精品解析：广东省茂名市高州市十二校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期学情练习（11月） 九年级数学试卷 一．单选题（每小题3分共30分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2次，的整式方程叫做一元二次方程，根据定义依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、为分式方程，不符合题意； B、只有当时，它为一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、含有两个未知数，且未知数最高次数为3次，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2. 如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形面积的计算，已知对角线长度，由菱形面积等于对角线乘积的一半做计算即可． 【详解】解：，， ． 故选：B． 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，判断四条线段是否成比例，求出最小数与最大数的乘积及中间两个数的乘积，若乘积相等则四条线段成比例，反之不成比例，据此判断即可求解，掌握比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段成比例，该选项符合题意； 故选：． 4. 一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，根据题意知小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块，然后用概率公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意知，小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块， ∴最终停留在花形方砖上的概率为， 故选：． 5. 经过配方，方程可以变形为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先将常数项移到方程右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项，得， 两边同时加上9，得， 即， 故选：D． 6. 下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 5组 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似图形的判定方法． 相似图形需对应角相等且对应边成比例． 【详解】解：①∵两个等边三角形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ②∵两个等腰直角三角形角均为、、，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ③∵两个正方形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ④∵两个菱形对应角不一定相等， ∴不一定相似，不符合题意； ⑤∵两个正六边形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ∴一定相似的有①、②、③、⑤，共4组， 故选：A． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 菱形的对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定和性质即可求解． 【详解】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意； 、四条边相等的四边形是菱形，正确，不符合题意； 、矩形的对角线相等且相互平分，故选项错误，符合题意； 、菱形的对角线互相垂直，正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查特殊四边形的判定和性质，掌握相关知识的判定方法及性质是解题的关键． 8. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 9. 若p，q是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，通过代数式变形整体代入是解题关键． 利用一元二次方程根的定义可得 ，根与系数关系可得，将所求代数式变形为即可求解． 【详解】∵、是方程的两个根， ∴，且，即， ∴． 故选：C． 10. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 二．填空题（每小题3分共15分） 11. 一元二次方程x2﹣16＝0的解是_____． 【答案】x1＝﹣4，x2＝4 【解析】 【分析】直接运用直接开平方法进行求解即可. 【详解】解：方程变形得：x2＝16， 开方得：x＝±4， 解得：x1＝﹣4，x2＝4． 故答案为：x1＝﹣4，x2＝4 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握直接开平方法是解答本题的关键. 12. 一元二次方程 的二次项系数是__ ，一次项系数是____，常数项是______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 化为一般形式，然后根据一元二次方程的概念进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：原方程可化为：， 则二次项系数是，一次项系数是，常数项是 故答案为：；； 13. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】根据刻度尺可知． 在中，点D是的中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键． 14. 若顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形为菱形，则四边形需满足条件______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理得到相应结论，证明四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的四边形是菱形添加条件即可． 【详解】解：，，，分别是边，，，的中点， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 一组邻边相等的四边形是菱形， 若， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为：． 【点睛】本题考查中点四边形，解题的关键是正确理解中点四边形的性质，本题属于基础题型． 15. 已知菱形的两边、的长是关于的方程的两个实数根，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质，已知一元二次方程的解的情况求参数，先根据菱形的性质得到，由此判断一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式求出m的值． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵、的长是关于的方程的两个实数根， ∴关于的方程的有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 故答案为：1． 三．解答题（一）（每题7分，共21分） 16. 解下列方程： （1）； （2）（用公式法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先移项，再根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 17. 有四张形状和大小完全一样的卡片，正面分别写有“决”“胜”“中”“考”，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法，求抽到的两张卡片中有“胜”卡片的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得从中随机抽取两张卡片的所有等可能的结果，再找出抽到的两张卡片中有“胜”卡片的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从中随机抽取两张卡片共有12种等可能的结果，其中，抽到的两张卡片中有“胜”卡片的结果有6种， 则抽到的两张卡片中有“胜”卡片的概率为， 答：抽到的两张卡片中有“胜”卡片的概率为． 18. 如图，在中，已知，，且，求，的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 设 ，则 ，． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例．熟记相关结论即可． 四．解答题（二）（每题9分共27分） 19. （1）如图1，已知，菱形中，于点，于点，求证：； （2）将（1）中绕点旋转至图2时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由． 【答案】 （1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴； （2）（1）中的结论仍然成立，证明：如图，过点A作于，于，则 ， 由（1）可知， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质及等面积法证明即可； （2）过点A作于，于，利用全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】题目主要考查菱形的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握运用这些性质定理是解题关键． 20. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 21. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DEAC且DE=AC，连接AE交OD于点F，连接OE、CE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）已知AB=2，DE=1，求OD的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质先证，即有DE＝OC，即有四边形OCED都是平行四边形，再结合AC⊥BD，即可证明四边形OCED是矩形； （2）在Rt△OCD中利用勾股定理即可求出OD． 【小问1详解】 证明∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，AC⊥BD ∵且DE， ∴DE＝OC，又， ∴四边形OCED都是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形OCED是矩形； 【小问2详解】 ∵四边形OCED为矩形，DE＝1， ∴OC＝DE＝1，∠COD＝90°， 又∵四边形ABCD是菱形，AB＝2， ∴CD＝AB＝2， 又∵∠COD＝90°， ∴在Rt△OCD中， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握菱形的性质是解答本题的关键． 五．解答题（三）（第22题13分，第23题14分共27分） 22. 探究与应用 【知识定义】密码学是数学的重要应用之一．在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数．现在，这样定义：若一元二次方程的两个实数根均为正整数，且满足，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”． 【知识理解】例如：对于方程，两根和均为正整数，且满足，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程，由于，所以此方程不是“密码方程”；对于方程，两个根分别为，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”． 【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题： （1）请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”； ①； ②． （2）已知方程是“密码方程”，“密码数”是31，求和的值； 【答案】（1）①不是“密码方程”， 理由见解析；②是“密码方程”，密码数是71，理由见解析； （2）； 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解二元一次方程组，理解“密码方程”的定义是解题关键． （1）根据“密码方程”的定义求解即可； （2）根据“密码方程”的密码数得到方程的两个根为，代入方程的到关于、二元一次方程组，求解即可． 【小问1详解】 解：①解得， 0不是正整数，故不是“密码方程”； ②解得，两根均为正整数． 又∵， ∴是“密码方程”，密码数是71； 【小问2详解】 解：∵方程是“密码方程”，“密码数”是31， ∴方程的两个根为， 把分别代入得， ， 解得． ，满足“密码方程”的定义 23. 综合与实践课上、数学老师让同学们通过折纸进行探究活动． 【动手操作】 如图1，将平行四边形纸片沿过顶点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点，再沿着过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点．将纸片展平，画出对应点，及折痕，，连接，，． 【初步探究】 （1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 求知小组经过一番思考和研讨后，发现，证明过程如下： 由折叠，可知，． 又由平行四边形的性质，可知，∴． ∴①______． ∴． 先测量和的长度，猜想其关系为②______． 奋进小组经过一番思考和研讨后，发现在寻找和的数量关系时，方法不一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点，构造平行四边形，然后证可得结论 补充上述过程中横线上的内容：①______；②______． 【类比探究】 （2）如图2，将平行四边形纸片特殊化为矩形纸片，重复上述操作．请判断和的位置关系及和的数量关系是否发生变化，并说明理由． 【拓展运用】 （3）在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点，连接．当时，直接写出的长． 【答案】（1）①；②（2）不发生变化，理由见解析（3） 【解析】 【分析】（1）根据推论过程结合等量代换补充完整即可得到①，由方法一思路证明可得到②，即可解题； （2）类似于初步探究的证明过程，即可证明和的位置关系及和的数量关系不发生变化； （3）由，可得，即，因为四边形菱形，可得，由，可得，进而得到，设，则，，根据在含角的直角三角形中的性质建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由等量代换可知：①， 由折叠的性质，可知，，，，，． 四边形为平行四边形， ． ， ． 又， ， ， ，， ， ， ， ． 可猜想其关系为：②， 故答案为：①；②． （2）解：不发生变化，理由如下： 由折叠的性质，可知，． 四边形为矩形， ， ∴． ∴， ∴． 四边形为矩形， ，， 由折叠的性质，可知，，，，，， 又， ， ， ，， ， ， ， ． （3）解：如图， ， ∴， 三点共线， 即， ，， ， 由（2）知，，即， 四边形为平行四边形，即四边形菱形， ， 又， ， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ， 由（2）知，， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，平行线性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期学情练习（11月） 九年级数学试卷 一．单选题（每小题3分共30分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 4. 一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 经过配方，方程可以变形为 （ ） A. B. C. D. 6. 下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 5组 7. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 菱形的对角线互相垂直 8. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 9. 若p，q是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 18 10. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 二．填空题（每小题3分共15分） 11. 一元二次方程x2﹣16＝0的解是_____． 12. 一元二次方程 的二次项系数是__ ，一次项系数是____，常数项是______． 13. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 14. 若顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形为菱形，则四边形需满足条件______． 15. 已知菱形的两边、的长是关于的方程的两个实数根，则_______． 三．解答题（一）（每题7分，共21分） 16. 解下列方程： （1）； （2）（用公式法） 17. 有四张形状和大小完全一样的卡片，正面分别写有“决”“胜”“中”“考”，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法，求抽到的两张卡片中有“胜”卡片的概率． 18. 如图，在中，已知，，且，求，的长． 四．解答题（二）（每题9分共27分） 19. （1）如图1，已知，菱形中，于点，于点，求证：； （2）将（1）中绕点旋转至图2时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由． 20. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 21. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DEAC且DE=AC，连接AE交OD于点F，连接OE、CE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）已知AB=2，DE=1，求OD的长． 五．解答题（三）（第22题13分，第23题14分共27分） 22. 探究与应用 【知识定义】密码学是数学的重要应用之一．在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数．现在，这样定义：若一元二次方程的两个实数根均为正整数，且满足，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”． 【知识理解】例如：对于方程，两根和均为正整数，且满足，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程，由于，所以此方程不是“密码方程”；对于方程，两个根分别为，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”． 【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题： （1）请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”； ①； ②． （2）已知方程是“密码方程”，“密码数”是31，求和的值； 23. 综合与实践课上、数学老师让同学们通过折纸进行探究活动． 【动手操作】 如图1，将平行四边形纸片沿过顶点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点，再沿着过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点．将纸片展平，画出对应点，及折痕，，连接，，． 【初步探究】 （1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 求知小组经过一番思考和研讨后，发现，证明过程如下： 由折叠，可知，． 又由平行四边形的性质，可知，∴． ∴①______． ∴． 先测量和的长度，猜想其关系为②______． 奋进小组经过一番思考和研讨后，发现在寻找和的数量关系时，方法不一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点，构造平行四边形，然后证可得结论 补充上述过程中横线上的内容：①______；②______． 【类比探究】 （2）如图2，将平行四边形纸片特殊化为矩形纸片，重复上述操作．请判断和的位置关系及和的数量关系是否发生变化，并说明理由． 【拓展运用】 （3）在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点，连接．当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $