专题11 一元一次方程的设元技巧同步练习-2025-2026学年人教版七年级数学上册（基础过关+易错警示+能力提升+思维拓展）

专题11 一元一次方程的设元技巧 类型一 直接设元法 所谓直接设立未知数的方法，就是题目里要求什么，就设什么是未知数。采用直接设立未知数，可使分析条件更简便，组织方程更简单，容易得到方程，这种方法的优点是容易选取未知数，而且通过解方程可以直接得到应用题的解。 【例1】（2023秋•秦都区期末）甲、乙两个仓库的货物质量之比是3：5，从甲仓库运出2吨货物给乙仓库后，甲、乙两仓库货物的质量比是1：2，甲仓库原来的货物质量为（　　） A．18吨 B．20吨 C．22吨 D．24吨 【变式训练】 1．（2025秋•孟村县期末）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有（　　） A．600本 B．900本 C．1200本 D．1500本 2．（2024春•内乡县期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书大约在四五世纪．书中著名的“雉（鸡）兔同笼”问题是“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，此问题中鸡有 　 　 只． 3．（2024•凤翔区一模）随着经济复苏，旅游业也越来越火，某工厂接到一批兵马俑纪念品的生产任务，景点要求6天内完成．若工厂安排10位工人生产，则6天后剩余1200套兵马俑纪念品未生产；若安排15位工人生产，则恰好提前一天完成生产任务．每位工人每天可以生产多少套兵马俑纪念品？ 类型二 间接设元法 所谓间接设立未知数的方法，是指不设题目里所要求的量为未知数，而设与之有关的其它未知量为未知数的方法。有些题目利用直接设立未知数的方法分析条件或建立方程比较困难，这时就往往需要设立间接未知数。一般地，当题目中涉及的几个量之间存在某等量关系或某比例关系时，可考虑设立间接未知数。其优点是列方程和解方程的过程都比较容易。 【例2】有一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，并且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的8倍还要大5，求这个两位数． 【变式训练】 1．（2025春•大足区月考）一个三位数，各位上的数字之和为10，百位上的数字比十位上的数字大1，若把百位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数的3倍多61，则原来的三位数是 　 　 ． 2．（2025春•南通期中）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，将十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原数的2倍少9，求原来的两位数． 3．（2023秋•安陆市期末）如图由7个大小相同的小长方形围成一个大长方形，已知每个小长方形周长为28厘米，则这个大长方形的面积为　 平方厘米． 4．（2024秋•江陵县期末）一架飞机在A，B两城市之间飞行，风速为20km/h，顺风飞行需要8h，逆风飞行需要8.5h．求无风时飞机的飞行速度和A，B两城市之间的航程． 类型三 整体设元法 “部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之，当设其一部分为未知数亦然有困难时，可以考虑整体设元，如：数字问题。 【例3】一个五位数，个位上为4，这个五位数加上6120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，试求原五位数． 类型四 辅助设元法 所谓设立辅助未知数就是在选取未知数时，为了分析条件更方便，列方程更容易，找一个或几个与已知量和未知量关系都比较密切的量，作为辅助未知数。进而辅助分析问题建立方程。在解题过程中，并不需要求出这些辅助未知数，这种“设而不求”的方法，有时也称参数法，是一种十分重要的方法。一般地，当应用题中涉及的量较多，且各个量之间的关系又不明显，很难直接找到所求未知量和已知量之间的关系式时，可考虑设立辅助未知数。 【例4】某商品月末的进货价比月初的进货价降了8%，而销售价不变，这样，利润率月末比月初高10%，则月初的利润率是（　　） A．10% B．15% C．20% D．25% 【变式训练】 1．有甲、乙两人，甲在汽车上碰见乙正往相反的方向走去1min后，甲下车去追赶乙．若甲的速度是乙的速度的2倍，但比汽车的速度慢4/5，则自甲下车后追上乙所用的时间为　 　 min． 2．某公司只生产普通汽车和新能源汽车，该公司在去年的汽车产量中，新能源汽车占总产量的10%，今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响，计划将普通汽车的产量减少10%．为保持总产量与去年相等，则今年新能源汽车的产量应增加的百分数是多少？ 3．（2024秋•宁德期末）如图，已知A、B两地相距6千米，甲骑自行车从A地出发前往C地，同时乙从B地出发步行前往C地． （1）已知甲的速度为16千米/小时，乙的速度为4千米小时，求两人出发几小时后甲追上乙？ （2）甲追上乙后，两人都提高了速度，但甲比乙每小时仍然多行12千米，甲到达C地后立即返回，两人在B、C两地的中点处相遇，此时离甲追上乙又经过了2小时，求A、C两地相距多少千米？ 4．（2024秋•道里区期末）背景问题： （1）2025年第九届亚洲冬季运动会即将在哈尔滨举行，组委会想把运动员从住地送往比赛场地，先走120千米的上坡路，再走80千米的下坡路就到达了比赛场地，上坡时的速度每小时50千米，下坡时的速度每小时80千米，运动员比赛需要2小时，比赛完立即返回住地（上坡和下坡往返都是匀速运动，去往赛场和返回住地都是同样路线，上下车用时及其它损耗时间忽略不计），问运动员从住地到返回住地一共用多长时间？ 类比问题： （2）哈尔滨冰雪大世界举世闻名，小明全家准备从外地到哈市旅游，两地间平路占，两地间上坡路程与下坡路程的比是2：3，一辆汽车从外地到哈市共行5小时，这辆车上坡速度比平路慢20%，下坡速度比平路快20%（平路、上坡和下坡往返都是匀速运动，去往哈市和返回外地都是同样路线，上下车用时及其它损耗时间忽略不计），照这样计算，这辆汽车从哈市返回外地要用多长时间？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 一元一次方程的设元技巧 类型一 直接设元法 所谓直接设立未知数的方法，就是题目里要求什么，就设什么是未知数。采用直接设立未知数，可使分析条件更简便，组织方程更简单，容易得到方程，这种方法的优点是容易选取未知数，而且通过解方程可以直接得到应用题的解。 【例1】（2023秋•秦都区期末）甲、乙两个仓库的货物质量之比是3：5，从甲仓库运出2吨货物给乙仓库后，甲、乙两仓库货物的质量比是1：2，甲仓库原来的货物质量为（　　） A．18吨 B．20吨 C．22吨 D．24吨 【分析】根据已知等量关系正确列方程是解题关键．设甲仓库原货物质量为3x吨，乙仓库原货物质量为5x吨，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵甲、乙两个仓库的货物质量之比是3：5， ∴设甲仓库原货物质量为3x吨，则乙仓库原货物质量为5x吨， 由题意得：（3x﹣2）：（5x+2）＝1：2， 即2（3x﹣2）＝5x+2， 解得：x＝6， ∴3x＝18，即甲仓库原来的货物质量为18吨， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式训练】 1．（2025秋•孟村县期末）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有（　　） A．600本 B．900本 C．1200本 D．1500本 【分析】设每包书的数目为x，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设每包书的数目为x， 所以这批数共有（16x+40）， ∴由题意可知：9x+16x（16x+40）， ∴解得：x＝60， ∴这批数共有（16×60+40）＝1500， 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出等量关系，本题属于基础题型． 2．（2024春•内乡县期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书大约在四五世纪．书中著名的“雉（鸡）兔同笼”问题是“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，此问题中鸡有 　23　 只． 【分析】由题意得，鸡有一个头，两只脚，兔有1个头，四只脚，根据“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿”列出方程． 【详解】解：设有x只鸡，则有2x条鸡腿，兔子的数量为（35﹣x）个，兔子的腿的数量为4（35﹣x）条， 根据题意得到：2x+4（35﹣x）＝94． 解得x＝23． 即此问题中鸡有23只． 故答案为：23． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程，难度一般． 3．（2024•凤翔区一模）随着经济复苏，旅游业也越来越火，某工厂接到一批兵马俑纪念品的生产任务，景点要求6天内完成．若工厂安排10位工人生产，则6天后剩余1200套兵马俑纪念品未生产；若安排15位工人生产，则恰好提前一天完成生产任务．每位工人每天可以生产多少套兵马俑纪念品？ 【分析】设每位工人每天生产x套兵马俑纪念品，根据纪念品的总量相等列方程即可． 【解答】解：设每位工人每天生产x套兵马俑纪念品， 根据题意得：6×10•x+1200＝15x（6﹣1）， 解得：x＝80， 答：每位工人每天可以生产80套兵马俑纪念品． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 类型二 间接设元法 所谓间接设立未知数的方法，是指不设题目里所要求的量为未知数，而设与之有关的其它未知量为未知数的方法。有些题目利用直接设立未知数的方法分析条件或建立方程比较困难，这时就往往需要设立间接未知数。一般地，当题目中涉及的几个量之间存在某等量关系或某比例关系时，可考虑设立间接未知数。其优点是列方程和解方程的过程都比较容易。 【例2】有一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，并且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的8倍还要大5，求这个两位数． 【分析】设个位为x，则十位数为x+5，等量关系为：两位数＝8（个位数字+十位数字）+5，列方程求解即可． 【详解】解：设个位为x，则十位数为x+5， 由题意得，10（x+5）+x＝8[x+（x+5）]+5， 解得：x＝1， 则这个两位数是61． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【变式训练】 1．（2025春•大足区月考）一个三位数，各位上的数字之和为10，百位上的数字比十位上的数字大1，若把百位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数的3倍多61，则原来的三位数是 　217　 ． 【分析】设原来的三位数的百位上的数字为x，则十位上的数字为（x﹣1），个位上的数字为10﹣x﹣（x﹣1）＝（11﹣2x），根据“把百位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数的3倍多61”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入[100x+10（x﹣1）+11﹣2x]中，即可求出结论． 【解答】解：设原来的三位数的百位上的数字为x，则十位上的数字为（x﹣1），个位上的数字为10﹣x﹣（x﹣1）＝（11﹣2x）， 根据题意得：100（11﹣2x）+10（x﹣1）+x﹣3[100x+10（x﹣1）+11﹣2x]＝61， 解得：x＝2， ∴原来的三位数是100x+10（x﹣1）+11﹣2x＝100×2+10×（1﹣1）+11﹣2×2＝217． 故答案为：217． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2025春•南通期中）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，将十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原数的2倍少9，求原来的两位数． 【分析】设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为（9﹣x），根据“将十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原数的2倍少9”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入10x+（9﹣x）中，即可求出结论． 【解答】解：设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为（9﹣x）， 根据题意得：2[10x+（9﹣x）]﹣[10（9﹣x）+x]＝9， 解得：x＝3， ∴10x+（9﹣x）＝10×3+（9﹣3）＝36． 答：原来的两位数是36． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2023秋•安陆市期末）如图由7个大小相同的小长方形围成一个大长方形，已知每个小长方形周长为28厘米，则这个大长方形的面积为　280　 平方厘米． 【分析】由图可知：小长方形的2条长与5条宽相等，大长方形的长是小长方形长的2倍，宽是小长方形的长加宽，根据这些数量关系找出小长方形的长和宽，进而求出大长方形的长和宽，最后求得大长方形的面积． 【解答】解：小长方形的2条长与5条宽相等，那么小长方形的长：宽＝5：2，宽是长的； 设小长方形的长为a厘米，则宽是a厘米，根据小长方形的周长是28厘米可得： （aa）×2＝28， a×2＝28， a＝14， a＝10， 则大长方形的长是10×2＝20（厘米）， 宽是：10+4＝14（厘米）， 所以大长方形的面积是：20×14＝280（平方厘米）． 答：大长方形的面积是280平方厘米． 故答案为：280． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，根据图找出小长方形长和宽之间的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，利用小长方形的周长列出方程，求出小长方形的长与宽，进而求解． 4．（2024秋•江陵县期末）一架飞机在A，B两城市之间飞行，风速为20km/h，顺风飞行需要8h，逆风飞行需要8.5h．求无风时飞机的飞行速度和A，B两城市之间的航程． 【答案】无风时飞机的飞行速度为660km/h，A，B两城市之间的航程为5440km． 【分析】设无风时飞机的飞行速度为xkm/h，由题意：风速为20km/h，顺风飞行需要8h，逆风飞行需要8.5h．列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：设无风时飞机的飞行速度为xkm/h， 由题意得：8（x+20）＝8.5（x﹣20）， 解得：x＝660， 则8（x+20）＝8×（660+20）＝5440， 答：无风时飞机的飞行速度为660km/h，A，B两城市之间的航程为5440km． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 类型三 整体设元法 “部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之，当设其一部分为未知数亦然有困难时，可以考虑整体设元，如：数字问题。 【例3】一个五位数，个位上为4，这个五位数加上6120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，试求原五位数． 【分析】设原五位数去掉个位数后的四位数为x，则原五位数可表示为（10x+4），根据“这个五位数加上6120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数”列出方程并解答． 【详解】解：设原五位数去掉个位数后的四位数为x，则原五位数可表示为（10x+4）， 根据题意，得（10x+4）+6120＝4×10000+x． 解得x＝3764． 所以10x+4＝37644． 答：原五位数是37644． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题若分别设元会有4个未知数，而已知中仅有一个相等关系导致无法求解．但此题中原五位数的前4位好新五位数的后4位相同，故可整体设元． 类型四 辅助设元法 所谓设立辅助未知数就是在选取未知数时，为了分析条件更方便，列方程更容易，找一个或几个与已知量和未知量关系都比较密切的量，作为辅助未知数。进而辅助分析问题建立方程。在解题过程中，并不需要求出这些辅助未知数，这种“设而不求”的方法，有时也称参数法，是一种十分重要的方法。一般地，当应用题中涉及的量较多，且各个量之间的关系又不明显，很难直接找到所求未知量和已知量之间的关系式时，可考虑设立辅助未知数。 【例4】某商品月末的进货价比月初的进货价降了8%，而销售价不变，这样，利润率月末比月初高10%，则月初的利润率是（　　） A．10% B．15% C．20% D．25% 【分析】设原进货价为M，则0.92M是打折扣的价格，这个公司月初的利润率是x%，那么根据这批货物的销售价保持不变列出方程，解方程即可． 【详解】解：设月初的利润率是x%，原进货价为M，则0.92M是打折扣的价格， 可得：M（1+x%）＝0.92M[1+（x+10）%]， 约去M得：1+x%＝0.92[1+（x+10）%]， 解得：x＝15． 月初的利润率是15%． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【变式训练】 1．有甲、乙两人，甲在汽车上碰见乙正往相反的方向走去1min后，甲下车去追赶乙．若甲的速度是乙的速度的2倍，但比汽车的速度慢4/5，则自甲下车后追上乙所用的时间为　11　 min． 【分析】等量关系为：甲路程﹣乙路程＝车一分钟路程，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：设追上用的时间是t，汽车的速度是v， 那么甲应该是v，乙是v 则：tv（1+t）v＝v， 解得t＝11， 故答案为11． 【点睛】考查一元一次方程的应用；得到甲乙两人路程的等量关系是解决本题的关键． 2．某公司只生产普通汽车和新能源汽车，该公司在去年的汽车产量中，新能源汽车占总产量的10%，今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响，计划将普通汽车的产量减少10%．为保持总产量与去年相等，则今年新能源汽车的产量应增加的百分数是多少？ 【分析】设今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x%，解这道的关键是根据“为保持总产量与去年相等”，而去年的总量未知，可以设为参数a，就可以表示出去年普通汽车和新能源汽车的产量分别为90%a和10%a，而几年的普通汽车和新能源汽车的产量分别为90%a（1﹣10%）和10%a（1+x%）．就可以根据等量关系列出方程． 【详解】解：设今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x%，去年的总产量为a，由题意，得 90%a（1﹣10%）+10%a（1+x%）＝a， 解得：x＝90． 【点睛】本题考查了一元一次方程的运用．要求学生能熟练地掌握例一元一次方程解应用题的步骤．解一元一次方程的关键是找到等量关系． 3．（2024秋•宁德期末）如图，已知A、B两地相距6千米，甲骑自行车从A地出发前往C地，同时乙从B地出发步行前往C地． （1）已知甲的速度为16千米/小时，乙的速度为4千米小时，求两人出发几小时后甲追上乙？ （2）甲追上乙后，两人都提高了速度，但甲比乙每小时仍然多行12千米，甲到达C地后立即返回，两人在B、C两地的中点处相遇，此时离甲追上乙又经过了2小时，求A、C两地相距多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设两人出发t小时后甲追上乙，根据题意就有16t﹣4t＝6，解方程即可求解； （2）可设速度提高了a千米/小时，BC段长度为x千米，两人在B、C两地的中点处相遇，则甲比乙多走的路程为BC段，于是可得方程2（16+a）﹣2（4+a）＝x，解方程即可得BC段，于是可求A、C两地距离． 【解答】解：（1）设两人出发t小时后甲追上乙，根据题意得 16t﹣4t＝6， 得t 答：两人出发小时后甲追上乙． （2）设两个人的速度提高了a千米/小时，BC段长度为x千米，根据题意有 2（16+a）﹣2（4+a）＝x 得x＝24 故BC段距离为24千米 ∴AC＝AB+BC＝6+24＝30 答：A、C两地相距30千米． 【点睛】本题考查的一元一次方程在行程问题中的应用，学会分析等量关系是重点，根据题意列出方程是关键． 4．（2024秋•道里区期末）背景问题： （1）2025年第九届亚洲冬季运动会即将在哈尔滨举行，组委会想把运动员从住地送往比赛场地，先走120千米的上坡路，再走80千米的下坡路就到达了比赛场地，上坡时的速度每小时50千米，下坡时的速度每小时80千米，运动员比赛需要2小时，比赛完立即返回住地（上坡和下坡往返都是匀速运动，去往赛场和返回住地都是同样路线，上下车用时及其它损耗时间忽略不计），问运动员从住地到返回住地一共用多长时间？ 类比问题： （2）哈尔滨冰雪大世界举世闻名，小明全家准备从外地到哈市旅游，两地间平路占，两地间上坡路程与下坡路程的比是2：3，一辆汽车从外地到哈市共行5小时，这辆车上坡速度比平路慢20%，下坡速度比平路快20%（平路、上坡和下坡往返都是匀速运动，去往哈市和返回外地都是同样路线，上下车用时及其它损耗时间忽略不计），照这样计算，这辆汽车从哈市返回外地要用多长时间？ 【答案】（1）8.5小时； （2）小时． 【分析】（1）利用时间＝路程÷速度，即可求出结论； （2）设平路的速度为x千米/小时，平路的长为y米，则上坡路的速度为（1﹣20%）x千米/小时，下坡路的速度为（1+20%）x千米/小时，上坡路的长为y米，下坡路的长为y米，根据从外地到哈市共行5小时，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：2＝8.5（小时）． 答：运动员从住地到返回住地一共用8.5小时； （2）设平路的速度为x千米/小时，平路的长为y米，则上坡路的速度为（1﹣20%）x千米/小时，下坡路的速度为（1+20%）x千米/小时，上坡路的长为y米，下坡路的长为y米， 根据题意得：5， ∴1， ∴13（小时）． 答：这辆汽车从哈市返回外地要用小时． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $