精品解析：吉林省松原市宁江区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025—2026学年度上学期期中教学质量检测 八年级数学试题 数学试题包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，请你将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确贴在条形码区域内． 2．答题时，请你按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图片中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 3. 如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　　） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 以上都有可能 4. 如图，已知，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 5. 两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知点关于x轴的对称点为，则的值是______． 8. 将一副三角板按如图方式叠放，那么等于______． 9. 今年8月17日，“一县一品”第四届环湖自行车赛在国家5A级旅游景区松原查干湖盛大启幕．如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是______． 10. 如图，在中，，，平分交于点，于，若cm，则______． 11. 用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 已知的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为3，，，若这两个三角形全等，求x的值． 13. 如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 14. 帐篷撑起后如图①，为更好地将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳索，从正面看如图②所示，测得，，求的度数． 15. 如图，点C，F在线段BE上， 请只添加一个合适的条件，使 （1）根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． （2）请从（1）中选择一种加以证明． 16. 如图，，，点D在边上，与相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 17. 如图，在中，点是上一点，过点作交于点，交延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，则的长为________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点 A 坐标为，顶点 B，C 均在小正方形的网格点上． （1）作，使和关于 y 轴对称； （2）分别写出以下顶点的坐标： ； ； ； （3）直接写出的面积： ． 19. 数学课上，老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．下面是小李同学设计的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小李同学设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接． 直线为线段的垂直平分线， _____（_____）（填推理的依据） ， ． ， _____（_____）（填推理的依据） ． 20. 如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，交于点F，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 21. 【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，若，，猜想有何数量关系，并予以证明； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交于点H．若，，求的面积． 22. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、． （1）_______；用含的代数式表示 （2）求证：≌； （3）当为何值时，是等边三角形？说明理由； （4）当为何值时，为直角三角形？请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期中教学质量检测 八年级数学试题 数学试题包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，请你将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确贴在条形码区域内． 2．答题时，请你按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图片中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C中图形是轴对称图形，故本选项符合题意； D中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 2. 已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 3. 如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　　） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的分类判断即可． 【详解】解：A、当另外两角为44°和100°时，该三角形为钝角三角形， B、当另外两角为90°和54°时，该三角形为直角三角形， C、当另外两角为80°和64°时，该三角形为锐角三角形， ∴钝角三角形，直角三角形，锐角三角形都有可能， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解是解答的关键． 4. 如图，已知，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 5. 两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽，进而得到平分，得到，即可． 【详解】解：由图和题意，得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽， ∴平分， ∴； 故选：B． 6. 如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离；以及垂线段最短求解． 【详解】作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M． 如图， 根据两点之间，线段最短，可知选项B使牧马人所走路径最短． 故选D． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知点关于x轴的对称点为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形-轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特征“横坐标不变，纵坐标互为相反数”求解即可． 【详解】解：点关于x轴的对称点Q的坐标为， 即，， 则． 故答案为：． 8. 将一副三角板按如图方式叠放，那么等于______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角板中角度计算问题，由题意得，，，求出，然后通过三角形外角性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 今年8月17日，“一县一品”第四届环湖自行车赛在国家5A级旅游景区松原查干湖盛大启幕．如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是：三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 10. 如图，在中，，，平分交于点，于，若cm，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，再根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，然后根据求解即可． 【详解】解：∵平分交于点，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现．根据，可得出，由可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为14． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 已知的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为3，，，若这两个三角形全等，求x的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质、解一元一次方程，根据全等三角形的全等三角形的周长相等列方程求解即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴两三角形的周长相等． ， 解得：． 13. 如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】略 14. 帐篷撑起后如图①，为更好地将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳索，从正面看如图②所示，测得，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等边对等角是解答的关键． 先利用三角形的外角性质求得，再根据等边对等角得到，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：由题意可知：，． ． ， ． 又， ． 15. 如图，点C，F在线段BE上， 请只添加一个合适的条件，使 （1）根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． （2）请从（1）中选择一种加以证明． 【答案】（1）， （2） 解：添加“”得证明过程如下： 在和中， ， ∴， 选择“”的证明过程如下； ∵， ∴都是直角三角形， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据“”和“”证明三角形全等所需要的条件解答即可； （2）根据“”和“”证明三角形全等即可． 【小问1详解】 解：根据“”，题中已给出一组角一组边，还缺以此组角为夹角的另一组边，即．根据“”，题中已给出直角和一组直角边，还缺一组斜边，即． 故答案为：，． 【小问2详解】 略 16. 如图，，，点D在边上，与相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，即可求的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：， ，， ． 17. 如图，在中，点是上一点，过点作交于点，交延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，则的长为________． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（）由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，据此即可求证； （）由可得，进而由直角三角形的性质可得，又可得是等边三角形，得到，进而得据此即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质和判定，余角性质，对顶角的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点 A 坐标为，顶点 B，C 均在小正方形的网格点上． （1）作，使和关于 y 轴对称； （2）分别写出以下顶点的坐标： ； ； ； （3）直接写出的面积： ． 【答案】（1） 解：由题意，画图如下： （2），， （3）9 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键： （1）根据轴对称的性质画出即可； （2）根据点的位置，写出点的坐标即可； （3）借助网格求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知： ；；； 故答案为： ，，． 【小问3详解】 ． 故答案为：9． 19. 数学课上，老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．下面是小李同学设计的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小李同学设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接． 直线为线段的垂直平分线， _____（_____）（填推理的依据） ， ． ， _____（_____）（填推理的依据） ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角； 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和线段的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角和三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，再由等边对等角可得，据此可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，交于点F，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：是等边三角形，理由如下： 理由：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线的判定和性质等内容，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用平行线的性质，证明，然后利用三个角相等的三角形是等边三角形即可解答； （2）连接，证明是线段的垂直平分线，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，最后根据角平分线和平行证明是等腰三角形即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 21. 【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，若，，猜想有何数量关系，并予以证明； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交于点H．若，，求的面积． 【答案】解：（1）∵， ∴， ， 又， ， ； 在和中， ， ∴； （2）解：，证明如下： ， ； 在和中， ∴， ∴， ； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过点作于点，过点D作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵， ∴． 22. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、． （1）_______；用含的代数式表示 （2）求证：≌； （3）当为何值时，是等边三角形？说明理由； （4）当为何值时，为直角三角形？请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：，， ， ． 在和中， ， ≌ （3） ， 当是等边三角形时，是等边三角形． ， ． ，， ， ， 当为时，是等边三角形． （4）为或时，为直角三角形 【解析】 【分析】（1）在中，利用度角的对边等于斜边的一半，即可得出的长，此题得解； （2）由，可得出，利用平行线的性质可得出，结合，即可证出≌； （3）由（2）可知：当是等边三角形时，是等边三角形，由可得出，进而可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）由（2）可知：当为直角三角形时，是直角三角形，分和两种情况考虑，利用度角的对边等于斜边的一半，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ． 在中，，，， ． 故答案为：； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 ， 当为直角三角形时，是直角三角形． 当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：． 综上所述：当为或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了解含度角的直角三角形、全等三角形的判定、等边三角形的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）在中，利用度角的对边等于斜边的一半找出的长；（2）利用全等三角形的判定定理证出≌；（3）利用全等三角形的性质及等边三角形的性质，找出关于的一元一次方程；（4）分和两种情况，利用度角的对边等于斜边的一半找出关于的一元一次方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $