专题05 平面解析几何6大考点（期末真题汇编，浙江专用）高三数学上学期

专题05 平面解析几何 6大高频考点概览 考点01 直线和圆的方程 考点02 圆锥曲线中的离心率问题 考点03 圆锥曲线的性质 考点04 圆锥曲线中定点、定值和参数范围问题 考点05 圆锥曲线中面积相关问题 考点06 圆锥曲线中的探索性问题 地 城 考点01 直线和圆的方程 1．(24-25高三上·浙江宁波九校·期末)在平面直角坐标系中，若点到直线的距离不小于2，则的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 2．下列选项中的圆既与轴相切又与直线相切的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选题）(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知直线：和圆：，则（    ） A．当与圆相切时， B．当为圆的一条对称轴时， C．当时，与圆没有公共点 D．当时，被圆截得的弦长为 4．(24-25高三上·浙江丽水·期末)已知是双曲线的左，右焦点，过左焦点的直线交双曲线左支于两点（其中在轴上方，在轴下方），的内切圆半径为的内切圆半径为.若，则直线的斜率等于 . 地 城 考点02 椭圆和双曲线的离心率 1．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)设分别是双曲线 的左右焦点，过双曲线上一点作切线交轴于点，若，，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高三上·浙江杭州·期末)已知双曲线的右焦点为，一条渐近线被以为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 3．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，切点分别为M，N，且，则双曲线C的离心率是 . 5．如图，椭圆的右顶点A是抛物线的焦点，过A作x轴的垂线交于点B，线段BO与交于点D，F是焦点则的离心率 . 6．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知，是双曲线：（，）的左、右焦点，过作斜率为的直线交于点，且在第一象限，若（为坐标原点），则的离心率为 . 7．已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是 . 8．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)已知双曲线的两个焦点分别为、，，以为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的离心率是 ． 9．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)设双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，，若，则的离心率为 . 10．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)已知点F为椭圆的右焦点，不过F的直线l与椭圆相交于两点，且与圆在y轴右侧相切，则的周长为 ． 地 城 考点03 圆锥曲线的性质 1．（多选题）(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知曲线，下列说法正确的有（    ） A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 2．（多选题）(24-25高三上·浙江金华十校·期末)已知，为椭圆的右顶点和上顶点，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，圆的圆心在第一象限，且与轴相切于点，直线与圆的另一个交点为，直线（为坐标原点）垂直于直线，记椭圆的离心率为，则（   ） A．若且，则 B．若，则最大值为 C．是圆的切线 D．若为线段的中点，则 3．（多选题）(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)已知，是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，是椭圆的一条切线，切点为，，在直线上的投影分别为，，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）已知抛物线 的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，点为在上的射影．线段交轴于点，下列命题正确的是（    ） A．对于任意直线，均有 B．不存在直线，满足 C．对于任意直线，直线与抛物线相切 D．存在直线，使 5．（多选题）(24-25高三上·浙江慈溪·期末)胆式瓶创于南宋龙泉窑，康熙时期以郎红釉胆式瓶为贵.如图是18世纪的窑变红釉胆瓶，其优美的造型可看作图中曲线的一部分.已知曲线上的点到的距离与到轴的距离之积为6，若曲线上的点在第一象限，则（    ）    A．的最大值为 B． C．曲线的内接矩形的面积最大值为24 D．一个胆式瓶的剖面图可近似看作曲线（），若一正四面体可在胆式瓶内任意转动（忽略胆式瓶的厚度），则该正四面体棱长的最大值为4 6．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)设抛物线的焦点为，点. 若线段的中点在抛物线上，则焦点到准线的距离为 . 地 城 考点04 圆锥曲线中定点、定值和参数范围问题 1．(24-25高三上·浙江金华十校·期末)已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程是 (1)求双曲线的方程； (2)点为轴上一点，点是双曲线的右顶点，点是双曲线上异于顶点的一点，若是正三角形，求点的坐标. 2．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)已知抛物线，直线与C交于两点，与x轴交于点H，且 (1)若H的坐标为，求直线l的方程; (2)若点H关于原点的对称点为G，求的值. 3．双曲线左顶点为A，实轴长是虚轴长的2倍，其左焦点坐标为，过A点的两条直线分别交双曲线的右支于点P，Q，且 (1)求双曲线的方程； (2)（ⅰ）证明：直线PQ过定点； （ⅱ）直线AP，AQ，PQ分别交直线于点M，N，T，若，求PQ的直线方程. 4．等轴双曲线的顶点，到其渐近线的距离为过点作斜率为的直线l，l与的左、右支分别交于点A (1)求的方程; (2)若且求的值; (3)过点A再作斜率为的直线交双曲线于另一点C，若满足是坐标原点求k的取值范围. 5．(24-25高三上·浙江杭州·期末)已知椭圆过点，离心率为 (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点，与x轴交于点P，与y轴交于点Q， （ⅰ）若点M为线段AB的中点，求证：； （ⅱ）若原点O总在以AB为直径的圆外，求直线l斜率的取值范围. 地 城 考点5 圆锥曲线中与面积相关问题 1．(24-25高三上·浙江宁波九校·期末)如图，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M． （注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为）    (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线AB与切于点M，且； (3)当点在第三象限，且时，求的值． 2．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)已知椭圆：，两焦点和短轴一个端点构成边长为的正三角形． (1)求椭圆方程； (2)设直线：与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点直线：与椭圆交于不同的两点，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为． ①求的值； ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值． 3．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知是抛物线C：上一点，F是C的焦点，且. (1)求C的方程； (2)记O为坐标原点，斜率为1的直线与C交于A，B两点（异于点O），若，求的面积. 4．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)两条动直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，当的垂心恰是C的焦点时，. (1)求p； (2)若，弦中点为P，点关于直线的对称点N在抛物线C上，求的面积. 5．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知点是椭圆：（）上一点，的焦距为2. (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为0的直线，交于，两点，，是的左、右顶点，记直线，的斜率分别为，. （ⅰ）求的值； （ⅱ）设为直线与直线的交点，记的面积为，的面积为，求的最小值. 6．(24-25高三上·浙江丽水·期末)已知分别为椭圆的左，右焦点，为的上顶点，点为椭圆上的一个动点，且三角形面积的最大值为1，焦距为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过点作两直线分别与椭圆相交于点和点. （i）若点不在坐标轴上，且，求直线的方程； （ii）若直线斜率都存在，且，求四边形面积的最小值. 地 城 考点6 圆锥曲线中的探索性问题 1．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)在平面直角坐标系中，过椭圆 中心作斜率为的一条弦，将坐标平面沿轴折成一个直二面角. (1)求折起后的连线与轴所成夹角的大小； (2)若此椭圆的离心率为，且过点，求： （ⅰ）椭圆的标准方程； （ⅱ）设点，过点作平面的垂线，且，问：椭圆上是否存在点，使得三角形的面积与三角形的面积之比为最小？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由. 2．已知点，，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且，在下列条件中选择一个，并回答问题（1）和（2）． 条件①：；条件②：． 问题： (1)求曲线的方程； (2)是否存在一条直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平面解析几何 6大高频考点概览 考点01 直线和圆的方程 考点02 圆锥曲线中的离心率问题 考点03 圆锥曲线的性质 考点04 圆锥曲线中定点、定值和参数范围问题 考点05 圆锥曲线中面积相关问题 考点06 圆锥曲线中的探索性问题 地 城 考点01 直线和圆的方程 1．(24-25高三上·浙江宁波九校·期末)在平面直角坐标系中，若点到直线的距离不小于2，则的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由点可知，点A在圆上， 圆心到直线的距离， 由题意知，即，化简可得， 解得， 故选：B 2．下列选项中的圆既与轴相切又与直线相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A：圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以圆不与轴相切，故A错误； 对B：圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为：，所以圆与直线不相切，故B错误； 对C：圆心为，半径为，圆心到轴的距离为，到直线的距离为：，所以所给的圆既与轴相切又与直线相切，故C正确； 对D：圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为，所以圆与直线不相切，故D错误. 故选：C 3．（多选题）(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知直线：和圆：，则（    ） A．当与圆相切时， B．当为圆的一条对称轴时， C．当时，与圆没有公共点 D．当时，被圆截得的弦长为 【答案】BCD 【详解】圆：的圆心为，半径. A选项，若与圆相切，则，解得， 所以A选项错误. B选项，当为圆的一条对称轴时，在直线上， 所以，所以B选项正确. C选项，当时，到直线的距离为， 所以与圆没有公共点，所以C选项正确. D选项，当时，到直线的距离为， 所以弦长为，所以D选项正确. 故选：BCD 4．(24-25高三上·浙江丽水·期末)已知是双曲线的左，右焦点，过左焦点的直线交双曲线左支于两点（其中在轴上方，在轴下方），的内切圆半径为的内切圆半径为.若，则直线的斜率等于 . 【答案】/ 【详解】设的内切圆的圆心为，的内切圆的圆心为， 记边上的切点分别为， 由切线的性质可得：， 由双曲线定义得：，即， 则，又， 则，又，则，即， 同理可得，的内切圆也与轴相切于点. 连接，则与轴垂直，设圆与相切于点，连接， 过点作于，则， 设直线的倾斜角为，即，显然四边形有外接圆， 则，在中，， ，则， 所以直线的斜率. 故答案为： 地 城 考点02 椭圆和双曲线的离心率 1．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)设分别是双曲线 的左右焦点，过双曲线上一点作切线交轴于点，若，，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 连接，由双曲线的光学性质可知切线为的角平分线； 则， 又，所以， 所以 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 也即， 所以， 故选：D 2．(24-25高三上·浙江杭州·期末)已知双曲线的右焦点为，一条渐近线被以为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：双曲线：的一条渐近线不妨取：， 由双曲线：的一条渐近线被以为圆心，为半径的圆截得的弦长为，可得到的距离为， 所以，解得， 故双曲线C的离心率为 故选：B 3．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，直线与轴交于点，设，则. 因为， 所以, . 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，整理得， 则，解得. 故选：B 4．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，切点分别为M，N，且，则双曲线C的离心率是 . 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为：， 圆的圆心，半径为：b， 由题意可得圆心到双曲线渐近线的距离 ，得，即， ， 又， 所以，解得， 解得 故答案为： 5．如图，椭圆的右顶点A是抛物线的焦点，过A作x轴的垂线交于点B，线段BO与交于点D，F是焦点则的离心率 . 【答案】 【详解】令，直线：，在椭圆中，令，得， 点，在抛物线中，令，得， 由，得，即，而， 解得，所以的离心率 故答案为： 6．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知，是双曲线：（，）的左、右焦点，过作斜率为的直线交于点，且在第一象限，若（为坐标原点），则的离心率为 . 【答案】 【详解】 如图：因，可得， 因直线的斜率为，故， 由，故，， 故，得， 故答案为： 7．已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是 . 【答案】 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 因为点平分，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，则， 在直角中，，所以， 整理可得，所以， 在直角中，，所以， 所以，所以. 故答案为：. 8．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)已知双曲线的两个焦点分别为、，，以为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的离心率是 ． 【答案】/ 【详解】设直线与圆相切于点， 因为以为直径的圆过点，所以， 又圆与直线的切点为，所以，从而， 由 ，得，所以， 又，所以，解得， 因此离心率为， 故答案为：. 9．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)设双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，，若，则的离心率为 . 【答案】 【详解】根据双曲线的两条渐近线的倾斜角为，， 则，又，所以， 所以， 故. 故答案为： 10．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)已知点F为椭圆的右焦点，不过F的直线l与椭圆相交于两点，且与圆在y轴右侧相切，则的周长为 ． 【答案】 【详解】设，易知长半轴长，离心率； 若没有经过点，设，， 由椭圆性质和题意可知，，所以， .    由椭圆方程得， 代入上式有. ， 则， 同理，所以的周长. 故答案为：. 地 城 考点03 圆锥曲线的性质 1．（多选题）(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知曲线，下列说法正确的有（    ） A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【答案】ACD 【详解】对于A，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，A正确； 对于B，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，B错误； 对于C，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且，解得，C正确； 对于D，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且 ，解得，D正确. 故选：ACD 2．（多选题）(24-25高三上·浙江金华十校·期末)已知，为椭圆的右顶点和上顶点，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，圆的圆心在第一象限，且与轴相切于点，直线与圆的另一个交点为，直线（为坐标原点）垂直于直线，记椭圆的离心率为，则（   ） A．若且，则 B．若，则最大值为 C．是圆的切线 D．若为线段的中点，则 【答案】ACD 【详解】对于A，设，因为且，则， ，故A正确； 对于B，由椭圆的定义可得，由得， 由余弦定理可得 ，当且仅当时等号成立. 所以，最大值为，故B不正确； 对于C，由圆与轴相切于点，得，因为直线（为坐标原点）垂直于直线， 由圆的性质知为的垂直平分线，得，所以≌， 所以，所以是圆的切线，故C正确； 对于D，因为为线段的中点，所以，又， 所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 3．（多选题）(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)已知，是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，是椭圆的一条切线，切点为，，在直线上的投影分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于选项A：设切线上一动点为， 一方面根据椭圆定义得到， 当且仅当点在切点时，取到等号； 另一方面，设右焦点关于切线的对称点为， 设左焦点关于切线的对称点为， 则， 当且仅当点，，，三点共线时，取到等号； 所以，，三点共线，所以，故选项A正确； 对于选项B：由前面分析得到，同理， 所以，故选项B正确； 对于选项C：举反例说明，如取切点在椭圆上顶点时，则， 而所给椭圆中与的大小不确定，故选项C不正确； 对于选项D：设，，， 所以，，则， 又在中，， 化简得，即， 所以，故选项D正确. 故选：ABD. 4．（多选题）已知抛物线 的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，点为在上的射影．线段交轴于点，下列命题正确的是（    ） A．对于任意直线，均有 B．不存在直线，满足 C．对于任意直线，直线与抛物线相切 D．存在直线，使 【答案】AC 【详解】对于选项A，如图，由抛物线知为的中点，轴，所以为线段的中点， 由抛物线的定义知，所以，所以选项A正确； 对于选项B，设，，，，，为线段的中点，则， ，， 由，得， 解得，，又，，故，，， 可得，，故存在直线，满足，所以选项B不正确； 对于选项C，由题意知，为线段的中点，从而设，则， 直线的方程，与抛物线方程联立可得：， 又，代入整理得， 则，所以直线与抛物线相切，所以选项C正确； 对于选项D，设的方程，联立，则，所以，， 由， 而，由，得，解得：， 故，所以，所以选项D错误，    故选：AC． 5．（多选题）(24-25高三上·浙江慈溪·期末)胆式瓶创于南宋龙泉窑，康熙时期以郎红釉胆式瓶为贵.如图是18世纪的窑变红釉胆瓶，其优美的造型可看作图中曲线的一部分.已知曲线上的点到的距离与到轴的距离之积为6，若曲线上的点在第一象限，则（    ）    A．的最大值为 B． C．曲线的内接矩形的面积最大值为24 D．一个胆式瓶的剖面图可近似看作曲线（），若一正四面体可在胆式瓶内任意转动（忽略胆式瓶的厚度），则该正四面体棱长的最大值为4 【答案】ABD 【详解】设为曲线上任意一点，则. 对A：当时，，所以是的最大值，故A正确； 对B：由 ， 又点在第一象限，所以 ，故B成立； 对C：将曲线向下平移4个单位，所得曲线方程为，与原曲线形状一致. 设为新曲线上位于第一象限的一点，则曲线内接矩形的面积为， 因为，因为，所以. 即曲线内接矩形的面积小于24，故C错误； 对D：设正四面体的棱长为，则其外接球的半径为. 若要正四面体在胆式瓶内任意转动，需要圆与曲线相切，当时，两曲线在轴右侧且于点，故的最大值为4.故D正确. 故选：ABD 6．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)设抛物线的焦点为，点. 若线段的中点在抛物线上，则焦点到准线的距离为 . 【答案】 【详解】由可得， 因点是线段的中点，则， 又点在抛物线上，则得，解得， 故焦点到准线的距离为. 故答案为：. 地 城 考点04 圆锥曲线中定点、定值和参数范围问题 1．(24-25高三上·浙江金华十校·期末)已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程是 (1)求双曲线的方程； (2)点为轴上一点，点是双曲线的右顶点，点是双曲线上异于顶点的一点，若是正三角形，求点的坐标. 【详解】（1）因为渐近线方程是，得，， 又，，即，整理得， 解得：，，故双曲线方程为. （2） 设直线的方程为， 联立，可得，根据题意， 解得点纵坐标为，代入，解得， 所以， 设线段的中点为，依题意，则点的坐标为， 设点，因为是正三角形，所以有， ，，则由得，， 即，整理有：，所以①. 在正三角形中，有，由结合弦长公式得， ，化简得. 代入①可得，所以点或. 2．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)已知抛物线，直线与C交于两点，与x轴交于点H，且 (1)若H的坐标为，求直线l的方程; (2)若点H关于原点的对称点为G，求的值. 【详解】（1）设，，直线l：， 与C联立方程得，消去x得， 则 ①， ②， 由，得， 代入①得，， 代入②得，， 所以直线l：； （2）设点，， 则，， 由，得，即， 则，代入C得，则，， 所以，， 故 3．双曲线左顶点为A，实轴长是虚轴长的2倍，其左焦点坐标为，过A点的两条直线分别交双曲线的右支于点P，Q，且 (1)求双曲线的方程； (2)（ⅰ）证明：直线PQ过定点； （ⅱ）直线AP，AQ，PQ分别交直线于点M，N，T，若，求PQ的直线方程. 【详解】（1）由题意可得，，又， 解得，， 所以双曲线的方程为：. （2） （ⅰ）设，，，其中， 直线PQ与双曲线联立可得， 则，且， 因为， 代入整理得，故或， 代入得定点为或舍， 故直线PQ过定点； （ⅱ）根据（i）得直线PQ得方程为，则， 直线PQ与双曲线方程联立得， 则， 则直线，则， 则， 同理，又， 则，化简得， 因为，故， 则韦达定理代入得，化简得，即， 所以PQ的直线方程为 4．等轴双曲线的顶点，到其渐近线的距离为过点作斜率为的直线l，l与的左、右支分别交于点A (1)求的方程; (2)若且求的值; (3)过点A再作斜率为的直线交双曲线于另一点C，若满足是坐标原点求k的取值范围. 【详解】（1）由题意得解得 . （2）设 代入双曲线方程，得： 由韦达定理可得： 令，则， 所以解得 A，B三点共线， . （3）设 代入双曲线方程得： 由韦达定理，得，即 同理可得： C两点关于原点对称， 设 由韦达定理得： 解得：所以 5．(24-25高三上·浙江杭州·期末)已知椭圆过点，离心率为 (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点，与x轴交于点P，与y轴交于点Q， （ⅰ）若点M为线段AB的中点，求证：； （ⅱ）若原点O总在以AB为直径的圆外，求直线l斜率的取值范围. 【详解】（1）由题意得，又，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由题意可知：直线的斜率必定存在，故设直线 l的方程为， 联立方程， 整理得， 所以， （i）由，解得， 所以直线l的方程为， 令，得；令，得， 所以PQ的中点为， 即AB与PQ有相同的中点， 所以，命题得证； （ii）又 ， 则 ， 令，即，解得， 则直线l斜率的取值范围为 . 地 城 考点5 圆锥曲线中与面积相关问题 1．(24-25高三上·浙江宁波九校·期末)如图，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M． （注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为）    (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线AB与切于点M，且； (3)当点在第三象限，且时，求的值． 【详解】（1）的渐近线方程为，， 的渐近线方程为，， 所以，得，，所以双曲线的方程为． （2）已知，且满足， 设切点，，， 根据题意得，直线AB方程为． 直线AB与联立，得， 化简得，， 所以直线AB与切于点． 所以，． 直线AB与联立，得，即， 得， 所以，即为中点， 所以． （3）法一：因为，则， 直线与直线联立， 得，即， 将点代入， 得，化简得， 由得，， 所以． 法二：因为，，点与点关于原点对称，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以， ， 所以． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于直接算面积需要求出，或者利用三角形面积之间关系可转化为求，不论那种方法，都需要较强的运算能力. 2．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)已知椭圆：，两焦点和短轴一个端点构成边长为的正三角形． (1)求椭圆方程； (2)设直线：与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点直线：与椭圆交于不同的两点，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为． ①求的值； ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值． 【详解】（1）由题意，从而，， 所以椭圆方程为． （2）①由消得（*）， 由，得， 此时方程（*）可化为：， 解得：（由条件可知：，异号）， 设，则，， 即，所以， 因为直线， 由消得， 当时，方程有两个不相等的实根， 设，，则，， 因为，两点关于原点对称，所以， 所以，， 所以，故． ②设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则， 于是， 由①可知：，若四点围成的四边形为平行四边形， 则还需，即， 由①可知：，所以． 又，， 所以， 由可得：， 又，所以，即， 当时，； 当时，． 3．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知是抛物线C：上一点，F是C的焦点，且. (1)求C的方程； (2)记O为坐标原点，斜率为1的直线与C交于A，B两点（异于点O），若，求的面积. 【详解】（1）由题可知 解得，故C的方程为. （2）设的方程为，，， 联立方程组整理得， 则，. 因为，所以， 解得或（舍去）， 所以与轴的交点为， 则的面积. 4．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)两条动直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，当的垂心恰是C的焦点时，. (1)求p； (2)若，弦中点为P，点关于直线的对称点N在抛物线C上，求的面积. 【详解】（1）由的垂心恰是C的焦点，由抛物线对称性得，，而， 不妨设，而焦点，则，解得，所以. （2）由（1）知，， 由，解得，同理，则， 而，因此 所以P的轨迹方程为， 当时，不妨设，，此时，直线AB过点， 当时，直线AB的斜率为， AB的方程为，整理得，直线AB过点， 因此直线 AB过定点， 由可得，解得，于是或， 当时，MN的中点为，直线MN的斜率为， 此时直线AB的方程为，由解得或， 当时，直线AB为，不符合题意，舍去，则， ，边上的高，因此的面积， 当时，由对称性，同理可得， 所以的面积为. 5．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知点是椭圆：（）上一点，的焦距为2. (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为0的直线，交于，两点，，是的左、右顶点，记直线，的斜率分别为，. （ⅰ）求的值； （ⅱ）设为直线与直线的交点，记的面积为，的面积为，求的最小值. 【详解】（1）由题意知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）    （ⅰ）设直线的方程为，，， 由得，， 所以，， 所以， 由（1）得，， 则 . （ⅱ）设直线的直线方程为， 由（ⅰ）可知， 则直线的方程为，联立解得的横坐标为4. 所以 由（ⅰ）知，， ， 所以 ， 所以当时，的最小值为. 6．(24-25高三上·浙江丽水·期末)已知分别为椭圆的左，右焦点，为的上顶点，点为椭圆上的一个动点，且三角形面积的最大值为1，焦距为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过点作两直线分别与椭圆相交于点和点. （i）若点不在坐标轴上，且，求直线的方程； （ii）若直线斜率都存在，且，求四边形面积的最小值. 【详解】（1）由题意得，， 故，. 故椭圆的标准方程为. （2）如图： （i）设的倾斜角为的倾斜角为，则，所以， 又， 所以. 由题意的斜率不为零，设 联立得， 恒成立. 设，则 ， 又，所以， 即，所以， 因为，所以，所以的方程为 （ii）设， 联立，化简得，故恒成立. 由韦达定理得：， ， 因为，所以 同理 所以 ，当且仅当，即 时，取等号. 所以，当时，四边形面积的最小值为. 地 城 考点6 圆锥曲线中的探索性问题 1．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)在平面直角坐标系中，过椭圆 中心作斜率为的一条弦，将坐标平面沿轴折成一个直二面角. (1)求折起后的连线与轴所成夹角的大小； (2)若此椭圆的离心率为，且过点，求： （ⅰ）椭圆的标准方程； （ⅱ）设点，过点作平面的垂线，且，问：椭圆上是否存在点，使得三角形的面积与三角形的面积之比为最小？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）在折后的平面内作轴，因为坐标平面沿轴折成一个直二面角， 则折后平面底面，又因为平面底面，且平面， 则底面，则建立如图所示空间直角坐标系， 则由题意知，折后，，则， 轴的方向向量，则， 则，则连线与轴所成夹角的大小为， 所以是等腰直角三角形，即与轴所成夹角为. （2）（ⅰ）由离心率，                       不妨设，则，得：，， 所以椭圆的坐标方程为：.                        （ⅱ）在底面内过点作，垂足为，连， 则由坐标平面，即平面，因为平面，则， 又因为，且，平面， 所以平面，因为平面,所以，即. ， 则题意就是要使二面角的平面角最小， 即当最大时，最小.   假设这样的点存在，令，则： 当时，则， 当时，， 当且仅当是取到等号. 此时，的方程是，代入椭圆方程， 即联立，解得或（舍去） 则点. 2．已知点，，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且，在下列条件中选择一个，并回答问题（1）和（2）． 条件①：；条件②：． 问题： (1)求曲线的方程； (2)是否存在一条直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）若选条件①：点的坐标为，则，， 由题意可得，，化简得， 进而曲线的方程为． 若选条件②：设点的坐标为，则，， 由题意可得，，化简得， 进而曲线的方程为． （2）若选条件①：（ⅰ）若直线的斜率存在，设， 由，得， 则，即， 设，，则，． 因为以为直径的圆经过原点，所以，则， 即，整理得． ， 设为点到直线的距离，则，所以， 又，所以． （ⅱ）若直线的斜率不存在，则， 不妨设，则，代入方程，得， 所以，则． 综上，存在这样的直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点． 且． 若选条件②：（ⅰ）若直线的斜率存在， 设，由 得， 则，即， 设，，则，． 因为以为直径的圆经过原点，所以，则， 即，整理得． ， 设为点到直线的距离，则，所以， 又，所以． （ⅱ）若直线的斜率不存在，则， 不妨设，则，代入方程，得， 所以，则． 综上，存在这样的直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点． 且． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $