2.6.2圆与圆的位置关系课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆与圆的五种位置关系及判断方法，通过视频导入结合“激活旧知”回顾直线与圆位置关系，类比迁移构建知识支架，引导学生从旧知过渡到新知探究。 其亮点在于采用类比探究与问题链驱动，结合几何法（圆心距与半径关系）和代数法（联立方程判Δ），通过典例精析及衍生问题（公共弦、公切线）深化理解，体现数学思维与数学语言，助力学生提升应用能力，为教师提供清晰教学流程与丰富教学资源。

第二章 平面解析几何初步 第六节第二课时 圆与圆的位置关系 学校：华亭二中 老师：姚莉娟 湘教版选择性必修第一册 湘教版选择性必修第一册 视频导入 学习目标 1. 掌握圆与圆的五种位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）的定义及特征。 2. 理解并熟练运用代数法（联立方程判 Δ）和几何法（圆心距与半径关系）判断圆与圆的位置关系。 3. 能求解两相交圆的公共弦所在直线方程及弦长，解决两圆相切时的公切线问题，提升数学应用能力。 4. 在探究过程中体会数学知识的内在联系，培养合作探究精神和创新意识（思政目标）。 湘教版选择性必修第一册 学习目标 教学重点： 1.圆与圆五种位置关系的定义及几何特征。 2.几何法（圆心距 d 与两圆半径 r₁、r₂的关系）判断圆与圆的位置关系。 3.两相交圆的公共弦所在直线方程及弦长的求解。 教学难点： 1.代数法判断时对 “相切（内切 / 外切）”“相离（外离 / 内含）” 具体类型的区分。 2. 公切线方程及公共弦性质的综合应用。 湘教版选择性必修第一册 问题1 前面我们运用直线与圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，那么直线与圆有哪些位置关系？ 问题2 如何判断直线与圆的位置关系？ 相交、相切、相离 激活旧知 湘教版选择性必修第一册 激活旧知 湘教版选择性必修第一册 求圆心坐标及 半径r 圆心到直线的距离d (点到直线距离公式) 几何角度 代数角度 消去x或y后得一元二次方程 湘教版选择性必修第一册 我们已经学习了直线与圆的位置关系，那么我们能否类比上述研究方法，运用圆的方程通过定量计算去研究研究圆与圆的位置关系呢？ 新知探究 湘教版选择性必修第一册 由初中几何知识，圆与圆有三种位置关系：相离、 相切、相交. 圆与圆有哪些位置关系？ 新知探究 湘教版选择性必修第一册 公共点的个数 无公共点 圆与圆相离 圆与圆外离 圆与圆内含 一个公共点 圆与圆相切 圆与圆外切 圆与圆内切 两个公共点 圆与圆相交 O1O2=0 同心圆 (一种特殊的内含) 新知生成 湘教版选择性必修第一册 圆与圆的位置关系及其判断方法 C1 C2 C1 C1 C1 C1 C2 C2 C2 C2 外切 内切 外离 相交 内含 两圆位置关系问题 公共点 个数 联立方程组 解的情况 确定两圆位置关系 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，此时叫作这两个圆外离 两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，此时叫作这两个圆外切，这个唯一的公共点叫作两个圆的切点. 两个圆有两个公共点，此时叫作这两个圆相交 两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，此时叫作这两个圆内切，这个唯一的公共点叫作两个圆的切点。两个圆外切和内切统称两个圆相切. 两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，此时叫作这两个圆内含 思考：怎样判断两圆的位置关系呢？ 新知生成 湘教版选择性必修第一册 代 数 角 度 消去x或y后得一元二次方程 圆与圆的位置关系的判断方法一 优缺点： 代数方法：只能判断交点并不能准确的判断​位置关系（有一个交点时不能判断是内切还​是外切，无交点时不能判断是内含还是外离。） 优点:可以求出公共点。 新知探究 湘教版选择性必修第一册 C1 C2 C1 C1 C1 C1 C2 C2 C2 C2 令|C1C2|=d d=r1+r2 外切 d=|r1 - r2| 内切 d>r1+r2 外离 |r1 - r2|<d<r1+r2 相交 d<|r1 - r2| 内含 圆与圆的位置关系的判断方法二 如果两个圆不是同心圆时,那么 经过两个圆的圆心的直线,叫作两个圆的连心线. 两个圆心之间的线段长 叫作圆心距. 新知生成 湘教版选择性必修第一册 两圆心坐标及半径 圆心距d （两点间距离公式） 比较d和r1，r2的关系，下结论 几 何 角 度 d=r1+r2 外切 d=|r1 - r2| 内切 d>r1+r2 外离 |r1 - r2|<d<r1+r2 相交 d<|r1 - r2| 内含 圆与圆的位置关系的判断方法二 典例精析 湘教版选择性必修第一册 例5 判断圆 的 位置关系. 典例精析 湘教版选择性必修第一册 例5 判断圆 的 位置关系. 典例精析 湘教版选择性必修第一册 例5 判断圆 的 位置关系. 典例精析 湘教版选择性必修第一册 例5 判断圆 的 位置关系. 对于本例，我们也可以用代数法 来解决问题. 将两圆的方程联立，得方程组 ① ② ①-②得 . ③ 即 . 代入① 式，整理，得 ④ 因为∆ ，所以方程④有两个不相等的实数根，即方程组有两组不同的解， 因此，圆C1与圆C2有两个公共点，所以两个圆相交. 典例衍生 湘教版选择性必修第一册 同学们，刚才我们判断了两圆位置关系是相交，那么请问： 问题1：能求出这两个圆的交点坐标吗？ 问题2：这两个圆有两个交点，这两个交点之间的线段就是两圆的公共弦，它的长度如何计算呢？ 解析:学生会利用两点间距离公式来解决，这样，求相交两 圆公共弦长的一种方法就产生了，再归纳一下过程就行。 典例衍生 湘教版选择性必修第一册 问题3：既然公共弦是圆的弦，根据我们前面所学的直线与圆相交后计算弦长的方法，能够利用勾股定理来计算呢？ 解析:两圆方程相交后得到的是一个直线的方程，两交点的坐标满足两个圆的方程，也满足这个直线的方程，两点确定一条直线，因此，这个方程就是两圆相交公共弦所在的直线方程。 问题4：这两个圆公共弦所在直线方程如何求呢？ 典例衍生 湘教版选择性必修第一册 问题5：通过这样的探究过程，同学们你们是否达到学生得到了相交的两个圆的公共弦所在直线方程的求法？ 问题6：求相交的两个圆的公共弦所在直线方程还有其他方法吗？ 解析:也可以通过几何方法来求公共弦长，同时我们还需要重点理解相交两圆的连心线垂直平方公共弦这一性质。 典例衍生 湘教版选择性必修第一册 追问1：如果是两圆相切，将两圆方程相减后得到是是什么？ 解析：这个要根据具体情况来定，有时候我们得到的可能是切点的坐标，有时候得到的是公切线方程，这还要分内切与外切来对待，遇到具体问题具体求解。 湘教版选择性必修第一册 追问2：是不是任何两个圆相减得到的方程都是这两个圆的公共弦所在的直线方程吗？ 解析：事实上，如果两圆相离，两圆相减也可以得到一个的二元一次方程，而这个二元一次方程所表示的直线就不是两圆的公共弦所在的直线方程了 .举例如下 x y O C1 C2 典例衍生 湘教版选择性必修第一册 x y O C1 C2 把圆 的方程化成标准方程，得 . 圆 的圆心是点 ，半径为1 . 把圆 的方程化成标准方程，得 圆 的圆心是点 ，半径为 1 . 所以圆 与圆 相离. 典例衍生 湘教版选择性必修第一册 新知生成 由此，我们知道， (1)如果两圆相交，两圆相减可以得到两圆的公共弦所在的直线方程； (2)如果两圆相切，有时候我们得到的可能是切点的坐标，有时候得到的是公切线方程，这还要分内切与外切来对待，遇到具体问题具体求解 (3)如果两圆相离，两圆相减也可以得到一个的二元一次方程，而这个二元一次方程所表示的直线不是两圆的公共弦所在的直线方程，而是与连心线垂直的直线的方程； 湘教版选择性必修第一册 新知生成 针对训练 湘教版选择性必修第一册 湘教版选择性必修第一册 课堂小结 小结：1.两圆的位置关系？ 2.判断两圆位置关系 几何角度 两圆心坐标及半径 圆心距d （两点间距离公式） 比较d和r1，r2的关系，下结论 代数角度 消去x或y后得一元二次方程 湘教版选择性必修第一册 课堂小结 小结：3.如何求两圆相交时的公共弦长及公共 弦所在直线方程？ 湘教版选择性必修第一册 拓展提升 湘教版选择性必修第一册 拓展提升 作业布置 湘教版选择性必修第一册 1.完成课本P102页15题，探究圆的切线问题； 2.习题2.6中第4、5、6、15题。 THE END! 祝各位同学们学业进步、天天向上！ 湘教版选择性必修第一册 Lavf60.16.100 Lavf57.62.100 $