专题01 集合和常用逻辑用语7大题型（专题专练）（全国通用） 2026年高考数学二轮复习讲练测

专题01 集合和常用逻辑用语 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01元素与集合及元素特性 题型02集合间的基本关系 题型03集合的基本运算 题型04充分条件与必要条件 题型05全称量词与存在量词 题型06集合新定义 题型07以集合与常用逻辑用语为载体的创新题 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1．（集合的概念）（2025·江西·模拟预测）8月20日《黑神话悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（    ） A．游戏中会变身的妖怪 B．游戏中长的高的妖怪 C．游戏中能力强的妖怪 D．游戏中击败后给奖励多的妖怪 【答案】A 【分析】根据集合的确定性依次判断选项即可. 【详解】对A：游戏中会变身的妖怪可以构成集合，故A正确； 对B、C、D：不满足集合的确定性，故不能构成集合，故B、C、D错误. 故选：A. 2．（集合的基本运算）（2025·四川广安·模拟预测）设集合，，则等于（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据和两种情况判断得出. 【详解】分两种情况： 当时，；当时， 故或 故选：B 3．（集合的基本运算）（（2025·吉林长春·一模）已知集合{高，考，必，胜}，{吉，大，必，胜}，则（   ） A．{吉，大，高，考} B．{必，胜} C．{金，榜，题，名} D．{吉，大，高，考，必，胜} 【答案】D 【分析】根据并集的含义即可得到答案. 【详解】根据并集的含义得{吉，大，高，考，必，胜}. 故选：D. 4．（集合的基本运算）（2025·广东·二模）对于任意集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦恩图进行判断即可得到结果. 【详解】 对于：如图所知，为区域①，所以，故错误； 对于：为区域①和③；为区域③，为区域①，则也为为区域①和③；两边相等，故正确； 对于：为区域①，为区域①，不等于区域②（区域②为），故错误； 对于：为区域①和③；而为区域③，为区域①，所以为空集，所以错误； 故选：. 5．（集合间的关系及基本运算）（2025·广东·模拟预测）已知集合，，则（    ） A．当时，集合含有2个元素 B．集合中的元素个数可能为5 C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据各选项的条件，可验证AD正确；通过举例子可判断B正确；通过举反例可排除C项. 【详解】对于A，当时，则，，此时，故A正确； 对于B，取，，则，，此时，故B正确； 对于C，取，，此时，，，而有，故C错误； 对于D，当时，，， 根据集合元素的互异性，必有， 若，则两集合除0外的元素也应相同，即， 这需要满足“且”（显然不成立）或“且”，后者要求， 与集合B元素互异性的要求矛盾，故假设不成立，因此，故D正确， 故选：ABD． 6．（集合新定义·多选题）（2025·陕西·模拟预测）定义集合运算：.若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出后可求得，故可得正确的选项 【详解】由题设可得，， 因为，，，， 故， 故选：D. 7．（集合新定义）（2025·湖南·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 【答案】C 【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解. 【详解】集合中，，则， 即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集； 集合，， ， 即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集. 故选：C 8．（集合新定义·多选题）（2025·湖南邵阳·模拟预测）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作.以下说法正确的是（    ） A．若数集中有2025个元素，则一定存在 B．若数集中没有最大值，则不存在 C．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 【答案】AC 【分析】根据集合的上确界的概念判断A，结合反比例函数的性质利用集合的上确界的概念判断B，结合不等式的性质利用集合的上确界的概念判断C，举反例判断D. 【详解】对于，若数集中有2025个元素，则数集中的元素一定有最大值， 数集一定有上确界，故A正确； 对于B，若，当时，， 则数集中的元素没有最大值， ，都有，， ，即数集中有上确界，故B错误； 对于C，若数集A，B有上确界，设，， 由上确界的定义可知，对于，，都有，，， 即，故正确； 对于D，若，，则数集A，B有上确界，且，， 此时， 则，故D错误. 故选：AC 9．（充分条件与必要条件）（24-25高三上·浙江·模拟预测）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件； 又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件， 综合知“身正”是“令行”的充要条件， 故选：C． 10．（全称量词与存在量词）（24-25高三上·河南周口·模拟预测）命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为（   ） A．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 B．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 C．存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 D．不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 【答案】B 【分析】根据特称命题的否定是全称命题判断即可. 【详解】命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为“对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数”. 故选：B 11．（全称量词与存在量词）（2025·四川绵阳·模拟预测）若命题“，都有”，则命题的否定为（   ） A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．，使得 【答案】C 【分析】根据存全称词命题的否定是存在量词命题分析判断. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题的否定为“，使得”. 故选：C. 01元素与集合及元素特性 1．（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可. 【详解】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 2．（2025·江西·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式求集合，判断各元素与集合关系，即可得答案. 【详解】由题设， 结合各选项，A、B、D错，C对. 故选：C 3．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 4．（2025·陕西西安·一模）已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 【答案】C 【分析】由两集合相等及分式的分母不为可求出，再利用集合相等和互异性求，代入计算即可. 【详解】因为，，所以，故， 此时集合为，根据集合相等，必有，解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故选：C. 02集合间的基本关系 5．（2025·江西·模拟预测）（多选）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【答案】AC 【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 6．（2025·广西·模拟预测）已知集合，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明对任意，则，再证明，但，由此可得结论. 【详解】对任意，存在，使得， 由于，令，则，所以，故， 又（当时），但（由解得），所以是的真子集， 故选：C 7．（2025·安徽·一模）已知全集为，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据补集的定义求出，从而确定包含关系，最后判断各选项即可． 【详解】，解得或， 或， ， ， 或， ，，故A，B，C错误，D正确， 故选：D． 8．（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系直接得到答案. 【详解】因为，所以解得， 即a的取值范围是. 故选：D. 9．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，从集合A的非空子集中任取两个集合，，则它们的交集为空集的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式，求出集合中的元素，计算集合的所有非空子集的个数，分类讨论其中两个集合，交集为空集的情况数，计算概率即可. 【详解】由，解得，所以，共有个非空子集， 当中有一个元素时，是剩下三个元素的非空子集，则有种情况， 当中有两个元素时，是剩下两个元素的非空子集，则有种情况， 当中有三个元素时，是剩下一个元素的非空子集，则有种情况， 根据对称性可知，其中有一半是重复的情况，则，交集为空实际有种不同情况， 任取两个集合，交集为空集的概率为. 故选：C. 03集合的基本运算 10．（2025·云南昆明·模拟预测）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式求得，进而求得，根据集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】依题意，，，故. 故选：A. 11．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出集合、后，借助交集定义即可得. 【详解】， ，故. 故选：A. 12．（2025·辽宁大连·一模）已知集合 则 （   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的性质结合题目所给条件计算求出集合，进而求出. 【详解】令，函数图象开口向上， 当时，取最小值， 当时，， 当时，， 所以 所以， 所以集合， 所以或. 故选：B. 13．（2025·河南·三模）（多选）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 14．（2025·江西萍乡·二模）（多选）已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（   ） A． B． C．集合可能是 D． 【答案】BCD 【分析】由摩根定律，以及交并补混合运算知识即可求解. 【详解】由题意知 所以， 对于 A，因为，且，所以，A 选项错误； 对于B，由于，所以，B 选项正确； 对于C，已知，这意味着既属于A又属于B， 若，当时， 此时满足所有已知条件，故C选项正确； 对于D，因为，又，所以，D选项正确； 故选：BCD. 04充分条件与必要条件 15．（2025·广西柳州·一模）设向量，，则（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】D 【分析】由向量平行、垂直的坐标表示求得，再结合充分、必要条件的概念逐个判断即可. 【详解】若，则解得：或， 若，则解得：或， 所以“”是“”的不必要条件， “”是“”的不必要条件， “”是“”的不充分条件， “”是“”的充分条件， 故选：D 16．（2025·贵州六盘水·模拟预测）“函数在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断，解题的关键在于分别判断“函数在上单调递增”能否推出“”以及“”能否推出“函数在上单调递增”. 【详解】求导得到； 因为函数在上单调递增，所以在恒成立，所以在恒成立，所以，所以充分性不成立； 当时，在上恒成立，所以在上单调递增，必要性成立. 故选：B 17．（2025·山东临沂·模拟预测）已知、、是直线，是平面，且，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】由线面垂直的定义及判定定理即可判断. 【详解】解：由得： 存在，满足， 若，则直线垂直平面中任意一条直线， ，，，， ，，，是否相交不确定，不一定成立， “，”是“”的必要不充分条件． 故选：B 18．（2025·河北秦皇岛·三模）在平面直角坐标系中，“”是“为第四象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分性与必要性的定义证明即可. 【详解】先证必要性，若是第四象限的角，则， 所以，因为， 所以，所以， 所以，“”是“为第四象限角”的必要条件， 再证充分性，若，则可得不是第二，三象限的角且不是坐标轴上的角， 所以，若，则与题设矛盾， 所以，所以为第四象限角， 所以“”是“为第四象限角”的充要条件. 故选：C. 19．（25-26高三上·广东·阶段练习）记为数列的前项和，设甲：是等比数列，乙：是等比数列，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】分别讨论是等比数列的条件下，是否是等比数列，以及是等比数列的条件下，是否是等比数列，即可判断. 【详解】先判断充分性： 若是等比数列，设其公比为，首项为，可得： ， ， 当时，，不是等比数列， 当时，，是等比数列， 综上，当是等比数列时，不一定是等比数列， 故充分性不成立； 再判断必要性： 若是等比数列， 可设， 此时，若，， 若，， 即是等比数列，但不是等比数列， 故必要性不成立； 综上，甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D. 05全称量词与存在量词 20．（2025高三·全国·专题练习）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】含有量词的命题的否定，只需要改量词，否定结论即可. 【详解】命题，的否定为，， 故选：D． 21．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由存在量词命题的否定可得答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 22．（2025·陕西榆林·一模）已知命题；命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】结合命题否定的定义，找出对应反例的取值并依次判断命题的真假，即可求解 【详解】命题，当时，，故为假命题； 命题，当或时，，故为真命题； 所以，和都是真命题，和是假命题. 故选：B 23．（2025·江西·三模）已知命题：，，则下列结论正确的是（   ） A．为真命题，且命题的否定为：， B．为真命题，且命题的否定为：， C．为假命题，且命题的否定为：， D．为假命题，且命题的否定为：， 【答案】B 【分析】先判断命题的真假，再根据全称命题的否定规则写出命题的否定，最后根据判断结果选择正确选项. 【详解】因为. 所以对于任意的，都成立，所以命题为真命题. 命题是全称命题，所以它的否定为. 命题为真命题，且命题的否定为. 故选：B. 24．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本不等式求解实数的取值范围. 【详解】已知命题“”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题， 可知其否定“”为真命题. 由，，移项可得， 因为，两边同时除以，得到在上恒成立. 在中，因为，所以2x和都是正实数，则， 当且仅当，即时等号成立. 因为在上恒成立，所以要小于等于的最小值， 即， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 06集合新定义 25．（2025·河南·一模）集合，集合，对任意，有，则集合M中元素个数的最大值是 . 【答案】51 【分析】由题意，要使中元素的个数最大，则，再应用抽屉原理及集合的性质分析其它元素与集合的关系，确定的元素个数及集合的可能情况，即可得. 【详解】要使中元素的个数最大，且，有，必有， 此时其余元素分组为、、、，共有50组， 注意每组的两个元素必不能同时出现在集合（因为它们的和为）， 所以，要使中元素的个数最大，每组至多能取一个元素，即50组中共取50个元素， 由抽屉原理知，不可能从50组中取51个元素，否则必有两个元素的和为，不满足， 综上，中元素的个数最大为51个， 如、均符合，元素个数为. 故答案为：51 26．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ． 【答案】968 【分析】根据子集中元素的个数分类，每一类都利用组合数计数，再剔除不满足定义的子集，最后根据分类加法计数原理求值即可. 【详解】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素， 按子集中元素的个数分类， ①当元素个数为2时，不满足定义的子集有： ，共9个； 此时满足定义的子集有个， ②当元素个数为3时，不满足定义的子集有： ，共8个； 此时满足定义的子集有个， ③当元素个数为4时，不满足定义的子集有： ，共7个； 此时满足定义的子集有个， ④当元素个数为5时，不满足定义的子集有： ，共6个； 此时满足定义的子集有个， ⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有： ，共5个； 此时满足定义的子集有个， ⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有： ，共4个； 此时满足定义的子集有个， ⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有： ，共3个； 此时满足定义的子集有个， ⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有： ，共2个； 此时满足定义的子集有个， 综上所述，满足题意的子集共有个. 故答案为：968. 27．（2025·四川·三模）（多选）已知集合，则称集合为分集．下列说法正确的是（   ） A．当时，是唯一的分集 B．对任意，总存在至少一个分集 C．若是分集，则 D．若是分集，则 【答案】AD 【分析】根据分集的定义，利用基本不等式、求解一元二次不等式及利用不等式求取值范围等逐一判断即可. 【详解】由得，当且仅当时等号成立. 即 对于A， 当时，则，又，故，故A正确； 对于B，时，，不符合，故B不正确； 对于C， 当时，，所以，故C不正确； 对于D，当时，， 又，所以，解得，.故D正确. 故选：AD. 28．（2025·江苏南通·二模）（多选）设有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得，中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则（   ） A．集合不是“可拆等和集” B．若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个 C．存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集” D．若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集” 【答案】ABD 【分析】根据已知可知元素构成一个等比数列，计算可得.然后根据分类，即可判断A项；列举法即可判断B项；将中所有元素同时除以后可得，然后根据等比数列前项和公式计算，然后根据分类，即可判断C项；根据等差数列的性质，可推得，，共有组（剩余元素为），从中剔除之后，从剩余的数据中选出组分配到中.结合公差，可得出，也可分为两组，即可判断D项. 【详解】对于A项，构成了一个以1为首项，2为公比的等比数列， 且. 所以，当时，中所有元素之和也小于，不满足要求； 当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求. 综上，集合不是“可拆等和集”，故A正确； 对于B项，若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得， 此时因集合已含有元素2，故舍去； 若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得 若，则由“可拆等和集”的定义，有. 综上可知：可取，，，，，共6个值，故B正确； 对于C项，将中所有元素同时除以后可得， 根据等比数列前项和公式，可得. 因为，所以，，所以有. 所以，当时，中所有元素之和也小于， 不满足要求，显然同时乘以后仍然不满足； 当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以后仍然不满足. 综上所述，不存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”，故C错误； 对于D项，易知集合中的元素个数为，， 根据等差数列的性质可知，，， 共有组（剩余元素为），从中剔除之后，剩余组. 从这组相同的数据中任意选出组，将对应的元素分到集合中； 又，则， 而， 不妨将这两个元素也分到集合中，则可满足中的元素之和相等.故D正确. 故选：ABD. 29．（2025·浙江温州·模拟预测）（多选）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】ABC 【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据时，设，利用裂项相消得矛盾求解C. 【详解】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确， 对于B，取故B正确， 对于C，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确， 对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误， 故选：ABC 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 07以集合与逻辑用语为载体的创新题 30．有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总人数、各项训练人数、只参加种训练的人数，利用集合计数关系建立方程求解. 【详解】设参加种、种、种球类训练的人数分别为、、. 由题意得总人数，且， 则. 参加各项目的人数总和为， 该总和中，参加种、种、种训练的人数分别被计算了次、次、次， 故， 将代入可得，即， 联立方程组， 解得，即种球类训练都参加的人数为人， 故选：A. 31．满足的实数对，构成的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】结合集合相等及二次函数的单调性即可求. 【详解】由，又， 则，所以在单调递增， 故值域为， 即是的两根，解得， 当时，点为， 当时，点为， 当时，点为. 故选：C 32．“月相变化”即地球上所看到的月球被日光照亮的不同形象．当地球位于月球和太阳之间时，我们可以看到整个被太阳直射的月球部分，这就是“满月”；当月球位于地球和太阳之间时，我们只能看到月球不被太阳照射的部分，这就是“朔月”；当地月连线和日地连线正好成直角时，若我们正好可以看到月球西半边亮且呈半圆形，这就是“上弦月”，若我们正好可以看到月球东半边亮且呈半圆形，这就是“下弦月”．根据以上信息可知“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据已知及充分条件与必要条件的定义分别判断即可得结论. 【详解】充分性：地月连线和日地连线正好成直角时，我们可能看到“上弦月”或“下弦月”，充分性不成立； 必要性：若为“下弦月”，则地月连线和日地连线正好成直角，必要性成立， 故“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的必要不充分条件． 故选：B. 33．记的三边长分别为．已知命题：若，则为等腰三角形，则（    ） A．为假命题；：若，则为等腰三角形 B．为假命题；：若，则不是等腰三角形 C．为真命题；：若，则为等腰三角形 D．为真命题；：若，则不是等腰三角形 【答案】D 【分析】根据命题的否定及真假命题的判断． 【详解】因为，即，则， 又，所以，为等腰三角形，故命题为真命题； 命题的否定：若，则不是等腰三角形． 故选：D. 34．已知，均为整数，且，，则集合的真子集的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程得或，然后分别求出各个线段上的整数点，最后利用真子集个数结论求解即可. 【详解】要求集合的真子集个数，只需求集合的元素个数， 即，则或. 对于，由整数知且为偶数， 则有个满足条件的； 对于，由整数知且为3的倍数， 则有个满足条件的， 又因为被重复统计，故集合的元素个数是， 故集合的真子集的个数是. 故选：C. 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根据交集的概念求出结果即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：B. 2．（2025·浙江金华·一模）已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用集合的补运算求集合即可. 【详解】由，，则. 故选：D 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，且，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据题意可对和分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果. 【详解】由可知或； 当时，即，此时，不能满足题意； 当时，解得或（舍）， 时，，满足题意， 故. 故选：D 4．（2025·河南开封·二模）（多选）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合交并补的运算一一分析即可/ 【详解】， 对A，若，则，则根据有，显然矛盾，故A错误； 对B，假设，则，根据有，显然矛盾，则，故B正确； 对C，由A知，，则，故C正确； 对D，显然，必有，故D错误； 故选：BC. 5．（2025·山东·模拟预测）已知全集，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求集合，根据集合的运算逐一验证即可. 【详解】由题意有， 所以，所以，故A错误； ，故B错误； 因为， 所以，故C错误； 因为， 所以，故D正确. 故选：D. 6．（2025·甘肃白银·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可知图中阴影部分表示的集合是，求出函数的定义域得集合A，解绝对值不等式得集合，再求可得答案． 【详解】由图可知图中阴影部分表示的集合是， ， 则，所以． 故选：A 7．（2025·湖北黄冈·一模）已知命题，则（　　） A．是假命题， B．是假命题， C．是真命题， D．是真命题， 【答案】D 【分析】利用导数判断命题的真假，再根据全称量词命题的否定是存在量词命题写出，可判断各选项的准确性. 【详解】设，则. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为. 所以对恒成立. 所以成立，即命题为真命题. 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以. 故选：D 8．（2025·山东·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】举反例可说明不充分性，根据绝对值和不等式的性质可说明必要性. 【详解】若，满足，但不能得到，故充分性不成立， 若，由于，故，故必要性成立， 故“”是“”的必要而不充分条件， 故选：C 9．（2025·安徽·模拟预测）“函数的图象关于直线对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据对称和偶函数定义判断. 【详解】若函数的图象关于直线对称，则， 令，则，所以，是偶函数， 所以函数是偶函数， 所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充分条件； 若函数是偶函数，令，则是偶函数， 所以，又，所以， 即，所以的图象关于直线对称， 所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的必要条件. 综上可知，“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充要条件， 故选：C. 10．（2025·江西·二模）“椭圆 的焦点在 y轴”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的焦点位置求出参数范围，再结合充分不必要条件的概念求解即可. 【详解】若椭圆 的焦点在y轴，则，解得. 对于A，由能推出，反之不成立，符合题意； 对于B，由不能推出，不符合题意； 对于C，显然为充要条件，不符合题意； 对于D，由不能推出，不符合题意； 故选：A 11．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解出集合与，然后根据集合的运算得出结果. 【详解】因为，所以或， 又，所以， 所以或，则. 故选：B． 12．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元二次不等式求解集合，再根据集合间的关系得出参数范围即可. 【详解】因为， ，所以，所以. 故选：C. 13．（2025·四川绵阳·模拟预测）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数值域求出集合，解绝对值不等式求出集合，由交集定义求得结果. 【详解】因为，所以， 进而，即， 因为，所以，即， 由集合的交集定义可得， 故选：C. 14．（2025·江西萍乡·三模）已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合有3个真子集可得中有两个不同的元素，故求出的范围后可得正确的选项. 【详解】因为有3个真子集，所以中有2个元素，故中有两个元素， 故且，则， 解得且. 故选：C. 15．（2025·陕西榆林·一模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意命题是假命题，则命题的否定是真命题，再利用二次函数的性质求解即可. 【详解】因为“，使”是假命题， 所以“，都有”是真命题． 即，所以， 故选:. 16．（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断. 【详解】法一：由题意，联立方程可得， 当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意. 所以，直线与双曲线只有一个公共点时，. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图， 根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 17．（2025高三·全国·专题练习）“存在，使得”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别根据充分性、必要性的概念及等差数列的性质定义判断即可. 【详解】必要性：若为等差数列，设其公差为，则， 故存在，使得，故满足必要性； 充分性：若存在，使得， 则，两式相减可得， 所以可知数列中的奇数项，偶数项分别成等差数列，但数列不一定是等差数列， 如时，数列，故不满足充分性. 所以“存在，使得”是“为等差数列”的必要不充分条件， 故选：B 18．（2025·广东深圳·二模）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据，判断出四边形的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在四边形中，若，则四边形为平行四边形， 若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形， 四边形是正方形时，必有，即有， 故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. 19．（2025·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程判断充分性是否成立，再根据判断必要性是否成立，进而确定“曲线为椭圆”与“”之间的条件关系. 【详解】若曲线为椭圆，则椭圆的标准方程为（）. 因为椭圆中分母须大于，所以且，又因为，那么且，所以由“曲线为椭圆”可以推出“”，充分性成立； 当时，比如，，此时曲线方程为，它表示的是圆，而不是椭圆，所以由“”不能推出“曲线为椭圆”，必要性不成立； 所以“曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 20．（2025·福建福州·模拟预测）（多选）若非空集合，满足条件： ①；②若，，则. 则称为集合的划分. 下列命题正确的是（   ） A．若为集合的划分，则 B．若为集合的划分，则 C．若，，则为的划分 D．若存在划分，，则 【答案】AD 【分析】根据题意中集合的划分定义对每个选项逐一分析判断即可. 【详解】对于选项AB： 在集合划分定义中并未要求，但若存在， 则矛盾，故必然成立. 对于选项C： 集合为，而集合为，此时， 不符合集合划分的定义，所以选项C错误. 对于选项D： 若，则，无法划分； 若，则，无法划分； 所以D正确. 故选：AD. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合和常用逻辑用语 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01元素与集合及元素特性 题型02集合间的基本关系 题型03集合的基本运算 题型04充分条件与必要条件 题型05全称量词与存在量词 题型06集合新定义 题型07以集合与常用逻辑用语为载体的创新题 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1．（集合的概念）（2025·江西·模拟预测）8月20日《黑神话悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（    ） A．游戏中会变身的妖怪 B．游戏中长的高的妖怪 C．游戏中能力强的妖怪 D．游戏中击败后给奖励多的妖怪 2．（集合的基本运算）（2025·四川广安·模拟预测）设集合，，则等于（   ） A． B．或 C． D． 3．（集合的基本运算）（（2025·吉林长春·一模）已知集合{高，考，必，胜}，{吉，大，必，胜}，则（   ） A．{吉，大，高，考} B．{必，胜} C．{金，榜，题，名} D．{吉，大，高，考，必，胜} 4．（集合的基本运算）（2025·广东·二模）对于任意集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（集合间的关系及基本运算）（2025·广东·模拟预测）已知集合，，则（    ） A．当时，集合含有2个元素 B．集合中的元素个数可能为5 C．当时， D．当时， 6．（集合新定义·多选题）（2025·陕西·模拟预测）定义集合运算：.若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 7．（集合新定义）（2025·湖南·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 8．（集合新定义·多选题）（2025·湖南邵阳·模拟预测）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作.以下说法正确的是（    ） A．若数集中有2025个元素，则一定存在 B．若数集中没有最大值，则不存在 C．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 9．（充分条件与必要条件）（24-25高三上·浙江·模拟预测）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（全称量词与存在量词）（24-25高三上·河南周口·模拟预测）命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为（   ） A．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 B．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 C．存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 D．不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 11．（全称量词与存在量词）（2025·四川绵阳·模拟预测）若命题“，都有”，则命题的否定为（   ） A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．，使得 01元素与集合及元素特性 1．（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江西·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 4．（2025·陕西西安·一模）已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 02集合间的基本关系 5．（2025·江西·模拟预测）（多选）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 6．（2025·广西·模拟预测）已知集合，则（   ）． A． B． C． D． 7．（2025·安徽·一模）已知全集为，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，从集合A的非空子集中任取两个集合，，则它们的交集为空集的概率为（   ） A． B． C． D． 03集合的基本运算 10．（2025·云南昆明·模拟预测）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2025·辽宁大连·一模）已知集合 则 （   ） A．或 B．或 C． D． 13．（2025·河南·三模）（多选）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 14．（2025·江西萍乡·二模）（多选）已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（   ） A． B． C．集合可能是 D． 04充分条件与必要条件 15．（2025·广西柳州·一模）设向量，，则（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 16．（2025·贵州六盘水·模拟预测）“函数在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（2025·山东临沂·模拟预测）已知、、是直线，是平面，且，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 18．（2025·河北秦皇岛·三模）在平面直角坐标系中，“”是“为第四象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（25-26高三上·广东·阶段练习）记为数列的前项和，设甲：是等比数列，乙：是等比数列，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 05全称量词与存在量词 20．（2025高三·全国·专题练习）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 21．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 22．（2025·陕西榆林·一模）已知命题；命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 23．（2025·江西·三模）已知命题：，，则下列结论正确的是（   ） A．为真命题，且命题的否定为：， B．为真命题，且命题的否定为：， C．为假命题，且命题的否定为：， D．为假命题，且命题的否定为：， 24．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 06集合新定义 25．（2025·河南·一模）集合，集合，对任意，有，则集合M中元素个数的最大值是 . 26．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ． 27．（2025·四川·三模）（多选）已知集合，则称集合为分集．下列说法正确的是（   ） A．当时，是唯一的分集 B．对任意，总存在至少一个分集 C．若是分集，则 D．若是分集，则 28．（2025·江苏南通·二模）（多选）设有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得，中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则（   ） A．集合不是“可拆等和集” B．若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个 C．存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集” D．若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集” 29．（2025·浙江温州·模拟预测）（多选）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 07以集合与逻辑用语为载体的创新题 30．有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（    ） A． B． C． D． 31．满足的实数对，构成的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 32．“月相变化”即地球上所看到的月球被日光照亮的不同形象．当地球位于月球和太阳之间时，我们可以看到整个被太阳直射的月球部分，这就是“满月”；当月球位于地球和太阳之间时，我们只能看到月球不被太阳照射的部分，这就是“朔月”；当地月连线和日地连线正好成直角时，若我们正好可以看到月球西半边亮且呈半圆形，这就是“上弦月”，若我们正好可以看到月球东半边亮且呈半圆形，这就是“下弦月”．根据以上信息可知“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 33．记的三边长分别为．已知命题：若，则为等腰三角形，则（    ） A．为假命题；：若，则为等腰三角形 B．为假命题；：若，则不是等腰三角形 C．为真命题；：若，则为等腰三角形 D．为真命题；：若，则不是等腰三角形 34．已知，均为整数，且，，则集合的真子集的个数为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江金华·一模）已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，且，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2025·河南开封·二模）（多选）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东·模拟预测）已知全集，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 6．（2025·甘肃白银·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北黄冈·一模）已知命题，则（　　） A．是假命题， B．是假命题， C．是真命题， D．是真命题， 8．（2025·山东·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2025·安徽·模拟预测）“函数的图象关于直线对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．（2025·江西·二模）“椭圆 的焦点在 y轴”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·四川绵阳·模拟预测）设集合，则（   ） A． B． C． D． 14．（2025·江西萍乡·三模）已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·陕西榆林·一模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（2025高三·全国·专题练习）“存在，使得”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（2025·广东深圳·二模）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（2025·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（2025·福建福州·模拟预测）（多选）若非空集合，满足条件： ①；②若，，则. 则称为集合的划分. 下列命题正确的是（   ） A．若为集合的划分，则 B．若为集合的划分，则 C．若，，则为的划分 D．若存在划分，，则 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $