专题07计数原理与概率统计（期末真题汇编，江苏专用）高二数学上学期苏教版

专题07 计数原理与概率统计 2大高频考点概览 考点01 计数原理 考点02 随机变量与统计 地 城 考点01 计数原理 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)（   ） A．55 B．120 C．165 D．220 【答案】C 【分析】利用组合数的性质计算得解. 【详解】 . 故选：C 2．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（ ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有576种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 D．如果女生不能站在两端，那么有720种不同排法 【答案】A 【分析】根据捆绑法、特殊位置的排列和插空法计算，依次判断选项即可. 【详解】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法，故A正确； B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法种数，故B错误； C：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时，共有种不同的排法种数，故C错误； D：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时，共有种不同的排法种数，故D错误. 故选：A 3．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)四个同学排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排法总数是（    ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 【答案】B 【分析】根据排列组合，结合分类加法计算原理即可求解. 【详解】若甲在第二位，则乙可以站在第一位和第三位，此时有, 若甲在第三位，则乙可以站在第一位和第二位，此时有, 若甲在第四位，则乙可以随意站，此时有, 故总的方法有， 故选：B 4．(24-25高二上·江苏常州·期末)（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由组合数的性质计算可得结果. 【详解】由组合数性质得， . 故选：C. 5．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)若，则的值为（ ） A．3或8 B．3 C．8 D．3或4 【答案】B 【分析】由组合数得计算公式可得或，求解即可. 【详解】因为，所以或， 解得：或. 当时，，不符合组合数的定义，故舍去. 故选：B. 6．(21-22高二下·广东潮州·期末)若，则（    ） A．0 B． C．1 D．129 【答案】C 【分析】赋值，即可求得系数和. 【详解】令，得. 故选：C 7．(24-25高二上·江苏常州·期末)某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理即可得到结果． 【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种排法， 再排其余4节，有种排法， 根据乘法原理，共有种排法， 故选：B． 8．(19-20高三下·浙江宁波十校·)从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（    ）个. A．576 B．1296 C．1632 D．2020 【答案】B 【解析】分成两种情况：取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可；第二种情况下，千位有3种可能，再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可. 【详解】解：当取出的4个数字中没0时，再组成四位数，这样的四位数有个； 当取出的4个数字中有0时，共有中组合，这四位数字所组成的四位数有 个，所以这种情况下的四位数共有个. 故选:B. 【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数，千位不能为零. 9．(21-22高三上·山东济南历城第二中学·开学考)某校甲、乙、丙、丁四位同学报名参加A，B，C三所高校的强基计划考试，每所高校报名人数不限，因为三所高校的考试时间相同，所以甲、乙、丙、丁只能随机各自报考其中一所高校，则恰有两人报考同一所高校的报名种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知先分组后排列即求. 【详解】由题知先分组后排列，则恰有两人报考同一所高校的事件数为. 故选：B. 二、多选题 10．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（   ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 【答案】BCD 【分析】选项A可以看做从8个人中取2个人的排列； 选项B先从男生中选1个有种情况，再从女生中选1人有种情况，进而可得； 选项C先排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况，进而可得； 选项D依次把3个女生插入队伍中，共有种. 【详解】选项A：从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误； 选项B：从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确； 选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况， 共有种情况，故C正确； 选项D：8名学生排成一排，已知5名男生已排好， 先排第一个女生可以排5个男生中间的4个空或2头，有6种情况， 再排第二个女生可以排到排好的6个人中间的5个空或2头，有7种情况， 最后排第三个女生可以排到排好的7个人中间的6个空或2头，有8种情况， 共有种情况，故D正确， 故选：BCD 11．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)若，为正整数且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】对于A：根据组合数公式分析判断；对于B：根据组合数性质分析判断；对于CD：根据排列数公式分析判断. 【详解】因为，为正整数且， 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为， 则 ， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：因为 ， 所以，故D正确； 故选：ABD. 12．(24-25高二上·江苏常州·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】令可得选项A正确；令可得选项B错误；分析二项展开式中系数的正负可得选项C正确；令可得选项D错误. 【详解】A.令得，，故，选项A正确. B.令得，，故，选项B错误. C.二项式展开式的通项为， ∴， 当为偶数时，，当为奇数时，， 令得，，选项C正确. D. 令得，， ∵，∴，选项D错误. 故选：AC. 三、非选择题 13．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)空间中有6个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，则可以作 个平面.（用数字作答） 【答案】20 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算即可. 【详解】空间中有个点，其中任何个点不共面，则任何3个点不共线，过每个点可作一个平面， 所以能作的平面的个数为个. 故答案为： 14．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)记（），则的末位数是 ． 【答案】3 【分析】利用排列数的计算公式求解. 【详解】 因为，，，，，所以时，的末位数字都是0， 所以的末位数字为：． 故答案为：3． 15．2位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同选法共有 种． 【答案】 【分析】由于两人选修的课程不同，属于排列问题，计算结果即可. 【详解】2位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同， 则有种. 故答案为：. 16．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)已知. (1)若，求的值； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)9； (2). 【分析】（1）利用二项式定理求出，进而列式求出值. （2）利用赋值法求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求出. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）当时，，则，， 所以数列的前项和. 17．(24-25高二上·江苏常州·期末)已知，，其中. (1)时，求的最大值； (2)时，记，求数列前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由展开式的通项以及求出，再通过不等式法解出系数最大项即可； （2）代入，通过赋值法令得到，进而得，再利用错位相减法即可求得. 【详解】（1）由题知 ， 所以.   ， 由得 ，化简得，解得 因为，所以. 所以的最大值为. （2） 时，， 令，得， ∴.   则， ， ∴ 所以. 18．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)设，求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)80 (2)2 (3) 【分析】（1）利用通项求解； （2）由求出的值，求出的值，即可求出的值； （3）由求出的值，再利用平方差公式求解. 【详解】（1）由二项式定理可知，在展开式中，第项为 ．        当时，展开式中含的项的系数为， ∴． （2）令，得，即．            令，得，即， ∴． （3）令，得， 即．                ∴ ． 19．(22-23高二下·江苏镇江实验高级中学·期末)已知二项式． (1)若它的二项式系数之和为128． ①求展开式中二项式系数最大的项； ②求展开式中系数最大的项； (2)若，求二项式的值被7除的余数． 【答案】(1)①；②. (2). 【分析】（1）根据二项式定理的二项式系数之和，求得指数，结合组合数的对称性，建立不等式组，可得答案； （2）根据二项式定理可得展开式，将底数整理为的倍数加比小的数，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，解得，其通项为. ①二项式系数最大的项为第4、5项， ，； ②设展开式中系数最大的项为第项，则， 化简可得，解得， 因为，所以或， 所以展开式中系数最大的项为第6、7项， ，， （2）当时，， 因为， 所以二项式的值被除的余数就是被除的余数， 因为， 所以被除的余数为，所以二项式的值被除的余数为. 地 城 考点02 随机变量与统计 一、单选题 20．(24-25高二上·江苏南京第十三中学·期末)根据如下样本数据得到的回归直线方程中的，根据此方程预测当时，y的取值为（    ） x 3 4 5 6 7 8 9 y 4.0 2.5 0.5 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图表数据求出，代入回归直线求出，得到回归直线方程即可求得. 【详解】根据图表数据求出，， 把代入回归直线，有，解得， 所以. 当时，. 故选：B 21．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到新样本的经验回归方程为．在新的经验回归方程下，样本的残差为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算增加样本点后的新的样本中心点，代入经验回归方程可求得；根据经验回归方程可求得，由残差定义可得结果. 【详解】，增加两个样本点后的平均数为； ，， 增加两个样本点后的平均数为， ，解得：，新的经验回归方程为：， 则当时，，样本的残差为. 故选：C. 二、多选题 22．(24-25高二上·江苏南京第十三中学·期末)随机变量且，随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于AB，根据正态分布的期望方差性质可判断；对于C，根据及二项分布期望公式可求出p；对于D，根据二项分布方差的计算公式可求出，进而求得. 【详解】对AB，因为且，所以， 故，，选项A正确，选项B错误； 对C，因为，所以，所以，解得，选项C正确； 对D，，选项D错误， 故选：AC. 23．(24-25高二上·江苏常州·期末)下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（    ） A．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B．相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 C．在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大 D．以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 【答案】BCD 【分析】根据回归直线的概念可得选项A错误；根据回归直线经过样本点中心可得选项B正确；根据独立性检验思想可得选项C正确；利用变形可得选项D正确. 【详解】A.回归直线可能不过散点图中的任何一点，选项A错误. B.根据回归直线经过样本点中心得，，解得，选项B正确. C.根据独立性检验思想，随机变量的观测值越小， “认为两个变量无关”这种判断正确的概率越大， 即“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大，选项C正确. D.由得，， ∴，即， ∴，选项D正确. 故选：BCD. 24．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)国家统计局7月15日发布数据显示，2024年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长.某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 A． B．由散点图知变量和正相关 C．相关系数 D．用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为 【答案】AB 【分析】根据平均数公式以及表格汇出散点图的图象特征判断ABC，根据回归直线过样本点中心，即可判断D. 【详解】A，，故A正确； B，根据表格汇出散点图的图象如下，散点图的分布从左下到右上，所以是正相关，故B正确； C，由选项B可知相关系数，故C错误； D，根据回归直线过样本点中心， 当时，，故D错误； 故选：AB 25．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制了下侧所示的列联表（个别数据暂用字母表示）： 数学成绩 性别 合计 男 女 优秀 27 70 非优秀 58 110 合计 180 经计算得：，参照下表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 则下列选项正确的为（   ） A． B． C．可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关” D．没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关” 【答案】ABD 【分析】利用列联表中数据计算判断AB；结合的观测值及临界值表判断CD. 【详解】对于AB，由列联表知，，AB正确； 对于CD，由知，C错误，D正确. 故选：ABD. 三、非选择题 26．(24-25高二上·江苏南京第十三中学·期末)某中学高一､高二､高三的学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据全概率公式可知任选1名学生概率为，由该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率可得，从而可求解. 【详解】若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生， 则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为，解得. 因为该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，所以. 故的取值范围是. 故答案为：. 27．(24-25高二上·江苏南京第十三中学·期末)某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表： 借阅次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 2 5 3 5 5 1 2 2 25 女生人数 4 4 5 5 3 2 1 1 25 合计人数 6 9 8 10 8 3 3 3 50 若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”． (1)请完成以下列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？ 性别 阅读 合计 一般 爱好 男生 女生 合计 附：，． 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 (2)班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数的概率分布和数学期望． 【答案】(1)列联表见解析，没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关 (2)概率分布见解析，1 【分析】（1）完成2×2列联表，计算出即可得出判断； （2）由题可知，随机变量服从超几何分布，由此求出的概率分布和数学期望． 【详解】（1）列联表： 性别 阅读 合计 一般 爱好 男生 10 15 25 女生 13 12 25 合计 23 27 50 提出假设：是否喜爱阅读与性别没有关系， 根据列联表的数据，可以求得： ， 所以没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关． （2）随机变量服从超几何分布，可能取0，1，2， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 所以， 故抽取男生人数的数学期望为1． 28．(24-25高二上·江苏常州·期末)某款3A级别游戏自发布以来便受到了广泛关注，仅用了三天时间便在各大平台上卖出超过1000万份，这一速度令人惊讶.下表是该游戏发布以来在某一平台各月的销售量统计表. 月份编号 1 2 3 4 5 销售量（百万份） 8 6.3 5.1 3.2 2.4 (1)依据表中的统计数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并判断月份编号与销售量之间是否具有较强的线性相关性； (2)预计该平台半年时间的销售量能否突破26百万份. 参考数据：； 参考公式： . 【答案】(1)，具有较强的线性相关性 (2)不能 【分析】（1）计算、、、、，代入可得答案. （2）用最小二乘法求月销售量与月份编号的一元线性回归方程，代入计算可得答案. 【详解】（1）由题知，， ， ， ， 所以， 所以月份编号与销售量之间具有较强的线性相关性. （2），， 所以经验回归方程为.   当时，， 所以该平台半年时间的销售量不能突破26百万份. 29．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表. 耕种深度 8 10 12 14 16 18 每公顷产量 6 7 8 9 11 13 (1)求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断它们是否具有较强的线性相关性； (2)求经验回归方程. 参考数据：； 参考公式：，，. 【答案】(1)，有较强的线性相关性， (2) 【分析】（1）根据相关系数的公式即可求解， （2）利用最小二乘法即可求解. 【详解】（1）由题意可知， ， 故，故有较强的线性相关性， （2） ， 故， 将代入可得， 故回归直线方程为 30．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营．2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名． (1)完成给出的列联表； 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 女学生 合计 (2)根据独立性检验，判断是否有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 参考公式及数据：． α 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 1．323 2．706 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 【答案】(1)列联表见解析 (2)有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关 【分析】（1）根据已知条件填写列联表； （2）根据已知计算，再与临界值比较判断即可. 【详解】（1）根据已知条件，填写列联表如下： 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 100 400 500 女学生 100 300 400 合计 200 700 900 （2）， 所以有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 计数原理与概率统计 2大高频考点概览 考点01 计数原理 考点02 随机变量与统计 地 城 考点01 计数原理 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)（   ） A．55 B．120 C．165 D．220 2．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（ ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有576种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 D．如果女生不能站在两端，那么有720种不同排法 3．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)四个同学排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排法总数是（    ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 4．(24-25高二上·江苏常州·期末)（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)若，则的值为（ ） A．3或8 B．3 C．8 D．3或4 6．(21-22高二下·广东潮州·期末)若，则（    ） A．0 B． C．1 D．129 7．(24-25高二上·江苏常州·期末)某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 8．(19-20高三下·浙江宁波十校·)从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（    ）个. A．576 B．1296 C．1632 D．2020 9．(21-22高三上·山东济南历城第二中学·开学考)某校甲、乙、丙、丁四位同学报名参加A，B，C三所高校的强基计划考试，每所高校报名人数不限，因为三所高校的考试时间相同，所以甲、乙、丙、丁只能随机各自报考其中一所高校，则恰有两人报考同一所高校的报名种数为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（   ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 11．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)若，为正整数且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 12．(24-25高二上·江苏常州·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 三、非选择题 13．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)空间中有6个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，则可以作 个平面.（用数字作答） 14．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)记（），则的末位数是 ． 15．2位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同选法共有 种． 16．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)已知. (1)若，求的值； (2)若，求数列的前项和. 17．(24-25高二上·江苏常州·期末)已知，，其中. (1)时，求的最大值； (2)时，记，求数列前项和. 18．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)设，求值： (1)； (2)； (3)． 19．(22-23高二下·江苏镇江实验高级中学·期末)已知二项式． (1)若它的二项式系数之和为128． ①求展开式中二项式系数最大的项； ②求展开式中系数最大的项； (2)若，求二项式的值被7除的余数． 地 城 考点02 随机变量与统计 一、单选题 20．(24-25高二上·江苏南京第十三中学·期末)根据如下样本数据得到的回归直线方程中的，根据此方程预测当时，y的取值为（    ） x 3 4 5 6 7 8 9 y 4.0 2.5 0.5 A． B． C． D． 21．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到新样本的经验回归方程为．在新的经验回归方程下，样本的残差为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 22．(24-25高二上·江苏南京第十三中学·期末)随机变量且，随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 23．(24-25高二上·江苏常州·期末)下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（    ） A．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B．相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则 C．在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大 D．以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 24．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)国家统计局7月15日发布数据显示，2024年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长.某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 A． B．由散点图知变量和正相关 C．相关系数 D．用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为 25．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制了下侧所示的列联表（个别数据暂用字母表示）： 数学成绩 性别 合计 男 女 优秀 27 70 非优秀 58 110 合计 180 经计算得：，参照下表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 则下列选项正确的为（   ） A． B． C．可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关” D．没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关” 三、非选择题 26．(24-25高二上·江苏南京第十三中学·期末)某中学高一､高二､高三的学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是 . 27．(24-25高二上·江苏南京第十三中学·期末)某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表： 借阅次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 2 5 3 5 5 1 2 2 25 女生人数 4 4 5 5 3 2 1 1 25 合计人数 6 9 8 10 8 3 3 3 50 若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”． (1)请完成以下列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？ 性别 阅读 合计 一般 爱好 男生 女生 合计 附：，． 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 (2)班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数的概率分布和数学期望． 28．(24-25高二上·江苏常州·期末)某款3A级别游戏自发布以来便受到了广泛关注，仅用了三天时间便在各大平台上卖出超过1000万份，这一速度令人惊讶.下表是该游戏发布以来在某一平台各月的销售量统计表. 月份编号 1 2 3 4 5 销售量（百万份） 8 6.3 5.1 3.2 2.4 (1)依据表中的统计数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并判断月份编号与销售量之间是否具有较强的线性相关性； (2)预计该平台半年时间的销售量能否突破26百万份. 参考数据：； 参考公式： . 29．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表. 耕种深度 8 10 12 14 16 18 每公顷产量 6 7 8 9 11 13 (1)求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断它们是否具有较强的线性相关性； (2)求经验回归方程. 参考数据：； 参考公式：，，. 30．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营．2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名． (1)完成给出的列联表； 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 女学生 合计 (2)根据独立性检验，判断是否有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 参考公式及数据：． α 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 1．323 2．706 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $