专题03 三角函数与解三角形、平面向量7大考点（期末真题汇编，浙江专用）高三数学上学期

专题03 三角函数和解三角形、平面向量 7大高频考点概览 考点01 三角恒等变换 考点02 三角函数的图象与性质 考点03 三角函数综合 考点04 正弦定理和余弦定理 考点05 解三角形综合 考点06 平面向量的平行与垂直 考点07 平面向量综合 地 城 考点01 三角恒等变换 1．(24-25高三上·浙江杭州·期末)已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故. 故选：C. 2．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，① ， 由可得，② ， 联立①，② ，解得，， 故. 故选：A. 3．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 4．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ， 所以 ， 即 ，所以. 故选：C 5．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为所以， 等式左边， 所以，即， 故． 故选：A. 6．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选: 7．（多选题）(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)下列各式计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对A：，故A满足； 对B：，故B不满足； 对C： ，故C满足； 对D：，故D满足. 故选：ACD 8．(24-25高三上·浙江金华十校·期末)已知角的终边经过点，则 . 【答案】/ 【详解】由题意可得， 由三角函数的定义可得， 所以. 故答案为：. 地 城 考点02 三角函数的图象与性质 1．(24-25高三上·浙江宁波九校·期末)如图，直线与函数交点的横坐标分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由图象知图象的对称轴为直线， 即，可得， 又图象的对称中心为，即， 所以，可得， 解得，又，所以， 所以，则. 故选：A 2．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：， 经过题中的一系列变换得到， 令，，解得：，， 对各项验证可得：当时，. 故选：D. 3．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以相邻两对称轴间的距离，即周期，所以， 排除BD， 当时，代入，可得，满足题意， 代入，可得，不符合题意， 故A正确C错误. 故选：A 4．(24-25高三上·浙江丽水·期末)已知函数，若存在常数，使得恒成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为存在常数，使得恒成立，所以. 即，所以， 得，解得，又， 所以的最小值是. 故选：D. 5．（多选题）(24-25高三上·浙江杭州·期末)已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意可得，解得，故A错误； 对于B，函数的解析式为：，故， 则，故B正确； 对于C，，， 所以，故C正确； 对于D，，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 6．（多选题）(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)已知函数的最大值为，则下列说法中，正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数图象的一个对称中心为 D．函数在区间上单调递减 【答案】AB 【详解】 ， ，其中， 因为的最大值为2，所以， 所以，得， 因为，所以，所以A正确， 所以 ， 对于B，由于，所以的最小正周期为，所以B正确， 对于C，令，则，当时，， 所以图象的一个对称中心为，所以C错误， 对于D，由，得，则， 因为在上递减， 所以在上单调递增，所以D错误. 故选：AB 7．（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的值域为 B．函数的一条对称轴为 C．若函数在上单调递增，则的取值范围为 D．设为函数的导数，则方程恰有4个不同的实数解 【答案】AC 【详解】对于A，因为， 所以函数的值域为，所以A正确; 对于B，因为， 所以不是它的对称轴方程，所以B错误; 对于C，因为，所以， 若函数在上单调递增， 则，则，所以C正确; 对于D，由题得， 因为直线过点， 所以是直线的对称中心， 又， 所以也是函数的图象的对称中心， 根据图象的对称性可知， 与交点个数只能为奇数， 所以D错误. 故选：AC. 8．（多选题）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】BD 【详解】由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错； ，则，将代入中得， 则，，解得，， 因为，所以，，， 所以是的对称轴，故B正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错； 该图象向右平移个单位可得，故D正确. 故选：BD 地 城 考点03 三角函数综合 1．已知 (1)求的最小正周期; (2)若锐角中，边AC上的高且求面积的取值范围. 【详解】（1） ， ； （2），即 所以或得舍 由边AC上的高， 根据正弦定理得： 是锐角三角形， ，， 2．(24-25高三上·浙江金华十校·期末)函数的的部分图象如图，且经过点，.    (1)求函数的解析式； (2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的值. 【详解】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得. 又得，，又因为， 所以，所以. （2）因为，又， 结合图像可知：，， 又，，由余弦定理可得. 在中，易求得， 由平方关系可得：. 所以. 3．(24-25高三上·浙江宁波九校·期末)（1）证明：； （2）当时，利用所给图形证明（1）中等式； （3）如图，的外接圆半径为1，，的一个外角的角平分线交外接圆于点D，过D作于点M，利用（1）中等式，证明：． 【详解】（1）由题意得，， ， 两式相加得，． （2）由题意得，线段的中点的坐标为． 如图，过作垂直于轴，交轴于，则，． 在中，，     在中，， ∴，即． （3）设，，，则，， ∴， 在中，由正弦定理得，，∴， 在中，由正弦定理得，，∴， ∴， 由（1）式，得． 地 城 考点04 正弦定理和余弦定理 1．(24-25高三上·浙江杭州·期末)锐角的内角所对的边分别为，角A的平分线交BC于点D，若，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，， 所以，即， 由余弦定理，， 由，整理得，解得或， 当时，，此时B为钝角，与为锐角三角形矛盾，舍去， 故，即D错误； 由，，，和余弦定理，可得， 因为A为三角形的内角，所以，故A正确； 此时，，故C正确； 因为AD为角A的平分线，设， 由，可得， 即得，解得，即，故B正确. 故选：D. 2．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，， 所以，又，即， 所以， 所以， 所以， 因为，即， 又（其中）， 所以，则， 即， 又，即，即， 又，所以，解得， 所以，解得， 所以. 故选：B 地 城 考点5 解三角形综合 1．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答. 问题：在中，内角所对的边分别为，，，，，且_____________，求的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】因为，可知角A是钝角， 又因为，则，可得. 选择条件①： 因为，即， 化简得，即， 由正弦定理得. 由，解得， 由余弦定理可得，所以. 选择条件②： 因为，由正弦定理可得， 整理可得，即. 由正弦定理得，由，解得， 由余弦定理可得，所以. 2．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)已知△中，是边上的点且，面积是面积的 倍. (1)求 的值； (2)若， ，求和的面积. 【详解】（1）如图： 由题意，为的角平分线，根据三角形角平分线的性质可知：， 又，， 所以，即. （2）设， 在中，因为，，所以，所以. 在中，，，所以， 所以. 所以，又，所以，. 在中，，，，因为，所以角为直角， 所以， 所以. 3．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)若的面积为，求 【详解】（1）由正弦定理得， 因为， 所以，解得， （2）由，得， 再由面积，得， 根据余弦定理得，解得 4．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求B的大小; (2)若，，成等差数列，且的外接圆半径为1，求的面积. 【详解】（1）因为， 所以， 又因为为锐角三角形，故，所以，即 （2）因为，，成等差数列，故，由正弦定理得，而， 结合余弦定理，将代入，解得， 因此为正三角形，而外接圆的半径为1，利用正弦定理可得 故的面积为 5．已知锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足. (1)求c的值； (2)若，求的值. 【详解】（1）法1：由可得： 化简得： 进一步整理得： . 又已知锐角，，； 法2：先证明 由正弦定理得： 由，可得：，； （2） ，得， . 6．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)已知在中，角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若为边上一点，且，求的值． 【详解】（1）依题意，， 由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 即， 所以，即， 因为，所以，所以，即． （2）不妨设，则， 因为，所以为等边三角形， 则， 由余弦定理得， 所以，解得或（舍去）， 所以． 7．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的值. 【详解】（1）由题意可知， 根据正弦定理得：，即， 则 由余弦定理可得， 则，因为是三角形内角，所以， 故； （2）因为，所以, 由三角函数恒等变换可知 由两角和的正弦公式、两角差的余弦公式可知 所以. 地 城 考点6 平面向量的平行与垂直 1．(24-25高三上·浙江宁波九校·期末)已知向量，，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为向量，， 所以，即， 解得或， 所以是的充分不必要条件， 故选：B 2．已知向量，若，则实数（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：向量， ， ， 解得， 故选：D 3．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】向量，，若，则有，解得. 故选：D. 4．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由向量，共线，得，而向量，不共线， 因此，解得. 故选：D 5．(24-25高三上·浙江金华十校·期末)已知向量与向量垂直，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题意可得， 所以. 故选：C. 地 城 考点7 平面向量综合 1．对于平面凸四边形，若，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D．大小不确定 【答案】A 【详解】因为，则， 可得， 设直线的夹角为， 则，可得， 所以四边形的面积为. 故选：A. 2．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)若不共线的平面向量，，两两夹角相等，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】向量，，两两所成的角相等且不共线， 向量，，两两夹角为， ， 则， 故选： 3．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B． C．8 D． 【答案】C 【详解】如图，过点O作于D，可知， 则， 故选：C 4．若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条件可知，两边平方后得， 并且，. 因为向量夹角的范围是，所以向量与的夹角为. 故选：A. 5．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为，则向量（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【详解】依题意，在上的投影向量为，即，则， 又 ，则， 解得，由 ，解得. 故选：B 6．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意： . 故选：C 7．(24-25高三上·浙江丽水·期末)已知点，向量，向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为向量，， 则， ， 因为，所以，解得，∴. 故. 故选：D. 8．已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是 写一个即可 【答案】 【详解】设 则满足方程的点均可. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数和解三角形、平面向量 7大高频考点概览 考点01 三角恒等变换 考点02 三角函数的图象与性质 考点03 三角函数综合 考点04 正弦定理和余弦定理 考点05 解三角形综合 考点06 平面向量的平行与垂直 考点07 平面向量综合 地 城 考点01 三角恒等变换 1．(24-25高三上·浙江杭州·期末)已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)下列各式计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高三上·浙江金华十校·期末)已知角的终边经过点，则 . 地 城 考点02 三角函数的图象与性质 1．(24-25高三上·浙江宁波九校·期末)如图，直线与函数交点的横坐标分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D．1 2．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（   ）    A． B． C． D． 4．(24-25高三上·浙江丽水·期末)已知函数，若存在常数，使得恒成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）(24-25高三上·浙江杭州·期末)已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)已知函数的最大值为，则下列说法中，正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数图象的一个对称中心为 D．函数在区间上单调递减 7．（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的值域为 B．函数的一条对称轴为 C．若函数在上单调递增，则的取值范围为 D．设为函数的导数，则方程恰有4个不同的实数解 8．（多选题）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 地 城 考点03 三角函数综合 1．已知 (1)求的最小正周期; (2)若锐角中，边AC上的高且求面积的取值范围. 2．(24-25高三上·浙江金华十校·期末)函数的的部分图象如图，且经过点，.    (1)求函数的解析式； (2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的值. 3．(24-25高三上·浙江宁波九校·期末)（1）证明：； （2）当时，利用所给图形证明（1）中等式； （3）如图，的外接圆半径为1，，的一个外角的角平分线交外接圆于点D，过D作于点M，利用（1）中等式，证明：． 地 城 考点04 正弦定理和余弦定理 1．(24-25高三上·浙江杭州·期末)锐角的内角所对的边分别为，角A的平分线交BC于点D，若，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D．1 地 城 考点5 解三角形综合 1．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答. 问题：在中，内角所对的边分别为，，，，，且_____________，求的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 2．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)已知△中，是边上的点且，面积是面积的 倍. (1)求 的值； (2)若， ，求和的面积. 3．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)若的面积为，求 4．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求B的大小; (2)若，，成等差数列，且的外接圆半径为1，求的面积. 5．已知锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足. (1)求c的值； (2)若，求的值. 6．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)已知在中，角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若为边上一点，且，求的值． 7．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的值. 地 城 考点6 平面向量的平行与垂直 1．(24-25高三上·浙江宁波九校·期末)已知向量，，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知向量，若，则实数（   ） A．1 B． C． D． 3．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（    ） A．6 B．4 C． D． 5．(24-25高三上·浙江金华十校·期末)已知向量与向量垂直，则（   ） A．1 B． C． D．2 地 城 考点7 平面向量综合 1．对于平面凸四边形，若，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D．大小不确定 2．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)若不共线的平面向量，，两两夹角相等，且，，，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B． C．8 D． 4．若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为，则向量（    ） A．2 B． C． D．1 6．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高三上·浙江丽水·期末)已知点，向量，向量，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是 写一个即可 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $