精品解析：湖北省黄石市黄石港区2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

2025-2026学年度上学期期中质量检测 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．考试时间为120分钟，满分120分． 2．考生在答题前请阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 2. 下列标志图中，是中心对称图形的是　　 A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 7. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（　　） A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 下列语句中不正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ； ④长度相等的两条弧是等弧 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 4个 10. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 12. 在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______． 13. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_______． 14. 如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度变为 _________ m． 15. 如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，给出如下四个结论：①；②正方形绕点O旋转时，四边形面积随的长度变化而变化；③周长的最小值为；④其中所有正确结论的代号是______． 三、解答题（本大题共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，在中，，，为的外接圆，求的半径． 18. 如图，等腰中，，，点D在上，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 19. 关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个相等的实数根． （1）求m的值； （2）求此方程的根． 20. 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(m，0)，B(n，0)，且， (1)求此抛物线的解析式； (2)设此抛物线与y轴的交点为C，过C作一条平行x轴的直线交抛物线于另一点P，求△ACP的面积． 21. 某批发商以40元/千克的成本购入某产品700千克，根据市场预测，该产品的销售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系如图所示，但保存这批产品平均每天将损耗15千克，且最多保存15天．另外，批发商每天保存该批产品的费用为50元． （1）求销售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系式，不要求写出自变量取值范围； （2）若批发商在保存该批产品x（）天时一次性卖出，则保存该批产品的费用为_________元（用含x的代数式表示）； （3）批发商应在保存该批产品多少天时一次性卖出可获利最多？最多获利多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出； （2）将绕坐标原点按顺时针方向旋转90°得到，请画出； （3）若将绕点旋转可得到，则点的坐标为_______． 23. 在中，．将绕点A顺时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，连接，延长交于点F，判断F是否为线段的中点，并说明理由． 24. 如图，抛物线分别交轴于点，交轴于点，顶点为． （1）求该二次函数的解析式； （2）如图①，点是轴上一动点，连接，是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及此时的周长，若不存在，请说明理由； （3）如图②，点是轴上方抛物线上的一个动点，连接，若直线将四边形的面积分为的两部分，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期中质量检测 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．考试时间为120分钟，满分120分． 2．考生在答题前请阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：3的相反数是﹣3． 故选：A． 【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念． 2. 下列标志图中，是中心对称图形的是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解析： A、不是中心对称图形．故选项错误； B、是中心对称图形．故选项正确． C、不是中心对称图形．故选项错误； D、不是中心对称图形．故选项错误； 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方法则判断选项A；根据同底数幂相除法则判断选项B；根据完全平方公式判断选项C；根据单项式乘以单项式法则判断选项D即可． 【详解】解：A．，原计算正确，符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握积的乘方法则、同底数幂相除法则、完全平方公式、单项式乘以单项式法则是解题的关键． 4. 抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数图象的平移．根据二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，即可得出结论． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是． 故选：D 5. 如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 是的中点， ， ， ， 故选：． 6. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记作，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元； 前三天的累计票房为：． 故选：D． 7. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（　　） A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由于等腰三角形的一边长3为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：（1）当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；（2）当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可． 试题解析：分两种情况： （1）当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程， 得：32-12×3+k=0 解得:k=27 将k=27代入原方程， 得：x2-12x+27=0 解得x=3或9 3，3，9不能组成三角形，不符合题意舍去； （2）当3为底时，则其他两边相等，即△=0， 此时：144-4k=0 解得：k=36 将k=36代入原方程， 得：x2-12x+36=0 解得：x=6 3，6，6能够组成三角形，符合题意． 故k的值为36． 故选B． 考点：1．等腰三角形的性质；2．一元二次方程的解． 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质及等腰三角形性质，熟练掌握旋转前后对应角、对应边相等是解题的关键．由旋转得，，，再根据等腰三角形性质求出角度即可． 【详解】解：由旋转性质得，， ，，， ， 故选：B． 9. 下列语句中不正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ； ④长度相等的两条弧是等弧 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的性质以及垂径定理对每个选项一一判断即可. 【详解】同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，结论①错误；平分弦的直径不一定垂直于弦，结论②错误；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，结论③错误；长度相等的两条弧不一定是等弧，结论④错误.不正确的有①②③④. 故选D. 【点睛】本题主要考查圆的性质，熟记相关概念是解题的关键. 10. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断①；根据对称轴<1求出2a与b的关系，进而判断②；根据x=﹣2时，y＞0可判断③；由x=-1和2a与b的关系可判断④． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴a>0， ∵对称轴在y轴右边， ∴，即b<0 ， ∵抛物线与轴的交点在轴的下方， ∴， ∴，故①错误； 对称轴在1左侧，∴ ∴-b<2a，即2a+b>0，故②错误； 当x=-2时，y=4a-2b+c>0，故③正确； 当x=-1时，抛物线过x轴，即a-b+c=0， ∴b=a+c， 又2a+b>0， ∴2a+a+c>0，即3a+c>0，故④正确； 故答案选：B． 【点睛】此题考查二次函数图像位置与系数的关系，数形结合是关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为： 12. 在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】（-2，-3） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点（2，3）关于原点对称的点的 坐标是（-2，-3）， 故答案为：（-2，-3）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键． 13. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据医院二次方程的定义和根的判别式的定义得到，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ，且， 解得：，且， 故答案为：且． 14. 如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度变为 _________ m． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，求出抛物线解析式，再根据水面下降1m，可得，求得对应的，即可求解． 【详解】解：如图，建立直角坐标系， 则顶点，， 可设抛物线解析式为： 将代入可得：，解得 抛物线解析式为： 水面下降，即，代入抛物线解析式可得： 解得，即 水面宽变为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是建立直角坐标系，正确求得抛物线解析式． 15. 如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，给出如下四个结论：①；②正方形绕点O旋转时，四边形面积随的长度变化而变化；③周长的最小值为；④其中所有正确结论的代号是______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】①由四边形和是正方形可知，易证得≌，则可得为等腰直角三角形；②由①易证得，则可得出结论；③，而的最小值为，故可得结论③正确；④由和，即可得结论． 【详解】解：①四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ；故①正确； ②由①得≌ ， 故②错误； ③由①可知， 周长， 为定值，则最小时的周长最小， 当时最小，的周长最小， 此时， 的周长最小值= 故③正确， ④在中，，，， ， 又 ，故④错误． 故答案为①③． 【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键． 三、解答题（本大题共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，因式分解法解一元二次方程，掌握实数的混合运算法则，因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先算零次幂，绝对值，算术平方根，负指数幂的结果，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）运用因式分解法计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） 因式分解得，， ∴或， ∴． 17. 如图，在中，，，为的外接圆，求的半径． 【答案】⊙O的半径是 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理和勾股定理等内容，连接，，由圆周角定理求得，利用勾股定理求出即可． 【详解】连接，， ， ， 在中， ，，， ， ， （舍负）， 的半径是． 18. 如图，等腰中，，，点D在上，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，本题中利用全等三角形得出线段和角相等是解题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质和旋转的性质，明三角形和全等，得到，，即可求解； （2）由勾股定理可得，，从而得到，，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵是由旋转得到的， ∴， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：在等腰直角三角形中， ∵， ∴， 又∵， ∴，， 由（1）知且， ∴， ∴DE＝． 19. 关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个相等的实数根． （1）求m的值； （2）求此方程的根． 【答案】（1）（2）x1=x2= 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值； （Ⅱ）将m的值代入原方程，即可求出方程的根． 试题解析：（Ⅰ）∵方程x2﹣2mx+（m﹣1）2=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）2=8m﹣4=0， 解得：m=； （II）将m=代入原方程，得：x2﹣x+=0，即（x﹣）2=0， 解得：x1=x2=． 20. 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(m，0)，B(n，0)，且， (1)求此抛物线的解析式； (2)设此抛物线与y轴的交点为C，过C作一条平行x轴的直线交抛物线于另一点P，求△ACP的面积． 【答案】(1)y＝－x2＋4x－3；(2)6. 【解析】 【分析】（1）由题干可知n＞m＞0，则可求解出m和n的值，再根据韦达定理即可确定函数解析式； （2）先求解出C点的纵坐标，从而确定P点的横坐标，即可知道△ACP的底边长，而△ACP的高为C点纵坐标的绝对值，如此即可求解. 【详解】（1）由及可知，n＞m＞0，则可解得m=1，n=3， 由韦达定理可知，b=，-c=3，即c=-3， 故函数解析式为：y＝－x2＋4x－3； （2）当x=0时，y=-3，故C（0，-3）， 当y=-3时，可得x=0或4，即P（4，-3），则CP=4， 故△ACP的面积为：. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的关系，熟悉韦达定理等概念是解题关键. 21. 某批发商以40元/千克的成本购入某产品700千克，根据市场预测，该产品的销售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系如图所示，但保存这批产品平均每天将损耗15千克，且最多保存15天．另外，批发商每天保存该批产品的费用为50元． （1）求销售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系式，不要求写出自变量取值范围； （2）若批发商在保存该批产品x（）天时一次性卖出，则保存该批产品的费用为_________元（用含x的代数式表示）； （3）批发商应在保存该批产品多少天时一次性卖出可获利最多？最多获利多少元？ 【答案】（1） （2） （3）批发商应在保存该批产品10天时一次性卖出可获利最多，最多获利10000元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用和二次函数的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）设函数关系式为，由函数图象进行求解即可； （2）根据题意求解即可； （3）设获利为元，根据“获利销售收入进货成本保存费用”进行列二次函数进行求解即可． 【小问1详解】 解：设函数关系式为， 由图象可得，将和代入得， ， 解得， ∴销售价与保存时间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得，每天保存费用为50元，保存天的费用为元， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设获利为元， ∴销售收入为，进货成本为元， 保存费用为元 ∴获利函数为： ， ∵， ∴这是开口向下的二次函数，有最大值， ∴顶点在， ∵， ∴将代入，得：（元）， 答：批发商应在保存该批产品10天时一次性卖出可获利最多，最多获利10000元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出； （2）将绕坐标原点按顺时针方向旋转90°得到，请画出； （3）若将绕点旋转可得到，则点的坐标为_______． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求． （3） 如图，若将绕点旋转可得到，则点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移与旋转，熟练掌握平移和旋转的性质，是解题的关键： （1）根据点的对应点的坐标为，确定平移规则，进而画出即可； （2）根据旋转的性质，画出； （3）根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，进行求解即可． 【小问1详解】 解：解：点的对应点的坐标为， 先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 在中，．将绕点A顺时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，连接，延长交于点F，判断F是否为线段的中点，并说明理由． 【答案】（1） 证明：连接， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴； （2）①； ②F是线段的中点．理由如下， 连接，延长和交于点G，如图， 由（1）知，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即F是线段的中点． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，根据证明，即可证明； （2）①连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，据此求解即可； ②连接，延长和交于点G，证明，求得，得到，再证明，据此即可证明F是线段的中点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接， ∵，， ∴， 由旋转的性质知，，， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 24. 如图，抛物线分别交轴于点，交轴于点，顶点为． （1）求该二次函数的解析式； （2）如图①，点是轴上一动点，连接，是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及此时的周长，若不存在，请说明理由； （3）如图②，点是轴上方抛物线上的一个动点，连接，若直线将四边形的面积分为的两部分，求直线的解析式． 【答案】（1）二次函数的解析式为 （2）存在的周长最小时，点的坐标为，此时的周长为 （3）直线将四边形的面积分为的两部分，直线的解析式为 【解析】 【分析】（1）根据抛物线交轴于点，顶点为，运用顶点坐标公式，代入计算即可求解； （2）根据两点之间距离的计算可得，如图所示，作点关于轴对称点，则，连接，当点三点共线时，的值最小，最小值为，的周长为，此时周长最小，设直线的解析式为，运用待定系数法可得直线的解析式为，由此可得点的坐标，再根据两点之间距离公式的运用可得的长，由此即可求解； （3）根据二次函数图象的性质可得，设，根据题意，分类讨论：①如图所示，当时，点在二次函数对称轴右边的函数图象上，设与轴交于点，由坐标与图形的关系可得，结合，可解；②如图所示，当时，点在二次函数对称轴左边的函数图象上，设与轴交于点，同理即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于点，顶点为， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：存在，理由如下， ∵， ∴， 如图所示，作点关于轴对称点，则，连接， 当点三点共线时，的值最小，最小值为， ∵的周长为， ∴的周长为，此时周长最小， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， ∴的周长最小时，点的坐标为，此时的周长为； 【小问3详解】 解：由（1）可知二次函数解析式为， 令，则， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是轴上方抛物线上的一个动点， ∴设， ①如图所示，当时，点在二次函数对称轴右边的函数图象上，设与轴交于点， ∴，， ∴， ∵直线将四边形的面积分为的两部分， ∴， ∵ ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 把点代入直线得，， 解得，，， ∴不符合题意，，此时直线的解析式为； ②如图所示，当时，点在二次函数对称轴左边的函数图象上，设与轴交于点， 同理，，， ∴， 解得，， ∴（不符合题意，舍去），， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为，把点代入得，， 解得，（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）； 综上所述，直线将四边形的面积分为的两部分，直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与几何图形-轴对称最短路径，二次函数与四边形的综合，两点之间的距离公式的运用，二次函数与图形面积的计算，掌握二次函数与几何图形的综合，两点之间距离公式的计算方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $