精品解析：江苏省沭阳高级中学2023-2024学年高二（实验班）上学期期末考试数学试卷

高二年级期末考试 数学（实验班） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1. 若直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. 2或0 B. 或1 C. D. 2 2. 设数列为等差数列，是前n项和，且，则（ ） A. 2024 B. 2023 C. 1012 D. 1011 3. 过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种 4. 已知P为双曲线右支上的一个动点，若点P到直线的距离大于m恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 7. 已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆C：上存在关于直线l：对称的点，则实数m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9. 设椭圆C：的左､右焦点分别为，是上的动点，则（ ） A. B. C的离心率为 C. 面积最大值 D. 上有且只有4个点，使得是直角三角形 10. 2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，某医院派出甲､乙､丙､丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ） A. 所有不同分派方案共种 B. 若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种 C 若A分派2名医生，B，C各分派1名医生，则所有不同分派方案共12种 D. 若C没派医生，A，B企业各分派2名医生，则所有不同分派方案共12种 11. 设A，B是一次随机试验中两个事件，且，，，则（ ） A. A，B相互独立 B. C. D. 12. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B C. D. 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 若不是常值函数，写出一个同时具有性质①②的函数________.①为偶函数；②. 14. 在二项式的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中的常数项为__________. 15. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______. 16. 已知数列的通项公式为，若，…，，…是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，则数列的前项和为___________. 四､解答题（本题共6大题，共70分.解答应写出必要文字说明､证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数，其图象在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值. 18. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示. （1）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； （2）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 19. 已知数列的前项积为，且. （1）证明：是等差数列； （2）设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求的前项和. 20. 在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） （1）求甲队最终获胜且种子选手上场的概率； （2）已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率. 21. 已知函数，，有两个零点，. （1）若，求的最小值； （2）证明：. 22. 已知抛物线焦点为，准线为，与轴交点为，点在抛物线上，过点作于点，如图，已知，且四边形的面积为. （1）求抛物线的方程； （2）若正方形的三个顶点都在抛物线上（如图2），求正方形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级期末考试 数学（实验班） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1. 若直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. 2或0 B. 或1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行建立等式即可得解，注意检验重合. 【详解】由题：直线与直线平行， 所以 ，解得：或. 当时，两条直线为与直线重合，所以舍去， 当时符合题意. 故选：C 2. 设数列为等差数列，是前n项和，且，则（ ） A. 2024 B. 2023 C. 1012 D. 1011 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差数列的通项公式及前项和公式求解等差数列基本量，即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列首项，公差为， 可得，则， 所以，则， 则. 故选：C 3. 过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总测试的安排方案种数. 【详解】①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法， 此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同； ②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法， 此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同； ③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法； 故选拔测试的安排方案有种. 故选：B. 4. 已知P为双曲线右支上的一个动点，若点P到直线的距离大于m恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把所求问题转化为求点到直线的最小距离，结合渐近线和与之平行线间的距离公式可求. 【详解】双曲线C的渐近线方程为， 直线与其中一条渐近线平行， 二者之间的距离，且直线在直线的左边， 由题意知点P到直线的距离大于， 所以， 所以实数m的取值范围为. 故选：C. 5. 已知函数在上是单调递增函数，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据区间单调性得对任意恒成立，即，利用导数研究右侧单调性，进而求参数a的范围. 【详解】因为函数在上是单调递增函数， 所以对任意恒成立，所以， 令，则， 所以在内为减函数， 所以，则． 故选：C 6. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 7. 已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合点在直线上，求出切点弦AB的方程，确定其所经过的定点，确定当时，C到直线AB的距离最大，M到直线AB的距离也最大，即可求得答案. 【详解】根据题意，设点，则， 过点作圆的切线，切点分别为A，B， 则有，，则点A，B在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立，可得圆D和圆O公共弦为：， 又由，则有，变形可得， 则有，可解得，故直线恒过定点， 点在圆上，， 当时，C到直线AB的距离最大，M到直线AB的距离也最大， 则点到直线距离的最大值为. 故选:B. 8. 已知椭圆C：上存在关于直线l：对称的点，则实数m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设C上关于直线对称的两点分别为，，其中点为，利用点差法，结合点E在C的内部可得，求解即可 【详解】设C上关于直线对称的两点分别为，，其中点为， 则，，两式相减， 得， 由，得， 又，， 所以，即，又， 所以，，即， 又点E在C的内部， 所以，所以． 故选：C． 二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9. 设椭圆C：的左､右焦点分别为，是上的动点，则（ ） A. B. C的离心率为 C. 面积最大值为 D. 上有且只有4个点，使得是直角三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆的方程求得的值，结合椭圆的定义，离心率的定义和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得， 根据椭圆的定义，可得，所以A正确； 根据离心率的定义，可得椭圆的离心率为，所以B不正确； 由椭圆的几何性质，可得最大值为，所以C错误； 因为以为直径的圆的方程为， 联立方程组，整理得，即方程组无解， 所以以点为直角顶点的不存在； 过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和； 过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和， 综上可得，椭圆上有且仅有个点使得为直角三角形，所以D正确. 故选：AD. 10. 2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，某医院派出甲､乙､丙､丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ） A. 所有不同分派方案共种 B. 若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种 C. 若A分派2名医生，B，C各分派1名医生，则所有不同分派方案共12种 D. 若C没派医生，A，B企业各分派2名医生，则所有不同分派方案共12种 【答案】BC 【解析】 【分析】求得所有不同分派方案判断选项A；求得每家企业至少分派1名医生的不同分派方案判断选项B；求得A分派2名医生，B，C各分派1名医生的不同分派方案判断选项C；求得C没派医生，A，B企业各分派2名医生的不同分派方案判断选项D. 【详解】甲､乙､丙､丁4名医生到A，B，C三家企业，每名医生只能到一家企业工作， 选项A：所有不同分派方案共种.判断错误； 选项B：若每家企业至少分派1名医生，则先将医生分为3组， 再将这3组医生任意分派到A，B，C三家企业即可. 则所有不同分派方案共（种）.判断正确； 选项C：若A分派2名医生，B，C各分派1名医生， 则所有不同分派方案共（种）.判断正确； 选项D：若C没派医生，A，B企业各分派2名医生， 则所有不同分派方案共（种）.判断错误. 故选：BC 11. 设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. A，B相互独立 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A、B，利用条件概率的定义与公式可判定C、D. 【详解】由题意可知， 事件互斥，且， 所以， 即，故A正确； 则 ，故B正确； 由条件概率公式可知：，故C错误； ， 即，故D正确. 故选：ABD 12. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB：由题意可知在上单调递增，根据单调性分析判断；对于CD：令，分析可知在上单调递增，可得，进而分析判断即可. 【详解】A选项：因为，可知在上单调递增， 且，则，所以，A正确； B选项：因为，且，则，即， 因为在上单调递增，所以，B正确； C选项：令，则， 可知在上单调递增， 因为，所以，即， 又因为，则，可得， 所以，C错误； D选项：由C可知，且， 则， 令 当单调递增，所以，所以， 所以， 所以，D正确． 故选：ABD. 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 若不是常值函数，写出一个同时具有性质①②函数________.①为偶函数；②. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】结合三角函数的奇偶性和周期性可得. 【详解】由，则是的一个周期， 且为偶函数，故可猜得， 则. 故答案为： 14. 在二项式的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中的常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可确定n的值，继而求得二项展开式的通项公式，令x的指数等于0，求得r的值，即可求得答案. 【详解】因为二项式的展开式中只有第4项二项式系数最大， 故二项式的展开式有7项，则， 故的通项公式为， 令， 故展开式中的常数项为， 故答案为： 15. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由双曲线的定义可得，再由勾股定理列出方程即可得到关系，代入离心率计算公式，即可得到结果. 【详解】 设双曲线的半焦距为c，，，根据题意得， 又，，设的中点为， 在中，，，， 则，，根据， 可知，. 故答案为：. 16. 已知数列的通项公式为，若，…，，…是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，则数列的前项和为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求得等比数列的公比，从而得到，又，即可求得，从而可求得数列的通项，再利用错位相减法即可得出答案. 【详解】由，，则，， 所以等比数列的公比为3，所以， 又因是等差数列的第项，所以， 所以，所以， 所以， 则， ， 两式相减得 所以. 故答案为： 【点睛】数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 四､解答题（本题共6大题，共70分.解答应写出必要文字说明､证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数，其图象在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得出，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）利用导数求出函数的极大值和极小值，再与、进行大小比较，即可得出结论. 【小问1详解】 解：因为，则， 因为函数的图象在点处的切线方程为， 则，解得，故. 【小问2详解】 解：因为，则，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 又因为，， 所以，函数在上的最大值为，最小值为. 18. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示. （1）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； （2）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 【答案】（1）74 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）依据，利用正态分布的对称性计算即可； （2）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可. 【小问1详解】 由题意知，则， 所以； 【小问2详解】 由于和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ， 的分布列为： 0 1 2 3 19. 已知数列的前项积为，且. （1）证明：是等差数列； （2）设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列前项积为与通项的关系，从而可得（），且，求得首项，从而可得结论； （2）根据裂项求和方法得，再根据题意求解的前项和即可. 【小问1详解】 证明：已知数列前项积为得（）， 故有，从而，且，则，所以. 从而是首项为3，公差为2的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知，，. 所以 . 当时，，. 当时，，. 当时，. 这时. 所以时，， 综上， 20. 在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） （1）求甲队最终获胜且种子选手上场的概率； （2）已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件“种子选手第局上场”，事件“甲队最终获胜且种子选手上场”，求出、的值，利用全概率公式可求得的值； （2）设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，计算出、的值，利用贝叶斯公式可求得的值. 【小问1详解】 解：设事件“种子选手第局上场”， 事件“甲队最终获胜且种子选手上场”. 由全概率公式知， 因为每名队员上场顺序随机，故， ，，. 所以， 所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为. 【小问2详解】 解：设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”， ，，， ， 因为. 由（1）知，所以. 所以，已知甲队获得最终胜利，种子选手上场的概率为. 21. 已知函数，，有两个零点，. （1）若，求的最小值； （2）证明：. 【答案】（1）4 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，不可能有两个零点，当时，首先满足，求出的最小值为4，再验证满足条件. （2）因为有两个零点，，所以，要证，即证，令，转化为关于的不等式,用导数证明即可. 【小问1详解】 ， 当时，， 在上为单调递增函数，不可能有两个零点，舍去. 当时，令得，， 当时，，此时为减函数， 当时，，此时为增函数， 故， 要使有两个零点，首先满足， 令 ， ， 当时，，此时为增函数，且， 当时，，此时为减函数， ， ， 又，所以的最小值为4， 下面证明当时，存在两个零点，此时， ，， 又由的单调性知在上各存在一个零点，满足条件. 所以的最小值为4. 【小问2详解】 因为有两个零点，，不妨设， 所以，， 两式相减得， 所以， 要证，即证， 即证，即证， 即证，令， 即证， 令，则， 所以在上为增函数，所以 ， 所以成立，所以成立. 【点睛】方法点睛：利用导数研究含参函数零点问题主要有两种方法: （1）利用导数研究函数的最(极)值，转化为函数图象与轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想，其本质就是在含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题; (2)分离参变量，即由分离参变量，得，研究与图象交点问题。 22. 已知抛物线的焦点为，准线为，与轴交点为，点在抛物线上，过点作于点，如图，已知，且四边形的面积为. （1）求抛物线的方程； （2）若正方形的三个顶点都在抛物线上（如图2），求正方形面积的最小值. 【答案】（1）；（2）32. 【解析】 【分析】（1）设，可推出，即，通过四边形PFMN的面积为，求出，从而可得抛物线的方程； （2）设，直线的斜率为，不妨设，则，由斜率公式得，再由，可得，从而得，由可得，则，所以可得正方形ABCD面积为，然后利用基本不等式求其最小值. 【详解】解：（1）设，在中，,则, ,, ，即, 四边形PFMN的面积由已知可得， 所以抛物线E的方程为， （2）设，直线斜率为， 不妨设，则，且， 因为，所以， 由，得，即， 即， 将代入得， 所以，所以， 所以正方形ABCD面积为 因为，所以（当且仅当时取等号） 因为，所以， 所以（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以正方形ABCD面积的最小值为32 【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是利用正方形的性质将用直线的斜率的表示出来，从而可表示出正方形ABCD面积，再利用基本不等式求解即可，考查转化思想和计算能力，属于难题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$