双曲线的定义与方程、离心率问题、以双曲线为背景的面积问题、定点问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

双曲线的定义与方程、离心率问题、以双曲线为背景的面积问题、定点问题专项训练 双曲线的定义与方程、离心率问题、以双曲线为背景的面积问题、定点问题专项训练 考点目录 双曲线的定义与方程 离心率问题 以双曲线为背景的面积问题 以双曲线为背景的定点问题 考点一 双曲线的定义与方程 例1．（25-26高二上·江西宜春·期中）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）渐近线方程为，经过的双曲线标准方程为 ． 例4．（25-26高二上·河南南阳·期中）若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 . 例5．（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)与椭圆有公共焦点，且离心率为； (2)经过、两点. 变式1．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为 . 变式4．（25-26高三上·重庆·阶段练习）直线l与双曲线C：交于，两点，则该双曲线的方程为 . 变式5．（24-25高二上·山西·阶段练习）（1）已知双曲线过点，渐近线方程为，求该双曲线的标准方程． （2）求经过点的双曲线的标准方程． 考点二 离心率问题 例1．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知双曲线C:的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（   ） A． B．2 C．3 D．4 例2．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·云南·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二上·山东德州·期中）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，其中A，，B三点共线，且，，则双曲线E的离心率为 . 例5．（25-26高二上·河北·期中）已知双曲线（，）的离心率为，则双曲线的离心率为 . 例6．（25-26高三上·上海·月考）已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 变式1．（25-26高二上·江西宜春·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上第一象限内一点，若直线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·湖南·一模）双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·天津·期中）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（   ） A．3 B． C．5 D． 变式4．（25-26高三上·上海·期中）双曲线的左、右焦点分别为、，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为 变式5．（25-26高二上·福建福州·期中）已知，为双曲线（，）上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线与双曲线另一个交点为，若以为直径的圆恰好经过点，则双曲线的离心率为 ． 变式6．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点,，P是与的一个交点，与的离心率分别为，，若，，则双曲线的离心率 . 考点三 以双曲线为背景的面积问题 例1．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 例2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线：，过右焦点作直线交双曲线的右支于，两点，交两条渐近线于，两点，点，在第一象限，为坐标原点. (1)证明：点到两条渐近线的距离之积为定值； (2)求面积的最小值； (3)记，，的面积分别为，，，求的取值范围. 例3．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为. (1)求C的方程. (2)若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D. （i）证明：直线DN恒过点； （ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值. 变式1．（25-26高三上·上海·阶段练习）如图，双曲线的实轴长为4，离心率为，斜率为k的直线l过x轴上一点，双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B、C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P、Q. (1)求双曲线E的标准方程； (2)当时，求t的取值范围； (3)当时，求的最小值. 变式2．（25-26高三上·湖北·月考）如图双曲线的左右顶点分别为且，已知双曲线的离心率为2． (1)求双曲线的方程． (2)直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过点． ①证明：直线过轴上一定点，请求出点的坐标； ②若都在双曲线的右支，求的面积的最小值． 变式3．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知双曲线的焦距为，右顶点为，点在双曲线的渐近线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线交于M，N两点，若的面积为，求实数的值． 考点四 以双曲线为背景的定点问题 例1．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 例2．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 例3．（2025·山东·模拟预测）已知双曲线，过点作两条互相垂直的直线. (1)求两条直线与双曲线的交点个数，并说明理由； (2)若，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，证明：直线过定点. 变式1．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知点是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线．不过原点的直线交于两点，关于轴的对称点为，直线和的斜率之积为． (1)求的方程； (2)判断是否过定点，若是则求出该定点，若不是则说明理由； (3)证明：不可能为锐角三角形． 变式2．（24-25高三下·甘肃平凉·开学考试）已知点，P是直线AB外的一个动点，，垂足为Q，且Q在线段AB外，，记点P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)若直线l交C于M，N两点，M关于x轴的对称点为T，请再从条件①、②和③中选择一个合适的作为已知，证明以下问题： （i）l过定点； （ⅱ）不可能为锐角三角形． 条件：①直线TB和NA的斜率之和为0； ②直线TB和NB的斜率之积为6； ③直线TB和NA的斜率之商为2． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 变式3．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，且． (1)求C的方程； (2)若动直线与C交于不同的两点，直线交于点E，证明：点E恒在椭圆上； (3)若过点且斜率不为0的直线l与C的左、右支分别交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为R，判断直线QR是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $双曲线的定义与方程、离心率问题、以双曲线为背景的面积问题、定点问题专项训练 双曲线的定义与方程、离心率问题、以双曲线为背景的面积问题、定点问题专项训练 考点目录 双曲线的定义与方程 离心率问题 以双曲线为背景的面积问题 以双曲线为背景的定点问题 考点一 双曲线的定义与方程 例1．（25-26高二上·江西宜春·期中）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线的一个焦点是，可知，且焦点在轴上， 由渐近线方程为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以的方程是. 故选：C. 例2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设双曲线的方程为， 根据题意可知，即， 又因为实轴长为4，则， 所以双曲线的方程为. 故选：B 例3．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）渐近线方程为，经过的双曲线标准方程为 ． 【答案】 【详解】若双曲线焦点在x轴上，设双曲线方程为：，则， 则，代入，得， 则双曲线方程为：； 若双曲线焦点在y轴上，设双曲线方程为：，则， 则，代入，得，矛盾. 综上，双曲线方程为：. 故答案为： 例4．（25-26高二上·河南南阳·期中）若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得， 解得. 故答案为： 例5．（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)与椭圆有公共焦点，且离心率为； (2)经过、两点. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，椭圆焦点坐标为， 又双曲线离心率为，所以，则， 所以双曲线的标准方程为； （2）不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 双曲线经过、两点， 则由题意有，解得，显然有， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 变式1．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条渐近线的倾斜角为，可知，故， 又和， 解得，故双曲线方程为， 故选：A 变式2．（2025·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形， 故双曲线浙近线的倾斜角为． 所以，即，则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程，得，解得， 则双曲线方程为， 故选：C． 变式3．（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为 . 【答案】 【详解】抛物线的准线方程为，则，所以， 双曲线的渐近线方程为， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，解得，因此双曲线的标准方程为. 故答案为：. 变式4．（25-26高三上·重庆·阶段练习）直线l与双曲线C：交于，两点，则该双曲线的方程为 . 【答案】 【详解】依题意，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故答案为： 变式5．（24-25高二上·山西·阶段练习）（1）已知双曲线过点，渐近线方程为，求该双曲线的标准方程． （2）求经过点的双曲线的标准方程． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为， 而该双曲线过点，则， 所以该双曲线的标准方程为. （2）依题意，设双曲线方程为， 则，解得 所以该双曲线的标准方程为. 考点二 离心率问题 例1．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知双曲线C:的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】双曲线的渐近线为，即， 因为两条渐近线均与圆相切，所以点到直线的距离等于半径， 即，故双曲线C的离心率. 故选：C. 例2．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于， 所以，则，， 设，则 所以；由于， 因为，所以，则，则， 因为，所以 故选：B 例3．（25-26高二上·云南·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 由双曲线定义得：，解得， 所以，则为直角三角形，且， 在中，， 故选：A． 例4．（25-26高二上·山东德州·期中）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，其中A，，B三点共线，且，，则双曲线E的离心率为 . 【答案】 【详解】如图，由⊥，可得， 所以，可得， 在Rt中，由，不妨设，则， 由勾股定理得， 又由双曲线的定义可得，， 根据可得，解得， 所以，， 故在中，，即， 故， 故双曲线E的离心率为． 故答案为：. 例5．（25-26高二上·河北·期中）已知双曲线（，）的离心率为，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】由双曲线的离心率为，有，可得，可得双曲线的离心率为 故答案为： 例6．（25-26高三上·上海·月考）已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】   关于原点对称，双曲线焦点关于原点对称， 四边形是平行四边形，则， ，， 设点在左支，根据双曲线定义得：， 联立可得， 的三条边：，， 是锐角三角形， 的三个内角均为锐角，即 ：，则； ： ，不等式恒成立； ：，则， 双曲线的离心率的取值范围为：． 故答案为： 变式1．（25-26高二上·江西宜春·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上第一象限内一点，若直线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，渐近线方程为，即， 点到渐近线的距离为， 直线垂直平分线段，所以， 故离心率为. 故选：A 变式2．（2025·湖南·一模）双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，则半焦距， 所以所求离心率. 故选：D 变式3．（25-26高三上·天津·期中）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】取M为的中点，为右焦点，因为，    所以，所以，所以， 因为在上的投影向量的模为，所以， 所以，所以，所以， 因为，所以，所以. 故选：D. 变式4．（25-26高三上·上海·期中）双曲线的左、右焦点分别为、，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为 【答案】3 【详解】    根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为， 显然直线为抛物线的准线，则， 由双曲线的定义及已知条件可知，即， 由勾股定理可知， 又，所以，即，整理得， 所以，所以， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：3. 变式5．（25-26高二上·福建福州·期中）已知，为双曲线（，）上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线与双曲线另一个交点为，若以为直径的圆恰好经过点，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】设，，则，，由得， 从而有，， 因为以为直径的圆恰好经过点，所以，所以， 又由得，则， 即，所以，所以． 故答案为：． 变式6．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点,，P是与的一个交点，与的离心率分别为，，若，，则双曲线的离心率 . 【答案】 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义： ，解得，， 设，．则： 在△中由余弦定理得，， 化简得：，该式可变成：． ．又，解得，所以． 故答案为： 考点三 以双曲线为背景的面积问题 例1．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 由题意可知，当时，， 由点在上可得，即①. 又②. 解①②式得， 所以的方程为. （2） 由（1）可知， 则， 由题得， 解得， 所以的面积. 例2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线：，过右焦点作直线交双曲线的右支于，两点，交两条渐近线于，两点，点，在第一象限，为坐标原点. (1)证明：点到两条渐近线的距离之积为定值； (2)求面积的最小值； (3)记，，的面积分别为，，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)6 (3) 【详解】（1）由题意知,双曲线的渐近线方程为, 设,,则. 设点到两条渐近线的距离为, 则. （2）    设直线的方程为,因为直线与双曲线的右支相交，故. ,有. . 令,则（当时取等号）. （3）由,得,则, 得.同理，可得. 所以，. 故，,因为,所以. 所以，的取值范围为. 例3．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为. (1)求C的方程. (2)若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D. （i）证明：直线DN恒过点； （ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）15 【详解】（1）由题意知解得 所以C的方程为. （2）（i）设l：，点，，. 由可得， 因为l与C在第一象限和第四象限各有一个交点，所以， 且，， 直线DN：， 令，得， 又， 所以直线DN恒过点. （ii）如图，设， 则. 设，则，在上单调递增， 所以当时，S取最小值，最小值为15. 变式1．（25-26高三上·上海·阶段练习）如图，双曲线的实轴长为4，离心率为，斜率为k的直线l过x轴上一点，双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B、C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P、Q. (1)求双曲线E的标准方程； (2)当时，求t的取值范围； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为实轴长为4，则，所以， 因为离心率为，所以， 所以， 所以双曲线E的标准方程为 （2）设，由题意可知，故可设直线BC方程为， 联立，得， ， 解得， 由韦达定理得， 所以， 当时， 因为，所以， 因为，即或， 所以或，即t的取值范围为. （3）当时，由（2）得，，， 因为， 所以， 所以，整理的， 又， 所以， ， 因为，所以，， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以，满足题意， 综上，的最小值为. 变式2．（25-26高三上·湖北·月考）如图双曲线的左右顶点分别为且，已知双曲线的离心率为2． (1)求双曲线的方程． (2)直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过点． ①证明：直线过轴上一定点，请求出点的坐标； ②若都在双曲线的右支，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②9 【详解】（1）双曲线的左右顶点分别为且， ，， ，， ， 双曲线：． （2）①证明：直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过双曲线左顶点， ，， 设直线的方程为，， 联立双曲线得，( )， ， ，， ，，解得或，若，则直线过，与题意矛盾舍去，故， 直线过． ②，， ， 由①知，直线：， 联立双曲线方程得( ), ， 都在双曲线的右支上，，， ， ， 令，则，代入得 ， 令，，解得， ， 求导得，在时恒成立， 在单调递增，在时取最小值，， 的最小值为9． 变式3．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知双曲线的焦距为，右顶点为，点在双曲线的渐近线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线交于M，N两点，若的面积为，求实数的值． 【答案】(1) (2)或或 【详解】（1）设双曲线的半焦距为， 由题意可知，① 又因为在双曲线的渐近线上，所以，② 由方程①和②解得， 所以双曲线的方程为． （2）由题意可设直线的方程为， 联立方程可得①， 所以， 且方程①的判别式， 得且． 设直线与双曲线交于两点，有 则 ， 所以，即， 解得或或， 所以实数或或． 考点四 以双曲线为背景的定点问题 例1．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【详解】（1）由题知，，且，，得，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称， 设，，则由，得， 即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在， 设直线AB：，代入双曲线方程， 化简得， 设，则，，，， 则， 整理得， 所以， 整理得，即，所以或． 当时，直线AB的方程为，经过y轴上的定点； 当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意． 综上，直线AB与y轴的交点为定点，且定点坐标为． 例2．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由，得， 则双曲线的方程为，将点代入的方程中，得． 解得，故，所以双曲线的方程为． （2）设直线的方程为，因为点到直线的距离为1， 作出简图如下所示， 所以，即． 设，，由于直线与交于点，所以， 联立整理得． 则，， 且， 故， 所以， 则．故． （3）法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 法二：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点， 可得双曲线方程：，化简得． 设平移后的直线的方程为：，，， 所以， 整理得， 即， 所以， 即，对比可得平移后的直线过定点． 所以直线过定点． 例3．（2025·山东·模拟预测）已知双曲线，过点作两条互相垂直的直线. (1)求两条直线与双曲线的交点个数，并说明理由； (2)若，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，证明：直线过定点. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）当直线或的斜率不存在时（即一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在）， 因为两直线均过点，所以两直线的方程分别为， 则直线与双曲线共有四个交点， 分别为，.（由，解得或）， 当直线和的斜率都存在时，设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程分别为. 联立直线与双曲线的方程，得， 消去整理得. 当，即时，方程仅有一解，此时直线与双曲线仅有一个交点； 当，即时，，此时直线与双曲线有两个交点. 同理联立直线与双曲线的方程，可知当时，直线与双曲线仅有一个交点； 当时，直线与双曲线有两个交点； 综上，当直线或的斜率不存在时（即一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在），交点个数为4； 当且时，交点个数为2； 当且时，交点个数为4； 当且或时，交点个数为3； 当且且时，交点个数为4. （2）由（1）可知，当直线或的斜率不存在时，两直线与双曲线有四个交点，分别为，， 则点坐标分别为，直线与轴重合，所以若直线过定点，则定点应在轴上. 当直线和的斜率同时存在时，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程分别为. 因为在双曲线中，所以由（1）可知，当两直线与双曲线有四个交点时，且 记点， 联立直线与双曲线的方程，得， 消去整理得， 则，则，即点. 同理可得点. 当时，，， 则， 此时直线的方程为； 同理当时，，则， 此时直线的方程为. 所以若直线过定点，则定点在直线上. 又因为定点在轴上，所以可猜想定点为， 所以只需证明当时，三点共线即可. 此时，，直线的斜率都存在，即证明. 因为， ， 所以，即三点共线，即直线过定点. 综上，直线过定点. 变式1．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知点是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线．不过原点的直线交于两点，关于轴的对称点为，直线和的斜率之积为． (1)求的方程； (2)判断是否过定点，若是则求出该定点，若不是则说明理由； (3)证明：不可能为锐角三角形． 【答案】(1) (2)过定点 (3)证明见解析 【详解】（1）设，因为，且，垂足为，则点坐标为． 则， 已知，即． 因为在线段外，所以， 则，整理可得曲线的方程为． （2）设，则． 显然的斜率不为零，否则有， 此时，与直线和的斜率之积为6，矛盾． 故可设，由得， 依题意，且， ∴且． 由得， ∴， ∵直线和的斜率之积为6，∴， 即，，，解得． 此时恒成立，∴，过定点． （3）由（2）知，． ①当，即时，，∴均在的右支，如图． 此时 ， ∴是钝角，是钝角三角形． ②当，即或时，， ∴分别在的两支．不妨设在的右支，则，如图． 设，则， ∴． ∵过点，∴， ∴是钝角，是钝角三角形． 综上可知，不可能是锐角三角形． 变式2．（24-25高三下·甘肃平凉·开学考试）已知点，P是直线AB外的一个动点，，垂足为Q，且Q在线段AB外，，记点P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)若直线l交C于M，N两点，M关于x轴的对称点为T，请再从条件①、②和③中选择一个合适的作为已知，证明以下问题： （i）l过定点； （ⅱ）不可能为锐角三角形． 条件：①直线TB和NA的斜率之和为0； ②直线TB和NB的斜率之积为6； ③直线TB和NA的斜率之商为2． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）依题意，可设，则． 因为，Q在线段AB外，所以． 又因为，所以，即．    故C的方程为． （2）选择①作为条件. 设，则，其中． 因为直线和的斜率之和为0，故直线的斜率等于的斜率， 故，故， 故即，故，故， 则关于原点对称，故过原点，与题设矛盾，故不选①. 解法一：选择②作为条件． （i）设，则 显然l的斜率不为零，否则，有， 此时，与直线TB和NB的斜率之积为6，矛盾． 故可设， 由得， 依题意，且， 所以且，   由且，所以， 因为直线TB和NB的斜率之积为6，所以， 即，解得． 此时恒成立，所以，过定点． （ⅱ）由（i）知， ①当，即时，，所以M，N均在C的右支，如图．    此时 ， 所以是钝角，是钝角三角形． ②当，即或时，， 所以M，N分别在C的两支．不妨设M在C的右支，则，如图． 设，则， 所以．    因为l过点R，所以， 所以是钝角，是钝角三角形． 综上可知，不可能是锐角三角形． 解法二：选择②作为条件． （i）同解法一． （ⅱ）由（i）知，直线l过定点． ①当M，N均在C的右支，不妨设M在x轴的上方，如图．    设直线MB，NB的倾斜角分别为．则． 因为直线TB和NB的斜率之积为6，所以直线MB和NB的斜率之积为，即， 所以， 所以是钝角，是钝角三角形． ②当M，N分别在C的两支时，不妨设M在C的右支，则，如图．    设，则， 所以． 因为l过点R，所以， 所以是钝角，是钝角三角形． 综上可知，不可能是锐角三角形． 解法三：选择②作为条件． （i）设，则 当l的斜率不存在时， 所以    依题意，解得．此时，，过点．   下面我们证明，当l的斜率存在时，M，N，R共线． 显然直线TB斜率存在且不为零，可设直线， 由得，解得 所以 所以 同理可设直线，得． 所以 因为直线TB和NB的斜率之积为6，所以，即， 所以，所以M，N，R共线，即l过点． 综上，l过定点． （ⅱ）依题意，可设，由得， 依题意，且，即 此时   ①当，即时，，所以M，N均在C的右支，如图．    此时 所以是钝角，是钝角三角形． ②当，即或时，， 所以M，N分别在C的两支．不妨设M在C的右支，则，如图．    所以， 所以 因为l过点R，所以， 所以是钝角，是钝角三角形． 综上可知，不可能是锐角三角形． 解法四：选择③作为条件． （i）设，则． 显然l的斜率不为零，否则， 因为直线TB和NA的斜率之商为2，所以 从而有，解得，此时，l与C不存在公共点，与题设矛盾． 故可设， 由得， 依题意，且， 所以且， 由得，所以 因为直线TB和NA的斜率之商为2，所以 因为点M在C上，所以，即， 所以，即， 解得．此时恒成立，所以，过定点． （ⅱ）由（i）知， ①当，即时，，所以M，N均在C的右支，，如图．    此时 所以是钝角，是钝角三角形． ②当，即或时，， 所以M，N分别在C的两支，不妨设M在C的右支，则，如图．    设，则是以BR为直径的圆的圆心， ， 所以M在以BR为直径的圆外，所以 因为l过点，所以， 所以是钝角，是钝角三角形． 综上可知，不可能是锐角三角形． 解法五：选择③作为条件． （i）设，则 当l的斜率不存在时， 因为直线TB和NA的斜率之商为2，所以 当，解得，此时，直线，过点． 下面我们证明，当l的斜率存在时，M，N，R共线． 显然直线TB斜率存在且不为零，可设直线， 由得，解得 所以 所以 同理可设直线，由得 所以 因为直线TB和NA的斜率之高为2，所以，即， 所以，所以M，N，R共线，即l过点． 综上，l过定点．   （ⅱ）同解法二．    解法六： 选择②作为条件． （i）设，则． 当l的斜率不存在时，， 所似 又因为直线TB和NB的斜率之积为6，所以，解得． 此时，直线，过点 当l的斜率存在时，设， 由得． 依题意，且， 所以且，．   因为直线TB和NB的斜率之积为6，所以， 即， 所以，所以，所以，过点． 综上，l过定点． （ⅱ）由（i）知，，故恒成立，且 ①当，即或时，，所以M，N均在C的右支，如图．    此时 所以是钝角，是钝角三角形． ②当，即时，， 所以M，N分别在C的两支，不妨设M在C的右支，则，如图．    设，则， 所以， 因为l过定点，所以， 所以是钝角，是钝角三角形． 综上可知，不可能是锐角三角形． 变式3．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，且． (1)求C的方程； (2)若动直线与C交于不同的两点，直线交于点E，证明：点E恒在椭圆上； (3)若过点且斜率不为0的直线l与C的左、右支分别交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为R，判断直线QR是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是， 【详解】（1）因为，所以， 因为C的一条渐近线方程为，所以， 所以C的方程为． （2）证明：由（1）知， 设，则，且， 直线的方程分别为， 相乘得，即， 因为点E既在直线上，又在直线上，所以点E的坐标满足， 所以点E恒在椭圆上． （3）设，则， 设直线l的方程为，与联立得， 所以， 所以， 直线QR的斜率， 所以直线QR的方程为， 由对称性易知若直线QR过定点，则该定点在x轴上， 令，得 ， 所以直线QR过定点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $