精品解析：江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色黑水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把方程左边用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，， 故选：C． 2. 下列图形：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中，存在互相垂直的对称轴的图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的对称轴以及对称轴之间的位置关系．涉及到正多边形对称轴的数量和性质等知识点．解题关键在于准确掌握不同正多边形对称轴的特点，通过分析对称轴的位置来判断是否存在互相垂直的情况．依次分析每个正多边形对称轴的情况，判断是否存在互相垂直的对称轴．对于正多边形，其对称轴是通过正多边形的中心和顶点或者边的中点的直线．根据正多边形的性质，确定其对称轴的数量和位置关系，进而判断是否有互相垂直的对称轴． 【详解】解：①正三角形有条对称轴，相邻对称轴夹角为，不垂直，故不符合题意； ②正四边形（正方形）有条对称轴，其中两条对角线互相垂直，故存在互相垂直的对称轴，符合题意； ③正五边形有条对称轴，相邻对称轴夹角，不垂直，故不符合题意； ④正六边形有条对称轴，方向间隔（如、、、等），其中（通过顶点）与（通过边中点）的对称轴夹角为，垂直，符合题意． 综上所述：满足条件的图形是②正四边形和④正六边形，共2个． 故选：B． 3. 某果园2022年水果产量为年水果产量为，设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用．根据年平均增长率的定义，从2022年到2024年经历了两年增长，因此2024年产量等于2022年产量乘以的平方． 【详解】解：∵2022年产量为，年平均增长率为x， ∴2023年产量为， 2024年产量为． 又∵2024年产量为， ∴． 故选：C． 4. 若二次函数的图象与轴有两个公共点，则的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象与x轴的交点问题．二次函数图象与x轴有两个公共点，等价于对应方程有两个不相等的实数根，据此即可求出答案． 【详解】解：对于函数 ，令 得方程： 即 ∵二次函数的图象与轴有两个公共点， ∴方程有两个不相等实数根， ∴， 观察选项，只有D选项满足． 故选：D． 5. 已知的半径为1，点在上．若平面内一点满足，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查三角形三边关系和点与圆的位置关系．通过三角形三边关系确定的最小值，与半径比较即可判断位置关系． 【详解】解：∵点P在上， ∴． 又∵， 在中，根据三角形三边关系：， ∴（半径）， ∴ 点A在外． 故选：C 6. 若二次函数的图象经过点，则下列选项中，对应的的值最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象性质．由于二次函数图象经过点和，可设交点式，再代入点表达a的值，然后计算各选项中a的值并比较大小，即可作答． 【详解】解：∵图象经过和， ∴设二次函数为 ， ∵图象经过点， ∴， ∴， 当，则， 当，， 当，， 当，， ∵， 故a的值最大为， 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是_____． 【答案】（0，1） 【解析】 【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1）， 故答案为：（0，1）． 8. 命题“直角三角形外心是其斜边的中点．”是__________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形外心的位置．直角三角形的外心是其外接圆的圆心，由于直角三角形的斜边是外接圆的直径，因此外心位于斜边的中点．据此进行判断即可． 【详解】解：在直角三角形中，直角所对的边是斜边．根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，因此直角三角形的斜边是其外接圆的直径．外心是外接圆的圆心，圆心是直径的中点，故直角三角形的外心是斜边的中点．因此该命题是真命题． 故答案为：真． 9. 关于的一元二次方程的两个根分别，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系的应用．利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积的值，再代入所求表达式进行变形后的式子中计算． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，， 根据根与系数的关系，有： ， ． 则 ． 故答案为：． 10. 点A，B，C在上的位置如图，已知，则__________°． 【答案】34 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键； 连接，通过等腰三角形的性质得到，，进而得到，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： ． 11. 如图，点在内，已知的半径为，，则经过点的最短弦长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，正确理解过的最短的弦的位置是关键．先证出弦与垂直时，弦最短，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作弦，过点作，， ， ， ， 当弦与垂直时，弦最短，如图所示： ， 则， 故答案为：． 12. 已知二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 10 5 2 1 2 5 若点都在该函数的图象上，则__________．（填“>”，“<”或“=”号） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据表格数据，确定二次函数的解析式，进而计算点A和点B的函数值，比较大小，即可作答． 【详解】解：由表可知，当时，，代入，得； 当时，，代入，得，解得； 故二次函数为， ∵点都在该函数的图象上， 则， ∵， ∴， 故答案为：>． 13. 若关于的一元二次方程有两个正实数根，则整数的最小值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，无理数的估算．通过直接求解一元二次方程得到根的表达形式，再根据两个根均为正实数的条件确定整数的取值范围，进而得到最小值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴，， ∵要求两个根均为正实数， 故需满足和， 由得，而时恒成立， ∵， ∴， 因此整数需满足， ∴整数的最小值为3， 故答案为：3． 14. 如图，在中，．点是内切圆的圆心，连接，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形内切圆半径的计算，能够求出内切圆半径是解题的关键． 先利用勾股定理求出斜边长度，再根据等面积法计算半径，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在中，，连接，过点作于点，于点，于点， ∴四边形为正方形， 由勾股定理得 ． 设内切圆的半径为r，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 在直角三角形中，． 故答案为： ． 15. 如图，已知内接于，作的垂直平分线交于点，连接．若，则__________°． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握基本性质是解题关键； 连接，设，通过等腰三角形性质和内角和定理得到，再通过平行线性质和角度的和差关系得到，，再通过圆的内接四边形性质列出方程解方程即可． 【详解】解：连接，设， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵四边形内接， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：36． 16. 已知a，k为常数，若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式，由已知不等式解集可确定对应二次函数的根，从而求出常数关系且，代入第二个不等式并求解． 【详解】解：不等式的解集为， 则二次函数的根为和， ∴当时，，即， ∴，解得； ∵的解集为， ∴抛物线的开口向上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴或 解得：无解或； 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答； （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个实数根． （2）若方程有一个根大于3，求的取值范围． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则，即可作答． （2）先根据因式分解整理方程，得，即，结合方程有一个根大于3，且，得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ， 即不论为何值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程有一个根大于3，且， ∴， ∴． 19. 如图，是的直径，弦平分，过点的切线交于点．求证． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质证明即可． 【详解】证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵弦平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图面积是，求金色纸边的宽 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系并列出方程．先通过设未知数，根据矩形的面积公式列出方程后进而求解即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为x厘米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即金色纸边的宽为5cm． 21. 已知二次函数的图象过点，它的顶点坐标为． （1）求该二次函数的表达式． （2）设该二次函数的图象与轴交于点B，C（在的左侧），则是什么特殊的三角形？说明理由． 【答案】（1） （2）等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的表达式求解以及等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式以及等腰三角形的判定方法． （1）利用二次函数顶点式求解表达式； （2）求出与x轴交点坐标，再根据线段长度关系判定三角形类型． 【小问1详解】 解：二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的顶点式为． 又函数图象过点，将代入顶点式可得： 解得： 该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：（2）令，则 解得， 点的坐标为，点的坐标为， 已知点，根据两点间距离公式可得： ， ， ， 是等腰三角形． 22. 尺规作图：如图，已知线段、是直线外一点，作与直线相交于点A，B，且． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先作线段的垂直平分线，得到长的线段，再过O点作于点，以为圆心，为半径画弧，分别与直线交于两点，最后以O为圆心，为半径画圆即为所求． 【详解】解：如图即为所求， 23. 已知二次函数（为常数）． （1）若二次函数有最小值，求． （2）已知点，，连接．若该二次函数图象与线段有2个公共点，结合函数的图象，直接写出对应的的取值范围． 【答案】（1）4或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）把原函数解析式转化为顶点式，然后根据二次函数有最小值，构建关于m的方程求解即可； （2）根据二次函数的开口向上，且二次函数图象与线段有2个公共点，得出当、时，函数值，以及顶点的纵坐标，对称轴，然后解不等式组即可． 【小问1详解】 解： ， ∴当时，有最小值为， ∵二次函数有最小值， ∴， 解得或； 【小问2详解】 解：∵二次函数图象与线段有2个公共点，，， ∴， 解得． 24. 已知AB，CD是的弦，点与AB，CD位置如图所示，． （1）求证． （2）仅用无刻度的直尺作弦CD的垂直平分线，说明理由． （3）若之间的距离为39，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）图见解析，理由见解析 （3）25 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线基本性质，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握基本性质是解题关键； （1）连接，通过圆周角定理得到，再根据平行线的性质即可得证； （2）连接交于P点，如图，根据圆周角定理得到，则，由于，根据线段垂直平分 线的性质定理的逆定理得到点P和点O都在的垂直平分线上，从而判断垂直平分； （3）连接、，交于E点，交于F点，设的半径为r，，则，根据平行线的性质得，则利用垂径定理得到，，再利用勾股定理列方程，解方程组即可． 【小问1详解】 解：证明：连接， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，为的垂直平分线； 连接交于P点，连接并延长，与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴点和点都在的垂直平分线上， ∴为的垂直平分线． 【小问3详解】 解：连接、，设的半径为r，，则， ∵，， ∴， ∴，， 在中，，即， 在中，，即， 联立方程①②，解得：（负值已舍去）． 25. 如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． （1）求该纸帽的底面半径． （2）如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和锐角三角函数求出相关角的度数，利用弧长公式求出弧的长度，然后再利用圆的周长公式进行求解即可； （2）点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点，利用轴对称的性质确定最短路径，然后利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形，，且点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为， 设该纸帽的底面半径为， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：如图所示，点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点， 此时，，， ∴丝带的最短长度为的长度， ∵， ∴为等边三角形， ∴根据三线合一得，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴丝带的最短长度为． 【点睛】本题主要考查了扇形和圆锥的关系，弧长公式，线段和最小值，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数和勾股定理解直角三角形，解题的关键是掌握以上性质． 26. 图中是抛物线形拱桥．某日，水文站观测到河水匀速上涨，记录两次数据如下： 时刻 水面宽 水位变化 6:00 / 18:00 上涨（相比6:00的水位） （1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的函数表达式． （2）当日时刻多少时，水面将经过拱顶？ （3）设自当日6:00开始至水面经过拱顶，当水位上涨时，水面宽为． ①___________的二次函数．（填“是”或“不是”） ②画出随变化而变化的大致图象，标出必要的数据． 【答案】（1）平面直角坐标系见解析； （2）22时 （3）①不是；②图见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，能够求出二次函数解析式是解题关键； （1）如图，可以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，然后再利用待定系数法求解析式即可； （2）先求出时，，再利用水流的速度求解即可； （3）①求出关于的表达式，即可判断是否为二次函数；②描点画图即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线拱桥， ∴两点关于抛物线的对称轴对称，两点也关于抛物线的对称轴对称， ∴如图，可以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系， 此时，，，，设抛物线的函数表达式为：， 代入，得到，解得， ∴抛物线的函数表达式为：， 【小问2详解】 解：当时，，此时水面将经过拱顶， ∵上涨用了12小时， ∴每小时上涨， ，， ∴当日时刻22时，水面将经过拱顶； 【小问3详解】 解：当时，，变形得到， ∴水面宽度，即， ∴，， ①故不是的二次函数， ②图象如下图： 时，；时，， ∴图象是从到的递减曲线，形状类似开口向左的抛物线的一部分． 27. 在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下的定义；若图形上存在点和点，使得，则称点是图形的勾股点．如图（1），已知点，连接MN． （1）①在点中，线段的勾股点是__________． ②如图（2），以线段为直径作，若点是的勾股点，求所有点组成的区域的面积． （2）如图（3），将点M，N沿轴正方向向上平移3个单位长度，得到点，顺次连接点，，得到矩形．若点是矩形的勾股点，请在图中用阴影描出所有点组成的区域，无须说明理由． 【答案】（1）①；② （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了新定义，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，理解勾股点的定义是解答本题的关键． （1）①根据直径所对的圆周角是直角可知，当点在以为直径的圆上或圆内时符合题意； ②由①知，圆上和圆内的点都是圆的勾股点，然后求出当点P在圆外时使时的最大值即可求解． （2）分别以矩形的4条边为直径作圆，由（1）可知，4个圆覆盖的区域内的点都是矩形的勾股点． 【小问1详解】 如图，在圆上取一点P，则， ∵圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角， ∴当点P在以为直径的圆上或圆内时，线段存在点A和点B，使得， ∴点D是线段的勾股点，点F不是线段的勾股点． ∵， ∴点E在圆上， ∴点E是线段的勾股点． 综上可知，线段的勾股点是， 故答案为：； 【小问2详解】 由①知，圆上和圆内的点都是圆的勾股点． 当点P在圆外时，如图，在圆上取点A和点B，使，在直线上取点P，使是等腰直角三角形，以为直角边构造等腰直角三角形，连接， 则， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， ∵， ∴的最大值是， ∴所有点组成的区域的面积是以点O为圆心，以为半径的圆，围成的区域， ∴所有点组成的区域的面积； （3）分别以矩形的4条边为直径作圆，由（1）可知，4个圆覆盖的区域内的点都是矩形的勾股点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色黑水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的根是（ ） A B. C. ， D. ， 2. 下列图形：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中，存在互相垂直的对称轴的图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 某果园2022年水果产量为年水果产量为，设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若二次函数的图象与轴有两个公共点，则的值可以是（ ） A B. C. 0 D. 2 5. 已知的半径为1，点在上．若平面内一点满足，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 6. 若二次函数的图象经过点，则下列选项中，对应的的值最大的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是_____． 8. 命题“直角三角形的外心是其斜边的中点．”是__________命题．（填“真”或“假”） 9. 关于的一元二次方程的两个根分别，则__________． 10. 点A，B，C在上的位置如图，已知，则__________°． 11. 如图，点在内，已知半径为，，则经过点的最短弦长为__________． 12. 已知二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 10 5 2 1 2 5 若点都在该函数的图象上，则__________．（填“>”，“<”或“=”号） 13. 若关于的一元二次方程有两个正实数根，则整数的最小值是__________． 14. 如图，在中，．点是内切圆的圆心，连接，则__________． 15. 如图，已知内接于，作的垂直平分线交于点，连接．若，则__________°． 16. 已知a，k为常数，若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为__________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个实数根． （2）若方程有一个根大于3，求的取值范围． 19. 如图，是的直径，弦平分，过点的切线交于点．求证． 20. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图面积是，求金色纸边的宽 21. 已知二次函数的图象过点，它的顶点坐标为． （1）求该二次函数的表达式． （2）设该二次函数的图象与轴交于点B，C（在的左侧），则是什么特殊的三角形？说明理由． 22. 尺规作图：如图，已知线段、是直线外一点，作与直线相交于点A，B，且． 23. 已知二次函数（为常数）． （1）若二次函数有最小值，求． （2）已知点，，连接．若该二次函数图象与线段有2个公共点，结合函数的图象，直接写出对应的的取值范围． 24. 已知AB，CD是的弦，点与AB，CD位置如图所示，． （1）求证． （2）仅用无刻度的直尺作弦CD的垂直平分线，说明理由． （3）若之间的距离为39，求的半径． 25. 如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． （1）求该纸帽底面半径． （2）如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度． 26. 图中抛物线形拱桥．某日，水文站观测到河水匀速上涨，记录两次数据如下： 时刻 水面宽 水位变化 6:00 / 18:00 上涨（相比6:00的水位） （1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的函数表达式． （2）当日时刻多少时，水面将经过拱顶？ （3）设自当日6:00开始至水面经过拱顶，当水位上涨时，水面宽为． ①___________的二次函数．（填“是”或“不是”） ②画出随变化而变化的大致图象，标出必要的数据． 27. 在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下的定义；若图形上存在点和点，使得，则称点是图形的勾股点．如图（1），已知点，连接MN． （1）①在点中，线段的勾股点是__________． ②如图（2），以线段为直径作，若点是的勾股点，求所有点组成的区域的面积． （2）如图（3），将点M，N沿轴正方向向上平移3个单位长度，得到点，顺次连接点，，得到矩形．若点是矩形的勾股点，请在图中用阴影描出所有点组成的区域，无须说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $