精品解析：河南省驻马店市遂平县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度上期期中素质测试题 八年级数学 （本试卷共八页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 的算术平方根是（ ） A. B. 4 C. D. 2. 在，3.1415926，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 4. 已知，则的值是（ ） A. 8 B. 24 C. 40 D. 48 5. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 6. 将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或2 D. 或 10. 如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到点，使，连接，得到第个；在边上任取一点，延长到点，使，得到第个……按此作法继续下去，则第个三角形的底角度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一个正数a的平方根分别是与，则a的值为_________． 12. 已知，则代数式的值为______． 13. 如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是______． 14. 如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为________________． 15. 如图，在四边形中，，点 为线段的中点，点在线段 上，且以 的速度由点 向点 运动，同时，点在线段 上由点向点 运动．当点 的运动速度为_______时， 与 全等 三、解答下列各题（本大题共8个小题，满分共75分） 16. （1）先化简，再求值：，其中，． （2）因式分解：． 17. 阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）已知是的整数部分，是的小数部分，求的值 18. 如图，是等腰三角形，，，点是的中点． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）若，试说明：． 19. 阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知：，求的值； （2）已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长的最大值． 20. 上午8时．一条渔船从港口A出发以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从A，B望海岛C，测得（如图所示）． （1）求海岛B到海岛C的距离； （2）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 21. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且 （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 22. 【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 23. 综合与实践，问题情境∶活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为(，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N． 特例分析∶（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数？  探究规律∶（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸∶（3）①求出当是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当是直角时旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上期期中素质测试题 八年级数学 （本试卷共八页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 的算术平方根是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，先算，再计算算术平方根，即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， ， 的算术平方根是4， 故选：B． 2. 在，3.1415926，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟记无限不循环小数为无理数是解题的关键．根据无理数的定义即可求解． 【详解】解：在，3.1415926，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加中， 无理数有，，（相邻两个1之间0的个数逐次加，有3个． 故选：C． 3. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、偶次方和算术平方根的非负性等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据完全平方公式可得，再根据偶次方和算术平方根的非负性可得，，从而可得，然后代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 4. 已知，则的值是（ ） A. 8 B. 24 C. 40 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则是解题的关键； 根据同底数幂的乘法的逆用法则，将变形为 然后把代入计算即可解． 【详解】解：， 把代入得 ． 故选：D． 5. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键；根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：甲：由不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：∵， 而丙图形中第三个角（未知的角）为：， ∴与丙图中有两角及其夹边对应相等， 由能判断两个三角形全等，故符合题意； 故乙和丙符合题意， 故选：B． 6. 将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的定义，以及用几何图形解释因式分解的含义等内容，牢牢把握因式分解的定义是解决此题的关键．利用拼接前后的面积相等，再结合因式分解的定义，对选项进行排除，即可得到正确结果． 【详解】解：根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式， 故可排除选项C，D； 由图①的面积为，图②的面积为， 则， ∴可排除选项B； 故选：A． 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方的逆运算得到，，然后比较它们的指数的大小，指数大的就大． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键．由等腰三角形的性质可得，由外角性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或2 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义．分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故选：D． 10. 如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到点，使，连接，得到第个；在边上任取一点，延长到点，使，得到第个……按此作法继续下去，则第个三角形的底角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，得出，及的度数，从而找出规律是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数，从而可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，是的外角， ∴； 同理可得，， ∴第个三角形中以为顶点的底角度数是． ∴第个三角形中以为顶点的底角度数是， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一个正数a的平方根分别是与，则a的值为_________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．利用一个正数的两个平方根互为相反数可得到，可求得，再由平方根的定义可求得的值． 【详解】解：由正数的两个平方根互为相反数可得 解得， 所以， 所以． 故答案为：16． 12. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，完全平方公式．根据完全平方公式可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 13. 如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是______． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式，根据大长方形的周长和面积，得出，，再将代数式变形为，即可求解． 【详解】解：大长方形的周长为12，面积为7 ，， ，， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为________________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答． 【详解】解：，且的周长为10， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：3． 15. 如图，在四边形中，，点 为线段的中点，点在线段 上，且以 的速度由点 向点 运动，同时，点在线段 上由点向点 运动．当点 的运动速度为_______时， 与 全等 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，由点为线段的中点得到，由于，根据全等三角形的判定得到当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，， 点为线段的中点， ， ， 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点的运动速度为； 当，时，， 即， 解得，， 即此时点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：或． 三、解答下列各题（本大题共8个小题，满分共75分） 16. （1）先化简，再求值：，其中，． （2）因式分解：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，因式分解，掌握整式的混合运算法则，提取公因式法、公式法因式分解是关键． （1）根据整式的混合运算法则计算即可； （2）提取公因式，结合整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ， 当，时， 原式． （2） ． 17. 阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）已知是的整数部分，是的小数部分，求的值 【答案】（1）2； （2） 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，涉及二次根式性质、代数式求值，读懂文字材料，理解表示无理数整数部分与小数部分的方法是解决问题的关键． （1）先估算的范围，再由材料中的方法表示即可得到答案； （2）先估算的范围，再由材料中的方法表示，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， 的整数部分为2，小数部分为， 故答案为：2；； 【小问2详解】 解：， ， 是的整数部分，是的小数部分， ，， ． 18. 如图，是等腰三角形，，，点是的中点． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）若，试说明：． 【答案】（1） （2） （3） 证明： ， ， 又，点是的中点， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据等腰三角形的性质即可得出答案； （3）根据等腰三角形的性质可得到，从而可得出结论． 【小问1详解】 解：， ， 又， ； 【小问2详解】 解：，点是的中点， ； 【小问3详解】 略 19. 阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知：，求的值； （2）已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长的最大值． 【答案】（1） （2）最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查乘法公式，非负性的运用，理解材料，掌握乘法公式是关键． （1）根据材料提示将原式变形得到，根据非负性得到，，代入求解即可； （2）根据材料提示将原式变形得到，根据非负性得到，，根据三角形三边数量关系即可得到，由此即可求解． 【小问1详解】 解：对式子进行变形得， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：对式子进行变形得， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵的三边长a，b，c都是正整数， ∴，即， ∴当时，的周长取最大值，最大值为． 20. 上午8时．一条渔船从港口A出发以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从A，B望海岛C，测得（如图所示）． （1）求海岛B到海岛C的距离； （2）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】（1）海岛B到海岛C的距离为30海里 （2）救援队先到 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； 【小问2详解】 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为小时，救援队所用时间为小时， ∴救援队先到． 21. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且 （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案； （2）①根据长方形的周长是即可得出的值； ②由图可得空白部分的面积是，故我们可以根据第一步中求出的的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【小问1详解】 解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ． 答：的值为5． ②空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 22. 【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】 （1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 23. 综合与实践，问题情境∶活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为(，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N． 特例分析∶（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数？  探究规律∶（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸∶（3）①求出当是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当是直角时旋转角的度数． 【答案】（1）； （2）证明：， ， 即：， 由旋转知，； 在和中， ， ， ； （3）①或；② 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类． （1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明，从而得出结论； （3）①分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果； ②根据旋转的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：①如图1， 当时，， ，， ， ， 如图2， 当时，， ， 如图3， 当时，， ， 此时和重合，这种情形不存在． 综上所述：或． ②如图： 当时， ， ， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ， ， 旋转角为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $