原点时，到原点的距离为O,满足题意： 当P不为原点时，x2+y2≠0，则由(x2+y2)=9(x2-y2)可得， 0<x2+y2 92-y）9 x2+y2 所以点P(xy)到原点的距离d=Vx2+y2≤3，且d>0. 综上，曲线C上任一点P(x,y)到原点的距离都不超过3，故C正确： 对于D,直线y=x恒过原点(0，O),且曲线C经过(0,0)，则直线与曲线至少一个公共 点， 又因为y=与曲线C只有一个公共点，故除原点外无其他公共点， 试卷第7页，共19页 联立 (x+y=9(-少)消y得x1+2-9x-)=0, y=kx, 当1-k2=0时，方程x4=0仅一解x=0,满足题意： 当1-k2≠0时，当x=0时，方程恒成立，即恒有一解， 91-k2) 当x≠0时，方程化简得x2 (1+2)21 即当1-k2<0时，方程无解，满足题意. 综上，1-k2≤0，解得k≥1或k≤-1，故D正确. 故选：ACD, 12.经过点A(√5，-2)和B(0,1)的直线1的倾斜角a为 【答案】120° 【详解】分析：先由直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据倾斜角的范围及倾斜角的正 切值等于斜率，求得倾斜角的值. 详解： 由直线的斜率公式得，经过点A(√5，一2)和B(0,1)的直线1的斜率为 --2=-5,又 0-V5 倾斜角大于或等于0°小于180°，倾斜角的正切值等于-√5， 故倾斜角等于120°， 点晴：本题考查直线的斜率公式以及倾斜角的范围、倾斜角与斜率的关系， 13.已知点P为直线1：3x-4y+12=0上的一点，过点P作圆C:(x-3)+(y-2)=1 的切线PM,切点为M,则切线长PM的最小值为 【答1号 【分析】分析可知CM1PM,由勾股定理可得PM=VPC-1,当PM取小值时， PC⊥1，求出圆心到直线的距离，作为PC的最小值，结合勾股求解即可. 【详解】由题意可知，圆C的圆心为C(2,3),半径为CM=1, 由圆的几何性质可知，CM⊥PM, 由勾股定理可得PM=VPC-CM=VPC-1, 所以要使切线长PM取最小值，只需PC取最小值即可. 试卷第8页，共19页 当直线PC与直线1：3x-4y+12=0垂直时，PC取最小值d= 19-8+12_13 32+(-4 25 2 则PM的最小值是 12 14.三棱锥D-ABC中，DC⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=CD=1,点P在三棱锥 D-ABC外接球的球面上，且∠APC=60°，则DP的最小值为 【答案】55 33 【分析】本题PD距离最小时，P点的位置不好确定，可考虑用空间直角坐标系来解决问 题， 【详解】如图所示： 分别取AD、AC的中点O、M,连接OM、BM,则OM∥CD, 由题意知OM⊥平面ABC,所以OM⊥AC,OM⊥BM 因为AB=BC,所以BM⊥AC,即OM、BM、AC两两垂直. 以0为幽标原点这立加图空时直角彩标系，期OQQ0).行怎o c9传9o s99 RtACD斜边AD=√5，易知O为三棱锥D-ABC外接球球 试卷第9页，共19页 心，且半径，=5 设点p(xy2),则2+y+z2-3 41 PA.PC 由题意cos∠APC PAPC x+y+ 3 x-v2y+ 1)2 2 X+ x=-cosa- 得6) y2 3 6 =1,可设 6 3 y= 9 3 2cosa+ 2W3 sina 63 故答案为： 3 【点睛】思路点睛： 直角模型找外接球球心可考虑斜边中点. 空间中的角可以转化为向量夹角进而转化为坐标之间的关系。 位置关系中的最值问题的常见思路之一为转化为函数，利用函数或基本不等式求最值， 15.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a=-7,S3=-9. (1)求{an}的通项公式： (2)在数列{口，}中依次取出下标能被4除余1的项组成数列凸.}，记{也，}的前”项和为T' 求T0 【答案】(1)an=4n-11 (2)T10=650 【分析】本题PD距离最小时，P点的位置不好确定，可考虑用空间直角坐标系来解决问 题 【详解】(1)解：等差数列{an}中，a1=-7,S3=-9, 试卷第10页，共19页 北仑中学2025学年第一学期高二年级期中考试数学试卷 （2-17班使用） 命题：高二数学备课组 审题：高二数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（   ） A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 2．如图，在三棱锥中，点满足，则（    ） A． B． C．2 D． 3．已知等比数列的公比，则首项（    ） A．2 B．1 C．-2 D．-1 4．若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线，则顶点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．若经过点且半径大于1的圆与两坐标轴都相切，若该圆上至少有三个不同的点到直线的距离等于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．下列有关数列的说法正确的是（   ） A．已知数列为等差数列，若，则1013 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列的前项和为，已知，是递增数列 10．已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．，直线的倾斜角为或 C．若为抛物线上一点，则的最小值为 D．的最小值为9 11．如图，图中外形轮廓像阿拉伯数字“8”的曲线叫双纽线，它不仅在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有艺术美，是形成其他一些常见的漂亮图案的基石．图中双纽线C的方程：，对于此曲线，下列结论正确的是（   ） A．曲线C关于原点对称 B．曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 D．若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．经过点和的直线l的倾斜角α为________. 13．已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为________. 14．三棱锥中，平面，，，点在三棱锥外接球的球面上，且，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)在数列中依次取出下标能被4除余1的项组成数列，记的前项和为，求. 16．如图，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求点A到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．已知椭圆，过C的右焦点F且垂直于长轴的弦AB的长为1，焦点F与短轴两端点构成等边三角形． (1)求椭圆的离心率； (2)设，为椭圆的左、右焦点，过，分别作直线，，且，若与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点（点，在轴上方），求四边形面积的最大值. 18．如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，． (1)求抛物线的方程； (2)如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为． ①若，求直线与平面所成角的正弦值； ②证明：三棱锥的体积为定值． 19．在单位圆上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，若，当点在圆上运动时，点的轨迹为椭圆，设分别是椭圆的左右顶点，点是直线上一动点，且满足直线与椭圆的另一个交点分别为两点，直线的斜率分别记为． (1)求椭圆的方程； (2)若，，求的最大值； (3)当两点在轴上方时，求四边形的面积的取值范围． 数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $