精品解析：江苏省南京市第二十九中学、盐城中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

南京市第二十九中学2025-2026学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷（2025.11） 试卷说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 若，则集合的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】是集合的子集，集合又是的子集，写出符合的集合即可. 【详解】由， 则集合可能是：，，，，共个， 故选：C. 2. 若集合，，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出指数函数的值域可得集合,求出根式函数得定义域可得集合，再由集合的并集定义计算即得. 【详解】因，， 故. 故选：A. 3. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由不等式的解集与不等式之间的关系，得出2和3是关于x的方程的两根，由韦达定理可求出a和b的值，再代入不等式，解出该不等式即可得出答案． 【详解】由题意可知，2和3是关于x的方程的两实根， 由韦达定理可得，解得， 所以不等式为不等式， 解得，所以解集为. 故选：D 4. 若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系. 【详解】对于集合，当时，， 当时，，所以. 故选：A. 5. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知在R上能成立，分类讨论参数，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，为真命题， 所以在R上能成立， 当，即时，在R上能成立，满足要求， 当，即时，的图象开口向上，满足要求， 当，即时，只需，则， 所以，即， 综上，. 故选：B 6. 著名的天文学家拉普拉斯曾经说过“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”，对数可以将乘除运算转化为加减运算，从而简化运算过程.在一次趣味表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.还未等主持人报出第一个数字，速算专家已经写出了答案：这个数的31次方根是13，他的秘诀就是：他记住了下面的表（表中常用对数为近似值），请你也试一试，一个20位整数的25次方根仍是一个整数，这个整数的25次方根是（ ） 真数 2 3 4 5 6 7 8 常用对数 0.30 0.48 0.60 0.70 0.78 0.85 0.90 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设这个整数的25次方根为x，则可得，利用对数运算并结合已知图表可求得，即可求得x的值，即得答案. 【详解】设这个整数的25次方根为x，则，N为20位整数， 则， 因为，故， 所以，由表可知， 即，故这个整数的25次方根是6. 故选：D 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，进而得，求出即可得. 【详解】令，则， 所以，则，可得（负值舍去）， 所以. 故选：C 8. 已知函数，若存在，使得成立，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可将可化为，又函数为减函数，则，分离参数得，求解即可. 【详解】因为函数， 可得函数减函数， 又当时，，则， 当时，，则， 所以可化为， 则，即， 若存在，则， 解得或， 所以的取值范围为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，不等式两边同乘一个正数不等号不变，；选项B，举反例；选项C，作差法判断；选项D，由，，两边同乘即可. 【详解】选项A，由， 由，得，选项A正确； 选项B，若，则不成立，B错误； 选项C，，因为， 所以，C正确； 由，得，即， 又因为，，两边同乘， 所以，选项D正确. 故选：ACD. 10. 若正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，将等式合理变形可知，解不等式可得，因此A正确；由解不等式可得，即B正确；易知，再利用基本不等式可得，即C错误；根据已知得，利用基本不等式得，所以D正确. 【详解】对于A，由可得，即； 可得，解得，即， 当且仅当时，等号成立；所以A正确； 对于B，由可得， 即可得， 所以，解得， 当且仅当时，等号成立；可知B正确； 对于C，由可知，由可得； 所以， 当且仅当，即时，等号成立，C错误； 对于D，由可得，， 则， 当且仅当时，等号成立，即D正确. 故选：ABD 11. 已知函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且（其中为常数，.函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用奇偶性构造方程组求函数解析式，根据指数函数的单调性及解析式判断单调性，应用换元法，将题设函数化为，利用二次函数的性质及区间最小值求参数，进而判断各项的正误. 【详解】由题意，又， 所以，，显然在R上单调递增，A错，B对， 则且， 令，当且仅当时取等号，则， 令， 的图象开口向上且对称轴为，， 当时，，满足， 当时，，显然不满足， 综上，，C对，D错. 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 幂函数的图象过点，那么的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，代入点的坐标求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】设，则，所以， 则，所以. 故答案为： 13. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用乘“1”的方法，根据基本不等式求得，则，求解即可. 【详解】因为 ， 当且仅当，即当且仅当时，等号成立， 所以， 因为不等式对任意恒成立， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知集合，集合满足：①每个集合恰有8个元素②.若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值与最小值之和为________. 【答案】210 【解析】 【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照幸运数的定义求解即可. 【详解】因集合满足：①每个集合恰有8个元素②.故集合中一定分别含有8个不同数值. 当集合中元素的最小值分别是6，7，8时，最大值为29，22，15时，幸运数的和最小， 此时，，幸运数为；，幸运数为；幸运数为， 则取得最小值为； 当集合中元素最小值分别是6，13，20时，最大值为29，28，27时，幸运数的和最大， 此时，，幸运数为；，幸运数为；幸运数为， 则取得最大值为. 故的最大值与最小值之和为. 故答案为：210. 四、解答题：本题共5题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）100；（2）. 【解析】 【分析】（1）由指数的运算性质即可计算求解； （2）由平方和公式和立方和公式即可计算求解. 【详解】（1）原式. （2）对两边平方得，所以， 再对两边平方得，所以 所以， 则. 16. 已知集合，. （1）若，求实数、的值； （2）若，，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知、，代入求得，进而确定，从而得，代入求得，注意验证，即可得； （2）由题设，根据包含关系有或或或，进而依次求出对应参数值，即可得. 【小问1详解】 由题设，显然，而， 所以，，解得，则， 因此，，解得，则， 综上，，符合题意，故，； 【小问2详解】 当时，， 由，得或或或， 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得，此时，符合题意； 当时，，无解， 所以实数的取值范围是. 17. 2025年第12届世界运动会于8月7日至8月17日在中国四川省成都市举行，是中国大陆第一次举办世界运动会，吸引了116个国家和地区近4000名运动员参赛，促进了体育与城市发展的融合.据调查，国内某公司出售一款2025年成都运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设订购的产品全部售出，且每件产品的最高售价为80元.若定价为最高售价，最多可以售出15万件，且定价每降1元，销量增加五千件.若订购该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若订购30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. （1）写出利润（万元）关于销量（万件）的函数解析式； （2）销量为多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】（1）； （2）销量为40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 【解析】 【分析】（1）根据已知依次写出、、对应的解析式，再用分段形式表示出来即可； （2）根据一次函数、二次函数的性质及应用基本不等式求最值，比较大小，即可得. 【小问1详解】 当时，， 当时，不妨设降价元，则，故， 因此， 当时，， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元， 而，所以当销量为40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）若，用定义证明单调性； （3）若（2）中的函数在区间上的值域是，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义列出方程求得的值，验证即得； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）根据（2）所得在上单调递增，结合条件得出方程组，依题可将，看成关于的方程的两个不等正根，进而得到关于的不等式组，求解即得. 【小问1详解】 由函数为奇函数，得，即， 有，整理得，解得， 当时，，函数的定义域为，，符合题意； 当时，，定义域为，，符合题意， 所以或 . 【小问2详解】 当时，，则， 不妨设，所以， 因为，则且， 即，即在上单调递增. 【小问3详解】 由上知在上单调递增，则得， 即得， 则，是关于的方程的两个不等正根， 所以，解得. 19. 如果存在常数，对于任意，都有成立，那么称该函数具有“变换”. （1）判断函数，是否具有“变换”，并说明理由； （2）若函数（且）的图象与函数的图象有公共点，证明：具有“变换”； （3）已知是定义域为的奇函数，且时，.若具有“1变换”，求实数的取值范围. 【答案】（1）、都具有变换，理由见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据变换的定义得到不等式恒成立，进而判断参数是否存在，即可得结论； （2）根据已知有存在常数，使得，结合指数的运算性质得，结合定义即可证； （3）应用奇函数的性质求解析式，再讨论、、，结合恒成立求参数范围. 【小问1详解】 若具有变换，则在上恒成立， 所以在上恒成立，显然时满足， 所以具有变换， 若具有变换，则在上恒成立， 显然存在时满足， 所以具有变换； 【小问2详解】 函数（且）的图象与函数的图象有公共点，显然， 即存在常数，使得，所以， 满足恒成立，故具有“变换”； 小问3详解】 若，则，故， 所以，又时， 所以， 由题意具有“1变换”，故恒成立， 当，则，即， 所以恒成立，而，则； 当，则，即， 所以恒成立，而， 所以； 当，则，即， 所以恒成立，而，则； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市第二十九中学2025-2026学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷（2025.11） 试卷说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 若，则集合的个数为（ ） A B. C. D. 2. 若集合，，（ ） A. B. C. D. 3. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 著名的天文学家拉普拉斯曾经说过“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”，对数可以将乘除运算转化为加减运算，从而简化运算过程.在一次趣味表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.还未等主持人报出第一个数字，速算专家已经写出了答案：这个数的31次方根是13，他的秘诀就是：他记住了下面的表（表中常用对数为近似值），请你也试一试，一个20位整数的25次方根仍是一个整数，这个整数的25次方根是（ ） 真数 2 3 4 5 6 7 8 常用对数 0.30 0.48 0.60 0.70 0.78 0.85 0.90 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在，使得成立，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A B. C. D. 10. 若正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是定义域为偶函数，是定义域为的奇函数，且（其中为常数，.函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 幂函数的图象过点，那么的值为________. 13. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为________. 14. 已知集合，集合满足：①每个集合恰有8个元素②.若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值与最小值之和为________. 四、解答题：本题共5题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 16. 已知集合，. （1）若，求实数、的值； （2）若，，求实数取值范围. 17. 2025年第12届世界运动会于8月7日至8月17日在中国四川省成都市举行，是中国大陆第一次举办世界运动会，吸引了116个国家和地区近4000名运动员参赛，促进了体育与城市发展融合.据调查，国内某公司出售一款2025年成都运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设订购的产品全部售出，且每件产品的最高售价为80元.若定价为最高售价，最多可以售出15万件，且定价每降1元，销量增加五千件.若订购该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若订购30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. （1）写出利润（万元）关于销量（万件）的函数解析式； （2）销量为多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）若，用定义证明的单调性； （3）若（2）中的函数在区间上的值域是，求的取值范围. 19. 如果存在常数，对于任意，都有成立，那么称该函数具有“变换”. （1）判断函数，是否具有“变换”，并说明理由； （2）若函数（且）的图象与函数的图象有公共点，证明：具有“变换”； （3）已知是定义域为的奇函数，且时，.若具有“1变换”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $