江苏省盐城市大丰区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年江苏省盐城市大丰区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 3.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是(    ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4.某校在计算学生的数学总评成绩时，规定期中考试成绩占，期末考试成绩占，林琳同学的期中数学考试成绩为86分，期末数学考试成绩为94分，那么他的数学总评成绩是(    ) A. 86分 B. 88分 C. 90分 D. 分 5.如表是代数式的部分值的情况. x 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是(    ) A. B. C. D. 6.自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的以下哪个特征(    ) A. 圆是轴对称图形 B. 圆是中心对称图形 C. 圆上各点到圆心的距离相等 D. 直径是圆中最长的弦 7.如图，点O是的内切圆的圆心，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，正六边形ABCDEF内接于，若的面积为，则正六边形的边长为(    ) A. B. 3 C. 2 D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.已知关于x的方程的一个根是，则k的值是      . 10.已知扇形的圆心角为，它的半径为2，则扇形的面积为      计算结果保留 11.已知一组数据1，2，4，6，x的众数是2，则这组数据的平均数是      . 12.2029年将在长沙举办第十六届全国运动会.为备战此次全运会，江苏省射击队想从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的10次比赛成绩做了统计：平均成绩均为环，成绩的方差分别是，，，应该选      参加全运会填“甲”、“乙”、“丙”中的一个 13.若方程的一个根为a，则代数式的值为      . 14.如图，AB、CD是的直径，弦，为，则的度数是      . 15.如图，的半径为5，AB为弦，若，则AC的长为      . 16.如图，在中，，，，P为AC边上一动点，O为BP的中点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于E，交BC于F，连接EF，则EF的最小值为      . 三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 解方程： ； 配方法 18.本小题6分 已知，如图，点A，B，C，D是上四个点， 求证： 19.本小题8分 “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为1m，求该门洞的半径. 20.本小题8分 已知关于x的一元二次方程 当时，求方程的实数根； 若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围. 21.本小题8分 小丽家的房前有一块空地，空地上有三棵树A、B、如图，小丽想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.请你帮小丽把花坛的位置画出来尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 在的条件下，若，，求花坛的半径长. 22.本小题8分 某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存.商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降6元，商场平均每天可多售出12件. 如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； 如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ 23.本小题10分 “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益.为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，大丰区主管部门就学生对“阳光定食校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“阳光定食校园餐”的满意度的打分情况如下单位：分： 初中：7，7，7，8，8，8，8，8，9，高中：9，7，9，6，10，6，8，m，9， 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 a b 高中 8 9 根据以上信息，完成下列问题： 填空：______，______. 求m的值. 综合表中数据，从离散程度方差看，______填“初中”或“高中”学生打分更稳定；从集中趋势平均数、中位数、众数看，是初中学生还是高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高？请简要说明理由. 24.本小题10分 如图，AB是的直径，C是上一点，于点D，延长AB至点F，使得 求证：CF与相切； 若，，求阴影部分的周长结果保留 25.本小题12分 已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程.根据“差根方程”的定义，解决下列问题： 下列是“差根方程”的是______；填写序号 ①；② 已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值. 已知是直角三角形，，AB的长为，若的两边AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程. 26.本小题12分 【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法.通过构造平面直角坐标系中的数，利用勾股定理将一元二次方程的根转化为圆与x轴交点的横坐标.如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以AB为直径作若交x轴于点、，则m、n为方程的两个实数根. 【探究】 由勾股定理得，，，在中，，所以 化简得：同理可得：______. 所以m、n为方程的两个实数根. 【运用】 尺规作图；在图2中的x轴上作出以方程两根为横坐标的点M、N，M在N的左边， 已知点、，判断以AB为直径的与x轴的位置关系，并说明理由. 【拓展】 在平面直角坐标系中，已知两点、，若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是______. 27.本小题14分 【课本再现】课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图1所示的例题进行了深入学习，对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解. 例1：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心同一个圆上. 证明：四边形ABCD为矩形， ，，， ， ，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上. 解决问题：“中，，求证：A，B，C三点在同一个圆上.”请你利用图2写出证明过程. 【初步运用】对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题.例如：如图3，在中，，，D是外一点，且，求的度数.若以点A为圆心，AB为半径作辅助，由可知点C，D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______ 【深入理解】如图4，在四边形ABCD中，求证： 【拓展延伸】如图5，在边长为4的菱形ABCD中，，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将沿MN所在直线翻折得到，连接，求长度的最小值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、为分式方程，不符合题意； B、只有当时，它为一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、，未知数最高次数为3次，不是一元二次方程，不符合题意． 故选： 根据定义依次对各选项进行判断即可． 本题考查了一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2次，的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 2.【答案】A  【解析】解：根据题意，可列方程：， 故选： 设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数=第一天揽件数揽件日平均增长率，把相关数值代入即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语和等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律． 3.【答案】D  【解析】解：根据题意得， 解得， 所以a可以取 故选： 利用根的判别式的意义得到，再解不等式得到a的取值范围，然后利用a的取值范围对各选项进行判断． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4.【答案】D  【解析】解：他的数学总评成绩是分， 故选： 根据加权平均数的定义列式计算即可． 本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 5.【答案】B  【解析】解：由表可知，当时，，当时，， 正根的范围是； 故选： 观察表格即可得到x的范围． 本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程解的意义． 6.【答案】C  【解析】解：因为圆上各点到圆心的距离相等， 所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳， 所以自行车车轮要做成圆形． 故选： 利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断． 本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等 7.【答案】A  【解析】解：， ， 点O是的内切圆的圆心， ，CO分别为，的角平分线， ， 故选： 运用三角形内角和定理得出的度数，再根据点O是的内切圆的圆心，得出，从而得出答案． 本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，能求出的度数是解此题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：如图，连接OB、OC， 的面积为， 的半径为， 六边形ABCDEF为正六边形， ， ， 为等边三角形， ， 故选： 连接OB、OC，根据圆的面积公式求出圆的半径，根据正六边形的性质求出，根据等边三角形的性质解答即可． 本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． 9.【答案】2  【解析】解：关于x的方程的一个根是， ， 解得， 故答案为： 将代入中，即可求出k的值． 本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出k的值． 10.【答案】  【解析】解：， 故答案为： 利用扇形的面积公式计算即可． 本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式． 11.【答案】3  【解析】解：一组数据1，2，4，6，x的众数是2， ， 该组数据的平均数为：， 故答案为： 根据众数的概念可得，然后根据平均数的计算公式进行求解即可． 本题考查了众数和平均数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 12.【答案】丙  【解析】解：甲、乙、丙的平均成绩均为环，但是， 根据方差越小成绩越稳定， 应选丙参加全运会． 故答案为：丙． 方差表示的是一组数据的波动大小，方差越小这组数据的波动越小，成绩越稳定，所以三个人的平均成绩相同时要选三个人中方差最小的丙去参加全运会． 本题考查了方差，掌握方差的意义是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：方程的一个根为a， ， 即， ， 故答案为： 先由题意，得，再把代入进行计算，即可作答． 本题考查了已知式子的值求代数式的值，掌握其相关知识点是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：如图，连接ED， 是直径， ， 的度数是， ， ， ， ， 故答案为： 连接DE，利用直径对的圆周角是直角，弧的度数是弧所对圆心角的度数，再根据圆周角定理，得出弧所对圆周角的度数，利用两直线平行内错角相等，得出结论， 本题考查了圆周角定理的应用，平行线的性质，注意在圆中直径的作用非常大，特别是在求角度问题或线段长度问题中． 15.【答案】5  【解析】解：连接OA，OC， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为： 连接OA，OC，则，再证明，可得是等边三角形，即可求解． 本题考查了圆周角定理和圆心角定理，等边三角形，由圆周角定理可得 是解答本题的关键． 16.【答案】  【解析】解：作于点M，则， 在中，，， ，， ， ， ， ， ， ，， 设交AC于点H，连接BH、PF、OE、OF， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 的最小值是， ，， ， 当BP的值最小时，则EF的值最小， 的最小值为， 故答案为： 作于点M，由，，得，，则，所以，则，由，求得，则，，设交AC于点H，连接BH、PF、OE、OF，则，由，求得，由，求得BP的最小值是，由，，得，可知当BP的值最小时，则EF的值最小，求得EF的最小值为，于是得到问题的答案． 此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、圆周角定理、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 17.【答案】，；    【解析】， ， 则或， 所以，； ， ， ， 则， 所以 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； 利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法及解一元二次方程-配方法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 18.【答案】解：， ， ， 即，   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：设该门洞的半径的半径为r m， 如图，过点O作于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA， 则，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：该门洞的半径为  【解析】设该门洞的半径的半径为rm，过点O作于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，则，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 20.【答案】解：当时，方程为， ， ，； 方程有两个不相等的实数根， ， 即 ，   【解析】令，用公式法求出一元二次方程的根即可； 根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m的不等式，求解不等式即可. 本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式，一元二次方程根的判别式 21.【答案】   花坛的半径长为  【解析】如图，分别作线段BC，AC的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，OA的长为半径画圆， 则即为所求． 连接OA，OC， ， ， ， 花坛的半径长为 分别作线段BC，AC的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，OA的长为半径画圆即可． 连接OA，OC，由圆周角定理得，则可得，即花坛的半径长为 本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22.【答案】降价后商场销售这一批衬衫每天盈利1250元；   衬衫的单价降了25元  【解析】当单价降了15元时，每天盈利为元， 答：降价后商场销售这一批衬衫每天盈利1250元； 设衬衫的单价降了x元， 由题意得：， 整理得：， ，不符合题意，舍去， 答：衬衫的单价降了25元． 根据平均每天可售出20件，每件盈利40元，衬衫的单价每降6元，商场平均每天可多售出12件，列式计算即可； 设衬衫的单价降了x元，根据降价后商场销售这批衬衫每天盈利1050元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23.【答案】8，8；   9；   初中，高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高  【解析】初中部打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数， 故答案为：8，8； 高中部打分的平均分为8分， 则， 即， ； 初中部打分的方差为，高中部打分的方差为， 从离散程度方差看，初中部学生打分更稳定； 高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高，理由如下： 初中部和高中部打分的平均数都是8，但高中部的打分的中位数和众数均高于初中部， 高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高． 故答案为：初中． 根据众数、中位数的定义求解即可； 根据高中部平均数即可求解； 根据方差的意义以及平均数、中位数、众数的意义求解即可． 本题考查了求中位数，众数，平均数，方差的意义，掌握相关知识是解题的关键． 24.【答案】如图，连接OC， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 与相切；     【解析】证明：如图，连接OC， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 与相切； 解：，， ， ， 是等边三角形， ， 的长度， 阴影部分的周长为 连接OC，利用等腰三角形性质得到，再根据直径所对圆周角是直角和直角三角形两锐角互余，结合已知条件推出，进而得到，从而证明CF与相切； 先根据，，求出，再根据半径相等得到最后根据弧长公式求出的长，加上BC和OC的长，得到阴影部分的周长． 本题主要考查切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直线与圆的位置关系，扇形面积的计算，解题的关键是掌握以上知识点． 25.【答案】①；  ；     【解析】由得， ，， 则， 所以①符合题意； 由得， ，， 则， 所以②不符合题意． 故答案为：①； 由得， ， 因为此方程是“差根方程”， 所以， 解得； 由题知， 不妨令， 因为，AB的长为， 则 因为AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根， 所以， 则， 所以， 所以， 所以， 同理可得，， 所以，， 则这个差根方程为 根据所给“差根方程”的定义进行判断即可； 根据所给“差根方程”的定义进行计算即可； 根据所给“差根方程”的定义，结合勾股定理进行计算即可； 本题主要考查了根与系数的关系及勾股定理，理解所给“差根方程”的定义及勾股定理是解题的关键． 26.【答案】；   如图2，即为所求；   与x轴相切，理由如下： 由题意得：， ， 方程有两个相等的实数根， 与x轴只有一个交点，即与x轴相切；     【解析】，，， 在中，， ， 化简得：， 故答案为：； 分别以及两点为圆心，大于的长为半径画弧交于P，Q， 连接PQ交AB于点G，以G为圆心，GA为半径画圆，与x轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点M、N即为所画的点，如图2； 与x轴相切，理由如下： 由题意得：， ， 方程有两个相等的实数根， 与x轴只有一个交点，即与x轴相切； 如图，由勾股定理得，，， 在中，， ， 化简得：， 同理可得：， 、n为方程的两个实数根． 故答案为： 根据题目中给定的解法求解即可； 用尺规作图法作出以AB为直径的圆即可； 先根据题意得出方程再根据判别式，得出圆与x轴的位置关系； 仿照的过程即可求得． 本题属于圆的综合题，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念，直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，解答本题的关键是读懂题中材料提供的方法，并能加以灵活运用，体现了数形结合思想． 27.【答案】证明：在中，，取AB的中点O，连接OC， ， ，B，C三点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上， 即A，B，C三点在同一个圆上；   45；   证明：， 点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上， 方法1：如图， ， ， 又在中，， 在中，， ， ； 方法2：延长CA交于点P，连接BP，则PC为的直径， ， 在中，， 在中，， ；    【解析】证明：在中，，取AB的中点O，连接OC， ， ，B，C三点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上， 即A，B，C三点在同一个圆上； 解：根据圆周角定理可得：， 故答案为：45； 证明：， 点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上， 方法1：如图， ， ， 又在中，， 在中，， ， ； 方法2：延长CA交于点P，连接BP，则PC为的直径， ， 在中，， 在中，， ； 解：将沿MN所在直线翻折得到， ， 又是AD的中点， ， 点在以M为圆心，AD为直径的圆上， 当点为与MC的交点时，长度取最小值， 过点M作的延长线于点F，如图5， 在菱形ABCD中，， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 取AB的中点O，连接OC，根据直角三角形斜边的中线性质即可求解； 根据圆周角定理可得； 由题意可得点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，结合圆周角定理即可求证； 根据条件可得点在以M为圆心，AD为直径的圆上，当点为与MC的交点时，长度取最小值，据此即可求解． 本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，直角三角形斜边的中线，菱形的性质，勾股定理等知识点，掌握相关结论并加以运用是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $