专题05 线段与角章末56道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题05 线段与角章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 动角计算问题 题型二 余角、补角的动角计算 题型三 三角板中角度计算综合 题型四 角的新定义计算 题型五 线段动点中的定值问题 题型六 线段尺规作图问题 题型七 探究线段之间的数量关系 题型八 双平角模型问题 【经典例题一 动角计算问题】 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤60，单位秒） （1）当t＝2时，求∠AOB的度数； （2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到63°时，求t的值； （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而小于180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）162°；（2）27；（3）存在，当t的值分别为12、24秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线 【分析】（1）先由题意计算出∠AOM和∠BON的度数，再由∠AOB＝180°﹣∠AOM﹣∠BON计算得到答案； （2）当∠AOB第二次达到63°时，射线OB在OA的左侧，根据∠AOM+∠BON-∠MON=63°列方程求解可得； （3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有两种情况： ①OB平分∠AON时，根据∠BON＝∠AON，列方程求解； ②OB平分∠AOM时，根据∠AOM＝∠BOM，列方程求解. 【详解】解：（1）当t＝2时，∠AOM＝3°×2＝6°，∠BON＝6°×2＝12°， 所以∠AOB＝180°﹣∠AOM﹣∠BON＝162°； （2）如图， 根据题意知：∠AOM＝3t，∠BON＝6t， 当∠AOB第二次达到63°时，∠AOM+∠BON﹣∠MON＝63°， 即3t+6t﹣180＝63，解得：t＝27． 故t＝27秒时，∠AOB第二次达到63°． （3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（大于0°而小于180°）的平分线有以下两种情况： ①OB平分∠AON时， ∵∠BON＝∠AON， ∴6t＝（180﹣3t）， 解得：t＝12； ②OB平分∠AOM时， ∵∠AOM＝∠BOM， ∴t＝180﹣6t， 解得：t＝24． 综上，当t的值分别为12、24秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线． 【点睛】本题考查角平分的概念和性质，解题的关键是分情况讨论角平分线的情况. 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将三角板绕O点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线从与重合的位置开始绕O点以每秒逆时针方向旋转到与重合，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若秒时，______； (2)当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分．当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据题意，当秒时，由代值求解即可得到答案； （2）根据题意，分别表示出当在的左侧且平分，则，建立方程，解方程，即可求解； （3）根据题意，分三种情况：当是的角平分线时；当是的角平分线时；当是的角平分线时；作出图形，数形结合由角度之间的关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当秒时， ， ， ； 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ∵当在的左侧且平分， ∴ ∴ 解得： （3）解：根据题意，分三种情况： 当是的角平分线时，如图所示： ， ， 又始终平分， ， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， 此时射线与重合， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， ， 又， ，解得； 故答案为：12或30或48． 【点睛】本题考查角平分线定义、平角定义、角的和差倍分关系及一元一次方程的应用等知识，根据题意列出方程求解是解决问题的关键． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)的度数是 (2)的值是秒 (3)存在，的值是秒或秒 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）当时，，，即得； （2）根据题意，当第二次达到时，可得，即可解得答案； （3）分两种情况：当射线与射线第一次夹角为时，可得，当射线与射线第二次夹角为时，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：当时，，， ， 答：的度数是； （2）根据题意，当第二次达到时， ， 解得， 答：当第二次达到时，的值是秒； （3）存在这样的，使得射线与射线的夹角为，理由如下： 当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转， ， 解得； 当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转， ， 解得， 综上所述，的值是秒或秒． 4．（24-25六年级上·上海宝山·期末）已知，射线在的内部，且．射线是平面上绕点旋转的一条动射线，平分． (1)如图1，射线在的内部． ①求的度数； ②若与互余，求的度数； (2)若射线在的外部，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查了角的运算，角平分线，余角的定义，熟练掌握角的运算是解题的关键． （1）①根据已知条件，可知，计算出答案； ②根据互余即可求出答案； （2）根据角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：①，射线OC在的内部，， ， ； ②平分， ∴， ， 与互余， ， ， ， 由①得， ， ； （2）解：如图， ，，由（1）得， ， 平分， ， ． 5．（24-25六年级上·上海松江·期末）已知:如图，分别为定角( 大小不会发生改变) 内部的两条动射线， （1）当运动到如图1的位置时，，求的度数． （2）在(1)的条件下(图2)，射线分别为的平分线，求的度数． （3）在(1)的条件下(图3)，是外部的两条射线， ，平分，平分，求的度数． 【答案】（1）∠AOD=70°；（2）∠MON=50°；（3）∠POQ=110°． 【分析】（1）根据角的定义可以得出∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD+2∠BOC，然后可先求出∠BOC，最后再进一步求解即可； （2）利用角平分线性质进一步求解即可； （3）根据题意先求出∠POD+∠AOQ的值，然后再进一步求解即可. 【详解】（1）∵∠AOC+∠BOD=100°，∠AOB+∠COD=40°， 又∵∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD+2∠BOC， ∴40°+ 2∠BOC=100°，         ∴∠BOC=30°， ∴∠AOD=∠BOC+∠AOB+∠COD=70° ； （2）∵OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线， ∴∠CON+∠BOM= (∠AOB+∠COD）=×40°=20°， ∴∠MON=∠CON+∠BOM+∠BOC=20°+30°=50°； （3）∵OP平分∠EOD， OQ平分∠AOF， ∴∠POD+∠AOQ =（∠EOD+∠AOF）， ∵∠EOD=∠EOB−∠BOD=90°−∠BOD， 同理，∠AOF = 90°−∠AOC， ∴∠EOD+∠AOF=180°−∠BOD +∠AOC)=180°−100°=80°， ∴∠POD+∠AOQ =（∠EOD+∠AOF）=40°， ∴∠POQ=∠POD+∠AOQ+∠AOD=40°+70°=110°. 【点睛】本题主要考查了利用角平分线性质进行角度的计算，熟练掌握相关方法是解题关键. 6．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图：已知∠MON=90°，射线OA绕点O从射线OM位置开始按顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O从射线ON位置开始按逆时针方向以每秒6°的速度旋转，设旋转时间为t秒（0≤t≤30）． （1）用含t的代数式表示∠MOA的度数； （2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值； （3）射线OA，OB在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM，射线OA，射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）∠MOA=4tt；（2）t=15秒时，∠AOB第二次达到60°；（3）存在，t的值分别为、、秒，理由见解析. 【分析】（1）∠AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间，∠NOB的度数等于OB旋转速度乘以旋转时间； （2）当∠AOB第二次达到60°时，射线OB在OA的左侧，根据∠AOM+∠BON-∠MON=60°列方程求解可得； （3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有三种情况：①OB两次平分∠AOM时，根据∠AOM=∠BOM，列方程求解，②OB两次平分∠MON时，根据∠BOM=∠MON，列方程求解，③OB平分∠AON时，根据∠BON=∠AON，列方程求解． 【详解】（1）如图1， ∠MOA=4t，∠NOB=6t或180°-6t； （2）如图， 根据题意知：∠AOM=4t，∠BON=6t， 当∠AOB第二次达到60°时，∠AOM+∠BON-∠MON=60°， 即4t+6t-90°=60°，解得：t=15， 故t=15秒时，∠AOB第二次达到60°； （3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况： ①OB平分∠AOM时，∵∠AOM=∠BOM， ∴×4t=90-6t， 解得：t=； ②OB平分∠MON时，∵∠BOM=∠MON，即∠BOM=45°， ∴6t=45， 解得：t=； ③OB平分∠AON时，∵∠BON=∠AON， ∴6t=（90-4t）， 解得：t=； 综上，当t的值分别为、、秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，角的计算和角平分线性质的运用，OB为角平分线时分类讨论是解题的关键和难点． 7．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）已知：∠AOD=150°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线． （1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当射线OB绕点O在∠AOD内旋转时， ∠MON=　 °； （2）OC也是∠AOD内的射线，如图2，若∠BOC=m°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， 求∠MON的大小（用含m的式子表示）； （3）在（2）的条件下，若m=20,∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内部绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒，如图3，若3∠AOM=2∠DON时，求t的值． 【答案】（1）75;（2）（75-m)°；（3）t为19秒． 【分析】（1）根据角平分线的定义，以及角度和的关系，可得∠MON=∠AOD即可得出； （2）根据角平分线的定义，得出∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，利用角度和与差的关系，得出∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC，角度代换即可得出结果； （3）由题意知，∠AOM=（10+2t+20°），∠DON=（150﹣10﹣2t）°，根据3∠AOM=2∠DON，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD， ∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD， ∴∠MON=∠MOB+∠BON， =∠AOB+∠BOD， =∠AOD， =×150°， =75°， 故答案为：75； （2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD， ∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC =∠AOC+∠BOD﹣∠BOC =（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC =（∠AOB+∠BOC+∠BOD）﹣∠BOC =（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC =×（150°+m°）﹣m° =(75-m)°， 故答案为：(75-m)°； （3）∵∠AOM= ∠AOC=（10+2t+20°）=（15+t）°， ∠DON=∠BOD=（150﹣10﹣2t）°=（70-t）°， 又∵3∠AOM=2∠DON， ∴3（15+t）=2（70﹣t）， 得t=19． 答：t为19秒， 故答案为：19秒． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角度的和差关系式，一元一次方程的列式求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【经典例题二 余角、补角的动角计算】 8．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，直线、相交于点，平分，，垂足为点． (1)图中与互补的角是_________； (2)与相等吗？请说明理由； (3)若，求和的度数． 【答案】(1)，， (2)，见解析 (3)的度数为，的度数为 【分析】本题考查了垂线，余角和补角，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，然后利用平角定义可得，，，从而利用等量代换可得，，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用等角的补角相等可得，即可解答； （3）先利用平角定义可得，然后利用（2）的结论可得，从而利用角的和差关系可得，即可解答． 【详解】（1）解：平分， ， ，， ，， ， 图中与互补的角是，，， 故答案为：，，； （2）， 理由：， ， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ， 的度数为，的度数为． 9．（24-25六年级上·上海奉贤·开学考试）如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角等于多少度？ (2)若，则为多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的和差关系、平角定义、补角定义以及角平分线定义，熟练掌握这些角的相关定义和关系是解题的关键． （1）利用平角定义可得，从而可得，再利用平角定义可得，然后根据补角的定义进行计算，即可解答； （2）利用角的和差关系可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵与互补， ∴， ∴， 解得：； （2）解：如图： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 10．（24-25六年级上·上海静安·期末）直线，相交于点，，平分． (1)如图①，若，求和； (2)如图②，若； v①求的度数． ②直接写出与互补的角． 【答案】(1)， (2)①；②，， 【分析】本题考查邻补角，角平分线的定义，余角和补角及角的运算，求得是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可求得的度数，再利用角的和差即可求得的度数及的度数； （2）①利用角平分线的定义及角的和差即可求得的度数；②根据补角的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）解：①平分，， ，， ， ， ； ②，，，， ， 与互补的角为：，，． 11．（24-25六年级上·上海虹口·期末）已知，射线在的内部，且．射线是平面上绕点O旋转的一条动射线，平分． (1)如图1，射线在的内部．   ①的度数为 °；   ②若与互余，求的度数； (2)若，求的度数（用含n的式子表示）． 【答案】(1)①15；② (2)的度数为： 或 【分析】本题考查了角的计算、余角、角平分线的定义，熟练掌握余角的定义、角平分线的定义是解题的关键，在解答第（2）时，采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由，，可得从而可计算出的度数； 根据与互余以及平分即可算出的度数； （2）分两种情况：当在内部时；当在外部时，进行讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ； 故答案为：15 ； 与互余， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：当在内部时，如图所示： ， ， ， ， 平分， ， ； 当在外部时，如图所示： ， 平分， ， ， 综上所述：的度数为： 或． 12．（24-25六年级上·上海长宁·期末）如图1，点A，O，B在同一条直线上，射线，，在直线的同侧，． (1)如图2，若平分，平分． ①当时，求的度数； ②图2中哪些角互为余角？请选择其中一组进行证明； (2)若，求与的数量关系． 【答案】(1)①；②与，与，与，与，证明见详解 (2)或 【分析】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义及余补角，熟练掌握角平分线的定义及和差关系是解题的关键； （1）①由角平分线的定义可知，然后根据补角可进行求解；②由①及角平分线的定义可知，然后根据互为余角的和为可进行求解； （2）由题意可分当射线在的内部，当射线在的内部，当射线在的内部，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：①因为平分，， 所以， 所以； ②由①可知：， 因为平分， 所以， 所以图中互余的角有与，与，与，与， 当选择与时， 因为， 所以； 当选择与时， 因为， 所以； 当选择与时， 因为， 所以； 当选择与时， 因为， 所以； （2）解：由题意可分： 当射线在的内部，如图， 因为， 所以， 所以， 因为，所以这种情况不成立； 当射线在的内部，如图， 因为， 所以， 所以； 当射线在的内部，如图， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以； 综上所述：或． 13．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图1，已知射线 (1)若，，且，求的度数； (2)若，分别是和的平分线，，求的度数； (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与之和为，则称该射线为的“分余线”． 如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角平分性质，互为余角的概念，以及新定义的“分余线”的应用，关键是对新定义的理解和正确应用． （1）依题意，设则，，由，继而得解； （2）依题意，设，由，建立方程求解即可得解； （3）根据题意，为的“分余线”，分别讨论或这两种情况，从而得到结果． 【详解】（1）依题意，设则，， 由， 解得： ； （2）如图，依题意，设 又分别是和的平分线， ，， 解得： （3）由，设则 ， ， 为的平分线， ， 为的“分余线” 若，则 解得： 若，则 解得： 综上：为或 14．（24-25六年级上·上海青浦·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则____； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据即可求解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）解：∵是的内余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：已知，绕点顺时针方向旋转一个角度得到，绕点顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，， ∴，， ∵是的内余角， ∴， ∴， 解得，． ∴的值为； （3）解：根据题意可得，，三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒， ①当在内部时，如图所示， ∴，， ∴，， 若是的内余角时，得， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； ②当在射线下方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ③当在上方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ④当在内部时，如图所示， ∴，，， ∴， 若是的内余角， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，的值为秒或秒． 【经典例题三 三角板中角度计算综合】 15．（24-25六年级上·上海闵行·开学考试）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了角的运算． （1）根据和，可以求出，再根据即可求出结果； （2）根据和，即可求出，再根据，即可求出的度数； （3）设，，又因为，即可得到：，因为，即可得到，解方程求出的值，即可得到的度数． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， 设，， 由题意得，， ， ， ， 解得：， ． 16．（25-26六年级上·上海嘉定·阶段练习）如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合在点处． (1)___________；（填“>”“<”“=”） (2)若将三角尺按图2的位置摆放，和在数量上有何关系？说明理由； (3)在图2中，已知与的度数比为，当与是同类项时，求的度数． 【答案】(1)= (2)，理由见解析 (3)的度数是 【分析】本题考查角的和差关系，同类项的定义，掌握利用角的和差关系进行几何问题中的角的计算是解题的关键． （1）由，再同时加上也相等，即可证明； ②由，即可证明； （2）由，即可证明； （3）先根据同类项的定义求出，然后根据份数之间的关系求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴，即． 故答案为：=； （2）∵，， ∴， 即． （3）∵与是同类项， ∴， 解得， ∵与的度数比为，， ∴， ∴． 故的度数是． 17．（25-26六年级上·上海崇明·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4)或 【分析】（）根据角的和差关系即可求解； （）先求出的度数，再根据角的和差关系即可求解； （）分两种情况分别画出图形，再根据角平分线的定义及角的和差关系即可求解； 本题考查了三角板中的角度运算问题，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 即； （4）解：当三角板旋转到如图①位置时，直线平分， ∵， ∴， 当三角板旋转到如图②位置时，直线平分， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 18．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）【问题发现】 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处； （1）①与的数量关系是____________． ②与的数量关系是____________． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处； ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（1）①②（2）①，理由见解析；②．理由见解析 【分析】本题考查三角板中的角度计算．掌握角的和差关系是解题的关键． （1）①根据角的和的关系进行解答；②利用周角的定义进行解答； （2）①根据同角的余角相等解答；②根据图形，表示出即可得到原关系仍然成立． 【详解】解：（1）①由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为； ②由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为． （2）①． 理由：由题意可知． 因为，所以； ②． 理由：由题意可知． 因为， 所以． 19．（24-25六年级上·上海虹口·期末）【综合与探究】如图①，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． (1)若，_______；若，则 ； (2)【大胆猜想】与的大小有何特殊关系是 ； (3)【问题解决】如图②，若是两个同样的三角尺锐角的顶点A重合在一起，则与的大小有何关系？请说明理由； (4)【拓展延伸】如图③，已知（，），若把它们的顶点O重合在一起，则与的大小有何关系？用字母和表示（不需要证明直接写出答案即可）． 【答案】(1)， (2) (3)，见解析 (4) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算． （1）先求出，进而求出；先求出，进而可得； （2）先求出，再求出，据此可得结论； （3）仿照（2）求解即可； （4）根据可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：；理由如下 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）解：，理由如下： ∵， ∴． 20．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（）先求出，再根据角的和差关系即可求解； （）由角平分线的定义可得，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据的取值范围，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵， ∴； （2）解：当恰好平分时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 21．（24-25六年级上·上海长宁·期中）如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点重合，点落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于）． (1)如图2，若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第5秒时，的度数为_______，的度数为______，此时_______． (2)若将三角板绕点顺时针旋转一周后停止，把旋转角记为，而三角板保持静止不动，则（1）中和的数量关系是否始终成立？请画出图形并说明理由． (3)若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可） 【答案】(1)20，160，180 (2)成立，理由见解析 (3)第秒或秒时． 【分析】本题主要涉及角的旋转以及角的数量关系问题，根据题意找到角的数量关系是解题的关键． （1）根据旋转速度和时间可求出旋转角度，进而得出相关角的度数； （2）通过设旋转角度，用含未知数的式子表示出和，验证它们的数量关系； （3）设旋转时间，根据两个三角板的旋转速度表示出和，再根据已知数量关系列方程求解． 【详解】（1）解：如图1， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴第5秒时，旋转的角度为， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故答案为：20，160，180； （2）解：成立，理由如下， 设三角板绕点顺时针旋转度（）， 情况1，当时，如图2， ，， ∵， ∴， ∴； 情况2，当时，如图3， ； ∴（1）中始终成立． （3）解：设秒时，， 三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，则旋转了， 三角板以每秒的速度逆时针旋转，则旋转了， 情况1，时，如图4， ，， ∴， 解得：； 情况2，时，如图 ，， ∴， 解得：； 情况3，时，如图6， ，， ∴， 解得：（舍去）； 综上，第秒或秒时． 【经典例题四 角的新定义计算】 22．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）新定义：若的度数是的度数的倍，则叫做的倍角． (1)如图1，若，请直接写出图中所有的2倍角； (2)如图2，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数． 【答案】(1)和 (2) 【分析】本题主要考查了角的和差运算，理解“倍角”的定义是解题的关键． （1）根据所给的图和题意分析即可解答； （2）由题意可得，由可得、进而得到，易得，进而求得的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴图中所有的2倍角有和． （2）解：由题意可得：． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线． (1)如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数． (2)点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t． ①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值． ②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数． 【答案】(1)∠AOC的度数为40°或80°； (2)①：t=或；②∠BOD=度 【分析】（1）分两种情况讨论，列式计算即可； （2）①分两种情况讨论，列式计算即可； ②计算得到∠COD=8t-180°，分两种情况讨论，列式计算即可． 【详解】（1）解： OC是∠AOB的三等分线， 当∠AOC=∠AOB时，如图： ∵∠AOB=120°， ∴∠AOC=∠AOB=80°； 当∠AOC=∠AOB时，如图： ∵∠AOB=120°， ∴∠AOC=∠AOB=40°； 综上，∠AOC的度数为40°或80°； （2）解：①∵OC是∠AOD的三等分线， ∴OC在∠AOD内， 依题意得：(180°-5t)3=3t或(180°-5t)3×2=3t， 解得：t=或； ②∵OC是∠BOD的三等分线， ∴OC在∠BOD内， ∵∠BOD+∠AOC=180°-∠COD，∠AOC=3t，∠BOD=5t， ∴∠COD=8t-180°， 依题意得：(8t-180°) ×3=5t或(8t-180°)×=5t， 解得：t=或； ∴∠BOD=度或度（舍去）． 【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三等分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． 24．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，求的度数； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线，余角与补角，掌握角平分线的定义，余角与补角的定义，理解“好线”的定义是正确解答的关键． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，进而答案即可． 【详解】（1）解：①如图，当在内部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当在外部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （2）解：若恰好平分， ∴， ∴； （3）解：或，理由如下： ①如图，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②如图，， ∵， ∴， ∴ ， ， ∴， 综上所述或． 25．（24-25六年级上·上海闵行·期末）新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”． (1)一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”； (3)如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由； 【答案】(1)是 (2)2秒，3秒或4秒 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差等知识，理解新定义、分类讨论是解题的关键． （1）由“立信线”含义即可作出判断； （2）分三种情况：；；；利用倍角关系及和的关系即可求解； （3）由射线分别为、的平分线，得，；由即可得出、、间的数量关系． 【详解】（1）解：由于角平分线把一个角分成相等的两部分，这两个角是原角的一半， 根据“立信线”的含义知，一个角的平分线是这个角的“立信线”； 故答案为：是； （2）解：分三种情况： 当时，则， ∴（秒）； 当时，是的平分线， 则， ∴（秒）； 当时，则， ∴（秒）； 综上，当t的值为2秒、3秒或4秒时，射线是的“立信线”； （3）解：， 理由如下： ∵射线分别为、的平分线， ∴，； ∵ ； ∴、、间的数量关系为． 26．（24-25六年级上·上海虹口·期末）【概念学习】定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与的和为90°，则称该射线为的“分余线”． 【深入思考】 (1)如图1，，，则射线______的“分余线”；（填：“是”或“不是”） (2)若平分，且为的“分余线”，求的度数； (3)如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，______度． 【答案】(1)是 (2) (3)60或105 【分析】本题主要考查了角平分线定义，角的和差， （1）根据题意可知，再结合“分余线”的定义解答； （2）根据角平分线的定义可得，再根据“分余线”的定义可得，求出答案即可； （3）根据题意可得，，可表示出.再分两种情况：当时，当时，然后代入计算可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴射线是的“分余线”； 故答案为：是； （2）解：∵平分， ∴． ∵是的“分余线”， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，是的“分余线”， 即， 解得； 当时，是的“分余线”， 即， 解得． 所以的度数为或． 故答案为：或． 27．（24-25六年级上·上海青浦·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)当旋转的角度为时，是的内半角，理由见解析 (3)能，秒；30秒；90秒 【分析】（1）由内半角的定义得，再由即可求解； （2）由旋转得：，由角的和差得，，再由内半角的定义得，即可求解； （3）分三种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解∶∵，是的内半角， ∴， ∵， ∴， ； 故答案∶； （2）解：当旋转的角度为时，是的内半角；理由如下： 由旋转得：， ∴ ， ∵ ∴， ， ∵是的内半角， ∴， ∴， 解得：﹔ （3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t， 如图1：∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， 如图2，∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ， 如图3，是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ， 【点睛】本题考查了新定义，旋转的性质，角的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，能根据旋转的过程确定时间范围，进行分类讨论是解题的关键． 28．（24-25六年级上·上海宝山·期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线． (1)应用：若，为的二倍分线，且则________°； (2)如图2，点A，O，B在同一条直线上为直线上方的一条射线． ①若，分别为和的三倍分线，（，）已知，，则____________°； ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． ③如图3，已知，且，所在射线恰好是分别为和的三倍分线，请直接写出的度数． 【答案】(1)40 (2)①135；②不变，理由见解析；③90° 【分析】（1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得出，，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； ③设，则，根据题意得出，，列出方程，求得，，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵，为的二倍分线，且， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：40； （2）解：①∵，分别为和的三倍分线（，）， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：135； ②不变， ∵，分别为和的三倍分线，，， ∴，， ∴， ， ， ， ， ； ③解：设， ∵， ∴， ∵，所在射线恰好是分别为和的三倍分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确理解新定义的内容是解题的关键． 【经典例题五 线段动点中的定值问题】 29．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如图，线段AB=12，动点P从A出发，以每秒2个 单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点． （1）出发多少秒后，PB=2AM？ （2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值． （3）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)3秒；（2）当P在线段AB上运动时，2BM﹣BP为定值12；（3）选①. 【分析】（1）分两种情况讨论，①点P在点B左边，②点P在点B右边，分别求出t的值即可． （2）AM=x，BM=24-x，PB=24-2x，表示出2BM-BP后，化简即可得出结论． （3）PA=2x，AM=PM=x，PB=2x-12，PN=PB=x-6，分别表示出MN，MA+PN的长度即可作出判断． 【详解】解：（1）设出发x秒后PB=2AM， 当点P在点B左边时，AM=x，PA=2x，PB=12−2x 由题意得，12−2x=2x， 解得：x=3； 当点P在点B右边时，PA=2x，PB=2x−12，AM=x， 由题意得：2x−12=2x，方程无解； 综上可得：出发3秒后PB=2AM. （2）∵AM=x，BM=12−x，PB=12−2x， ∴2BM−BP=2(12−x)−(12−2x)=12； （3）选①； ∵PA=2x,AM=PM=x,PB=2x−12,PN=PB=x−6， ∴①MN=PM−PN=x−(x−6)=6(定值)； ②MA+PN=x+x−6=2x−6(变化). 点睛：本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含有时间的式子表示出各线段的长度. 30．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点． (1)出发3秒后，AM＝　　，PB＝　　．（不必说明理由） (2)出发几秒后，AP＝3BP？ (3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点， MN的长度是否为定值，若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)3；18 (2)出发9秒或18秒后，AP＝3BP (3)是；理由见解析 【分析】（1）先根据路程＝速度×时间求出AP，再根据中点的定义求出AM，根据线段的和差关系求出PB； （2）分两种情况：①当点P在线段AB上时，②当点P在AB延长线上时，根据题意列出方程求解即可； （3）PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x−24，PN＝PB＝x−12，分别表示出MN，MA＋PN的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：出发3秒后，AM＝2×3÷2＝3，PB＝24−2×3＝18． 故答案为：3；18． （2）解：分两种情况：①当点P在线段AB上时，设出发t秒后，AP＝2t，BP＝24−2t， ∵AP＝3BP， ∴2t＝3（24−2t）， 解得t＝9； ②当点P在AB延长线上时，设出发t秒后，AP＝2t，BP＝2t−24， ∵AP＝3BP， ∴2t＝3（2t−24）， 解得t＝18． 综上分析可知，出发9秒或18秒后，AP＝3BP． （3）解：是，理由如下： 设运动时间为x秒， 则有PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x−24，PN＝PB＝x−12， ∴MN＝PM−PN＝x−（x−12）＝12， 即MN的值为定值． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度． 31．（24-25六年级上·上海虹口·期末）线段和在数轴上运动，点A开始时与原点重合，且． (1)若，且点B为线段的中点，求线段的长． (2)在（1）的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为4个单位/秒，线段的速度为2个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值． (3)在（1）的条件下，线段和同时开始向左运动，线段的速度为m个单位/秒，线段的速度为n个单位/秒，设M为线段中点，N为线段中点，此时线段的长为定值吗？若是，请直接写出线段的长；若不是，请说明理由． 【答案】(1)45 (2)14.5或20.5 (3)是定值；17.5 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离及中点的计算，一元一次方程的应用，理解题意，熟练运用数轴上两点之间的距离是解题关键． （1）根据线段的和差求解； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）设运动时间为t，再用t表示M，N表示的数，再利用中点公式求解． 【详解】（1）解：∵B为线段的中点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：B点表示的数为：，D点表示的数为：， 则：， 解得：或； （3）解：设运动时间为t， 由题意得：A点表示的数为：，B点表示对数为：，C点表示的数为：，D点表示的数为：， 则：M点表示的数为：，N点表示的数为：， ∴， ∴线段的长为定值，定值为17.5． 32．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA：OB＝2：1，点P从点B以每秒4个单位的速度向右运动．    （1）A、B对应的数分别为　 　、　 　； （2）当点P运动时，分别取BP的中点E，AO的中点F，请画图，并求出的值； （3）若当点P开始运动时，点A、B分别以每秒2个单位和每秒5个单位的速度同时向右运动，是否存在常数m，使得3AP+2OP﹣mBP为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）﹣10、5；（2）画图见解析；＝2；（3）当m＝14时，为定值55． 【分析】（1）根据AB＝15，且OA：OB＝2：1可直接求出OA，OB的长度，从而求出A、B对应的数； （2）根据题意画图即可，然后将分别用表示出来即可求出比值. （3）分别用含m的代数式表示出AP，OP，BP，即可判断是否存在m值使3AP+2OP﹣mBP为定值 【详解】（1）∵AB＝15，OA：OB＝2：1 ∴AO＝10，BO＝5 ∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5， 故答案为：﹣10、5． （2）画图如下：    ∵点E、F分别为BP、AO的中点 ∴OF＝AO，BE＝BP ∴EF＝OF+OB+BE＝AO+OB+BP （3）设运动时间为t秒，则点P对应的数：5+4t；点A对应的数：﹣10+2t；点B对应的数：5+5t； ∴AP＝5+4t﹣（﹣10+2t）＝2t+15；OP＝5+4t；BP＝t． ∴3AP+2OP﹣mBP＝3（2t+15）+2（5+4t）﹣mt＝（14﹣m）t+55． ∴当m＝14时，3AP+2OP﹣mBP为定值55． 【点睛】本题主要考查线段的和与差，以及数轴上的点与线段长度之间的转化，能够用含m的代数式表示出AP，OP，BP是解题的关键. 33．（24-25六年级上·上海闵行·期末）直线l上依次排列点A，B，C，D，已知，，点E是线段的中点，点F是线段的中点．    (1)如图1，当点B与点C重合时，求线段的长． (2)如图2，当线段从图1位置沿直线l向右运动时，的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由； (3)当线段从图1位置沿直线l向右平移a个单位长度时，若满足，则求a的值． 【答案】(1)7 (2)是定值，3 (3)3 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，正确的识图，理清线段之间的和差关系，是解题的关键． （1）根据中点的性质，求出的长，进而求出的长即可； （2）设的长为，根据线段的和与差，以及中点的性质，表示出的长，即可得出结论； （3）根据线段之间的和差关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：当点B与点C重合时，则：，， ∵点E是线段的中点，点F是线段的中点， ∴， ∴； （2）是定值； 设的长为，则：， ∵点E是线段的中点，点F是线段的中点， ∴， ∴，为定值． （3）由题意，得：， ∴， ∵点E是线段的中点，点F是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 34．（24-25六年级上·上海长宁·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是，且与互为相反数． 温馨提示：忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度． （1）求此时刻快车头与慢车头之间相距的单位长度？ （2）从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，再行驶多少秒两列火车的车头、相距8个单位长度？ （3）在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟内，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值），请求出的值及这个定值． 【答案】（1）24；（2）2s或4s；（3），定值为6 【分析】（1）首先利用绝对值和平方的非负性求出a，c的值，然后利用两点间的距离求解即可； （2）根据时间=路程和÷速度和，分两种情况列式计算即可； （3）由于，只需要是定值，从快车AB上乘客P与慢车CD相遇到完全离开都满足是定值，据此即可求解． 【详解】（1）∵与互为相反数， ， ， 解得， ∴此时刻快车头与慢车头之间相距的单位长度为； （2）① ； ② ， ∴2s或4s两列火车的车头、相距8个单位长度； （3）， 当P在CD之间时，是定值4， ， 此时， ∴这个时间是0.5s，定值是6个单位长度． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，数轴，绝对值和平方的非负性，熟练掌握行程问题之间的等量关系：时间=路程÷速度是解题的关键． 35．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．    (1)直接写出木棒的长； (2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； (3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 【答案】(1)； (2)或； (3)，定值为． 【分析】（）根据题意可得的长等于的三分之一，即可求解； （）设，分点在点左侧和右侧两种情况列方程求解即可； （）由式子的值为定值可判断出木棒和木棒重叠，分别求出点与点重合和点与点重合的时间，即可求出的取值范围，由木棒和木棒重叠可得的值为定值即为的值； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，并运用分类讨论的方法分别列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：设， 当点在点左侧时，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点在点右侧时，， ∵， ∴， 解得， ∴； ∴的长为或； （3）解：由题意可得，当木棒和木棒重叠时，式子的值为定值， 定值即为， 当点与点重合时，， 解得； 当点与点重合时，， 解得； ∴当时，式子的值为定值，定值为． 【经典例题六 线段尺规作图问题】 36．（24-25六年级上·上海虹口·期末）如图，不在同一直线上的三点A，B，C． (1)（尺规作图，保留作图痕迹）按下列要求作图： ①分别作直线，射线，线段； ②在线段的延长线上作． (2)在你所作的图形中，若，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了直线、射线、线段的作图、线段和差的尺规作图及两个角互补的意义，熟练掌握直线、射线、线段的作图、线段和差的尺规作图及两个角互补的意义是解题的关键． （1）根据题意画图即可； （2）根据两个角互补的意义，得到，再结合已知条件，即可求得答案． 【详解】（1）解：①直线BC，射线BA， 线段AC即为所求； ②线段AD即为所求． （2）解：，， ． 37．（24-25六年级上·上海宝山·期末）已知，如图线段、，按要求利用直尺和圆规作图： (1)作线段（保留作图痕迹） (2)已知，，、、三点在同一直线上，若为中点，为中点，请画出图形并求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，的长度为或 【分析】本题考查了尺规作图—作线段，与线段中点有关的计算，线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）作射线，在射线上依次截取，，即可得解； （2）分两种情况：当点在点的左边时，当点在点的右边时，分别画出图形，结合线段的和差计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：线段即为所求， ； （2）解：如图，当点在点的左边时， ， ∵为中点，为中点， ∴，， ∴， 如图，当点在点的右边时， ， ∵为中点，为中点， ∴，， ∴， 综上所述，的长度为或． 38．（25-26六年级上·上海闵行·期末）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图和线段的和差，解决本题的关键是掌握尺规作图的方法并能通过观察图形找到线段之间的数量关系． （1）以为圆心，的长度为半径画弧，交延长线于点，以为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，即可得答案； （2）由（1）的作图求出，由为的中点可得，再由线段的和差关系即可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，为的中点， ∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 39．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，已知直线，点在直线上，点在直线外，按要求作图： (1)画射线，画线段，画直线； (2)尺规作图：在射线上画一条线段，使得（保留尺规作图痕迹）； (3)若，． 比较大小线段 ，依据： ； 比较大小： ． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)，由，，则点与的距离大于点与的距离；． 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． （）根据直线，射线，线段的定义画出图形； （）根据要求画出图形； （）利用测量法解决问题． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如上图，即为所求； （3）解：，依据：由，，则点与的距离大于点与的距离； ， 故答案为：，由，，则点与的距离大于点与的距离；． 40．（25-26六年级上·上海青浦·期中）如图，点，，是不在一条直线上的三个点，过，两点作直线，并连接． (1)尺规作图： ①延长至，使得点为的中点； ②作射线，在射线上截取．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） (2)若，求的长． 小明同学写出解答的部分过程，请你帮忙完成填空． 解：（2）因为点为的中点， 所以___________， 因为， 所以___________， 因为， 所以， 因为， 所以___________， 所以___________． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】本题考查的是线段的长度计算问题，尺规作图，对线段进行和、差、倍、分的计算是解决本题的关键． （1）根据截取线段作出图形即可； （2）利用线段的和差关系即可解答． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：因为点为的中点， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 故答案为：；；；． 41．（25-26六年级上·上海闵行·期中）如图，已知三点A、B、C，请用尺规作图完成． (1)画直线、射线； (2)连接并延长到E，使得（保留画图痕迹） (3)在（2）条件下，若，点F为的中点，求线段的长的解法如下，请将过程填写完整． 解：∵ ∴ ∵点F为的中点 ∴______=______ ∴______（填写线段名称）=______ 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了画直线，射线，线段；线段的和差关系，与中点有关的线段运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据射线，直线的定义进行作图，即可作答． （2）理解题意，先画出射线，再以点为圆心，以为半径，画弧，交射线的延长线于点，然后以点为圆心，以为半径，画弧，交射线的延长线于点，即可作答． （3）理解题意，再联系上下过程，进行补充完整，即可作答． 【详解】（1）解：直线、射线如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：依题意， ∵， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴． 42．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）按下列要求完成画图和计算： (1)已知线段和，求作线段，使(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点若 ①点恰好是中点，则 ． ②若，求的长． ③试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值(小于)，的长不变． 【答案】(1)见解析 (2)①6；②；③不论取何值(小于)，的长不变， 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段的尺规作图方法作图即可； （2）①由线段中点的定义得到的长，进而得到的长即可得到答案； ②先求出的长，再由线段中点的定义得到的长即可得到答案； ③设，根据②的方法求解，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：①∵，点C恰好是中点， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． ③设， ∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． 不论取何值(小于)，的长不变， 【经典例题七 探究线段之间的数量关系】 43．（24-25六年级上·上海徐汇·开学考试）如图，线段上依次有，，三点，，是的中点，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了线段和差倍分，线段中点的性质，解题的关键是掌握线段和差倍分的计算． （1）利用线段的倍分关系即可证明； （2）利用线段中点性质得出，利用线段的倍分关系求出长度，然后利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的中点， ∴, 由（1）得， ∴， ∴， ∴线段的长为． 44．（24-25六年级上·上海青浦·期末）如图所示，已知点C为上一点，，，D，E分别为的中点，求的长． 解： ， ， 又E为的中点， ， ，D为的中点， ， ． 【答案】12，，42，21，，15，6． 【分析】本题考查了线段的和差计算及线段中点的性质，解题的关键是利用中点的定义（将线段分为相等的两部分）求出相关线段的长度，再通过线段间的和差关系计算目标线段的长度． 根据与的数量关系，计算的长度；由求出的总长；利用中点性质分别求出的一半和的一半；通过计算得出的长度． 【详解】解： 又∵E为的中点， ∵为的中点， 45．（24-25六年级上·上海长宁·期末）某学校七年级数学兴趣小组在一次课外活动中，对“线段中点”问题进行探究，已知线段 ，点 E、F 分别是线段、的中点. (1)如图 1，若点 C 是线段 上任意一点,求线段 的长度， (2)如图 2，若点 C 是线段延长线上的一点，求线段 的长度 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】此题主要考查了线段的和差，线段的中点的相关计算．熟练掌握各线段之间的数量关系，线段中点的定义，是解决问题的关键． （1）根据线段中点的定义得到，，根据，， 即得； （2）根据线段中点的定义得到，，根据，，即得． 【详解】（1）∵点 E、F 分别是线段、的中点， ∴，， ∵， ∴， 故线段 的长度为； （2）∵点 E、F 分别是线段、的中点， ∴，， ∵， ∴， 故线段 的长度为． 46．（24-25六年级上·上海崇明·期末）如图，点C在线段上，线段，，M，N分别在线段，上，且，． (1)求线段的长度． (2)若点C为线段上任意一点，且，其他条件不变，则线段的长度为 　　． (3)若题中的条件变为“点C在线段的延长线上”，其他条件不变，则的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果． 【答案】(1)16 (2) (3)有变化，4 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，解题的关键是数形结合，熟练掌握线段间的数量关系． （1）根据线段间的数量关系，求出，，然后求出结果即可； （2）根据线段间的数量关系进行解答即可； （3）先求出，再求出，根据线段间的数量关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：有变化． 理由如下：当C点在的延长线时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的长度有变化． 47．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）已知，点为线段的中点．    (1)如图1，若，点为线段的中点，则________； (2)如图2，若点在线段上，且，求的值； (3)若，点在直线上，且，点为的中点，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1)3 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段之间的数量关系，解题的关键是熟练掌握中点的定义，数形结合． （1）根据线段中点定义，数形结合，进行计算即可； （2）分两种情况进行讨论：当点E在点D的左侧时，当点E在点D的右侧时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分两种情况进行讨论：当点E在线段的延长线上时，当点E在线段上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：3． （2）解：∵点为线段的中点， ∴， 设，则 当点E在点D的左侧时，如图所示：    ∴， ∴， ∴； 当点E在点D的右侧时，如图所示：    ∴， ∴， ∴； 综上分析可知，或． （3）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 当点E在线段的延长线上时，如图所示：    此时； 当点E在线段上时，如图所示：    此时． 综上分析可知，或． 48．（24-25六年级上·上海虹口·期末）如图1，点O在直线上，过点O在直线同侧作两条射线；分别是的角平分线． (1)若，那么是多少度？ (2)若，请你猜想是多少度（结果用含α的代数式表示）？并说明理由． (3)其实线段的计算和角的计算存在着紧密的联系．如图2，已知线段，点C，D是线段上两点，线段，点M，N分别是的中点，求的长．（结果用含m，n的代数式表示） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）依据题意即可得到,，再根据，即可得出结果; （2）依据题意即可得到，，再根据，即可得出结果; （3）根据点分别是的中点，可得到，再根据，即可得到结果； 本题考查了角平分线的定义以及线段的有关计算的应用，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 【详解】（1）分别是的角平分线， ,     , ， ， （2）猜想：， ∵分别是的角平分线 ,     , ， ， （3）点分别是的中点， ， , 49．（24-25六年级上·上海宝山·期中）已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧， ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长； (2)若，，请直接写出与存在的数量关系． 【答案】(1)①；②的长为或 (2)或或或 【分析】本题考查了两点间的距离，比较难，需要仔细思考和解答． （1）根据已知条件得到，， ①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到； ②如图1，当点F在点C的右侧时，当点F在点C的左侧时，由线段的和差即可得到结论； （2）分点E在点C右侧，点D在点E左右两侧，点E在点C左侧，点D在点E左右两侧共四种情况，分别讨论可得． 【详解】（1）解：，， ，， ①为中点， ， ， ， ； ②如图1， 当点F在点C的右侧时， ， ， ， ； 当点F在点C的左侧时， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或． （2）解：①点E在点C右侧，点D在点E左侧时， 如图3所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②点E在点C右侧，点D在点E右侧时，如图4所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ③点E在点C左侧，点D在点E左侧时，如图5所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ④点E在点C左侧，点D在点E右侧时，如图6所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或或或． 【经典例题八 双平角模型问题】 50．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图所示，是平角，，，分别是的平分线． (1)猜想与的位置关系，并说明理由． (2)求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用平角的度数和已知，即可证明； （2）根据角平分线的定义求出，，再求和即可得到的度数． 此题考查了角平分线的相关计算和几何图形中角度计算，数形结合是解题的关键． 【详解】（1），理由如下： ∵是平角， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∵，， ∴． 51．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，若是平角，，将直角三角板的直角顶点与点O重合，与重合．将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转，设旋转的时间是t秒． (1)当平分时，计算与t的值 (2)在三角板旋转的同时，以每秒的速度顺时针旋转，当平分时，求t的值． 【答案】(1)，秒 (2)秒 【分析】本题考查了角的平分线的计算、角的和差，找到角之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，再根据路程=速度时间即可得出答案； （2）先根据路程=速度时间结合角的和差表示出，再根据角平分线的定义得出，然后表示出，最后根据建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）当平分时， ， ， 每秒速度旋转，旋转所需要时间（秒） （秒）； （2）依题意可得，， 平分， ， ，， ， （秒） 答：当平分时秒． 52．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）如图所示，是平角，，，、分别是、的平分线． (1)猜想与是否互补，并说明理由； (2)求的度数； (3)如果只改变和的度数，其他条件不变，则与有什么样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】(1)互补，见解析 (2)135度 (3) 【分析】本题主要考查角的运算，根据图形理清各个角之间的关系是解题的关键． （1）先求出，得，故可得结论； （2）先根据角平分线的意义求出和，再根据，即可求解； （3）根据、分别是的平分线，再利用角的和可得结论． 【详解】（1）解：与互补；理由如下： 因为，，是的平分线， 所以， 所以， 所以， 所以与互补； （2）解：因为，分别是、的平分线， 所以，， 所以； （3）解：． 因为，分别是、的平分线， 所以，， 所以． 53．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）综合与探究 【初步探究】 （1）如图①，已知线段，C，D为线段上的两个动点，且，M，N分别是和的中点，求线段的长； 【类比探究】 （2）如图②，直角与平角如图摆放在一起，且和分别是，的角平分线，则的度数； 【知识迁移】 （3）当，时，如图③摆放在一起，且和分别是，的平分线，求的度数（用含，的代数式表示）．（，） 【答案】（1）10；（2）；（3） 【分析】本题考查了线段的中点及线段的和与差以及角的平分线及角的和与差，根据图形找到线段与角的关系是解题的关键． （1）根据，，求出，根据中点定义得出，，求出，最后求出结果即可； （2）根据和分别是，的角平分线，得出，求出，最后求出结果即可； （3）根据角平分线定义得出，根据求出结果即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为M，N分别是和的中点， 所以，， 所以． 所以． （2）因为，， 所以， 因为和分别是，的角平分线， 所以， 所以， 所以． （3）因为和分别是，的角平分线， 所以， 所以 ． 54．（24-25六年级上·上海青浦·期中）综合与实践：六年级李老师带领同学们探究双中点和双角平分线问题 【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，M、N分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若（），则线段___________． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分．射线平分．求的度数． 【类比探究】 （3）如图③，若，是外部的一条射线，射线平分，射线平分，请求出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）①8；②8；（2）60度；（3） 【分析】本题考查了与线段有关的计算和角有关的计算，解题关键是能根据图形正确得到线段或角之间的和差关系，同时要求学生牢记中点、角平分线的定义等相关概念． （1）①利用线段中点得出求解即可； ②利用线段中点得出求解即可； （2）利用角平分线的定义得到，，再利用角的和差关系进行计算即可； （3）先利用角平分线得出，再利用角的和差关系进行转化即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故答案为：8； ②∵，， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故答案为：8； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ， ， ； （3）射线平分，射线平分， ， ， ． 55．（24-25六年级上·上海崇明·期末）如图1，∠AOB是平角，∠COD是直角，射线OB在∠COD内部，OE，OF分别是∠BOD，∠AOC的平分线． (1)如图1，若OB是∠COD的平分线，求∠AOF的度数； (2)如图1，求∠EOF的度数； (3)若改变∠COD的位置变化，如图2，当∠COD在直线AB的上方时，如图3，当射线OA在∠COD内部时，如图4，当∠COD在直线AB的下方时，∠EOF的度数发生变化吗？若不变，请直接写出∠EOF的度数；若不确定，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】（1）已知的度数和平分可得到的度数，继而可求出的度数，再由平分可求出的度数． （2）由OE，OF分别是∠BOD，∠AOC的平分线可求得的度数， （3） 【详解】（1）解：因为OB是∠COD的平分线，， 所以，则． 又因为OF是∠AOC的平分线． 所以． （2）解：因为OE，OF分别是∠BOD，∠AOC的平分线， 所以 ． （3）解：如图2，； 如图3，； 如图4，． 理由如下： ． 【点睛】本题考查了平角，直角的概念，角的比较与运算，掌握角平分线的知识是解题的关键． 56．（24-25六年级上·上海长宁·期末）如图1，是平角，，是的平分线，求的度数． (1)将下面的解答过程补充完整： 解：如图1，因为是平角， 所以 所以， 因为是的平分线， …… (2)如图2，若将原题中改为，添加平分，其余条件不变，那么和具有怎样的数量关系？并说明的度数是否影响它们的数量关系？ (3)如图3，点E、F分别在长方形的边，上，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．当时，直接写出的度数． 【答案】(1)补充见解析 (2)与互为余角，的度数不会影响它们的数量关系，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了角度的计算，角平分线的应用，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； （1）利用平角定义求相关角的度数即可； （2）根据角平分线定义得出，，整理得到再求得与互为余角．在推导过程中，始终以的形式存在，只要不变，度数变化就不影响与的数量关系； （3）根据折叠性质，通过这些角的等量关系，利用平角的性质，经过一系列角度的转化和计算即可． 【详解】（1）所以 所以 （2），与互为余角．的度数不会影响它们的数量关系． 理由： 因为平分，平分， 所以，， 所以 所以，与互为余角 （3）由题意得，， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 线段与角章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 动角计算问题 题型二 余角、补角的动角计算 题型三 三角板中角度计算综合 题型四 角的新定义计算 题型五 线段动点中的定值问题 题型六 线段尺规作图问题 题型七 探究线段之间的数量关系 题型八 双平角模型问题 【经典例题一 动角计算问题】 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤60，单位秒） （1）当t＝2时，求∠AOB的度数； （2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到63°时，求t的值； （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而小于180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将三角板绕O点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线从与重合的位置开始绕O点以每秒逆时针方向旋转到与重合，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若秒时，______； (2)当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分．当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，求t的值． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 4．（24-25六年级上·上海宝山·期末）已知，射线在的内部，且．射线是平面上绕点旋转的一条动射线，平分． (1)如图1，射线在的内部． ①求的度数； ②若与互余，求的度数； (2) 若射线在的外部，，求的度数（用含的式子表示）． 5．（24-25六年级上·上海松江·期末）已知:如图，分别为定角( 大小不会发生改变) 内部的两条动射线， （1）当运动到如图1的位置时，，求的度数． （2）在(1)的条件下(图2)，射线分别为的平分线，求的度数． （3）在(1)的条件下(图3)，是外部的两条射线， ，平分，平分，求的度数． 6．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图：已知∠MON=90°，射线OA绕点O从射线OM位置开始按顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O从射线ON位置开始按逆时针方向以每秒6°的速度旋转，设旋转时间为t秒（0≤t≤30）． （1）用含t的代数式表示∠MOA的度数； （2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值； （3）射线OA，OB在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM，射线OA，射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 7．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）已知：∠AOD=150°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线． （1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当射线OB绕点O在∠AOD内旋转时， ∠MON=　 °； （2）OC也是∠AOD内的射线，如图2，若∠BOC=m°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， 求∠MON的大小（用含m的式子表示）； （3）在（2）的条件下，若m=20,∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内部绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒，如图3，若3∠AOM=2∠DON时，求t的值． 【经典例题二 余角、补角的动角计算】 8．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，直线、相交于点，平分，，垂足为点． (1)图中与互补的角是_________； (2)与相等吗？请说明理由； (3)若，求和的度数． 9．（24-25六年级上·上海奉贤·开学考试）如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角等于多少度？ (2)若，则为多少度？ 10．（24-25六年级上·上海静安·期末）直线，相交于点，，平分． (1)如图①，若，求和； (2)如图②，若； v①求的度数． ②直接写出与互补的角． 11．（24-25六年级上·上海虹口·期末）已知，射线在的内部，且．射线是平面上绕点O旋转的一条动射线，平分． (1)如图1，射线在的内部．   ①的度数为 °；   ②若与互余，求的度数； (2)若，求的度数（用含n的式子表示）． 12．（24-25六年级上·上海长宁·期末）如图1，点A，O，B在同一条直线上，射线，，在直线的同侧，． (1)如图2，若平分，平分． ①当时，求的度数； ②图2中哪些角互为余角？请选择其中一组进行证明； (2)若，求与的数量关系． 13．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图1，已知射线 (1)若，，且，求的度数； (2)若，分别是和的平分线，，求的度数； (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与之和为，则称该射线为的“分余线”． 如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 14．（24-25六年级上·上海青浦·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则____； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出的值． 【经典例题三 三角板中角度计算综合】 15．（24-25六年级上·上海闵行·开学考试）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)若，求的度数． 16．（25-26六年级上·上海嘉定·阶段练习）如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合在点处． (1)___________；（填“>”“<”“=”） (2)若将三角尺按图2的位置摆放，和在数量上有何关系？说明理由； (3)在图2中，已知与的度数比为，当与是同类项时，求的度数． 17．（25-26六年级上·上海崇明·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 18．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）【问题发现】 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处； （1）①与的数量关系是____________． ②与的数量关系是____________． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处； ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 19．（24-25六年级上·上海虹口·期末）【综合与探究】如图①，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． (1)若，_______；若，则 ； (2)【大胆猜想】与的大小有何特殊关系是 ； (3)【问题解决】如图②，若是两个同样的三角尺锐角的顶点A重合在一起，则与的大小有何关系？请说明理由； (4)【拓展延伸】如图③，已知（，），若把它们的顶点O重合在一起，则与的大小有何关系？用字母和表示（不需要证明直接写出答案即可）． 20．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 21．（24-25六年级上·上海长宁·期中）如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点重合，点落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于）． (1)如图2，若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第5秒时，的度数为_______，的度数为______，此时_______． (2)若将三角板绕点顺时针旋转一周后停止，把旋转角记为，而三角板保持静止不动，则（1）中和的数量关系是否始终成立？请画出图形并说明理由． (3)若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可） 【经典例题四 角的新定义计算】 22．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）新定义：若的度数是的度数的倍，则叫做的倍角． (1)如图1，若，请直接写出图中所有的2倍角； (2)如图2，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数． 23．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线． (1)如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数． (2)点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t． ①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值． ②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数． 24．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，求的度数； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系． 25．（24-25六年级上·上海闵行·期末）新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”． (1)一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”； (3)如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由； 26．（24-25六年级上·上海虹口·期末）【概念学习】定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与的和为90°，则称该射线为的“分余线”． 【深入思考】 (1)如图1，，，则射线______的“分余线”；（填：“是”或“不是”） (2)若平分，且为的“分余线”，求的度数； (3)如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，______度． 27．（24-25六年级上·上海青浦·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 28．（24-25六年级上·上海宝山·期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线． (1)应用：若，为的二倍分线，且则________°； (2)如图2，点A，O，B在同一条直线上为直线上方的一条射线． ①若，分别为和的三倍分线，（，）已知，，则____________°； ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． ③如图3，已知，且，所在射线恰好是分别为和的三倍分线，请直接写出的度数． 【经典例题五 线段动点中的定值问题】 29．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如图，线段AB=12，动点P从A出发，以每秒2个 单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点． （1）出发多少秒后，PB=2AM？ （2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值． （3）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值． 30．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点． (1)出发3秒后，AM＝　　，PB＝　　．（不必说明理由） (2)出发几秒后，AP＝3BP？ (3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点， MN的长度是否为定值，若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 31．（24-25六年级上·上海虹口·期末）线段和在数轴上运动，点A开始时与原点重合，且． (1)若，且点B为线段的中点，求线段的长． (2)在（1）的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为4个单位/秒，线段的速度为2个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值． (3)在（1）的条件下，线段和同时开始向左运动，线段的速度为m个单位/秒，线段的速度为n个单位/秒，设M为线段中点，N为线段中点，此时线段的长为定值吗？若是，请直接写出线段的长；若不是，请说明理由． 32．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA：OB＝2：1，点P从点B以每秒4个单位的速度向右运动．    （1）A、B对应的数分别为　 　、　 　； （2）当点P运动时，分别取BP的中点E，AO的中点F，请画图，并求出的值； （3）若当点P开始运动时，点A、B分别以每秒2个单位和每秒5个单位的速度同时向右运动，是否存在常数m，使得3AP+2OP﹣mBP为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 33．（24-25六年级上·上海闵行·期末）直线l上依次排列点A，B，C，D，已知，，点E是线段的中点，点F是线段的中点．    (1)如图1，当点B与点C重合时，求线段的长． (2)如图2，当线段从图1位置沿直线l向右运动时，的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由； (3)当线段从图1位置沿直线l向右平移a个单位长度时，若满足，则求a的值． 34．（24-25六年级上·上海长宁·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是，且与互为相反数． 温馨提示：忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度． （1）求此时刻快车头与慢车头之间相距的单位长度？ （2）从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，再行驶多少秒两列火车的车头、相距8个单位长度？ （3）在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟内，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值），请求出的值及这个定值． 35．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．    (1)直接写出木棒的长； (2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； (3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 【经典例题六 线段尺规作图问题】 36．（24-25六年级上·上海虹口·期末）如图，不在同一直线上的三点A，B，C． (1)（尺规作图，保留作图痕迹）按下列要求作图： ①分别作直线，射线，线段； ②在线段的延长线上作． (2)在你所作的图形中，若，求的度数． 37．（24-25六年级上·上海宝山·期末）已知，如图线段、，按要求利用直尺和圆规作图： (1)作线段（保留作图痕迹） (2)已知，，、、三点在同一直线上，若为中点，为中点，请画出图形并求出的长度． 38．（25-26六年级上·上海闵行·期末）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 39．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，已知直线，点在直线上，点在直线外，按要求作图： (1)画射线，画线段，画直线； (2)尺规作图：在射线上画一条线段，使得（保留尺规作图痕迹）； (3)若，． 比较大小线段 ，依据： ； 比较大小： ． 40．（25-26六年级上·上海青浦·期中）如图，点，，是不在一条直线上的三个点，过，两点作直线，并连接． (1)尺规作图： ①延长至，使得点为的中点； ②作射线，在射线上截取．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） (2)若，求的长． 小明同学写出解答的部分过程，请你帮忙完成填空． 解：（2）因为点为的中点， 所以___________， 因为， 所以___________， 因为， 所以， 因为， 所以___________， 所以___________． 41．（25-26六年级上·上海闵行·期中）如图，已知三点A、B、C，请用尺规作图完成． (1)画直线、射线； (2)连接并延长到E，使得（保留画图痕迹） (3)在（2）条件下，若，点F为的中点，求线段的长的解法如下，请将过程填写完整． 解：∵ ∴ ∵点F为的中点 ∴______=______ ∴______（填写线段名称）=______ 42．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）按下列要求完成画图和计算： (1)已知线段和，求作线段，使(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点若 ①点恰好是中点，则 ． ②若，求的长． ③试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值(小于)，的长不变． 【经典例题七 探究线段之间的数量关系】 43．（24-25六年级上·上海徐汇·开学考试）如图，线段上依次有，，三点，，是的中点，． (1)求证：； (2)求线段的长． 44．（24-25六年级上·上海青浦·期末）如图所示，已知点C为上一点，，，D，E分别为的中点，求的长． 解： ， ， 又E为的中点， ， ，D为的中点， ， ． 45．（24-25六年级上·上海长宁·期末）某学校七年级数学兴趣小组在一次课外活动中，对“线段中点”问题进行探究，已知线段 ，点 E、F 分别是线段、的中点. (1)如图 1，若点 C 是线段 上任意一点,求线段 的长度， (2)如图 2，若点 C 是线段延长线上的一点，求线段 的长度 46．（24-25六年级上·上海崇明·期末）如图，点C在线段上，线段，，M，N分别在线段，上，且，． (1)求线段的长度． (2)若点C为线段上任意一点，且，其他条件不变，则线段的长度为 　　． (3)若题中的条件变为“点C在线段的延长线上”，其他条件不变，则的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果． 47．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）已知，点为线段的中点．    (1)如图1，若，点为线段的中点，则________； (2)如图2，若点在线段上，且，求的值； (3)若，点在直线上，且，点为的中点，请探究与之间的数量关系． 48．（24-25六年级上·上海虹口·期末）如图1，点O在直线上，过点O在直线同侧作两条射线；分别是的角平分线． (1)若，那么是多少度？ (2)若，请你猜想是多少度（结果用含α的代数式表示）？并说明理由． (3)其实线段的计算和角的计算存在着紧密的联系．如图2，已知线段，点C，D是线段上两点，线段，点M，N分别是的中点，求的长．（结果用含m，n的代数式表示） 49．（24-25六年级上·上海宝山·期中）已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧， ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长； (2)若，，请直接写出与存在的数量关系． 【经典例题八 双平角模型问题】 50．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图所示，是平角，，，分别是的平分线． (1)猜想与的位置关系，并说明理由． (2)求的度数． 51．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，若是平角，，将直角三角板的直角顶点与点O重合，与重合．将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转，设旋转的时间是t秒． (1)当平分时，计算与t的值 (2)在三角板旋转的同时，以每秒的速度顺时针旋转，当平分时，求t的值． 52．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）如图所示，是平角，，，、分别是、的平分线． (1)猜想与是否互补，并说明理由； (2)求的度数； (3)如果只改变和的度数，其他条件不变，则与有什么样的数量关系？请直接写出结论． 53．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）综合与探究 【初步探究】 （1）如图①，已知线段，C，D为线段上的两个动点，且，M，N分别是和的中点，求线段的长； 【类比探究】 （2）如图②，直角与平角如图摆放在一起，且和分别是，的角平分线，则的度数； 【知识迁移】 （3）当，时，如图③摆放在一起，且和分别是，的平分线，求的度数（用含，的代数式表示）．（，） 54．（24-25六年级上·上海青浦·期中）综合与实践：六年级李老师带领同学们探究双中点和双角平分线问题 【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，M、N分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若（），则线段___________． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分．射线平分．求的度数． 【类比探究】 （3）如图③，若，是外部的一条射线，射线平分，射线平分，请求出的度数．（用含的式子表示） 55．（24-25六年级上·上海崇明·期末）如图1，∠AOB是平角，∠COD是直角，射线OB在∠COD内部，OE，OF分别是∠BOD，∠AOC的平分线． (1)如图1，若OB是∠COD的平分线，求∠AOF的度数； (2)如图1，求∠EOF的度数； (3)若改变∠COD的位置变化，如图2，当∠COD在直线AB的上方时，如图3，当射线OA在∠COD内部时，如图4，当∠COD在直线AB的下方时，∠EOF的度数发生变化吗？若不变，请直接写出∠EOF的度数；若不确定，请说明理由． 56．（24-25六年级上·上海长宁·期末）如图1，是平角，，是的平分线，求的度数． (1)将下面的解答过程补充完整： 解：如图1，因为是平角， 所以 所以， 因为是的平分线， …… (2)如图2，若将原题中改为，添加平分，其余条件不变，那么和具有怎样的数量关系？并说明的度数是否影响它们的数量关系？ (3)如图3，点E、F分别在长方形的边，上，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．当时，直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $