精品解析：河北省名校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年高二上学期期中考试 数 学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 改编人教A版选择性必修一第22页练习第2题 2. 已知，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 0 改编人教A版选择性必修一第79页习题2.3第9题 3. 三条直线,与相交于一点，则（ ） A. B. 1 C. D. 改编人教A版选择性必修一第49页第13题 4. 如图，把边长为4的正方形纸片沿对角线折成直二面角，E，F分别为的中点，则折纸后（ ） A. B. C. D. 改编人教A版选择性必修一第99页第13题 5. 已知圆上恰有三个点到直线l：（）的距离都为1，则l的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 改编人教A版选择性必修一第89页第9题，第97页例6 6. 空间两定点，，动点满足，则点P围成的几何体体积为（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆（）的左焦点，右顶点及上下顶点共圆，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 改编人教A版选择性必修一第89页第10题，第103页第19题 8. 已知点P的坐标满足，其中，一条光线从点P射出经x轴反射后，与圆C：有公共点，则反射光线所在直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 改编人教A版选择性必修一第67页第7题 9. 平面内过点且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ） A. B. C. D. 改编人教A版选择性必修一第105页，第108页例3，第113页例6，第115页第8题，第116页，第109页第4题，第145页第9题 10. ，为平面内两个定点，l为一定直线，，以下动点P的轨迹不能判定是椭圆的有（ ） A. 为大于0的常数 B. 直线，的斜率之积为小于0的常数 C. 直线，的斜率的商为大于1的常数 D. 点P到l的距离为d，为小于1的正常数 11. 已知点，，满足，，，则（ ） A. 的最小值为1，最大值为3 B. △OAB的面积为 C. 线段AB中点的轨迹长度为 D. 的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 改编人教A版选择性必修一第78页例7 12. 直线：与：之间的距离为__________. 改编人教A版选择性必修一第49页第17题 13. 如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为__________米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）. 14. 在四面体OABC中，，，，平面FAB，平面DBC，平面EAC交于点P，则向量用，，表示为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 改编人教A版选择性必修一第67页第9题 15. △ABC的三个顶点是，，.求： （1）边BC上的中线所在直线的一般式方程； （2）边BC上的高线所在直线的斜截式方程. 改编人教A版选择性必修一第10页第9、10题，第42页第7题，第49页第15题，第15页第8题 16. 四面体ABCD中，，. （1）证明：； （2）证明：四面体三组对棱的中点间距离相等. 17. 已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若O为坐标原点，过定点的直线l与椭圆C交于E，F两点，求面积的最大值. 18. 如图，矩形中，，，沿对角线将折起，使点折到点位置，已知. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若的中点为，内是否存在一点，使直线与直线所成角相等.若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 19. 在平面直角坐标系中，对于椭圆E：（），我们把曲线：（）叫椭圆E的共焦共形椭圆簇. （1）证明：曲线为有公共焦点的椭圆； （2）对于任意的椭圆E外一点P，是否存在两个不同的k，使曲线过点P？如果存在，求出k的值，若不存在，请说明理由； （3）过曲线外定点作曲线的两条切线，过两切点M，N的直线方程为，若线段MN的中点为G.证明：对于符合条件的实数k，点G始终在一条定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中考试 数 学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化为斜截式方程即可求解． 【详解】由，得， 得直线的斜率为：， 故选：C 改编人教A版选择性必修一第22页练习第2题 2. 已知，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直得，得，再计算向量的模即可． 【详解】依题意得，，得，解得， 则， 所以， 故选：B 改编人教A版选择性必修一第79页习题2.3第9题 3. 三条直线,与相交于一点，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出两条已知直线的交点，再代入直线求解即可. 【详解】联立,解得其交点为, 代入直线,得： ,解得. 故选：A. 改编人教A版选择性必修一第49页第13题 4. 如图，把边长为4的正方形纸片沿对角线折成直二面角，E，F分别为的中点，则折纸后（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直二面角确定坐标系原点和坐标轴，建立空间直角坐标系，然后根据边长长度求出的空间坐标，最后根据空间两点距离公式求出结果. 【详解】取的中点，连接. 因为折叠前四边形为正方形，， 所以. 因为平面与平面的夹角为直二面角， 所以平面，且. 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为正方形边长为4，则，所以. 所以. 故选：C. 改编人教A版选择性必修一第99页第13题 5. 已知圆上恰有三个点到直线l：（）的距离都为1，则l的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线所过定点为，但不包括，再分析得圆心到直线的距离为1得到方程，解出即可. 【详解】由圆的方程可知其圆心为，半径为2， l：，显然表示恒过点的直线，但不包括直线， 若圆上恰有三个点到直线的距离都为1， 则圆心到直线l的距离为1，得，解得. 直线为， 故选：B. 改编人教A版选择性必修一第89页第9题，第97页例6 6. 空间两定点，，动点满足，则点P围成的几何体体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量之间的关系列出等式并进行化简，得到球的标准方程，进而根据球的体积公式求出结果即可. 【详解】因为， 所以. 因为，所以， 化简得：. 配方得. 这是球的标准方程，球心坐标为，半径为2. 所以该几何体的体积为. 故选：C. 7. 椭圆（）的左焦点，右顶点及上下顶点共圆，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得圆心为左焦点与右顶点的中点，半径，再由即可得到关于、的方程，同除得到关于的方程，解得即可. 【详解】设椭圆的左焦点为，则右顶点为，上顶点为，下顶点为， 因为左焦点，右顶点及上下顶点共圆，则圆心为左焦点与右顶点的中点，半径， 所以，则，即， 又， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以椭圆的离心率为. 故选：A 改编人教A版选择性必修一第89页第10题，第103页第19题 8. 已知点P的坐标满足，其中，一条光线从点P射出经x轴反射后，与圆C：有公共点，则反射光线所在直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点的轨迹方程和的范围，然后结合图象分析反射光线所在直线斜率的最小值和最大值，从而得出结果. 【详解】因为点P的坐标满足，得， 又，所以，，则，， 又，得，，， 如图所示，光线从点P射出经x轴反射后，与圆C：有公共点， 相当于点P关于x轴的对称点P′发出的光线与圆C有公共点， 则可求过点与圆C相切的直线斜率为，，则反射光线所在直线斜率的最小值为. 再求圆：与圆C的内公切线斜率， 因为圆与圆C的半径相同，故内公切线必过线段的中点， 可设内公切线斜率为k，则内公切线为，即 得，解得，故反射光线所在直线斜率的最大值为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 改编人教A版选择性必修一第67页第7题 9. 平面内过点且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分截距均为和截距均不为两种情况讨论，利用待定系数法求出直线方程. 【详解】当截距均为时，设直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，即； 当截距均不为时，设直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，即； 综上可得所求直线方程为或. 故选：BC 改编人教A版选择性必修一第105页，第108页例3，第113页例6，第115页第8题，第116页，第109页第4题，第145页第9题 10. ，为平面内两个定点，l为一定直线，，以下动点P的轨迹不能判定是椭圆的有（ ） A. 为大于0的常数 B. 直线，的斜率之积为小于0的常数 C. 直线，的斜率的商为大于1的常数 D. 点P到l的距离为d，为小于1的正常数 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别可根据椭圆定义及圆锥曲线第二定义可判断AD；建立平面直角坐标系求出动点轨迹方程可判断BC. 【详解】对于A，由为大于0的常数，设， 若，则P的轨迹是椭圆，当时，P的轨迹不是椭圆； 故此时点的轨迹不能判定是椭圆； 对于BC，以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则定点，，动点， 由题意直线的斜率之积为小于的常数，设此常数为， 则， 所以有， 化简得，由， 方程可化为， 当时，轨迹表示椭圆； 当时，轨迹表示圆； 故B项动点的轨迹不能判定是椭圆； 若直线，的斜率的商为大于1的常数，设此常数为， 则， 化简得，，表示一条垂直于轴的直线（除去与轴的交点）， 故C项动点的轨迹不能判定是椭圆； 对于D， 由，为常数，设常数为，且， 根据圆锥曲线的第二定义可知， 平面内到一个定点和一条定直线（）的距离之比为常数（）的点的轨迹是椭圆， 故D项动点的轨迹可以判定为椭圆. 故选：ABC. 11. 已知点，，满足，，，则（ ） A. 的最小值为1，最大值为3 B. △OAB的面积为 C. 线段AB中点的轨迹长度为 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将条件转化为向量的模和数量积，通过数量积的运算律和求模公式判断A；根据勾股定理判断三角形形状进而计算面积判断B；取线段的中点，计算，得出点的轨迹即可计算长度判断C；将题给条件转化为点到直线的距离的2倍，即可判断. 【详解】由题可知，，， 由，，可知点A、点B分别在以原点为圆心，半径为1、2的圆上， 且，， 又，则， 则，故A错误； 则，则△OAB为直角三角形，其面积为，B正确； 取线段的中点， 则, 则线段AB中点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆， 所以轨迹长度为，故C正确； 可化为， 而为点A，B到直线的距离的和， 可转化为点到直线的距离的2倍， 又到直线的距离为， 则点到直线的距离的最大值为， 所以的最大值为， 的最大值为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 改编人教A版选择性必修一第78页例7 12. 直线：与：之间的距离为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据平行线之间的距离公式即可得到答案. 【详解】：，：， 则与之间的距离为. 故答案为：. 改编人教A版选择性必修一第49页第17题 13. 如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为__________米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）. 【答案】或2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律，结合异面直线夹角的意义求解. 【详解】依题意，，而，， 由AB，CD所在直线所成角为60°，得或， 所以 ， 当时，；当时，. 故答案为：或2 14. 在四面体OABC中，，，，平面FAB，平面DBC，平面EAC交于点P，则向量用，，表示为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，点P是平面FAB内一点，则，点P是平面DBC内一点，则，点P是平面EAC内一点，则，即 ，解出即可求解. 【详解】设， 因为，，， 点P是平面FAB内一点，则，且， 点P是平面DBC内一点，则，且， 点P是平面EAC内一点，则，且， 联立，解得，所以. 故答案为: . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 改编人教A版选择性必修一第67页第9题 15. △ABC的三个顶点是，，.求： （1）边BC上的中线所在直线的一般式方程； （2）边BC上的高线所在直线的斜截式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出线段中点的坐标，然后求出中线的斜率，进而可求得中线的一般方程. （2）先求出边BC的斜率，然后根据垂直关系求出其上的高的斜率，从而可求出高线所在直线的斜截式方程. 【小问1详解】 BC的中点坐标为，即； 所以中线的斜率为， 则边BC上的中线所在直线的方程为， 即一般式方程为. 【小问2详解】 边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边BC上的高所在直线的方程为， 即斜截式方程为. 改编人教A版选择性必修一第10页第9、10题，第42页第7题，第49页第15题，第15页第8题 16. 四面体ABCD中，，. （1）证明：； （2）证明：四面体三组对棱的中点间距离相等. 【答案】（1） 方法一：因为得， 又，所以 即， 同理由得， 所以 即，得. 方法二：过点作面BCD，垂足为，连接并延长交于点, 连接并延长交于点， 因为面，面，∴ 又∵，且，面 则面，又面， ∴，即是一条高线 同理可证也是一条高线. 又，则点是的垂心，∴ 又，，平面，所以面， 又面，得 （2） 不妨设分别为棱的中点. 设， 则， ， ， 则，类似的可证明其余对棱中点连线距离相等. 【解析】 【分析】（1）方法一：因为得,转化为，同样得，最终可得到，即证. 方法二：过点作面BCD，垂足为，连接并延长交于点, 连接并延长交于点，只用证面，利用线面垂直的性质可得. （2）设，表示出对棱中点连接所成的向量，利用数量积的计算性质结合（1）中的结论求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若O为坐标原点，过定点的直线l与椭圆C交于E，F两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义和离心率可求得，进而可得到椭圆方程. （2）方法一：设直线方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理和三角形面积表达式（）即可求出面积的最大值；方法二：设直线方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理和三角形面积表达式()即可求出面积的最大值. 【小问1详解】 由椭圆的定义可得，则， 因为，∴，则， 因此，椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意知直线l斜率显然不为0，故设为，点、， 联立可得， ，得， 由韦达定理可得，， 法一：由弦长公式可得， 又点O到直线的距离为， 因此，， 设（），， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，面积的最大值为1. 法二： 设（）， ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，的最大面积为1. 18. 如图，矩形中，，，沿对角线将折起，使点折到点位置，已知. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若的中点为，内是否存在一点，使直线与直线所成角相等.若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】（1） 矩形沿对角线将折起后，，， 又∵， 在中，，得 又∵，，面，面 所以面 又∵面，∴ 矩形中，， 又，面，面， ∴平面， 又∵面，所以平面平面. （2） （3）不存在，理由如下： 由（2）可知点，，，， 可得，，， 设，（，） 则，， 若直线MN与直线BC，PC，PD所成角相等， 则 即 整理得， 解得，，此时N不在内， 故不存在符合条件的N. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直推导出面面垂直. （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果. （3）建立空间直角坐标系，用向量的方法求出直线MN与直线BC，PC，PD所成角并使其相等. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面平面， 则可过点P作平面的垂线交BC于点O， 得面，且，，. 分别以OP、BC所在直线为z轴，y轴，以过点O且与CD平行的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，，可取； 因为平面， 所以可取平面的一个法向量为 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，对于椭圆E：（），我们把曲线：（）叫椭圆E的共焦共形椭圆簇. （1）证明：曲线为有公共焦点的椭圆； （2）对于任意的椭圆E外一点P，是否存在两个不同的k，使曲线过点P？如果存在，求出k的值，若不存在，请说明理由； （3）过曲线外定点作曲线的两条切线，过两切点M，N的直线方程为，若线段MN的中点为G.证明：对于符合条件的实数k，点G始终在一条定直线上. 【答案】（1） 根据椭圆性质，设椭圆E：（）的焦点为，， 其中.因为， 所以在：中， 所以为焦点在x轴的椭圆，又， 所以曲线为有公共焦点的椭圆. （2）不存在，理由如下： 设点，曲线过点P要满足， 整理得① 记， 若存在两个不同的k使曲线过点P，需满足①式有两个小于的不同解， 设①式有的两根为，，则，， 因为点P在椭圆E外，所以，， 得， 又 ， 故和不会同时成立. 又，故不存在两个不同的k使曲线过点P，只存在一个满足条件的P. （3） 当点在坐标轴上时，明显点G始终在一条定直线上. 当点不在坐标轴上时，可设点，， 可知，① 且，② ①－②得，， 因为线段MN的中点为G，可设，则，， 即， 又过M，N的直线方程为，所以， 综上，. 可知点与原点连线斜率为定值. 所以对于符合条件的实数k，点G始终在一条定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义进行证明即可. （2）先化简椭圆方程变为，然后若存在两个不同的k使曲线过点P，判断是否有满足①式有两个小于的不同解. （3）设点，，代入椭圆方程，结合中点坐标公式即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $