专题04圆锥曲线（期末真题汇编，江苏专用）高二数学上学期苏教版

专题04 圆锥曲线 4大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点04 直线与圆锥曲线的位置关系 地 城 考点01 椭圆 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知直线与椭圆交于、两点，直线经过右焦点与椭圆交于点，若且，则该椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左焦点为点，连接、、，设，则，，分析可知四边形为矩形，在中利用勾股定理可得出与的关系式，然后在中应用勾股定理可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示： 设椭圆的左焦点为点，连接、、， 设，则，， 由椭圆定义可得，， 由对称性可知，点、关于原点对称， 又因为为线段的中点，且，故四边形为矩形， 由勾股定理可得， 即，解得，故，， 由勾股定理可得，即，则， 所以，该椭圆的离心率为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 2．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围. 【详解】依题意，由消去得：，, ，解得，设， 则，点，由直线的斜率小于，得， 则，椭圆焦点在轴上，， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：联立方程求出中点坐标，进而判断焦点位置是求解的关键. 3．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)若椭圆的离心率为，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】利用椭圆的标准方程，结合离心率的定义可以得出答案. 【详解】由题意得， 解得 故选：A 4．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)已知椭圆的左焦点为，O为坐标原点，若椭圆C上存在关于x轴对称的两点P，Q，使得为正三角形，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用中位线性质得到是的直角三角形，在焦点三角形中利用椭圆定义即可建立的关系，从而求得离心率． 【详解】设椭圆的焦距为，右焦点为 ，直线交于点M， 连接，因为为正三角形，， 所以M为 的中点，所以， 故 ，易知 ， 所以， ，由椭圆的定义知 ， 即，得 . 故选：D. 5．(24-25高二上·江苏常州·期末)已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆性质可知，结合椭圆定义可知，代入结合对勾函数运算求解. 【详解】由椭圆方程可知：. 设椭圆的左焦点为，可知， 因为，可得， 则， 又因为 在内单调递减，且， 可知在内的值域为，所以的取值范围是. 故选：C. 6．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆方程结构得到：，求解即可； 【详解】由题意可得：， 解得：， 故选：B 7．(24-25高二上·江苏句容·期末)设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在直角三角形中，，得，由，得，进行求解即可． 【详解】解：如图： 因为，所以， 则在直角三角形中，， 得， 由，得， 即椭圆的离心率为：． 故选：A 8．(24-25高二上·江苏南通·期末)椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将椭圆方程化为标准形式：，利用离心率公式即可求得结果. 【详解】因为椭圆，整理为，则， 所以，所以（负值舍去），故， 故选：C 9．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)椭圆的短轴长为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程求出b，即可求解. 【详解】因为椭圆，所以，即， 所以椭圆的短轴长为， 故选：B 二、多选题 10．(24-25高二上·江苏宿迁中学·期末)已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．若，则 D．面积的最大值为12 【答案】BCD 【分析】根据离心率的公式即可判断A；设，根据向量的数量积即可判断B；根据椭圆的定义可判断C；由点在左右顶点时，面积的最大值，可判断D. 【详解】由，则，，，焦点在轴上， ，， 对于A，离心率，故A错误； 对于B，设，， ，若，则, 即， 解得，故存在点A使得，故B正确；    对于C，在中，， 若，则， 当为通径时，，当为长轴时，， 所以，此时满足，故C正确； 对于D，当点在左右顶点时，面积的最大值， 即. 故选：BCD. 11．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)如图是数学家 Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型 （称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O₁，球O₂切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球O₁，球O₂的半径分别为4和1，球心距，则（   ） A．椭圆C的中心在直线O₁O₂上 B． C．椭圆C上存在不同的四个点M ，使得 D．椭圆C的离心率为 【答案】BCD 【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答. 【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图， 点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴， 可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A错误； 椭圆长轴长， 过作于D，连，显然四边形为矩形， 又， 则， 过作交延长线于C，显然四边形为矩形， 椭圆焦距，故B正确； 所以， 以为直径作球，即该球的半径为，因为， 所以该球与椭圆有四个交点，根据直径对的圆周角为直角，可知椭圆C上存在不同的四个点M ，使得，故C正确； 所以椭圆的离心率，故D正确； 故选：BCD. 12．(24-25高二上·江苏常州·期末)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，，左、右顶点分别为，，，，设C的离心率为e，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．四边形的面积与的面积之比为 C．四边形的内切圆方程为 D．设条形阴影部分的面积为，灰色阴影部分的面积为，则 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的面积与菱形面积计算即可判断B；根据菱形内切圆的几何性质求得半径与圆心即可得圆的方程，从而判断C；根据椭圆面积及菱形面积关系，即可判断，的关系，从而可判断D. 【详解】由题可得，上、下顶点分别为， 左、右顶点分别为， 因为，，，所以， 若,则则 ，故选项A正确. 对于B，四边形的面积为， 椭圆的面积，则面积比为，故B不正确； 对于C，设四边形的内切圆半径为，则在中可得， 所以，则四边形的内切圆方程为，故C正确； 对于D，由题意有又，所以， 所以，而且 ， 故，故D正确. 故选：ACD. 三、非选择题 13．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，上顶点为.连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点.若，则椭圆离心率为 . 【答案】 【分析】求出点的坐标，由对称性求出点的坐标，由题意可得出，可得出关于、的齐次等式，结合可求出的值. 【详解】如下图所示： 易知点、，直线的方程为， 联立解得，即点， 由椭圆的对称性可知，点与点关于轴对称，则， 所以，，且直线的斜率为， 由已知，则，则， 所以，，即， 等式两边同时除以可得， 因为，解得，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 14．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知A，B分别是椭圆C：的左右顶点，点Q是椭圆C上异于A，B的一点，在中，，，则椭圆C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先设边长，再应用余弦定理得出，再结合角度得出点，最后应用点在椭圆上计算即可求出离心率. 【详解】依题意，， 设，则由，得， 因为中，，所以， 计算得， 过点作，因为，所以， 所以，点在椭圆上可得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 15．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知椭圆 的离心率为，且过点，其中O为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的右顶点作直线与抛物线相交于A，B两点； ①求证:OA⊥OB； ②设射线OA，OB分别与椭圆相交于点M，N，求O到直线MN的距离. 【答案】(1) (2)①证明见解析;② 【分析】（1）先根据椭圆的离心率得到之间的关系；再根据椭圆过点，代入椭圆方程即可求出，进而得出椭圆的标准方程. （2）①先根据椭圆的方程得出右顶点的坐标，根据已知条件分析设出及直线的方程；再联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得出的关系；最后根据平面向量的数量积公式得出，即证得OA⊥OB. ②法一：先设出及直线为，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出之间的关系；再根据得出；最后根据点到直线距离公式即可求解.法二：先设直线，直线；再联立方程组得出，，根据两点间距离公式得出、、；最后根据三角形等面积可即可求解. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，可得：，整理得：， 则椭圆的方程可化为. 代入点得， 则椭圆的方程为. （2） 由椭圆方程为可得：该椭圆的右顶点为. ①设， 当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不满足题意. 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则为方程的两不等根，有． 因为, 所以， 故． ②法一：设，直线为. 由联立方程组，整理得：（*）， 由为方程*的两不等实数根，得. 由①知， 则，有. 因为， 所以， 整理得：， 则有. 则根据点到直线距离公式可得：点到直线的距离为. 法二：不妨设位于轴的上方，则点在第一象限，点在第四象限 设直线，则直线 联立直线和椭圆得方程，解得. 同理可得 则 ， ， ， 则根据三角形等面积可得： 点到直线的距离为：. 16．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2，且点在椭圆M上．过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B，C两点． (1)求椭圆M的方程； (2)证明直线BC的斜率为定值； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据给定的点求出即得椭圆M的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理并结合斜率坐标公式化简计算得证. （3）利用（2）的信息，利用弦长公式及点到直线的距离求出三角形面积关系式，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）设椭圆M的右焦点，则，而，解得， 所以椭圆M的方程为. （2）设直线的方程为，显然直线不过点，即， 由消去得，， 设，则， 由直线的倾斜角互补，得， 即， 整理得， 则， 整理得，因此， 所以直线BC的斜率为定值.    （3）由（2）知，直线的方程为，， ，即，， ， 点到直线的距离，的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 17．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且离心率为，动直线与椭圆交于P，Q两点：当直线过时，的周长为8. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线过点，椭圆的右顶点为A，当面积为时，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦距和椭圆定义求得，进而得到椭圆方程； （2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据，结合韦达定理可构造方程求得结果. 【详解】（1）由题意得：，即， 则， 所以椭圆的方程为：. （2）由题意知：直线斜率不为，可设， 由消去x得：， 则， 设，则，， 可得， 又因为，则， 所以，解得：， 所以直线的斜率. 18．(24-25高二上·江苏镇江中学·期末)已知椭圆四个顶点的四边形为菱形，它的边长为，面积为，过椭圆左焦点与椭圆相交于M，N两点（M，N两点不在轴上），直线的方程为：，过点作垂直于直线并交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标； (3)点为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意设直线及交点坐标，联立方程结合韦达定理，表示出直线方程，再另求出即可； （3）进而可得面积为，换元，构建新函数，利用导数判断单调性求最大值. 【详解】（1）由题意可得：，解得， 椭圆C的标准方程为． （2） 由（1）可得：，即， 由题意可设直线，则， 联立方程，消去x可得：， ∴，则， ∴直线的斜率，则直线的方程为． 令，则可得， 即直线过定点． （3）∴面积为， 令，则， 令， 令，由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，所以，即， ∴面积的最大值为． 【点睛】思路点睛： ①利用韦达定理得出两者之间的关系，并利用该关系证明直线过定点； ②求面积最大值时，因为使用基本不等式时等号成立条件不满足，所以利用导数求其最大值. 19．(24-25高二上·江苏扬州·期末)已知椭圆经过点，且右焦点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线过椭圆的上顶点，过椭圆的右顶点作，垂足为，作交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法1：将点代入椭圆方程，结合的关系求解； 法2：利用椭圆定义求解的值，再结合的关系求解； （2）设，，由可到直线的距离，直线与椭圆方程联列方程组，得点的坐标，从而可得的长，由直角三角形面积公式得面积，再求最值. 【详解】（1）法1：设椭圆的半焦距为， 因为椭圆经过点，所以， 因为右焦点为，所以， 联列方程组，解得， 所以椭圆的标准方程为. 法2：设椭圆的半焦距为， 因为右焦点为，所以，左焦点为， 因为椭圆经过点， 所以， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. （2）椭圆的右顶点， 显然直线的斜率存在，设斜率为，则，， 点到直线的距离， 所以， 联列方程组，消去整理得， 所以，所以， 所以， 所以， 若，则斜率取时，显然更大， 故最大时， 令，则， 由基本不等式得最大时，，， 所以当最大时，直线的方程为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 20．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)已知椭圆的左右焦点分别为、，且离心率．是第一象限内椭圆上的一点，当轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)分别连接并延长交椭圆于点，分别表示和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在椭圆上及椭圆的离心率列方程组求值即可求参； （2）设直线方程联立方程组计算交点，求出面积结合基本不等式得出面积的最大值. 【小题1】设，代入椭圆方程可得， 又椭圆的离心率，则，解得， 又，则，所以椭圆的方程为． 【小题2】由（1）可得，，                      设，其中， 直线，                                  联立，消去得， 解得， 则， 即， 同理可得                        所以       ，当且仅当时，等号成立． 所以的最大值为． 21．(24-25高二上·江苏常州·期末)已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线与轴，轴分别交于点（均不与坐标原点O重合），与椭圆相交于两点. (1)求的方程； (2)直线的斜率为时，求与的面积之比； (3)椭圆右顶点为，当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)1 (3)过定点， 【分析】（1）根据条件，确定的值，得椭圆的标准方程. （2）设直线，得到点的坐标，再与椭圆方程联立，借助韦达定理，得到点坐标的关系，表示出与的面积，可求它们的比. （3）分斜率是否存在进行讨论.当直线斜率存在时，设直线，与椭圆方程联立，根据韦达定理，结合，可探索的关系，得到直线过定点. 【详解】（1）由题知，，所以， 又离心率，得， 则有    所以椭圆的方程为. （2）如图： 设直线，所以， 联立直线与椭圆方程得 ，整理得，，得， 设，则，即， . 所以与的面积之比为1. （3）当直线斜率存在，设直线，联立直线与椭圆方程得 ，整理得，，    整理得，即， 所以或，均满足 当时，直线过点，不满足题意. 当时，直线过定点. 当直线斜率不存在时，直线的方程为，过点. 综上可知，直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为由方向、有目的的一般性证明. （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点. （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 22．(24-25高二上·江苏连云港·期末)已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左，右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不同于左，右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的定义列出关于的方程求解即可， （2）设直线的方程为联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，将用韦达定理代入，同时将得到的式子转化成关于的韦达定理进行约分化简得到最后的结果. 【详解】（1）设椭圆的方程，由题意可知 ，解之得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意知直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 联立方程组，得 ①②得，，所以， 所以为定值. 地 城 考点02 双曲线 一、单选题 23．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知椭圆：的左、右焦点分别，，点在上，，则内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出的面积，进而求出其内切圆半径. 【详解】椭圆：的长轴长，焦距， 则，由，得， 则，设内切圆半径为，由， 得，所以. 故选：B 24．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知椭圆的两个焦点分别为，过点作斜率不为0的直线l，直l与椭圆C交于两点，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】由椭圆方程及椭圆的定义求焦点相关三角形的周长即可. 【详解】由题意， 所以的周长为16. 故选：C 25．(24-25高二上·江苏扬州·期末)设椭圆的半焦距为，直线过，两点，坐标原点到直线的距离等于，则椭圆的离心率为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】确定方程，由点到直线距离等于，列出等式求解即可； 【详解】由题意易知直线方程为：，即， 原点到直线的距离为， ， 所以 ， 所以，即， 所以， 所以， 故选：B 26．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．11 【答案】A 【分析】根据“两点之间，线段最短”可求得的最小值. 【详解】由椭圆，得，∴， 由得，所以圆心，半径为. 设分别与椭圆、圆交于点 则，, 所以， 当且仅当四点共线时取等号 的最小值为. 故选：A. 27．(24-25高二上·江苏徐州·期末)椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出、的值，即可得出该椭圆的离心率的值. 【详解】在椭圆中，，，， 故该椭圆的离心率为. 故选：D. 28．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】将双曲线渐近线分别与直线联立，求得两点的横坐标，结合可得，运算得解. 【详解】因为渐近线方程，所以，解得，同理， 由，则，即，整理得， 所以离心率. 故选：D.      29．(24-25高二上·江苏句容·期末)双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】不妨设一个焦点为，一条渐近线方程为：，即，由点到直线的距离求解． 【详解】解：依题意得，，得，得， 不妨设一个焦点为， 一条渐近线方程为：，即， 则焦点到渐近线方程的距离为：． 故选：C 30．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由双曲线的定义求得，，结合，利用列出方程求得，再由，求得的关系式，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】因为，设，则， 又由双曲线的定义，得，， 所以，， 又因为，可得，即， 解得， 由，即，可得， 双曲线C的离心率为. 故选：C. 31．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线与椭圆的的公式求解即可. 【详解】双曲线中，焦点在轴， 故椭圆中有，解得， 故选：C. 32．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、，如图所示，    又因为，所以， 所以四边形为矩形，设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 33．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)已知双曲线C的焦点在x轴上，两条渐近线为则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线得出，进而求出，得出离心率. 【详解】设双曲线方程为:，则渐近线方程为， 依题意可知 求得， 故选：B. 34．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质直接求解即可. 【详解】由双曲线方程为，得， 所以，所以实轴长为，故A错误； 双曲线的渐近线方程为， 因为，所以渐近线的倾斜角大于小于， 所以双曲线的两条渐近线夹角大于，故B正确； 双曲线的焦点到渐近线的距离为，故C错误； 双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误. 故选：B. 35．(24-25高二上·江苏泰州·期末)双曲线的焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据双曲线方程可得，即可得焦距. 【详解】由双曲线，则，可得， 所以焦距为. 故选：D 36．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)若双曲线的离心率为2，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的离心率公式代入即可得出答案. 【详解】因为若双曲线的离心率为2， 所以，解得：， 故选：D. 37．(24-25高二上·江苏常州·期末)双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求出、的值，即可求出该双曲线的离心率的值. 【详解】将双曲线方程化为标准方程可得， 则，，所以， 因此该双曲线的离心率为. 故选：C. 38．(24-25高二上·江苏连云港·期末)已知正方形，则以为焦点，且过两点的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在双曲线上，故，即可结合离心率公式求解. 【详解】如图：设,， 由于在双曲线上，故 故，化简可得， 由于，故，故， 故选：A    二、多选题 39．(24-25高二上·江苏泰·期末)我们称离心率相同的二次曲线相似．则二次曲线相似的为（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AB 【分析】根据各项给定的曲线方程求离心率，并判断是否相等即可答案. 【详解】对于有，则， 对于有，则， 对于有，则， 对于有，则， 对于有，则， 对于有，则， 综上，A、B中曲线相似，C、D不相似. 故选：AB 40．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，与在第一象限的交点为P，且，记与的离心率分别为与.下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为M，若垂直于x轴，则垂足H为的右顶点 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用椭圆与双曲线的定义，结合它们离心率的定义逐项进行判断. 【详解】令，由，得， 对于A，，解得，， 解得，因此，A正确； 对于B，由，，得， 则，，而，则，B正确； 对于C，，则，，C错误； 对于D，令的内切圆切分别于点，由轴于， 得为圆切的切点，显然， 由，得，因此， 解得，即点为的右顶点，D正确. 故选：ABD    41．(24-25高二上·江苏句容·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A，B，过的直线l（斜率存在）与双曲线的右支交于P，Q两点，中点为M，三角形的内心分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．共线 【答案】BCD 【分析】设点，由斜率公式及点差法可以判断A，B两项，由可以判断C项，在D项中，由双曲线的焦点三角形的内切圆一定切于顶点（右焦点就对应右顶点），通过列式判断． 【详解】解：依题意，得，得，则， 设点， 对于A项，， 因为，所以， 则，故A项错误； 对于B项，由，相减得，， 得，即，故B项正确； 对于C项，， ， 则， 因为， 所以， 得，在三角形中，则，故C项正确； 对于D项，如图，设三角形的内切圆的切点为， 由双曲线的定义得，，而，得， 而，得， 又因为，得切点T与点B重合， 得点，则内心的横坐标为1，同理可得，内心的横坐标也为1， 得三点共线，故D项正确． 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项D中，在双曲线中，焦点三角形的内切圆一定切于顶点（右焦点就对应右顶点）． 三、非选择题 42．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为 . 【答案】1 【分析】首先确定，即可得到焦点在轴，然后可得椭圆的焦点，列方程求解． 【详解】双曲线，则，所以双曲线的焦点在轴上， 所以，又，故解得． 故答案为：1． 43．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知圆锥曲线的离心率为2，则 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，确定圆锥曲线类型，进而列式求出参数. 【详解】由圆锥曲线的离心率为2，得该曲线为双曲线，则， 解得，方程为，因此离心率， 所以. 故答案为：2 44．(24-25高二上·江苏连云港新海高级中学·期末)已知双曲线：的右焦点为，焦距为，点的坐标为．若在双曲线的右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率取值范围是 ． 【答案】 【分析】设的左焦点为，由已知作图，可得，根据圆周角定理得，再由三角形外角可得，即得，结合双曲线定义和勾股定理，即可化简得到，进而求出离心率的范围. 【详解】因为， 所以是以为圆心，为半径的圆与双曲线的交点， 设的左焦点为，则， ，， 又，，则． 在双曲线的右支上，，， 又在中，， ，即，解得， 又，．    故答案为： 45．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 【答案】 【分析】由、直线的斜率为得，再由的面积为8，解得、，由双曲线的定义求出、勾股定理求出可得答案. 【详解】因为以为直径的圆与C在第一象限相交于点P， 所以 在中，由直线的斜率为， 得，即 由的面积为8， 根据三角形面积公式， 将代入上式，可得， 即，解得， 由双曲线的定义知，故 在中，， 即， 故，即 所以， 所以双曲线C的方程为 故答案为： 46．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为 .. 【答案】 【分析】根据等比中项的定义得到，变形即可求出离心率. 【详解】设双曲线的焦距为，由题意得，即， 所以，两边同除以， 得，解得，又，所以. 故答案为： 47．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则 ． 【答案】13 【分析】由焦半径取值范围确定P点位置，从而由双曲线定义即可求解. 【详解】由题意， 所以当在左支上时，当在右支上时， 因为，所以在右支上，所以. 故答案为：. 48．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，若，则的离心率为 . 【答案】 【分析】先求出点的坐标，再利用建立等式，最后通过双曲线的性质求出离心率. 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为. 设，过的直线与一条渐近线平行，则该直线方程为. 与另一条渐近线联立，可得， ，，. 将代入，可得，所以. 已知，则. 因为，所以. 又因为双曲线的离心率，且， 把代入可得，即. 所以离心率. 故答案为：. 49．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知D为双曲线E:的左顶点，点在E上，且E的离心率为2. (1)求双曲线E的方程. (2)过点且斜率为的直线l交E的右支于A，B两点，△ABD的外心为M，O为坐标原点，线段OM所在直线斜率为. ①求证:直线AD和直线BD的斜率之积为定值; ②试探求和的关系，并说明理由. 【答案】(1). (2)①证明见解析；②，理由见解析 【分析】（1）由已知可得的关系式，求解即可得双曲线E的方程； （2）①设，直线AB的方程为且，与双曲线联立方程组，可得，，设直线AD的方程为，直线BD的方程为，计算可得为定值，进而可得结论；②方法一：联立，可求得，进而求得，求得线段AD的中垂线方程，线段BD的中垂线方程，求得的坐标，计算可得结论. 方法二：设，直线AB的方程为且，设出外接圆的方程，分别与直线方程联立方程组，利用消去后的方程的根均是，计算可求解. 【详解】（1）由点在E上，且E的离心率为2，得， 解得，故双曲线E的方程为. （2）①易得直线AD和直线BD斜率存在且不为零，且不为.    设直线AD的方程为，直线BD的方程为，则均不为零且不为. 设，直线AB的方程为且， 联立，消去x得， ， ，， 从而 . 故直线AD和直线BD的斜率之积为定值； ②方法一：联立，消去x得， 解得.同理可得. 线段AD的中点，线段BD的中点， 线段AD的中垂线方程为，线段BD的中垂线方程为 . 联立两直线方程得 =， 即 ， 化简得.联立和， 得，从而点， ， =， . 由①知，所以， 故和的关系为. 方法二：设，直线AB的方程为且， 设的外接圆的方程为， 因为点在该圆上，所以1，即， 联立，消去x得①， ， 联立， 消去x得②， 因为方程①和②的两个不同的根均是， 所以==， 代入得==， 即，即，. 又点，所以. 又，所以. 【点睛】关键点点睛：关键在于联立直线方程求得.同理可得，进而用表示，进而计算可得结论. 50．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)如图，已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上，为双曲线的左、右顶点，为双曲线右支上的动点，直线和直线交于点，直线交双曲线的右支于点.    (1)求双曲线的方程； (2)若点在第一象限，且满足，求直线的方程； (3)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)过定点，理由见解析 【分析】（1）根据题意列出方程组，解出，即得双曲线方程； （2）设点,由题设条件依次求得点，，再求直线的方程； （3）设，直线PQ的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得，写出直线AP的方程，进而可得N点的坐标，又N，B，Q三点共线，则，解得，即可求得定点． 【详解】（1）依题意，可得，解得， 故双曲线C的方程为； （2）    如图，设点，由可得点是的中点， 又，，则， 依题意，点在直线上，则，解得， 将其代入，解得，因点P在第一象限，故. 于是直线的方程为：， 代入，整理得，解得或，故得， 所以直线的方程为 （3）直线经过点，理由如下： 易知直线斜率不为0，设直线的方程为：， 代入，整理得：， 由可得. 设，则 故有.（*） 直线的方程为：，令，代入解得，即, 因三点共线，故,又， 则得，即， 将代入，化简得：， 由（*），可得， 代入整理得：， 即得：，也即， 因点是双曲线右支上的动点，故不能恒为0，故. 此时直线的方程为：，故直线必过定点. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与双曲线位置关系的应用，关键是在解决第2问时，利用韦达定理实现非对称代换，整理方程后推得直线过定点. 51．(24-25高二上·江苏镇江中学·期末)已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)36 【分析】（1）由离心率的定义，点在双曲线上，双曲线的性质列方程组解得双曲线方程，再求出渐近线方程即可； （2）由点斜式得到直线方程，再联立曲线方程得到韦达定理，然后结合三角形的面积公式和弦长公式求出即可； 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为. （2） 由（1）可得，所以直线的方程为，设， 联立，消去可得， 则，， ， 所以， 所以的面积为36. 52．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点.设A，B分别是的左、右顶点，M，N是的右支上异于点B的两点. (1)求的方程； (2)若直线过点，且的斜率为2，求的值； (3)设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由渐近线斜率及双曲线所过的点求双曲线参数，即可得方程； （2）由题意为，设，，联立双曲线，应用韦达定理及弦长公式求； （3）法一：设为，，，法二：讨论斜率的存在性，设为，，，或为，，，再联立双曲线，应用韦达定理及已知条件列方程求参数关系，即可得定点；法三：，分别为，，联立双曲线，结合用表示出的坐标，进而写出直线，即可证结论. 【详解】（1）由题意得，解得，所以的方程为. （2）由题意，为，设，， 由，得，所以. 因为M，N在P点的两侧，所以与异号， 所以 . （3） （方法一）由题意得，的斜率不为0， 设为，，. 由，得， 所以，且，. 因为，，，所以. 又，即，所以 ， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或2. 当时，的方程为，此时过点，不合题意， 当时，的方程为，此时过点，符合题意， 所以恒过定点. （方法二）①若的斜率不存在，设为，，. 因为，，，所以， 由对称性知，，则，解得， 所以的方程为，此时过点. ②若的斜率存在，设为，，. 由，得， 所以，且，. 因为，，，所以. 又，即，所以 ， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或. 当时，为，此时过点，不合题意， 当时，为，此时过点，符合题意. 综上，恒过定点. （方法三）因为，，，的斜率分别为，， 所以，分别为，. 由，得， 所以，又，所以， 所以，即. 由，得， 所以，又，所以， 又，即，所以， 所以，即. ①若的斜率不存在，则，即，解得， 则，所以为，此时过点. ②若的斜率存在，则， 所以为，即， 化简得，即，此时过点. 综上，恒过定点. 【点睛】关键点点睛：第三问，设直线的方程或直线，的方程，联立双曲线并应用韦达定理及已知得到相关参数的数量关系为关键. 53．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与 的斜率之积为，记的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)曲线上两点满足，且四边形的面积为12，求 的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）由题意列出方程，化简即得的方程； （2）结合图形由推得，继而推出，设直线的方程为，与双曲线方程联立，求出点的坐标，由对称性得点的坐标，由四边形的面积为12列出方程，解之求得的值，继而可求出 的值. 【详解】（1）依题意，可得，化简得， 故的方程为. （2） 如图，因，依题意，，故得， 则四边形为平行四边形.因直线得斜率必存在，故可设其斜率为， 则直线的方程为，代入双曲线方程， 整理得：，则， 由，可得，将其代入，解得， 即得， 由上已得，故点与点关于原点对称，故点的坐标为. 又因四边形的面积 ，解得或. 而， 故当时，； 当时，. 综上，可得 的值为10. 54．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长是虚轴长的2倍，且过点. (1)求的标准方程； (2)若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点， ①证明：平分； ②过坐标原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由已知可得且，可求的标准方程； （2）①设，设切线，联立方程组利用判别式可求得，进而求得，可证到两边距离相等，可证结论；②由①可知的方程为，联立方程线求得的纵坐标，进而可求得面积的最大值. 【详解】（1）因为实轴长是虚轴长的2倍，则，即. 又过点，所以，解得，. 所以的标准方程为. （2）①设，则，切线， 联立化简得. 由，解得， 所以直线：，令，得. 直线的方程为，即， 所以到的距离为. 同理点到直线的距离为. 所以，故平分. ②由①可知的方程为， 联立解得. 联立解得. . 当且仅当时，取等号. 所以的面积， 即面积的最大值为. 55．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线 ，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）根据题意列出方程组，求解即可； （2）①写出直线的方程，与双曲线方程联立，求出弦长和点到的距离即可；②设，，当直线斜率不为0时，设，与双曲线方程联立，表示并化简得 ，根据为常数得出时；再验证当直线斜率时也满足即可. 【详解】（1）因为点在双曲线上，得 又因为渐近线方程为，所以， 解得，所以双曲线的方程为. （2）①直线斜率为 ，故直线的方程为， 代入双曲线得， ， 所以， 又点到的距离为， 故的面积为. ②设，， 当直线斜率不为0时，设，代入双曲线得， ，， 所以 ， 若为常数，则为常数，设为常数，则对任意的实数恒成立，，所以， 所以，此时. 当直线斜率时为，对于 所以，解得或（舍），所以在轴上存在定点，使得为定值. 56．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义，以及题中条件，即可得出双曲线的方程； （2）设，，先由题中条件，得到直线斜率为正，设直线的方程为：，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，以及，列出方程组求解即可； （3）同（2）设，，直线的方程为：，得，；直线的方程为；写出直线的方程，进而求出点横坐标，得出点坐标，求出直线的方程与联立，即可求出点横坐标，从而证明结论成立. 【详解】（1）因为， 所以点P的轨迹是以,为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，，则，， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得代入②可得，即，解得(负值舍去)， 因此直线的方程为：，即； （3）同（2）设，，直线的方程为：， 则，； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由得， 则，所以， 即, 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 【点睛】关键点点睛：求解本题第三问的关键在于，利用（2）中直线与双曲线联立后所得根与系数关系，结合题中条件，表示出的方程，再由直线l与直线的方程联立，即可求解. 地 城 考点03 抛物线 一、单选题 57．(24-25高二上·江苏南通·期末)已知点在抛物线上，为的焦点，，则（    ） A． B． C． D．16 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，再把点代入抛物线得出，最后计算求解即可. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下： 由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为，又因为点在抛物线上， 所以，所以，所以. 故选：D. 58．(24-25高二上·江苏扬州·期末)过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得两点的纵坐标，由此求得. 【详解】抛物线的焦点为， 直线的方程为， 由，解得， 所以. 故选：D 59．(24-25高二上·江苏句容·期末)抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化为标准方程：，根据准线方程的定义求解． 【详解】抛物线的方程为：， 则其焦点坐标为：，准线方程为：． 故选：D 60．(24-25高二上·江苏徐州·期末)抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线标准方程直接求出准线方程. 【详解】由抛物线知，，故其准线方程为， 故选：A 61．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线方程转换成标准方程即可求解； 【详解】，即，焦点在y轴正半轴上，由，得，所以焦点为， 故选：C. 62．(24-25高二上·江苏连云港·期末)抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的标准方程可得出其焦点坐标. 【详解】对于抛物线，，则，所以，抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 63．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把抛物线化成标准方程再求出焦点坐标即可. 【详解】由抛物线可得， 可得焦点坐标为. 故选：D. 64．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)已知点F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则P点的横坐标为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据抛物线的焦半径公式得解. 【详解】抛物线C的方程为， ，可得， 设，由抛物线的定义得， 所以， 故选：C. 二、多选题 65．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知抛物线的通径长为，焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．点的坐标为 C．设点，若点为上的动点，则的最小值为 D．过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由抛物线的通径长求出的值，可判断B选项；将直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可判断A选项；利用抛物线的定义可判断C选项；求出直线的方程，并求出点到直线的最大距离，结合三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】抛物线的焦点为，联立，解得， 所以，抛物线的通径长为，可得， 对于B选项，抛物线的焦点为，B对； 对于A选项，抛物线的标准方程为， 若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，则，A对； 对于C选项，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点， 由抛物线的定义可得，则，如下图所示： 当、、三点共线时，即当时，取最小值，C错； 对于D选项，设点、， 先证明出抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，即，则， 所以，抛物线在点处的切线方程为， 同理可知，抛物线在点处的切线方程为， 由于这两条切线的交点为，则， 所以，点、的坐标均满足方程， 联立可得，解得，， 所以，， 设点的横坐标为，由题意可知，抛物线在点处的切线与直线平行， 设抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，则，解得， 此时，有，解得，则，即点， 所以，点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为，D对. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用： （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 66．(22-23高二上·重庆南开中学校·月考)抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．存在直线，使得A、B两点关于对称 C．的最小值为6 D．当直线过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切 【答案】ACD 【分析】根据得到故,A正确，中点在抛物线上，B 错误,，C正确，计算D正确，得到答案. 【详解】,故，,故,A正确； 设,设中点，则，相减得到,即,因为A、B两点关于对称，所以,故,故,点在抛物线上，不成立，故不存在，B错误； 过作垂直于准线于,则，当共线时等号成立，故C正确； 如图所示：为中点，故,故为直径的圆与轴相切，故D正确； 故选：ACD. 三、非选择题 67．(24-25高二上·江苏南京文枢高级中学·期末)抛物线的准线方程是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的性质，求解抛物线的准线. 【详解】由，则，准线方程为 故答案为：. 68．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为 【答案】 【分析】设方程为，与抛物线方程联立求出点的坐标，进而求得直线方程，求得点的坐标，由抛物线定义表示出，利用基本不等式求解. 【详解】设方程：，则，求得， 则方程：， 所以，即， 所以，解得， 所以, 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：    69．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)已知为抛物线的焦点，且上一点到点的距离为，若斜率为的直线与交于、两点，且，则的方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线方程的定义即可由焦半径求出的值，可得出抛物线的方程，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，利用焦半径公式即可求解. 【详解】抛物线上一点到点的距离为， 由抛物线定义可得，则，所以，抛物线的方程为． 设直线的方程为，设、， 将的方程代入方程整理得， 需满足，解得， 由韦达定理可得， 故，解得，合乎题意， 故直线的方程为. 故答案为：. 70．(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则 . 【答案】 【分析】先求出抛物线焦点位置，进而确定椭圆焦点位置，后用椭圆基本量的关系求解即可. 【详解】易知在中，，焦点为， 故椭圆的焦点在轴上，故，解得. 故答案为： 71．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点且在第一象限，. (1)求线段的长； (2)求的外接圆方程. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据题意分析可知直线的斜率，根据抛物线方程以及斜率公式列式求解； （2）利用待定系数法，列方程即可求解. 【详解】（1）由题意可得：，直线的倾斜角为，斜率， 设，且， 则，解得或（舍去）， 所以， （2）设的外接圆方程为, 由于，，, 故,解得, 故圆的方程为 72．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)已知抛物线的焦点为 F，点F到抛物线准线距离为2． (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线E上， 顶点重心恰好是抛物线E的焦点 F．求所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的性质直接求出即可； （2）由重心坐标公式和中点坐标公式得到中点坐标为，再由点差法得到直线的斜率，然后求出直线方程验证即可； 【详解】（1）由题意得， 抛物线方程为：. （2） 设，由重心坐标公式得， 中点坐标为， 两式相减得， 方程：， 此时 直线的方程为. 73．(24-25高二上·江苏句容·期末)已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 【答案】(1)8 (2)32 【分析】（1）根据抛物线的定义求出p的值，求出直线l的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解； （2）设直线l的方程为：，，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求出和的值，再利用基本不等式求出四边形的面积的最小值． 【详解】（1）由题意可得，所以， 得抛物线C的方程为：，焦点为， 直线l的方程为：， 联立方程，消去y得， 设，则， 得弦长． （2）设直线l的方程为：，， 联立方程，消去x得， 设，则， 所以， 同理可得， 所以四边形的面积为： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为： 74．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)在平面直角坐标系中，过原点直线交抛物线于另一点，且. (1)求抛物线方程； (2)已知为抛物线上两动点，且关于轴对称，，连接交抛物线于点，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标. 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，求出，再代入抛物线方程即可求解； （2）设则，求出直线的方程，可得其与抛物线的交点的坐标，表示出直线的方程，结合点在抛物线上化简方程，即可求出直线所过定点坐标. 【详解】（1）由题意得，解得， ，解得， 抛物线方程； （2）设，则， 直线的方程为， 与，联立得， ， 直线的方程为， ，所以 直线的方程化简得， 直线过定点. 地 城 考点04 直线与圆锥曲线的位置关系 一、单选题 75．(24-25高二上·江苏泰州·期末)图1是一款多功能无人机，该机的机架采用对称排列结构，机架的俯视图可看成曲线（其中为正数）的一部分（图2）．若是曲线上的一点，且，过点P的两条互相垂直的直线与曲线的另外两个交点分别为，其中一条直线的斜率为1．若，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由整理可得，所以曲线可由双曲线和双曲线组成，分别将过点斜率为和的直线与双曲线方程联立，解出点坐标，再根据两点的距离公式求解即可. 【详解】由整理可得，所以， 所以曲线可由双曲线和双曲线组成，且这两个双曲线的渐近线斜率均为， 因为是曲线上的一点，且，所以点在第一或第三象限， 根据对称性，不妨设点在双曲线上，且在第一象限，此时， 因为过点P的两条互相垂直的直线与曲线的另外两个交点分别为，其中一条直线的斜率为1， 所以另一条直线的斜率为，点在双曲线上，不妨令，， 过点斜率为的直线方程为， 与联立得，解得， 将代入整理得，所以，即， 过点斜率为的直线方程为， 与联立得，解得， 将代入整理得，所以，即， 所以 ， 解得， 所以， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将曲线转换成熟悉的双曲线方程，再根据点坐标和斜率设出直线方程与双曲线方程联立，解出坐标，进而即可求解. 76．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知抛物线上两点，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出的方程，，的坐标，进而把直线与抛物线方程联立消去，根据韦达定理求得，的表达式，进而根据推断出，求得，即可求出结果. 【详解】设直线的方程为代入抛物线，消去得， 设，，则，，， 所以 ， 所以，故直线过定点. 故选：B. 77．(24-25高二上·江苏泰州·期末)点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】令且，进而求得，应用两点距离公式并整理得，应用换元法、二次函数性质求最值即可. 【详解】令且，则，联立抛物线准线，可得， 令，故，故， 所以， 令，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增， 所以的最小值为. 故选：B 78．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（    ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据定义，确定蒙日圆的点结合椭圆离心率计算判断①；根据定义求得，再求出最大面积判断③；设出点M的坐标并求出其横坐标范围计算判断②；根据定义确定点A，B的关系，再利用“点差法”计算判断④. 【详解】对于①，直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆上， 即有，则，椭圆的离心率，①正确； 对于③，依题意，点均在圆上，且，因此线段是圆的直径， 即有，显然圆上的点到直线距离最大值为圆的半径，即点到直线距离最大值为， 因此面积的最大值为，③正确； 对于②，令，有，令椭圆的左焦点，有， 则，而， 因此，即， 所以到的左焦点的距离的最小值为，②正确； 对于④，依题意，直线过原点O，即点A，B关于原点O对称，设，有， 于是得， 又由①知，，得， 所以，④正确， 所以说法正确的有①②③④. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题关键是对椭圆的蒙日圆及椭圆性质应用，及点差法得出斜率积等的应用. 79．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出草图，运用椭圆的对称性，数形结合分析判断即可得解. 【详解】解：易知椭圆关于x轴、y轴、原点对称， 直线与直线关于x轴对称， 直线与直线关于原点对称， 所以椭圆被直线、、所截得的弦长相等，故排除B、C； 根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小， 过原点比到原点的距离远， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要短，故排除D， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要长， 故选： 80．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，由点差法求解离心率即可. 【详解】设，则， 则，两式相减可得， ，即， 即，，故. 故选：B 二、多选题 81．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，在点处的切线为，过作与平行的直线，交于另一点.记与轴的交点为，则（   ） A． B．，，成等差数列 C． D．面积的最小值为16 【答案】BCD 【分析】A选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出；B选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到；C选项，求出，，结合焦半径公式求出，C正确；D选项，弦长公式和点到直线的距离公式，表示出的面积，从而得到面积最小值. 【详解】如图： 由题知，直线，的斜率存在. 对于A，如图，设直线：，联立，消去，整理得， 所以，， 所以，故A错误. 对于B，因为，所以，所以抛物线在点处的切线的斜率为， 所以直线：，即. 联立，消去，整理得， 所以，故B正确. 对于C，由：，令，得，所以. 又，，故C正确. 对于D， . 结合图象可知，，， 又由，得 ，， 所以点到直线的距离 ， 所以 ，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 82．(24-25高二上·江苏南通·期末)在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的通径长为4 B．线段的中点在定直线上 C．直线的斜率之积为定值 D．若，直线与的准线交于点，则 【答案】ACD 【分析】对A：求出直线与轴交点后即可得，即可得通径；对B：联立直线与曲线方程，结合韦达定理可计算出线段的中点坐标，即可得其轨迹；对C：结合斜率定义与所得韦达定理计算即可得解；对D：由可得点坐标，再计算出点坐标即可得解. 【详解】对A：由过点，且抛物线的焦点在轴正半轴上， 故点即为抛物线的焦点，则，即， 则的通径长为，故A正确； 对B：，消去得：， 设、，则，， 有，， 故线段的中点为，在曲线上，不在定直线上，故B错误； 对C：， 故直线的斜率之积为定值，故C正确； 对D：若，由，则，， 则，故，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 83．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)已知为坐标原点，抛物线为抛物线上的两点，且，则下列说法正确的是（    ） A．直线过抛物线的焦点 B．以为直径的圆与轴相切 C．当时， D．若点，且，则 【答案】ABD 【分析】设直线方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求得可判断A；计算可得的中点到轴的距离为，可判断B；求出结合焦点弦公式求解可判断C；利用数量积夹角公式判断即可判断D. 【详解】对于A，设直线方程为，与联立得：， 故，因为，所以，解得， 即直线恒过点，故选项A正确； 对于B，设点M是的中点，，的中点，点到轴的距离为， 故以线段为直径的圆与轴相切，故B正确； 对于C，因为，且三点共线，则，所以， 代入中，得到，即， 所以，故C错误； 对于D，因为点，且，所以， 由对称性不妨设点A在第一象限，所以，，所以， 又，所以，所以， 所以，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：抛物线的相关结论， 中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切； 中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切. 84．(24-25高二上·江苏南京第十三中学·期末)已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （    ） A．点的轨迹为抛物线 B．圆面积最小值为 C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为 D．存在点，使得，其中为坐标原点 【答案】ACD 【分析】由抛物线定义可知A正确；由抛物线性质可知当为坐标原点时，圆面积最小，可知B错误；设，利用垂径定理可构造方程求得，由此可得圆的半径，知C正确；设存在点，由可求得点坐标，知D正确. 【详解】对于A，由题意知：点到点与到定直线的距离相等，且点不在直线上，符合抛物线定义，点的轨迹为抛物线，A正确； 对于B，由A知，点的轨迹为抛物线，则当为坐标原点时，点到直线距离最小，即此时圆的半径最小，即，圆面积的最小值为，B错误； 对于C，由A得：点的轨迹方程为，设，则圆的半径，点到轴的距离，，解得：， 圆的半径，C正确； 对于D，假设存在点，使得， 设，则，整理可得：， 解得：，，或，D正确. 故选：ACD. 三、非选择题 85．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得且点P不在左、右顶点处，设，，进而计算可得，求解即可. 【详解】若是锐角，则且点P不在左、右顶点处. 设，，则，， 则， 解得， 所以点P的横坐标的取值范围是. 故答案为：. 86．(24-25高二上·江苏南通·期末)设直线与双曲线恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】若直线与双曲线恰有一个公共点，则该直线与双曲线相切或与渐近线平行，先考虑特殊直线或时的情况，再考虑时，分该直线与双曲线渐近线平行及该直线与双曲线相切进行讨论，该直线与双曲线渐近线平行时可直接得到关系，该直线与双曲线相切时，则需联立直线与双曲线方程，借助进行计算. 【详解】若，则，此时与轴平行，故与双曲线有两个公共点，不符； 若，则，此时与轴垂直，故需，即，故实数对或符合； 若，当，即时，直线与双曲线的渐近线平行， 又此时直线不过原点，故直线与双曲线必有唯一公共点，符合要求， 此时，例如实数满足条件； 当时，联立， 消去可得， 则需，化简得， 则，则有，则，则， 由，故，则， 故直线与双曲线必有唯一公共点， 故满足且的实数对符合要求； 又，时满足， 故可得实数对只需满足或即可. 故答案为：.（答案不唯一） 87．(24-25高二上·江苏句容·期末)抛物线的焦点为F，点，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线与C的另一个交点分别为M，N．当直线斜率不存在时， ；当直线斜率存在时， ． 【答案】 2 4 【分析】第一空：当直线斜率不存在时，求出的坐标即可求解； 第二空：当直线斜率存在时，设，由直线与抛物线方程联立结合韦达定理进行求解． 【详解】第一空： 抛物线的焦点为， 当直线斜率不存在时， ， 则． 第二空： 当直线斜率存在时，设， 如图所示： 直线的方程为：，代入，可得， 得，得， 同理得， 则， 设直线的方程为：，代入， 可得， 则，得， 故答案为：2；4 88．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)若抛物线 上存在关于直线对称的点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出过对称点的直线的方程，直曲联立表示出韦达定理，得到的中点为，代入已知直线方程得到用表示的判别式，再结合二次函数和分式不等式求解即可； 【详解】由题意可知，设抛物线 上存在关于直线对称的点为，直线的方程为， 联立，消去可得， ， 设的中点为，则，， 因为点在直线上，所以， 解得， 将代入判别式可得，化简可得， 由二次函数的关系可得恒成立， 所以上式等价于，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用对称关系得到直线，再利用中点坐标公式得到关系. 89．(24-25高二上·江苏南通·期末)在平面直角坐标系中，已知点及曲线，过点向右上、左上方作斜率分别为的两条射线，与曲线的交点分别为.当变化时，如果直线的斜率为定值或直线经过定点，那么称是曲线的“优点”. 已知曲线. (1)判断是否为曲线的“优点”； (2)在中任选一个判断是否为曲线的“优点”，并说明理由； (3)给出满足的条件，使得是曲线的“优点”，且__________，并求出对应的定值或定点. ①直线的斜率为定值；②直线经过定点. 请在①②中任选一个填在横线上并作答，不必证明. 【答案】(1)是；理由见解析 (2)都是曲线的“优点”，理由见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由点在轴上，由对称性可得； （2）设直线的方程，联立直线与双曲线方程.由点在双曲线上，利用韦达定理知求点坐标，同理可得点坐标，进而表示出斜率化简得定值；由点在轴上，作点关于轴的对称点，直线与双曲线交点，利用韦达定理得到关系，表示出直线方程，令化简得定点. （3）结合（1）（2）分析，得出条件，同理可证. 【详解】（1）由，直线斜率分别为，可知两直线关于轴对称， 结合双曲线对称性可知，关于轴对称， 故直线的斜率，即斜率为定值， 所以是曲线的“优点”； （2）①是曲线的“优点”，原因如下： 设直线的方程为 ，令， 则直线的方程为 ，令，且. 则. 由，可知在双曲线的下支上， 设， 联立，得， 由题意或. 由和是方程的两不等根，则由韦达定理知， 解得； 同理，将换成，换成，可得. 又， 则直线的斜率 . 故是曲线的“优点”. ②是曲线的“优点”，原因如下： 设直线的方程为 ，直线的方程为 ， 其中，， 作点关于轴的对称点，则. 由对称性可知，点在直线上，且在双曲线下支上. 直线与双曲线相交，即分别在上、下支的两个交点. 联立，得， 由题意或，即且. 由上分析可知是方程的两根， 则由韦达定理知，， 即，，且，， 由直线的方程为， 令，得 ， 故直线过定点， 所以是曲线的“优点”. （3）若满足条件或， 则是曲线的“优点”，且①直线的斜率为定值. 当，即点在轴上时，直线的斜率为定值； 当，即点在双曲线上时，直线的斜率为定值； 若满足条件，即点在轴上（且不为原点）时， 则是曲线的“优点”，且②直线经过定点，定点为. 理由如下： 若，即点在轴上，由对称性可知，直线的斜率为定值； 若，即点在双曲线上时， 设直线， 联立得，， 题意或. ，则，， 以代得，，， ； 若满足条件，即点在轴上时，， 设直线的方程为 ，直线的方程为 ， 其中，， 作点关于轴的对称点，则. 由对称性可知，点在直线上，且在双曲线下支上. 直线与双曲线相交，即分别在上、下支的两个交点. 联立，得， 题意或，即且. 由上分析可知是方程的两根， 则由韦达定理知，， 即，，且，， 由直线的方程为， 令，得 . 故直线过定点. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是直线斜率互为相反数，代同理取代简化运算；二是对称性应用，如当点在轴上时，应用对称转化为直线与双曲线有两个不同交点，进而联立方程利用韦达定理求解. 90．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知椭圆，点，，为坐标原点，且． (1)求椭圆方程； (2)设是椭圆上的两个动点，且满足， （i）求的面积； （ii）已知点，且直线与交于点，直线与交于点，试探究 是否为定值？若是定值，请求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是，1 【分析】（1）应用平面向量数量积坐标公式计算求解； （2）（i）根据斜率积的值分的斜率不存在及的斜率存在，分别计算求解； （ii）先联立方程组计算得出，再类比得出，最后结合椭圆方程化简求解即可. 【详解】（1）由题， 解得，故椭圆方程：； （2）（i）， 当的斜率不存在时，设， 与椭圆方程联立得，， ， 所以，则， 当的斜率存在时，设， 与椭圆方程联立得， 当时，方程两根即为， 由韦达定理，， ，得， ， 点到的距离， 因此， 综上，； （ii）由题直线 由解得， 所以， 所以， 同理 由解得， 故解得， 可得， 故 利用， ， 又因为，所以，所以， 所以 ． 91．(24-25高二上·江苏句容·期末)已知动点P到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数．其中，，且，记点P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明轨迹的形状； (2)当时，记C的左、右顶点分别为，过点的直线与C的左支交于D，E两点，直线与交于点Q，求证：点Q在定直线上； (3)当时，设，若C上两动点M，N均在x轴上方，，且与相交于点R，求证：的周长为定值． 【答案】(1),形状见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）设点，由题意得到方程，分和，得到轨迹形状； （2）设过点的直线为：，与双曲线方程联立，得，由韦达定理得，直线：，直线：，联立得：，即可求解； （3），设，根据题干结论表达出，，所以，由椭圆定义和平行关系计算出，则的周长为定值． 【详解】（1）依题意，设点， 则， 化简得，， 当时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆， 当时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线． （2）当时，曲线C的方程为：，则， 设过点的直线为：， 由，消去x得， 设， 得，， 则， 直线：，直线：， 联立得： ，解得， 直线与交于点Q在定直线上． （3）当时，曲线C的方程为：，， 设点，其中， 由对称性可知， 因为，所以， 因此，三点共线， 且， 由题干条件可得， 动点P到定点的距离与它到定直线的距离的比为常数， 设（不妨记为锐角），过点N作⊥轴于点，作⊥直线于点T， 直线与x轴交点为W， 则，， 故， 所以，解得， 同理由，解得， 所以， 所以为定值； 由椭圆定义，得，， 解得，同理可得， 所以 , 因为， 所以的周长为定值. 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 92．(24-25高二上·江苏南通·期末)设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. (1)求的周长； (2)设点在上，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干的条件求出，进而得到.利用椭圆的对称性以及两点之间的距离公式即可求得结果； （2）由（1）知，设出与直线平行的直线，与椭圆联立使得判别式等于0，即可求得直线，再利用平行线的距离公式与面积公式即可求得结果. 【详解】（1） 已知椭圆的右焦点为，因为， 所以,因为轴，把代入椭圆方程中，得到， 不妨设，因为关于原点对称，则， 所以， 由椭圆的对称性可知：,所以， 所以的周长为； （2） 由（1）得， 由，可得直线的方程为：， 当的面积的最大值时，就是椭圆上的点到直线的距离最大时， 即与直线平行且与椭圆相切时，如上图，设， 联立，整理得：， 因为直线与椭圆相切，所以判别式，解得：，不妨取，所以直线， 则两平行线的距离， 故的面积的最大值. 93．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为． (1)求直线在y轴上的截距之和； (2)若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值； (3)若成等比数列，射线分别交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）设两条平行线的方程分别为，，联立椭圆并应用韦达定理及弦长公式得，进而可得，即得结果； （2）根据已知有，由（1）知点A与点C、点B与点D关于原点对称，结合韦达公式得，进而有，再应用平行线的距离公式证明结论； （3）由等比中项的性质得，设直线的方程为并联立得到、，再根据四边形的面积、求面积的范围. 【详解】（1）设两条平行线的方程分别为，， 由，得， 所以，即， 又． 所以 ， 同理，． 由平行四边形得，所以， 因为，所以，即， 所以两条平行线在y轴上的截距之和为0． （2）由四边形为菱形得，所以， 由（1）知关于原点对称， 由椭圆的对称性知点A与点C，点B与点D均关于原点对称， 所以 ． 整理得，所以直线之间的距离， 所以直线之间的距离为定值． （3）由（2）知，则，因为，所以． 设直线的方程为， 由，得，由，得， 所以，同理， 所以，四边形的面积， 因为，且，故， 因为点O到直线的距离为， 所以， 所以四边形的面积. 【点睛】关键点点睛：第三问，利用相关三角形的面积比例与相关线段的等比例关系得到得到四边形的面积为关键. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线 4大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点04 直线与圆锥曲线的位置关系 地 城 考点01 椭圆 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)已知直线与椭圆交于、两点，直线经过右焦点与椭圆交于点，若且，则该椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)若椭圆的离心率为，则（    ） A．2 B． C． D．4 4．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)已知椭圆的左焦点为，O为坐标原点，若椭圆C上存在关于x轴对称的两点P，Q，使得为正三角形，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·江苏常州·期末)已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·江苏句容·期末)设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·江苏南通·期末)椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)椭圆的短轴长为（   ） A．1 B．2 C． D．4 二、多选题 10．(24-25高二上·江苏宿迁中学·期末)已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．若，则 D．面积的最大值为12 11．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)如图是数学家 Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型 （称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O₁，球O₂切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球O₁，球O₂的半径分别为4和1，球心距，则（   ） A．椭圆C的中心在直线O₁O₂上 B． C．椭圆C上存在不同的四个点M ，使得 D．椭圆C的离心率为 12．(24-25高二上·江苏常州·期末)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，，左、右顶点分别为，，，，设C的离心率为e，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．四边形的面积与的面积之比为 C．四边形的内切圆方程为 D．设条形阴影部分的面积为，灰色阴影部分的面积为，则 三、非选择题 13．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，上顶点为.连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点.若，则椭圆离心率为 . 14．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知A，B分别是椭圆C：的左右顶点，点Q是椭圆C上异于A，B的一点，在中，，，则椭圆C的离心率为 . 15．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知椭圆 的离心率为，且过点，其中O为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的右顶点作直线与抛物线相交于A，B两点； ①求证:OA⊥OB； ②设射线OA，OB分别与椭圆相交于点M，N，求O到直线MN的距离. 16．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2，且点在椭圆M上．过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B，C两点． (1)求椭圆M的方程； (2)证明直线BC的斜率为定值； (3)求面积的最大值． 17．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且离心率为，动直线与椭圆交于P，Q两点：当直线过时，的周长为8. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线过点，椭圆的右顶点为A，当面积为时，求直线的斜率. 18．(24-25高二上·江苏镇江中学·期末)已知椭圆四个顶点的四边形为菱形，它的边长为，面积为，过椭圆左焦点与椭圆相交于M，N两点（M，N两点不在轴上），直线的方程为：，过点作垂直于直线并交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标； (3)点为坐标原点，求面积的最大值. 19．(24-25高二上·江苏扬州·期末)已知椭圆经过点，且右焦点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线过椭圆的上顶点，过椭圆的右顶点作，垂足为，作交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程. 20．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)已知椭圆的左右焦点分别为、，且离心率．是第一象限内椭圆上的一点，当轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)分别连接并延长交椭圆于点，分别表示和的面积，求的最大值． 21．(24-25高二上·江苏常州·期末)已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线与轴，轴分别交于点（均不与坐标原点O重合），与椭圆相交于两点. (1)求的方程； (2)直线的斜率为时，求与的面积之比； (3)椭圆右顶点为，当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 22．(24-25高二上·江苏连云港·期末)已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左，右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不同于左，右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 地 城 考点02 双曲线 一、单选题 23．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知椭圆：的左、右焦点分别，，点在上，，则内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 24．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知椭圆的两个焦点分别为，过点作斜率不为0的直线l，直l与椭圆C交于两点，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 25．(24-25高二上·江苏扬州·期末)设椭圆的半焦距为，直线过，两点，坐标原点到直线的距离等于，则椭圆的离心率为（   ） A．1 B． C． D． 26．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．11 27．(24-25高二上·江苏徐州·期末)椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 28．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 29．(24-25高二上·江苏句容·期末)双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．2 C． D．1 30．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 31．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 32．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 33．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)已知双曲线C的焦点在x轴上，两条渐近线为则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 34．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 35．(24-25高二上·江苏泰州·期末)双曲线的焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 36．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)若双曲线的离心率为2，则（ ） A． B． C． D． 37．(24-25高二上·江苏常州·期末)双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 38．(24-25高二上·江苏连云港·期末)已知正方形，则以为焦点，且过两点的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 39．(24-25高二上·江苏泰·期末)我们称离心率相同的二次曲线相似．则二次曲线相似的为（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 40．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，与在第一象限的交点为P，且，记与的离心率分别为与.下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为M，若垂直于x轴，则垂足H为的右顶点 41．(24-25高二上·江苏句容·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A，B，过的直线l（斜率存在）与双曲线的右支交于P，Q两点，中点为M，三角形的内心分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．共线 三、非选择题 42．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为 . 43．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知圆锥曲线的离心率为2，则 . 44．(24-25高二上·江苏连云港新海高级中学·期末)已知双曲线：的右焦点为，焦距为，点的坐标为．若在双曲线的右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率取值范围是 ． 45．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 46．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为 .. 47．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则 ． 48．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，若，则的离心率为 . 49．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知D为双曲线E:的左顶点，点在E上，且E的离心率为2. (1)求双曲线E的方程. (2)过点且斜率为的直线l交E的右支于A，B两点，△ABD的外心为M，O为坐标原点，线段OM所在直线斜率为. ①求证:直线AD和直线BD的斜率之积为定值; ②试探求和的关系，并说明理由. 50．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)如图，已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上，为双曲线的左、右顶点，为双曲线右支上的动点，直线和直线交于点，直线交双曲线的右支于点.    (1)求双曲线的方程； (2)若点在第一象限，且满足，求直线的方程； (3)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 51．(24-25高二上·江苏镇江中学·期末)已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 52．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点.设A，B分别是的左、右顶点，M，N是的右支上异于点B的两点. (1)求的方程； (2)若直线过点，且的斜率为2，求的值； (3)设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点. 53．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与 的斜率之积为，记的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)曲线上两点满足，且四边形的面积为12，求 的值． 54．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长是虚轴长的2倍，且过点. (1)求的标准方程； (2)若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点， ①证明：平分； ②过坐标原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 55．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线 ，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 56．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 地 城 考点03 抛物线 一、单选题 57．(24-25高二上·江苏南通·期末)已知点在抛物线上，为的焦点，，则（    ） A． B． C． D．16 58．(24-25高二上·江苏扬州·期末)过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 59．(24-25高二上·江苏句容·期末)抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 60．(24-25高二上·江苏徐州·期末)抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 61．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 62．(24-25高二上·江苏连云港·期末)抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 63．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 64．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)已知点F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则P点的横坐标为（    ） A． B．2 C． D．3 二、多选题 65．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知抛物线的通径长为，焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．点的坐标为 C．设点，若点为上的动点，则的最小值为 D．过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 66．(22-23高二上·重庆南开中学校·月考)抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．存在直线，使得A、B两点关于对称 C．的最小值为6 D．当直线过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切 三、非选择题 67．(24-25高二上·江苏南京文枢高级中学·期末)抛物线的准线方程是 ． 68．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为 69．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)已知为抛物线的焦点，且上一点到点的距离为，若斜率为的直线与交于、两点，且，则的方程为 ． 70．(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则 . 71．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点且在第一象限，. (1)求线段的长； (2)求的外接圆方程. 72．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)已知抛物线的焦点为 F，点F到抛物线准线距离为2． (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线E上， 顶点重心恰好是抛物线E的焦点 F．求所在的直线方程． 73．(24-25高二上·江苏句容·期末)已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 74．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)在平面直角坐标系中，过原点直线交抛物线于另一点，且. (1)求抛物线方程； (2)已知为抛物线上两动点，且关于轴对称，，连接交抛物线于点，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标. 地 城 考点04 直线与圆锥曲线的位置关系 一、单选题 75．(24-25高二上·江苏泰州·期末)图1是一款多功能无人机，该机的机架采用对称排列结构，机架的俯视图可看成曲线（其中为正数）的一部分（图2）．若是曲线上的一点，且，过点P的两条互相垂直的直线与曲线的另外两个交点分别为，其中一条直线的斜率为1．若，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．4 76．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知抛物线上两点，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 77．(24-25高二上·江苏泰州·期末)点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 78．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（    ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 79．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 80．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 81．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，在点处的切线为，过作与平行的直线，交于另一点.记与轴的交点为，则（   ） A． B．，，成等差数列 C． D．面积的最小值为16 82．(24-25高二上·江苏南通·期末)在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的通径长为4 B．线段的中点在定直线上 C．直线的斜率之积为定值 D．若，直线与的准线交于点，则 83．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)已知为坐标原点，抛物线为抛物线上的两点，且，则下列说法正确的是（    ） A．直线过抛物线的焦点 B．以为直径的圆与轴相切 C．当时， D．若点，且，则 84．(24-25高二上·江苏南京第十三中学·期末)已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （    ） A．点的轨迹为抛物线 B．圆面积最小值为 C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为 D．存在点，使得，其中为坐标原点 三、非选择题 85．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 86．(24-25高二上·江苏南通·期末)设直线与双曲线恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对可以是 . 87．(24-25高二上·江苏句容·期末)抛物线的焦点为F，点，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线与C的另一个交点分别为M，N．当直线斜率不存在时， ；当直线斜率存在时， ． 88．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)若抛物线 上存在关于直线对称的点，则实数k的取值范围是 ． 89．(24-25高二上·江苏南通·期末)在平面直角坐标系中，已知点及曲线，过点向右上、左上方作斜率分别为的两条射线，与曲线的交点分别为.当变化时，如果直线的斜率为定值或直线经过定点，那么称是曲线的“优点”. 已知曲线. (1)判断是否为曲线的“优点”； (2)在中任选一个判断是否为曲线的“优点”，并说明理由； (3)给出满足的条件，使得是曲线的“优点”，且__________，并求出对应的定值或定点. ①直线的斜率为定值；②直线经过定点. 请在①②中任选一个填在横线上并作答，不必证明. 90．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知椭圆，点，，为坐标原点，且． (1)求椭圆方程； (2)设是椭圆上的两个动点，且满足， （i）求的面积； （ii）已知点，且直线与交于点，直线与交于点，试探究 是否为定值？若是定值，请求出该定值，若不是，请说明理由． 91．(24-25高二上·江苏句容·期末)已知动点P到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数．其中，，且，记点P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明轨迹的形状； (2)当时，记C的左、右顶点分别为，过点的直线与C的左支交于D，E两点，直线与交于点Q，求证：点Q在定直线上； (3)当时，设，若C上两动点M，N均在x轴上方，，且与相交于点R，求证：的周长为定值． 92．(24-25高二上·江苏南通·期末)设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. (1)求的周长； (2)设点在上，求的面积的最大值. 93．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为． (1)求直线在y轴上的截距之和； (2)若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值； (3)若成等比数列，射线分别交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $