精品解析：湖南省怀化市洪江市部分校 2025-2026学年八年级上学期期中联考数学试题

2025－2026学年度洪江市四校联合期中质量监测卷 八年级上册数学 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：新教材湘教版八年级上册数学第1章~第2章 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 把分解因式，提取的公因式是（　　） A. B. C. D. 4. 下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应为，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如果把分式中的、都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 是原来的2倍 B. 是原来的4倍 C. 是原来的 D. 不变 8. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若，，，，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（ ）个． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：___________． 12. 分式与的最简公分母是______． 13. 计算＝_____． 14. 计算：__________ 15. 已知，则式子的值是______． 16. 在实数范围因式分解： _________________ 17. 若关于的分式方程无解，则的值为__________． 18. 定义：形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为，则，．如果关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，且），那么________ 三、解答题（本大题共8题，第19题6分，第20－24每题8分，第25－26每题10分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. （1）解分式方程：； （2）计算：． 21. 化简分式：,并从1,2,3,4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值． 22. 已知关于的分式方程． （1）当时，求方程的解； （2）如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围； 23. 某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． （1）一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； （2）该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 24. “整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式___________，将还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： （1）请补全横线上的步骤：___________； （2）分解因式：． 25. 阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）分解因式：． （2）分解因式： （3）若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 26. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）先化简，若该式的值为整数，求x的整数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度洪江市四校联合期中质量监测卷 八年级上册数学 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：新教材湘教版八年级上册数学第1章~第2章 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零，进行解答即可．熟练掌握分式有意义的条件，是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故选：A． 2. 下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解定义：将多项式化为几个整式乘积的形式，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式乘积的形式即可得到答案，熟记常见因式分解方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、中，左边为两个二项式相乘，展开后得到右边多项式，属于整式乘法运算，不符合因式分解定义，不符合题意； B、中，左边多项式变形后仍含“”的加减项，未完全转化为整式积的形式，不符合因式分解定义，不符合题意； C、中，左边多项式通过完全平方公式转化为，符合因式分解定义，符合题意； D、中，左边为单项式与二项式的乘积，展开后得到右边多项式，属于整式乘法运算，不符合因式分解定义，不符合题意； 故选：C． 3. 把分解因式，提取的公因式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解-提公因式法，原式提取公因式即可． 【详解】解：， 则提取的公因式是． 故选：C． 4. 下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．根据平方差公式的结构特征对各选项分析判断后即可得答案． 【详解】解：A．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． B．，不能利用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． C．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． D．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． 故选B． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，利用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A选项：，而原式错误地写为，故A错误； B选项：，原式仅对平方，未对平方，故B错误； C选项：幂的乘方运算法则为底数不变、指数相乘，即，故C正确； D选项：同底数幂相除，底数不变、指数相减，即，原式错误地写为，故D错误． 故选：C． 6. 随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应为，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为， 故选：． 7. 如果把分式中的、都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 是原来的2倍 B. 是原来的4倍 C. 是原来的 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的、分别用、，然后化简得到新分式，再与原分式比较即可得到答案． 【详解】解：把分式中的、都扩大2倍后得， ∴把分式中的、都扩大2倍后，分式的值是原来的2倍， 故选：A． 8. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 9. 若，，，，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是整数指数幂的运算、有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的运算法则． 根据整数指数幂的运算法则分别求出、、、，再进行比较即可求解． 【详解】， ， ， ， ， 即． 故选：． 10. 定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（ ）个． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式法因式分解以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键． 根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确． 【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，故①错误； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且， 、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为正整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是②③． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式．直接提公因式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 分式与的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据求最简公分母的方法求解即可，确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 【详解】与的最简公分母是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握确定最简公分母的方法． 13. 计算＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】原式＝． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键． 14. 计算：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了指数运算，负整数指数幂，需运用指数法则（如幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法）进行简化计算． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 15. 已知，则式子的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法． 根据同底数幂的除法法则求出的值，进而计算的值即可． 【详解】， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 在实数范围因式分解： _________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解，先提取公因式，再将利用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： 故答案为：． 17. 若关于的分式方程无解，则的值为__________． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解，先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，当的系数为0时，方程无解，求出的值；当的系数不等于0时，求出方程的解，最简公分母等于0时方程无解，求出的值即可． 【详解】解： 去分母后，， 整理得，， 当时，方程无解，此时； 当时，，此时； 综上，或； 故答案为：或3． 18. 定义：形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为，则，．如果关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，且），那么________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、分式方程等知识点；理解“十字分式方程”的定义以及题目中的答题方法是解题的关键．把原方程变形为，再结合运用“十字分式方程”求得，最后代入运算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共8题，第19题6分，第20－24每题8分，第25－26每题10分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解； （1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. （1）解分式方程：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，有理数的混合运算，掌握解分式方程的方法，负指数幂，零次幂的计算法则是关键． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项即可求解； （2）分别算出负指数幂，零次幂，乘方的结果，再计算加减即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解； （2） ． 21. 化简分式：,并从1,2,3,4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】x+2；当x=1时，原式=3． 【解析】 【分析】先把分子分母因式分解，约分，再计算括号内的减法，最后算除法，约分成最简分式或整式；再选择使分式有意义的数代入求值即可． 【详解】解： =x+2， ∵x2-4≠0，x-3≠0， ∴x≠2且x≠-2且x≠3， ∴可取x=1代入，原式=3． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟悉掌握分式的运算法则是解题的关键，注意分式有意义的条件． 22. 已知关于的分式方程． （1）当时，求方程的解； （2）如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围； 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）将代入得出关于x的分式方程，然后解方程即可； （2）先用a表示出分式方程的解，根据分式方程的解为正数列出关于a的不等式，同时注意，求出a的范围即可． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 未知数系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴原方程的解． 【小问2详解】 解：， 方程两边乘得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 未知数系数化为1得：， ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：， ∵，即， ∴， 解得：， ∴的取值范围是：且． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，已知分式方程解的情况求参数，解题的关键是准确计算，注意最后要对方程的解检验． 23. 某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． （1）一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； （2）该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】（1）80 （2）190 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【小问1详解】 设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． 【小问2详解】 设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 24. “整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式___________，将还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： （1）请补全横线上的步骤：___________； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法和因式分解，素材的理解，正确理解整体思想是解题的关键． （1）根据完全平方公式因式分解即可； （2）仿照题目素材，令，原式，去括号再因式分解，最后代回即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：令， 则原式 将还原， 得原式． 25. 阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）分解因式：． （2）分解因式： （3）若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 【答案】（1） （2） （3）8或 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法、“十字相乘法”进行因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）利用“十字相乘法”即可求解； （2）利用提公因式法、“十字相乘法”即可求解； （3）先把原式整理得，再将常数3进行分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：依题意，， ∴， ∴或 ∴或， 因此整数p的值可能为8或． 26. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）先化简，若该式的值为整数，求x的整数值． 【答案】（1）②③ （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解此题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义逐个分析即可得解； （2）根据题意结合“和谐分式”的定义计算即可得解； （3）先化简，再结合分式有意义的条件即可得解． 【小问1详解】 解：，， 故属于“和谐分式”的是②③； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $