精品解析：江苏省连云港市赣榆区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025~2026学年度第一学期期中学业水平质量监测 九年级数学试题 （本试卷满分150分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则　　 A. B. C. D. 2. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，弦交于点E，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 半径为2的圆内接正方形的边长是（　　） A. 2 B. 4 C. D. 6. 如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点O，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 等弧对等弦 B. 长度相等的弧是等弧 C. 等弦对等弧 D. 平分弦的直径垂直于这条弦 8. 如图，线段的半径为1，当从点A沿着滚动到D点时圆心O经过的路径长是（ ） A. 8 B. 9 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 一组数据3，5，8，的极差是______． 10. 关于 x 的一元二次方程有一根为，则 n 的值为____________． 11. 如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面积为_______． 12. 某小区2023年有私家车100辆，预计2025年达到144辆，若年平均增长率为 x ，则可列方程为______________． 13. 某校规定学生学期的体育成绩由三部分组成：平时体育活动表现、体育理论测试、体育技能测试，三项成绩按的比例计入总成绩．小颖的上述三项成绩依次是分、分、分，则小颖的体育成绩是_______分． 14. 设是方程的两个根，且，则m＝______． 15. 如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________． 16. 如图，在矩形中，，，点分别是边上的动点，且，点是的中点，连接，则四边形面积的最小值为______ 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，在的内接四边形中，，． 求证：四边形是矩形． 18. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 19. 甲、乙两名同学进行射击练习，在相同条件下各射靶10次，其中9环以上（含9环）为优秀，将射击结果统计如下表： 命中环数 5 6 7 8 9 10 甲命中环数的次数 1 4 2 1 1 1 乙命中环数的次数 1 2 4 2 1 0 （1）补充完成下面的统计表： 平均分 方差 中位数 优秀率 甲 7 ______ 6.5 20% 乙 ______ 1.2 ______ 10% （2）甲同学说：“我的优秀率比乙高，所以我的成绩比乙好”；乙同学说：“我的成绩比甲好”．写出两条支持乙同学观点的理由． 20. 几何学中三角形有五心：内心、外心、重心、垂心、旁心，其中三角形旁心的定义：三角形一个内角的平分线与另外两个内角的外角平分线的交点是旁心． （1）根据三角形旁心的定义，用无刻度的直尺和圆规作出图①中的一个旁心O； （2）过旁心O作于点D，以点O为圆心， 以为半径画， 求证：是的切线． 21. 已知关于x的方程（m为常数）． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为3，则m的值为______． 22. 如图，为的直径，弦平分，过点D作于点E． （1）与的有怎样的位置关系？并说明理由？ （2）若，，求此圆的半径． 23. 某草莓采摘园收费信息如下表： 成人票 儿童票 草莓价格 不超过8人，30元/人；超过8人每增加1人，人均票价下降2元，但不低于儿童票价． 20元/人 30元/斤 采摘说明：购票进入采摘区的所有人员，可以边采边吃，带出采摘园的草莓需按价购买． （1）周末，5个成人带领4个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩，最后又按价一共购买了8斤草莓，则该团需支付的总费用 元； （2）某公司员工（均为成人）在该草莓采摘园组织活动，共支付票价252元，求这次参加活动的共多少人？ 24. 如图， 为直径，D是弦的延长线上一点， 且，的延长线交于E． （1）求证：； （2）若，，求、、围成图形的面积． 25. 阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． （1）当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； （2）当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． （3）如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 26. 以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）； ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）． （1）在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆， （2）在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上； （3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（连接，补全以下证明框图） （4）如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中学业水平质量监测 九年级数学试题 （本试卷满分150分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案． 【详解】关于x的方程是一元二次方程， ． 故选D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键． 2. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径为，圆心O到直线l的距离d，为， ∴， ∴圆与直线l相交，直线l与圆有两个交点， 故选：C． 3. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．根据题意可得出，解不等式即可得出答案． 【详解】解：整理得：， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 4. 如图，是的直径，弦交于点E，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，连接，先由直径所对的圆周角是直角得到，进而根据同弧所对的圆周角相等得到，即可利用三角形内角的性质得到即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接， ∵ ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选：A． 5. 半径为2的圆内接正方形的边长是（　　） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接正方形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是明确圆的直径与正方形对角线的关系，并利用勾股定理计算正方形边长． 先根据圆的半径求出直径，圆内接正方形的对角线等于圆的直径；再设正方形边长为未知数，利用勾股定理建立方程；最后求解方程得到正方形边长． 【详解】解：已知圆的半径为2，则圆的直径为，即圆内接正方形的对角线长为4． 设正方形的边长为，根据勾股定理，正方形对角线的平方等于两条边长平方之和，可得，即 ，化简得，解得：（边长为正数，舍去负根）． 故选：D． 6. 如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点O，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角与外角，掌握正八边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 根据正八边形的性质以及圆周角定理进行计算即可． 【详解】解：如图，由正八边形的对称性可知，点是正八边形的中心， 所以， 故选：B． 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 等弧对等弦 B. 长度相等的弧是等弧 C. 等弦对等弧 D. 平分弦的直径垂直于这条弦 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括等弧、等弦的定义及垂径定理的应用．根据等弧、等弦的定义及垂径定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、等弧对等弦，故本选项正确，符合题意； B、长度相等的弧不一定能完全重合，故本选项错误，不符合题意； C、等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误，不符合题意； D、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 8. 如图，线段的半径为1，当从点A沿着滚动到D点时圆心O经过的路径长是（ ） A. 8 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键． 根据题意，得出圆心O的运动规律，再结合弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示， ， ， 的长为， 因为， 所以， 则． 在中， 因为， 所以， 所以， 所以圆心O经过的路径长是：． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 一组数据3，5，8，的极差是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查极差，掌握极差的定义是关键．先找出最大和最小的数，再算极差即可． 【详解】解：， 这组数据的极差是， 故答案为：． 10. 关于 x 的一元二次方程有一根为，则 n 的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】把代入原方程，解关于n的一元一次方程即可． 【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程有一根为， ∴， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义，灵活代入计算是解题的关键． 11. 如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式． 由题意可知圆锥的母线长为，底面圆直径为，进而根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知圆锥的母线长为，底面圆直径为， ∴底面圆半径为， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为：． 12. 某小区2023年有私家车100辆，预计2025年达到144辆，若年平均增长率为 x ，则可列方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，掌握有关增长率的求解公式． 根据2023年私家车数量（增长率）2025年私家车数量建立方程． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 13. 某校规定学生学期的体育成绩由三部分组成：平时体育活动表现、体育理论测试、体育技能测试，三项成绩按的比例计入总成绩．小颖的上述三项成绩依次是分、分、分，则小颖的体育成绩是_______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据三项成绩的比例，计算加权平均数。 【详解】解：平时体育活动表现、体育理论测试、体育技能测试的比例为，总份数为， 小颖的体育成绩是， 故答案为：． 14. 设是方程的两个根，且，则m＝______． 【答案】2 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得，结合可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 15. 如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理和三角形的外角定理是解题的关键． 连接，由圆周角定理和三角形的外角定理得到，即可求解，再由即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴的度数为， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，点分别是边上的动点，且，点是的中点，连接，则四边形面积的最小值为______ 【答案】142 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，由，点是的中点，，则在以为圆心，为半径的弧上，当运动到时， 最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积，解题的关键是利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 【详解】如图，连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的弧上，当运动到时， 最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，即四边形面积的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，在的内接四边形中，，． 求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质与判定，圆内接四边形的性质，先证明四边形是平行四边形，，再由平行四边形的性质推出，根据圆内接四边形对角互补得到，则，据此可证明平行四边形是矩形． 【详解】略 18. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）移项后用直接开平方法求解即可； （2）用配方法求解即可； （3）移项后用因式分解法求解即可； （4）变形后用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 ， ， 解得； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 解得， ； 【小问3详解】 ， ， ， 或， 解得； 【小问4详解】 ， ， ， 或， 解得． 19. 甲、乙两名同学进行射击练习，在相同条件下各射靶10次，其中9环以上（含9环）为优秀，将射击结果统计如下表： 命中环数 5 6 7 8 9 10 甲命中环数的次数 1 4 2 1 1 1 乙命中环数的次数 1 2 4 2 1 0 （1）补充完成下面的统计表： 平均分 方差 中位数 优秀率 甲 7 ______ 6.5 20% 乙 ______ 1.2 ______ 10% （2）甲同学说：“我的优秀率比乙高，所以我的成绩比乙好”；乙同学说：“我的成绩比甲好”．写出两条支持乙同学观点的理由． 【答案】（1）2.2，7，7 （2） 从平均水平看，甲、乙两名学生射击的环数平均数均为7环，水平相当； 从集中趋势看，乙的中位数比甲大，乙的成绩比甲的好些；从稳定性看，，所以乙的成绩比甲稳定． 【解析】 【分析】此题主要考查了学生对方差、平均数、中位数的理解及运用能力，正确求出方差是解题关键． （1）根据方差、平均数、中位数的定义分别求出； （2）从集中趋势和稳定性两个方面来考查两人的成绩． 【小问1详解】 解：甲的方差为：， 乙学生的平均数为：（环）； ∵中间两个数为7，故中位数为7； 故答案为：2.2，7，7． 【小问2详解】 略 20. 几何学中三角形有五心：内心、外心、重心、垂心、旁心，其中三角形旁心的定义：三角形一个内角的平分线与另外两个内角的外角平分线的交点是旁心． （1）根据三角形旁心的定义，用无刻度的直尺和圆规作出图①中的一个旁心O； （2）过旁心O作于点D，以点O为圆心， 以为半径画， 求证：是的切线． 【答案】（1） 如图，点即为所求： （2） 证明：过点作于点，连接 ∵为旁心， ∴平分， 又∵，， ∴ ∵是半径， ∴是半径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的性质定理，圆的切线的判定，正确作出旁心是解题的关键． （1）分别作出的平分线和的外角平分线，其交点即为点； （2）过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知关于x的方程（m为常数）． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为3，则m的值为______． 【答案】（1） 证明：， 即有， 不论m取何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，解一元二次方程，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系求解，即可解题； （2）利用因式分解法解一元二次方程，再结合题意列式求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即或， 解得，， ，且该方程的两个实数根的差为3， ， 解得． 故答案为：． 22. 如图，为的直径，弦平分，过点D作于点E． （1）与的有怎样的位置关系？并说明理由？ （2）若，，求此圆的半径． 【答案】（1） 解：与相切，证明如下： 如图，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， 则， 又∵， ∴， ∴与相切； （2）圆的半径是5 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，切线的判定定理，角平分线的性质定理，勾股定理． （1）连接，根据角平分线的定义得到，根据等边对等角得到，则，根据得到，即可得到与相切； （2）圆的半径是r，过点D作垂直，根据角平分线的性质定理得到，证明，得到，则，在中，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设圆的半径是r， 如图，过点D作垂直， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 解得：． 23. 某草莓采摘园收费信息如下表： 成人票 儿童票 草莓价格 不超过8人，30元/人；超过8人每增加1人，人均票价下降2元，但不低于儿童票价． 20元/人 30元/斤 采摘说明：购票进入采摘区的所有人员，可以边采边吃，带出采摘园的草莓需按价购买． （1）周末，5个成人带领4个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩，最后又按价一共购买了8斤草莓，则该团需支付的总费用 元； （2）某公司员工（均为成人）在该草莓采摘园组织活动，共支付票价252元，求这次参加活动的共多少人？ 【答案】（1）470 （2）这次参加活动的共9人 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），用成人总票价加上儿童总票价，再加上草莓的总价即可； 对于（2），先判断总人数超过了8人，再设超出的人数为x人，根据总票价相等列出方程，求出解，再根据题意得出答案． 【小问1详解】 解：因为， 所以（元）. 故答案为：470； 【小问2详解】 解：（元），，总人数超过了8人 设超出的人数为x人，根据题意，得 解得：， 当时，单价：（元），，所以舍去， 则， 所以总人数为9人． 24. 如图， 为直径，D是弦的延长线上一点， 且，的延长线交于E． （1）求证：； （2）若，，求、、围成图形的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴C是的中点， ∴， 则． （2）+ 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质证明可得结论； （2）连接，证明是等边三角形，推出、、围成图形的面积的面积扇形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过点作于点． ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 则、、围成图形的面积． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 25. 阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． （1）当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； （2）当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． （3）如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 【答案】（1），小， （2），大， （3）当宽是，高是时，窗户的透光面积最大 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用及不等式的基本性质，熟练掌握配方法变形二次三项式及不等式的基本性质是解题的关键． （1）利用利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解； （2）先利用配方法将二次三项式变形，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解； （3）窗框的宽度为，则高度为，则，利用配方法变形二次三项式，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 当，即时，代数式有最小值， 故答案为：，小，； 【小问2详解】 ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值， 故答案为：，大，； 【小问3详解】 窗框的宽度为，则高度为， 窗户的透光面积 ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值，即窗户的透光面积最大为， 此时窗框的高为， 答：当宽是，高是时，窗户的透光面积最大． 26. 以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）； ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）． （1）在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆， （2）在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上； （3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（连接，补全以下证明框图） （4）如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上． 【答案】（1）直角三角形斜边中线等于斜边的一半； （2） 证明：假设点C落在⊙O外，交于点E，连接， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角． ∴，相互矛盾，故点在圆上； （3），B、E、D、C，； （4） 证明：如图，连接由结论可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆， 又∵点D，E，F在同一条直线上， ∴， ∴， 由结论可得点A、B、C、P四点共圆即点P在的外接圆上． 【解析】 【分析】本题考查四边形外接圆的综合问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角性质等知识，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够综合运用． （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据结论可知，再利用得到，利用外角性质可得，相互矛盾即可证明点C在圆上； （3）以四点作圆，以四点作圆，连接，得到，，再利用，得到，即可证明； （4）连接，由结论可得点四点共圆，点四点共圆，证明，由结论可得点四点共圆，即点在的外接圆上． 【小问1详解】 解：由题意可得：根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，即A，B，C，D共圆， 故答案为：直角三角形斜边中线等于斜边的一半； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、四点作圆，连接，如图： ∵A、E、H、D四点共圆， ∴， ∵B、E、D、C四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是的高， 故答案为：，B、E、D、C，； 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $