精品解析：河南省许昌市魏都区许昌市第一中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

XCYZ2025-2026学年第一学期九年级数学期中质量测评 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下面的图形是天气预报使用的图标，从左到右分别代表“霾”、“浮尘”、“扬沙”和“阴”，其中是中心对称图形的是（　　　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 5. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，2023年某款新能源汽车销售量为18万辆，销售量逐年增加，2025年预估销售量为23.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 6. 向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为千米，且时间与高度关系为若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（ ） A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒 7. 根据下列表格的对应值：判断方程 一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 9. 设是抛物线上的三点，则（ ） A. B. C. D. 10. 若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围是________． 12. 点与点关于原点对称，则________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正方向的夹角为，且，若将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则此时点的坐标为 _______． 14. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式是________． 15. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是________． 三、解答题（第16-20题每题8分，第21-22题10分，第23题15分，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 如图三个顶点的坐标分别为，， （1）画出把绕原点O顺时针旋转得到． （2）求出在旋转的过程中，点C经过的路径长（结果保留） 18. 已知二次函数的图象如图所示． （1） ________， ________； （2）方程的两个根为_____； （3）观察图象，当时，的取值范围为_____． （4）将该二次函数图象向上平移______个单位长度后恰好过点． 19. 中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． （1）不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； （2）求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个实数根为2，求另一个实数根； 21. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 （1）求抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 22. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，连接． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若四边形的面积为，，求的长． 23. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． （3）点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． （4）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ XCYZ2025-2026学年第一学期九年级数学期中质量测评 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下面的图形是天气预报使用的图标，从左到右分别代表“霾”、“浮尘”、“扬沙”和“阴”，其中是中心对称图形的是（　　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是二元二次方程； B、是分式方程； C、是一元一次方程； D、符合一元二次方程的定义； 故选D． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，所以，由于，化简得，同时，验证各选项，即可得到答案． 【详解】解：∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴； 又∵， A、，不满足； B、，满足； C、，不满足； D、，不满足． 故选：B． 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解． 【详解】解：， 对称轴为直线，最大值为，顶点坐标为， ∵， ∴开口向下， 故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 5. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，2023年某款新能源汽车销售量为18万辆，销售量逐年增加，2025年预估销售量为23.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，根据题意找准等量关系是解题关键． 设年平均增长率为x，根据增长率模型，2023年销售量经过2年增长到2025年销售量，列出方程，即可解题． 【详解】解：∵ 初始销售量为18万辆，年增长率为x，经过2年增长后销售量为， ∴ 由题意得：． 故选：D． 6. 向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为千米，且时间与高度关系为若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（ ） A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒 【答案】C 【解析】 【分析】本题是对二次函数的对称性以及对称轴的性质的应用，要求在哪一刻高度最高，可转化为求函数何时有最大值；结合题目，根据二次函数的对称性，若两个时刻的高度相等，则最高点对应的时刻为这两个时刻的中点． 【详解】 第秒与第秒的高度相等， 对称轴为 ， 最高高度发生在第秒． 7. 根据下列表格的对应值：判断方程 一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在．根据函数的图象与轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个解在之间， 故选：C． 8. 如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键， 的解集为直线在抛物线上方的部分对应的自变量取值范围，根据图象即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴直线的函数值大于抛物线的函数值， ∴不等式的解集为直线在抛物线上方的部分对应的自变量取值范围， 由图象可得，不等式的解集为：． 故选：C． 9. 设是抛物线上的三点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由点，，与对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ． 故选：A 10. 若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程有实根的条件和一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义以及根的判别式求解即可. 【详解】解：一元二次方程 有实根， 则 ，即 ，判别式 。 令 ，得 ，解得 。 则且, 故答案为：且. 12. 点与点关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标，先根据关于原点对称的点的坐标特点求出a、b的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正方向的夹角为，且，若将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则此时点的坐标为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，如图，过点作轴于点H．求出，即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点H． 由旋转变换的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数图象的平移规则：左加右减，上加下减，对原抛物线进行平移变换，即可求解． 【详解】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式是， 故答案为：． 15. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的开口方向，抛物线的对称轴，给定自变量求函数值，弄清图象的特征与系数的关系是解题的关键．根据抛物线开口方向判断的符号；根据对称轴公式结合的符号确定的符号；根据抛物线与轴的交点确定的符号；由抛物线的轴对称性，确定抛物线与轴交点坐标；代入特殊值，结合图象确定函数值的性质．依据上述方法逐一判定即可求解． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 对称轴即，， ， ，①正确； ， ，②正确； ， 当时， 令抛物线与轴两交点的横坐标为， 由图象可知，，根据对称性可知， 当时，，③错误， 当时，，④正确； 综上，结论正确的是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（第16-20题每题8分，第21-22题10分，第23题15分，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握公式法与因式分解法． （1）利用公式法求解，即可解题； （2）利用因式分解法求解，即可解题； 【小问1详解】 解：， 则， ， ， ； 【小问2详解】 解： 则或， 解得，． 17. 如图三个顶点的坐标分别为，， （1）画出把绕原点O顺时针旋转得到． （2）求出在旋转的过程中，点C经过的路径长（结果保留） 【答案】（1） 所作如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了画旋转图形，求弧长，解题的关键是熟练掌握旋转的作图方法和步骤，以及弧长公式． （1）先画出点A、B、C绕原点O顺时针旋转的对应点，再依次连接即可； （2）先利用勾股定理求出，再根据弧长公式求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如上图，在旋转的过程中，点C经过的路径为以为圆心，以长为半径的半圆弧长， ， 点C经过的路径长为． 18. 已知二次函数的图象如图所示． （1） ________， ________； （2）方程的两个根为_____； （3）观察图象，当时，的取值范围为_____． （4）将该二次函数图象向上平移______个单位长度后恰好过点． 【答案】（1）， （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，一元二次方程的解与二次函数的关系，数形结合是解题的关键． （1）根据函数的开口方向可判断，再根据函数图象与轴的交点可判断； （2）由二次函数的图象可得对称轴为直线，函数图象与轴的一个交点为，利用二次函数的对称性求出函数与轴的另一个交点，即可求解； （3）由图可知，当时，函数有最小值为，当时，，即可求解； （4）先求出原来二次函数的解析式，再根据二次函数平移的特点求解即可． 【小问1详解】 解：由二次函数的图象可得，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由二次函数的图象可得函数的对称轴为直线，函数图象与轴的一个交点为， 函数图象与轴的另一个交点为， 的两个根为，， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：二次函数的开口向上，顶点为， 当时，函数有最小值为， 当时，， 当时，的取值范围为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：设二次函数的解析式为，将代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 设将二次函数图象向上平移个单位长度后恰好过点， 则平移后的二次函数解析式为， 将代入得， 解得， 故答案为：． 19. 中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． （1）不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； （2）求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到，由垂径定理、勾股定理列出关于的方程． （1）由垂径定理，即可得到答案； （2）由勾股定理得到，求出即可得到这个月亮门的最大宽度． 【小问1详解】 解：经过圆心O，且弦， ； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， 设的半径为m，则， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴这个月亮门的最大宽度为． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个实数根为2，求另一个实数根； 【答案】（1） 证明： ， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）另一个实数根为或8． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，方程的解，解一元二次方程． （1）证明即可解题； （2）把代入方程，解关于m的一元二次方程，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：把代入方程得： ， 整理得， 解得：，． 当时，方程为， 解得：，； 当时，方程为， 解得：，； 综上，另一个实数根为或8． 21. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 （1）求抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【答案】（1） （2）石块能飞越防御墙 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键． （1）根据石块在空中飞行的最大高度为10米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为，化为顶点式为； （2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米，得到，当时，，得到石块能飞越防御墙． 【小问1详解】 ∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为，， 即； 【小问2详解】 ∵墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米， ∴点C与点的水平距离为30米、垂直距离为6米， ∴， 当时， ， ∴石块能飞越防御墙． 22. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，连接． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若四边形的面积为，，求的长． 【答案】（1） 证明：把顺时针旋转到的位置， ， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，“三角形全等，对应角和对应边相等”，则，，得证是等腰直角三角形；（2）运用勾股定理可得、的长度； 本题主要考查了正方形、旋转和三角形全等的性质、等腰直角三角形的判定和勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1），四边形的面积＝正方形的面积， 正方形的面积为， ， 在中，，， ， 是等腰直角三角形， ． 23. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． （3）点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． （4）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3），最大值为 （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答； （4）设，利用平行四边形的性质，分以为对角线，以为对角线，以为对角线三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； 【小问3详解】 解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 则 ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为； 【小问4详解】 解：设， 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 综上，存在点E坐标为或或时，以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $