专题02 角重难点题型专训（8个知识点+15大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册重难点专题提升精讲精练

本讲义聚焦“角”这一核心知识点，系统梳理角的概念、角度制换算、钟表夹角、方位角、角平分线、角的运算、余角补角及其性质8个知识点，构建从概念理解到实际应用的递进式学习支架。 资料通过15大题型分层训练和5大拓展综合提升，融入三角板旋转、方向角计算等实例，培养学生几何直观与推理意识。课中助力教师高效授课，课后学生可借自我检测查漏补缺，强化知识应用能力。

专题02 角重难点题型专训 （8个知识点+15大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 角的概念理解 题型二 角的分类 题型三 角的单位与角度制 题型四 角度的四则运算 题型五 角的度数大小比较 题型六 方向角的表示 题型七 与方向角有关的计算题 题型八 几何图形中角度计算问题 题型九 三角板中角度计算问题 题型十 角平分线的有关计算 题型十一 角n等分线的有关计算 题型十二 求一个角的余角 题型十三 求一个角的补角 题型十四 与余角、补角有关的计算 题型十五 同(等)角的余(补)角相等的应用 拓展训练一 方向角、钟面角计算综合 拓展训练二 角平分线的有关计算综合 拓展训练三 几何图形中角度计算综合 拓展训练四 余角、补角计算综合 拓展训练五 利用余角、补角探索角度关系 知识点一：角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【即时训练】 1．（24-25七年级·上海松江·期中）用一个放大 100 倍的放大镜来观察一个 30 度的角，则观察到的角（　　） A．大小不变 B．缩小了 100 倍 C．放大了 100 倍 2．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）如图中共有 个角，分别是 ． 知识点二：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）将用度分秒表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）（1）把化为以度为单位是 ； （2）把化为以度为单位是 ； （3）把化为以度分秒为单位是 ． 知识点三：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海静安·期末）在时刻：，时钟上的时针和分针之间的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海长宁·开学考试）当一个挂钟走到4时12分的时候，时针与分针所成的较小的夹角是 度． 知识点四：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点 【即时训练】 1．（25-26六年级上·上海宝山·阶段练习）某公园位于合肥市东北方向处，下列选项能准确表示这一位置关系的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，点位于点的 的方向上（如：北偏东）． 知识点五：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图，已知点O在直线上，平分，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）如图，平分，若，则 ． 知识点六：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海宝山·开学考试）一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 2．（24-25六年级上·上海闵行·期末）角的和差关系： 是与的和，记作 ； 是与的差，记作 ． 知识点七：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）若和互余，且 ，则 为 （　　） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期末）若，则的补角的度数为 ． 知识点八：余角和补角的性质 （1）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （2）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海虹口·期末）如图，将一个直角三角形纸片的直角顶点放在直线上的点处，固定直线，当纸片绕着点在直线上方旋转时，与的度数会发生改变，则与（    ）    A．是对顶角 B．互为余角 C．互为邻补角 D．互为补角 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）一副三角板按如图摆放．若，则等于 ． 【经典例题一 角的概念理解】 【例1】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）用放大2倍的放大镜看的角，看到的角的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，是一条直线，图中小于平角的角共有（    ） A．4个 B．8个 C．9个 D．10个 2．（2025七年级·上海闵行·专题练习）角是由两条有公共端点的 线所组成的图形． 3．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有 个角；画条射线所得的角的个数是 ． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期末）已知是直线上的一点，是直角． (1)如图，若平分，当时，求的度数； (2)如图，平分，平分，求的度数； (3)如图，若，此时的边与重合，当绕点逆时针方向旋转，旋转过程中始终平分，请求出与之间的数量关系． 【经典例题二 角的分类】 【例2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）下列四个角中，钝角是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）周角= 平角= 直角． 3．（24-25六年级上·上海闵行·课堂例题）如图所示，回答下列问题：    (1)写出能用一个字母表示的角： ； (2)写出以点B为顶点的角 ； (3)图中共有 个小于平角的角． 4．（24-25六年级上·上海虹口·课后作业）如图，按要求写出符合条件的角． （1）能用一个字母表示的角； （2）以B为顶点的角； （3）图中共有几个小于平角的角？ 【经典例题三 角的单位与角度制】 【例3】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）已知，将用度分秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图，将一副三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·上海闵行·课后作业）单位换算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，则 ． 4．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，和都是的角． 图1                图2 (1)若，求的度数． (2)请写出图1中相等的角（除）． (3)根据上述经验，在图2中，利用三角板的特殊角画一个与相等的角（请指明你所使用的三角板的特殊角的度数和画出的与相等的角）． 【经典例题四 角度的四则运算】 【例4】（2025六年级上·上海·专题练习）如果，那么的补角的度数是(    ) A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期末）的补角的度数是 ． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，已知A、O、B三点在同一直线上，且平分，平分，给出下面四个结论： ①；        ②与互补； ③与互余；    ④当时，． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 4．（24-25六年级上·上海金山·期中）（1）如图，四边形，在四边形内找一点，使得线段、、、的和最小．（画出即可，不写作法） （2）用度、分、秒表示______°______′______″ （3）计算：______． （4）比较大小：______．（填“”“”或“”） 【经典例题五 角的度数大小比较】 【例5】（2025·上海静安·模拟预测）如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 C． D． 1．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）如图，与之间的关系是（    ） A． B． C． D．与的大小无法比较 2．（24-25六年级上·上海闵行·课堂例题）已知，则的大小关系为 ． 3．（2025六年级上·上海宝山·专题练习），． （1） (请用，，填空) （2） ． 4．（24-25六年级上·上海金山·单元测试）把一副直角三角尺拼在一起如图所示．    (1)写出图中，，，，的度数； (2)用“”将上述各角连接起来． 【经典例题六 方向角的表示】 【例6】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）如图，学校在小明家北偏东的方向上，点表示超市所在的位置，，则超市在小明家的方向上（   ） A．北偏西 B．北偏西 C．西偏北 D．西偏北 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）下图是贵州省部分行政区分布的大致位置，以下描述正确的是（   ）    A．凯里市位于贵阳市北偏东约 B．遵义市位于贵阳市北偏东约 C．铜仁市位于贵阳市北偏西约 D．六盘水市位于贵阳市北偏西约 2．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知从一只船上测得一灯塔的方向是北偏东，那么从灯塔看这只船的方向应是 ； 3．（2025六年级上·上海静安·专题练习）如图，射线表示方向是 ． 4．（24-25六年级上·上海宝山·期中）根据图示信息回答问题． (1)龙龙从家出发，先向东偏（    ）（    ）方向走（    ），到达体育馆，接着从体育馆向北偏（    ）（    ）方向走（    ）到达娱乐场． (2)已知公园在龙龙家北偏东方向处，电影院在体育馆北偏西方向处，请你在图中标出公园和电影院的位置． 【经典例题七 与方向角有关的计算题】 【例7】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图是某大学的部分位置图，则食堂在图书馆的（     ） A．南偏西方向米处 B．北偏东方向米处 C．南偏东方向米处 D．北偏西方向米处 1．（24-25六年级上·上海崇明·阶段练习）如图，是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，若，则表示的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 2．（25-26六年级上·上海青浦·开学考试）是边长为的等边三角形，是绕C点逆时针旋转后得到的（如图）．那么，这个三角形旋转了 度．点位于C点西偏北 度的方向，距离C点． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是 ． 4．（25-26六年级上·上海闵行·阶段练习）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东 方向，B岛在A 岛的北偏东 方向，C岛在 B 岛的北偏西 方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 【经典例题八 几何图形中角度计算问题】 【例8】（24-25六年级上·上海青浦·期中）如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 2．（2025·上海金山·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过 ）． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图，已知为从顶点出发的射线，，且，射线平分．平面内有射线和射线，射线平分．若，则 ． 4．（24-25六年级上·上海松江·期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 【经典例题九 三角板中角度计算问题】 【例9】（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）一副三角板按如图方式摆放，若， 则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，将一块三角尺中角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合，若，则的大小是(　　) A． B． C． D． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）将一副三角板如图所示放置，，若，则的度数为 ． 3．（24-25六年级上·上海金山·期末）将一副三角板按如图所示方式摆放，其中，． （1）若和互补，则的度数为 ； （2）若平分，平分，则的度数为 ． 4．（25-26六年级上·上海宝山·阶段练习）如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合在点处． (1)___________；（填“>”“<”“=”） (2)若将三角尺按图2的位置摆放，和在数量上有何关系？说明理由； (3)在图2中，已知与的度数比为，当与是同类项时，求的度数． 【经典例题十 角平分线的有关计算】 【例10】（2025六年级上·上海虹口·专题练习）如图，为内部的一条射线，下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，，，若平分，则的大小为 ． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，过点O在内部作射线．且平分，平分，平分； ①； ②； ③； ④． 其中正确的是 ．（填写序号） 4．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【经典例题十一 角n等分线的有关计算】 【例11】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 1．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25六年级上·上海普陀·开学考试）已知为的三等分线，若，则 °． 3．（25-26六年级上·上海松江·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 4．（24-25六年级上·上海闵行·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【经典例题十二 求一个角的余角】 【例12】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 1．（2025六年级上·上海虹口·专题练习）如图，，四位同学分别说了自己的观点．甲：．乙：．丙：与都是的余角．丁：图中小于平角的角有4个．其中观点正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，点O是上一点，分别平分．则的余角为 ． 3．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）如图一副三角板和三角板中（，，，），若，则能用图中字母表示出的角中互余的角有 对． 4．（24-25六年级上·上海金山·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，若，，平分，求α． (3)如图3，若与互余，也与互余，请直接写出的度数．（用含α的式子表示） 【经典例题十三 求一个角的补角】 【例13】（2025六年级上·上海闵行·专题练习）若，则的补角的度数为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）下列的四个角中，与互为补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26六年级上·上海普陀·期中）如图是用一副三角板拼成的图形，则图中 ． 3．（24-25六年级上·上海长宁·期末）如图，已知点O是直线上一点，点N、C、D为直线上方三点，，，，则的补角的度数是 ． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期末）如图1，是直线上的一点，是直角，． (1)若时，则的度数为______． (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变．若，直接写出______． 【经典例题十四 与余角、补角有关的计算】 【例14】（2025·上海崇明·模拟预测）如图，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中与一定互余的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，，，，则的度数为 ． 3．（24-25六年级上·上海金山·期末）如图，A、O、B在一直线上，，若，则图中互余的角共有 对． 4．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 【经典例题十五 同(等)角的余(补)角相等的应用】 【例15】（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25六年级上·上海静安·期末）如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②若变小，则也变小；③若，则；④若OM平分平分，则．其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）如图：，可得．理由是 ． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）小颖在进行数学探究活动时，将一副直角三角尺如图所示摆放．摆放过程中，小颖惊奇地发现一个有趣的现象：与的度数始终相等．那么，能对这一现象作出合理解释的依据是 ． 4．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）以直线上一点为端点作射线，将一块直角三角板的直角顶点放在处（注：）． (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，且，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕逆时针转动到某个位置时，若在的内部且恰好满足，且度，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线． 【拓展训练一 方向角、钟面角计算综合】 1．（24-25六年级上·上海静安·期末）如图，地和地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东方向上有一艘船，同时，从地发现这艘船在它北偏东方向上． (1)在图中确定船的位置； (2)请通过测量确定的度数． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图所示，O点是学校所在的位置，A小区位于学校南偏东，B小区位于学校西北方向，在A小区和B小区之间有一条公路（射线）平分． (1) 度； 度； (2) 度； (3)公路上的车站D相对于学校O的方位是 ． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【拓展训练二 角平分线的有关计算综合】 1．（25-26六年级上·上海闵行·单元测试）已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1．若．求的度数； (2)在图1中，若，直接写出的度数（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)继续将绕点O按顺时针方向旋转到如图3所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）． 3．（24-25六年级上·上海静安·期末）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 【拓展训练三 几何图形中角度计算综合】 1．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图：中，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果题目中，其它条件不变，求的度数； (3)如果题目中（为锐角），其它条件不变，求的度数； (4)从（1）、（2）、（3）的结果中能得到什么结论，请简述理由． 2．（25-26六年级上·上海金山·开学考试）如图，以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则________； (2)如图②，将直角三角板转到如图位置，当恰好平分时，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，直接写出和的数量关系：________． 3．（24-25六年级上·上海崇明·期末）点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 【拓展训练四 余角、补角计算综合】 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·开学考试）已知，直线相交于点O，，是的平分线． (1)如图1所示，求的度数； (2)如图2所示，作的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，请你过点O作射线，使得为的余角的2倍，求的度数． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如果我们称是的“倍补角”．例如若，则是的“倍补角”，请注意：此时不是的“倍补角”． (1)若是的“倍补角”，且，给出下列四个式子：①；②；③；④．其中可以表示余角的式子有（写出所有正确结论的序号）； (2)如图1，已知，若在直线的上方存在射线，使得是的“倍补角”，且与互余，求的大小； (3)如图2，已知，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（），当是的“倍补角”时，求此时t的值． 【拓展训练五 利用余角、补角探索角度关系】 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知在同一平面上的点A，B，C，D，O． (1)按下列要求作图．（尺规作图，保留作图痕迹） ①分别作直线，射线，连接； ②在的延长线上作，使； (2)按（1）作图所示，若，，探究与的关系． 解：∵，， ∴ ① °， ∵ ② ， ③ ， ∴ ④ ． 通过以上探究，请同学们联系所学思考：若，，所以．我们可以得到一个结论： ⑤ ． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）根据以下素材，探索完成任务． 探究三角尺中的学问 素材1 已知点C为直线上一点，，． 素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放． 问题解决 任务1 问题1：如图1，若，图中哪些角与互余？ 任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数； 任务3 问题3：探究当，求三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数，请直接写出探究结论，不必写出探究过程． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）【探索新知】 （1）如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则_______________；若，则_______________． ②猜想与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，作（都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． 1．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 2．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）若为，那么它的补角是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）如果，，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 4．（24-25六年级上·上海静安·期末）一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点在线段的延长线上．如图2，将边三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当线段与射线重合时停止），平分，当满足时，三角板的运动时间为（   ） A．16秒 B．秒 C．32秒 D．秒 5．（24-25六年级上·上海松江·期中）如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25六年级上·上海金山·期末）计算： ． 7．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）如图，是直线上一点，且，，则 ，的余角是 ． 8．（24-25六年级上·上海虹口·期末）一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 9．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在中，平分，平分，E，F分别在，的延长线上，平分，平分，，相交于点G，若，则的度数是 ．    10．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）如图，直线与相交于点，，将一等腰直角三角尺的直角顶点与重合，平分．将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒，若直线平分，则的值为 ．    11．（25-26六年级上·上海闵行·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25六年级上·上海青浦·期中）某路公共汽车从起点站先向东偏北方向行驶，再向东行驶，最后向东偏南方向行驶到达终点站．请根据描述画出该路公共汽车的行驶路线． 13．（25-26六年级上·上海闵行·课后作业）（1）如图1，和都是直角，试猜想和是相等、互余还是互补的关系，请说明理由． （2）若绕着点O旋转，如图2所示，则（1）中的猜想还成立吗？ 14．（25-26六年级上·上海徐汇·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 15．（24-25六年级上·上海金山·期末）（1）如图，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处若与的差的绝对值为，求的度数． （2）如图，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，，沿着，分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处． ①如图，当点，，三点共线时，与的差的绝对值为，求的度数； ②当点，，三点不共线时，与的差的绝对值为，，且，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 角重难点题型专训 （8个知识点+15大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 角的概念理解 题型二 角的分类 题型三 角的单位与角度制 题型四 角度的四则运算 题型五 角的度数大小比较 题型六 方向角的表示 题型七 与方向角有关的计算题 题型八 几何图形中角度计算问题 题型九 三角板中角度计算问题 题型十 角平分线的有关计算 题型十一 角n等分线的有关计算 题型十二 求一个角的余角 题型十三 求一个角的补角 题型十四 与余角、补角有关的计算 题型十五 同(等)角的余(补)角相等的应用 拓展训练一 方向角、钟面角计算综合 拓展训练二 角平分线的有关计算综合 拓展训练三 几何图形中角度计算综合 拓展训练四 余角、补角计算综合 拓展训练五 利用余角、补角探索角度关系 知识点一：角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【即时训练】 1．（24-25七年级·上海松江·期中）用一个放大 100 倍的放大镜来观察一个 30 度的角，则观察到的角（　　） A．大小不变 B．缩小了 100 倍 C．放大了 100 倍 【答案】A 【分析】根据角放大或缩小多少倍，角的大小不变． 【详解】解：一个100倍放大镜看一个30度的角，这个角仍是30度，即角的大小不变． 故选:A． 【点睛】本题主要考查了放大和缩小，掌握一个角放大或缩小多少倍，角的大小不变是解答本题的关键． 2．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）如图中共有 个角，分别是 ． 【答案】 ，， 【分析】根据角的定义，从一边按照一定的顺序计数即可． 【详解】解：图中的角有，，，共个角． 故答案为：；，，． 【点睛】本题主要考查的是角的定义，掌握角的定义是解题的关键． 知识点二：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）将用度分秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，熟知度与分之间的进率为60是解题的关键． 【详解】解：， 故选D． 2．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）（1）把化为以度为单位是 ； （2）把化为以度为单位是 ； （3）把化为以度分秒为单位是 ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒之间的关系，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （3）根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴； 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 知识点三：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海静安·期末）在时刻：，时钟上的时针和分针之间的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟表角，利用钟表表盘的特征解答． 【详解】解：点分，时针和分针中间相差个大格． ∵钟表个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴点分针与时针的夹角是． 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海长宁·开学考试）当一个挂钟走到4时12分的时候，时针与分针所成的较小的夹角是 度． 【答案】54 【分析】本题考查了钟面角．根据钟表有12个大格，每个大格是，时间为4时12分，分针指在2到3之间，时针在4到5之间，从而可以解答本题． 【详解】解：4时12分，时针从12点位置起旋转过的角度为： ， 分针从12点位置起旋转过的角度为， 所以4时12分时，时针与分针的夹角为． 故答案为：54． 知识点四：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点 【即时训练】 1．（25-26六年级上·上海宝山·阶段练习）某公园位于合肥市东北方向处，下列选项能准确表示这一位置关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方向角；该公园在东、北夹角的角平分线上，距离的位置，据此逐一判断选项即可 【详解】解：该公园在东、北夹角的角平分线上，距离的位置 A、该项为北偏东距离处，故A不符合题意； B、该项东北方向处，故B符合题意； C、该项为东北方向，但是距离标注错了，故C不符合题意； D、该项为东北方向，但是距离标注错了，故D不符合题意 故选：B 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，点位于点的 的方向上（如：北偏东）． 【答案】北偏西 【分析】本题考查方位角的定义及表示，熟记方位角定义及表示方法是解决问题的关键． 根据方位角的定义及表示直接即可得到答案． 【详解】解： ∴点位于点的北偏西方向上， 故答案为：北偏西． 知识点五：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图，已知点O在直线上，平分，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了角的计算和角平分线，解题的关键是掌握角的和差，角平分线的定义． 利用角平分线的定义进行解答即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）如图，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，由平分，，即可得出． 【详解】解：∵平分，， ∴， 故答案为： 知识点六：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海宝山·开学考试）一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 【答案】C 【分析】本题考查锐角，钝角，根据锐角小于，钝角小于即可解答． 【详解】解：∵锐角小于，钝角小于， ∴一个锐角加上一个钝角的和一定小于． 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期末）角的和差关系： 是与的和，记作 ； 是与的差，记作 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查角的和差关系，根据描述列式即可解答． 【详解】解：是与的和，记作； ∠是与的差，记作； 故答案为：；． 知识点七：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）若和互余，且 ，则 为 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和互余，可得，根据题意即可求解． 【详解】解：∵和互余， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了余角的定义，熟练掌握两个角互余，则这两个角的和为是解题的关键． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期末）若，则的补角的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了补角的计算，根据补角和为进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴的补角的度数为， 故答案为： 知识点八：余角和补角的性质 （1）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （2）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海虹口·期末）如图，将一个直角三角形纸片的直角顶点放在直线上的点处，固定直线，当纸片绕着点在直线上方旋转时，与的度数会发生改变，则与（    ）    A．是对顶角 B．互为余角 C．互为邻补角 D．互为补角 【答案】B 【分析】如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，由此即可得到答案． 【详解】解：， ， 与互为余角， 与的两边不互为反向延长线， 与不是对顶角． 故选：B．    【点睛】本题考查余角，关键是掌握余角的定义． 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）一副三角板按如图摆放．若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了有关余角的求解，掌握互余两角度数和为是解题的关键． 由三角板，得到互余，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【经典例题一 角的概念理解】 【例1】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）用放大2倍的放大镜看的角，看到的角的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】角的大小和边的长短无关，与角张开的角度的大小有关，而放大镜看到的角，放大的只是角的边，所以，无论用多少倍的放大镜看角，角的大小都不变，可据此解题． 【详解】解：由题意得用放大10倍的放大镜看的角，看到的度数是． 故选：A 【点睛】解析此题考查的是角的大小的比较，角的大小的比较，不是比较边的长短，而是比较角的张开的角度的大小． 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，是一条直线，图中小于平角的角共有（    ） A．4个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的定义，根据角的定义分别表示出各角即可． 【详解】解：图中小于平角的角共有：，，，，，，，，，共9个． 故选：C． 2．（2025七年级·上海闵行·专题练习）角是由两条有公共端点的 线所组成的图形． 【答案】两条射 【分析】根据角的定义解答即可． 【详解】解：角是由两条有公共端点的两条射线所组成的图形， 故答案为：两条射． 【点睛】本题考查角的定义，具有公共点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边． 3．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有 个角；画条射线所得的角的个数是 ． 【答案】 10 【分析】由题意根据图形数出即可得出画3条射线，图中角的个数，进而依据结果得出规律即可. 【详解】解：∵在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角，3= ； 画2条射线，图中共有6个角，6= ； 画3条射线，图中共有10个角，10= ； …， ∴画n条射线，图中共有个角. 故答案为：10，． 【点睛】本题考查对角的概念和规律探索，解题的关键是能够根据求出的结果探索得出规律． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期末）已知是直线上的一点，是直角． (1)如图，若平分，当时，求的度数； (2)如图，平分，平分，求的度数； (3)如图，若，此时的边与重合，当绕点逆时针方向旋转，旋转过程中始终平分，请求出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先角平分线的定义得出，再利用平角的定义可得答案； （2）先证明，，再利用角的和差运算可得答案； （3）①当时，如图，由题意可得，表示，可得结论；②当时，由题意可得，表示，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）①当时，． 理由：如图， ∵绕点逆时针方向旋转， ∴， ∴， ∵始终平分， ∴， ∴， ∴； ②当时，． 理由：如图， ∵绕点逆时针方向旋转， ∴， ∴， ∵始终平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 【点睛】本题考查几何图形中角度计算问题，角平分线的定义，角的和差运算，角的动态定义的理解，熟练利用角的和差运算进行计算是解题的关键． 【经典例题二 角的分类】 【例2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）下列四个角中，钝角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的分类，即可求解． 【详解】解：A、是平角，故本选项不符合题意； B、是锐角，故本选项不符合题意； C、是直角，故本选项不符合题意； D、是钝角，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了角的分类，熟练掌握锐角是大于0°小于90°的角；直角等于90°；钝角是大于90°小于180°的角；平角等于180°是解题的关键． 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 2．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）周角= 平角= 直角． 【答案】 /0.5 1 【分析】根据周角、平角、直角的定义可知，1周角=360度，1平角=180度，1直角=90度，据此即可求解． 【详解】解：1周角度，1平角度，1直角度， ∴周角平角直角， 故答案为：，1． 【点睛】本题主要考查周角和平角．直角的定义，是需要熟记的内容 3．（24-25六年级上·上海闵行·课堂例题）如图所示，回答下列问题：    (1)写出能用一个字母表示的角： ； (2)写出以点B为顶点的角 ； (3)图中共有 个小于平角的角． 【答案】 【分析】本题考查的是角的表示方法． （1）确定以这个字母为顶点的角只有1个，从而可得答案； （2）根据角的定义分别确定以B为顶点的角即可； （3）分别确定以，，，为顶点的小于平角的角即可． 【详解】（1）解：能用一个字母表示的角有：． 故答案为：． （2）以为顶点的角有：． 故答案为：． （3）图中共有7个小于平角的角，分别是：，，，，，，，共个． 故答案为：7． 4．（24-25六年级上·上海虹口·课后作业）如图，按要求写出符合条件的角． （1）能用一个字母表示的角； （2）以B为顶点的角； （3）图中共有几个小于平角的角？ 【答案】（1），；（2），，；（3）7个 【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案． 【详解】解：（1）能用一个字母表示的角有2个：，； （2）以B为顶点的角有3个：，，； （3）图中小于平角的角有7个：，，，，，，． 【点评】利用了角的概念求解．从一点引出两条射线组成的图形就叫做角．角的表示方法一般有以下几种：1、角+3个大写英文字母；2、角+1个大写英文字母；3、角+小写希腊字母；4、角+阿拉伯数字． 【经典例题三 角的单位与角度制】 【例3】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）已知，将用度分秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了度分秒的换算．根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 1．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图，将一副三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角度的计算，解题关键是熟练掌握角的运算法则．根据题意，、和三角板的一个直角组成了一个平角，用平角减去，再减去即可求解． 【详解】解：∵， 则． 故选：C． 2．（25-26六年级上·上海闵行·课后作业）单位换算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，熟练掌握度、分、秒的进率及换算方法是解题的关键． （1）根据，用换算即可 ； （2）根据，，用逆向换算即可 ； （3）根据，，先将换算成，再将换算成，即可得解； （4）根据，，先将换算成，再将换算成，即可得解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3），， ； 故答案为：；；； （4）， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角板中角的和差，平角的定义， 根据三角板的性质得，再根据平角的定义结合度分秒之间的关系计算即可. 【详解】解：根据三角板可知， ∵，且， ∴. 故答案为：. 4．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，和都是的角． 图1                图2 (1)若，求的度数． (2)请写出图1中相等的角（除）． (3)根据上述经验，在图2中，利用三角板的特殊角画一个与相等的角（请指明你所使用的三角板的特殊角的度数和画出的与相等的角）． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】本题考查的是角的四则运算，角的和差运算，掌握角的和差运算是解本题的关键； （1）先求解，再利用角的和差关系可得答案； （2）由，可得答案； （3）利用或构建角的和差关系图形即可画出图形． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． （3）如图1，利用直角可得，所以； 如图2，利用60°角可得，所以． 【经典例题四 角度的四则运算】 【例4】（2025六年级上·上海·专题练习）如果，那么的补角的度数是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角的定义，度分秒的换算．根据“和为180度的两个角互为补角，”进行计算即可． 【详解】解：因为， 所以的补角的度数是：． 故选：C． 1．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的运算．熟练掌握，是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期末）的补角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角的定义，角的和差，解题关键是熟知补角的定义．根据补角的定义直接用减去已知角即可． 【详解】解：根据补角的定义得， ． 故答案为： 3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，已知A、O、B三点在同一直线上，且平分，平分，给出下面四个结论： ①；        ②与互补； ③与互余；    ④当时，． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①② 【分析】本题考查了余角和补角，度分秒的换算和角平分线的定义，解答本题的关键是理解与角和补角的定义，掌握角平分线的定义． 根据角平分线的定义可得，再根据余角和补角的定义求解即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，故①正确； ， 与互补，故②正确； ， ，故③错误； 当时，， ，故④错误； 正确结论的序号有：①②； 故答案为：①②． 4．（24-25六年级上·上海金山·期中）（1）如图，四边形，在四边形内找一点，使得线段、、、的和最小．（画出即可，不写作法） （2）用度、分、秒表示______°______′______″ （3）计算：______． （4）比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】（1）见解析  （2），，  （3）  （4）> 【分析】本题考查两点间线段最短，度分秒的换算，角度的加法和比较大小； （1）连接和交于点O，则点O即为所作； （2）利用度、分、秒的进位制是计算即可； （3）根据度、分、秒的减法运算； （4）先把化为，然后比较大小即可． 【详解】解：（1）如图，点即为所作； （2）， 故答案为：，，； （3）， 故答案为：； （4）， ∵， ∴， 故答案为：． 【经典例题五 角的度数大小比较】 【例5】（2025·上海静安·模拟预测）如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：图中三角尺为等腰直角三角形， ，． ． 故选：D． 1．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）如图，与之间的关系是（    ） A． B． C． D．与的大小无法比较 【答案】B 【分析】利用度量法测量各角，故可求解． 【详解】用度量法测得∠1=24°，∠2=24° ∴． 故选B． 【点睛】此题主要考查角度的大小比较，解题的关键是熟知量角器的使用． 2．（24-25六年级上·上海闵行·课堂例题）已知，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2025六年级上·上海宝山·专题练习），． （1） (请用，，填空) （2） ． 【答案】 【分析】题主要考查了角的大小比较，角的求和计算； （1）根据角度的单位度、分、秒之间的关系为进制，将角度的单位统一，再进行大小比价即可； （2）根据角度的单位度、分、秒之间的关系为进制，将角度的单位统一，再进行加法运算即可． 【详解】（1）解：，， 故． 故答案为：； （2）， 所以． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海金山·单元测试）把一副直角三角尺拼在一起如图所示．    (1)写出图中，，，，的度数； (2)用“”将上述各角连接起来． 【答案】(1)，，，， (2) 【分析】（1）一副三角尺一个是等腰直角三角形，另一个是一个角为的直角三角形，看图写出各个角的度数； （2）按角的大小顺序连接． 【详解】（1）解：，，，，； （2）由（1）可得：． 【点睛】本题主要考查角的比较与运算，比较简单． 【经典例题六 方向角的表示】 【例6】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）如图，学校在小明家北偏东的方向上，点表示超市所在的位置，，则超市在小明家的方向上（   ） A．北偏西 B．北偏西 C．西偏北 D．西偏北 【答案】B 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义可得，然后利用角的和差关系可求出，从而根据方向角的定义，即可解答，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵学校在小明家北偏东的方向上， ∴， ∵， ∴， ∴超市在小明家的方向上北偏西， 故选：． 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）下图是贵州省部分行政区分布的大致位置，以下描述正确的是（   ）    A．凯里市位于贵阳市北偏东约 B．遵义市位于贵阳市北偏东约 C．铜仁市位于贵阳市北偏西约 D．六盘水市位于贵阳市北偏西约 【答案】D 【分析】本题主要查了方位角．根据题意得到凯里市位于贵阳市北偏东的度数大于，遵义市位于贵阳市北偏东的度数小于，铜仁市位于贵阳市北偏东的方向，六盘水市位于贵阳市北偏西约，即可求解． 【详解】解：由图形得：凯里市位于贵阳市北偏东的度数大于，遵义市位于贵阳市北偏东的度数小于，铜仁市位于贵阳市北偏东的方向，六盘水市位于贵阳市北偏西约， 故D选项正确符合题意． 故选：D 2．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知从一只船上测得一灯塔的方向是北偏东，那么从灯塔看这只船的方向应是 ； 【答案】南偏西 【分析】本题考查了方向角的意义及表示方法，方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南）．结合题意图形可知，灯塔位于这艘船的方向与船位于灯塔的方向正好相反，但度数不变． 【详解】解：如图， ∵从一只船上测得一灯塔的方向是北偏东， ∴从灯塔看这只船的方向应是南偏西． 故答案为南偏西． 3．（2025六年级上·上海静安·专题练习）如图，射线表示方向是 ． 【答案】东北方向或北偏东 【详解】解：射线所指方向为东北方向或北偏东． 故答案为：东北方向或北偏东． 4．（24-25六年级上·上海宝山·期中）根据图示信息回答问题． (1)龙龙从家出发，先向东偏（    ）（    ）方向走（    ），到达体育馆，接着从体育馆向北偏（    ）（    ）方向走（    ）到达娱乐场． (2)已知公园在龙龙家北偏东方向处，电影院在体育馆北偏西方向处，请你在图中标出公园和电影院的位置． 【答案】(1)南；30；600；东；25；400 (2)见解析 【分析】本题主要考查了方位角的实际应用，熟知方位角的定义是解题的关键． （1）根据体育馆再龙龙家东偏南30度方向上且相距600米，娱乐场在体育馆北偏东25度方向上且相距500米进行求解即可； （2）根据方位角的描述依据对应的距离作图即可． 【详解】（1）解：由题意得，龙龙从家出发，先向东偏南方向走到达体育馆，接着从体育馆向北偏东方向走到达娱乐场， 故答案为：南；30；600；东；25；400； （2）解：如图所示，电影院和公园的位置即为所求． 【经典例题七 与方向角有关的计算题】 【例7】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图是某大学的部分位置图，则食堂在图书馆的（     ） A．南偏西方向米处 B．北偏东方向米处 C．南偏东方向米处 D．北偏西方向米处 【答案】C 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键，根据方向角的定义进行解答即可． 【详解】解：如图，， 所以食堂在图书馆的南偏东方向米处， 故选：． 1．（24-25六年级上·上海崇明·阶段练习）如图，是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，若，则表示的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】C 【分析】本题考查了方位角的表示，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 根据题意求得的度数，根据角的和差即可得出结论． 【详解】解：∵是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线， ∴ ， ∵， ∴ ∴表示的方向是北偏东 ． 故选：C． 2．（25-26六年级上·上海青浦·开学考试）是边长为的等边三角形，是绕C点逆时针旋转后得到的（如图）．那么，这个三角形旋转了 度．点位于C点西偏北 度的方向，距离C点． 【答案】 【分析】本题考查方向角． 根据方向角和等边三角形的知识，结合角之间的关系计算即可． 【详解】解：， ∴这个三角形旋转了， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴点位于C点西偏北的方向． 故答案为：，． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算是解题的关键． 根据已知条件可直接确定的度数． 【详解】解：∵是表示北偏东方向的一条射线，是表示南偏东方向的一条射线， ∴， 故答案为：． 4．（25-26六年级上·上海闵行·阶段练习）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东 方向，B岛在A 岛的北偏东 方向，C岛在 B 岛的北偏西 方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 【答案】 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，由题意得：，推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：， 则， ∵， ∴， ∴ ∴. ∵， ∴ 【经典例题八 几何图形中角度计算问题】 【例8】（24-25六年级上·上海青浦·期中）如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及角的和差计算，邻补角互补求角度等知识点． 先由求出，再根据角平分线求出，最后根据邻补角求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及角平分线的定义，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由与互补，可求出的度数，结合角平分线的定义，可得出与的度数，由与互余，结合对顶角相等，可求出的度数，根据“在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角”，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 如图，平分，当旋转到直线上时，满足题意， ∴． ∵，， ∴． 根据题意得：或， 解得：或， ∴t的值为6或24． 故选：D． 2．（2025·上海金山·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过 ）． 【答案】或 【分析】本题考查了钟面角和一元一次方程的应用，根据时针和分针的转动，用t表示出， ，，再根据有两个角相等可列方程，求解可得t的值． 【详解】解：∵钟表一周为 ∴分针每分钟走，时针每分钟走， 依题意得， ①当时，，，，不存在相等的两个角， ②当时，即：时，，， 此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：， ③当时，即：时，，， 此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：， 综上，当或时， 三个角中有两个角相等 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图，已知为从顶点出发的射线，，且，射线平分．平面内有射线和射线，射线平分．若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算及角平分线，根据且，可得，根据角的和差关系可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，然后分在的内部和外部两种情况解答即可． 【详解】解：∵且， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， 当在的内部时，如图， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 当在的外部时，如图， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 综上所述，或． 故答案为：或． 4．（24-25六年级上·上海松江·期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系及角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）根据（1）可直接进行求解； （3）由题意易得，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：由已知得， 又是直角，平分， ． （2）解：由（1）得， 即． （3）解：． 理由：，平分， ． 则得， 即． 【经典例题九 三角板中角度计算问题】 【例9】（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）一副三角板按如图方式摆放，若， 则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用三角形板求角的度数，由图可知，再结合即可求出的度数． 【详解】解：根据图形，得， 故选：A． 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，将一块三角尺中角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合，若，则的大小是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）将一副三角板如图所示放置，，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了与三角板有关的角度计算，先求出，再根据求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海金山·期末）将一副三角板按如图所示方式摆放，其中，． （1）若和互补，则的度数为 ； （2）若平分，平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板的角度计算，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）依据题意可得，从而得出，代入数值求解即可． （2）依据题意，，结合，代入数值即可求解． 【详解】（1）解：∵和互补， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26六年级上·上海宝山·阶段练习）如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合在点处． (1)___________；（填“>”“<”“=”） (2)若将三角尺按图2的位置摆放，和在数量上有何关系？说明理由； (3)在图2中，已知与的度数比为，当与是同类项时，求的度数． 【答案】(1)= (2)，理由见解析 (3)的度数是 【分析】本题考查角的和差关系，同类项的定义，掌握利用角的和差关系进行几何问题中的角的计算是解题的关键． （1）由，再同时加上也相等，即可证明； ②由，即可证明； （2）由，即可证明； （3）先根据同类项的定义求出，然后根据份数之间的关系求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴，即． 故答案为：=； （2）∵，， ∴， 即． （3）∵与是同类项， ∴， 解得， ∵与的度数比为，， ∴， ∴． 故的度数是． 【经典例题十 角平分线的有关计算】 【例10】（2025六年级上·上海虹口·专题练习）如图，为内部的一条射线，下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握角的和差关系及整体和部分的关系是解决本题的关键． 利用角的平分线的定义及角的和差关系可得结论． 【详解】解：∵是角内的一条射线，不是角的平分线，所以选项A错误，不符合题意； ∵， 由于部分小于整体，所以选项B、C错误，不符合题意； 由于整体大于部分，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题综合考查了角平分线和线段中点的相关计算．根据角的表示方法可得以O为顶点的角的个数，判断①；根据角平分线的定义，以及角之间的和差关系，进行求解，判断②；根据线段的中点，进行求解，判断③；根据，，得到，判断④． 【详解】解：以O为顶点的角有个，故①正确； 由角平分线的定义可得：，， ∵， ∴ ∴， ∴， ， ∴， 故②正确； 由中点定义可得：，， ∴， ∵, ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即，故④错误； 故选：C. 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，，，若平分，则的大小为 ． 【答案】 【分析】利用角的和差倍分关系求得的度数，然后求差即可得到的大小． 本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角的和差倍分关系是解题的关键． 【详解】解：，， ， 平分， ， 故答案为： 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，过点O在内部作射线．且平分，平分，平分； ①； ②； ③； ④． 其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了角平分线的相关计算，角的和差；①由角平分线的定义及角的和差得， ，即可判断； ②，即可判断； ③由角的平分线及角的和差得，即可判断； ④由角的平分线及角的和差得，即可判断； 能熟练利用角平分线及角的和差进行运算是解题的关键． 【详解】解：①∵平分， ， 平分， ， ， 即， 平分， ， ， 故结论①正确，符合题意； ②由①知，， ∴， 故结论②错误，不符合题意； ③∵平分， ， ， ∴， ， 故结论③正确，符合题意； ④平分， ， ， ， 故结论④正确，符合题意； 故答案为：①③④． 4．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4)或 【分析】（）根据角的和差关系即可求解； （）先求出的度数，再根据角的和差关系即可求解； （）分两种情况分别画出图形，再根据角平分线的定义及角的和差关系即可求解； 本题考查了三角板中的角度运算问题，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 即； （4）解：当三角板旋转到如图①位置时，直线平分， ∵， ∴， 当三角板旋转到如图②位置时，直线平分， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【经典例题十一 角n等分线的有关计算】 【例11】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 1．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和三等分线分析求解即可. 【详解】解：∵射线OD，OE三等分∠AOB， ∴ ∵OF平分∠AOD，OC平分∠AOB， ∴ 又∵射线OD，OE三等分∠AOB， ∴ ∴,共3个 故选C. 【点睛】利用角平分线和角的三等分点证明角的等量关系是本题的解题关键. 2．（24-25六年级上·上海普陀·开学考试）已知为的三等分线，若，则 °． 【答案】或/100或50 【分析】本题可根据三等分线的定义来求解的度数．分射线靠近和射线靠近两种情况进行解答即可． 【详解】解：为的三等分线，， 当射线靠近时，， 当射线靠近时，， 故答案为：或． 3．（25-26六年级上·上海松江·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系，数形结合．设，结合已知可求，，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：设，则， ， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海闵行·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 【经典例题十二 求一个角的余角】 【例12】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 根据余角的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，， ∴，， ∴， 综上，图中互余的角共有4对， 故选：C． 1．（2025六年级上·上海虹口·专题练习）如图，，四位同学分别说了自己的观点．甲：．乙：．丙：与都是的余角．丁：图中小于平角的角有4个．其中观点正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查余角的性质和定义，注意数角时，要做到不重不漏．根据同角的余角相等求解并作答． 【详解】根据同角的余角相等可得，，故甲正确； ，故乙正确； 由，可得与都是的余角，故丙正确； 图中小于平角的角有，六个，故丁错误； 正确的有 3 个． 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，点O是上一点，分别平分．则的余角为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，余角的定义，解题的关键是求出，． 先根据角平分线的定义得出，，再由余角的定义即可得出结论． 【详解】解：∵、分别是、的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴的余角是、． 故答案为：、． 3．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）如图一副三角板和三角板中（，，，），若，则能用图中字母表示出的角中互余的角有 对． 【答案】10 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与余角有关的计算，根据和为90度的两个角互为余角，进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 综上：能用图中字母表示出的角中互余的角有10对； 故答案为：10 4．（24-25六年级上·上海金山·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，若，，平分，求α． (3)如图3，若与互余，也与互余，请直接写出的度数．（用含α的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)图见解析，的度数为：或 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，余角的定义，解题的关键是数形结合，理解余角的定义，注意进行分类讨论． （1）根据余角与补角的定义进行运算即可； （2）由已知条件可求得，再由角平分线的定义可求得，从而可求的大小； （3）分两种情况进行讨论：①在的上方；②在的下方，结合图形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①当在的上方时，如图， ∵与互余，也与互余， ∴，， ∴； ②当在的下方时，如图， ∵与互余，也与互余， ∴，， ∴， 综上所述，的度数为：或． 【经典例题十三 求一个角的补角】 【例13】（2025六年级上·上海闵行·专题练习）若，则的补角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查补角，根据互为补角的两个角的和等于列式进行计算即可得解． 【详解】解：， 的补角的度数为． 故选：C． 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）下列的四个角中，与互为补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据补角的定义进行求解即可得到答案. 【详解】解：根据互补的性质得，角的补角为. 故选：B. 【点睛】此题考查了补角，如果两个角的和为，则这两个角互为补角，熟练掌握补角的定义是解题的关键. 2．（25-26六年级上·上海普陀·期中）如图是用一副三角板拼成的图形，则图中 ． 【答案】45 【分析】本题主要利用三角板的知识以及平角是180度解决问题．一副三角尺中有一个是等腰直角三角形，度数分别是，，，另一个是直角三角形，度数分别是，和，熟记各个角的度数是解答此类题的关键． 【详解】解：， 故答案为：45． 3．（24-25六年级上·上海长宁·期末）如图，已知点O是直线上一点，点N、C、D为直线上方三点，，，，则的补角的度数是 ． 【答案】121 【分析】本题考查了角的计算，余角和补角，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用平角定义可得：，从而再结合已知易得：，然后利用角的和差关系可得：，再利用补角定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的补角的度数， 故答案为：121． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期末）如图1，是直线上的一点，是直角，． (1)若时，则的度数为______． (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变．若，直接写出______． 【答案】(1) (2)150° (3) 【分析】（1）根据平角的定义，得出，继而得出，根据，即可得出； （2）依题意得出，，根据，求得，由平角的定义即可求解； （3）根据平角的定义得出，，得出，根据，然后得出，继而得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴ ∵ ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ （3）∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，平角的定义，数形结合是解题的关键． 【经典例题十四 与余角、补角有关的计算】 【例14】（2025·上海崇明·模拟预测）如图，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了余角和补角，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 先根据，求出，再根据可得出的度数，继而可得出答案． 【详解】解：，， ， ． 故选：B． 1．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中与一定互余的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余角和补角，熟练掌握其定义是解题的关键．如果两个角的和为，那么这两个角互为余角，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，则A不符合题意； B、，则B不符合题意； C、，则C符合题意； D、，则D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】根据题意，得，，，利用余角的性质，解答即可． 本题考查了余角的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：由， 得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海金山·期末）如图，A、O、B在一直线上，，若，则图中互余的角共有 对． 【答案】/四 【分析】本题考查了邻补角，互余的应用，熟练掌握邻补角，互余的定义是解题的关键； 求出，推出，，求出，推出，，根据余角的定义得出即可． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ，， 即图中互余的角共有4对， 故答案为：4． 4．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是补角和余角的定义，掌握图形相关角的和与差的关系是解题的关键． （1）利用角的和与差的关系即可求值； （2）利用角的和与差的关系即可求值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ． 故答案为：． （2）解：由题意得，， ， ． 【经典例题十五 同(等)角的余(补)角相等的应用】 【例15】（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，根据三角板中角度的特点可求出第一幅图和的度数；第二幅图中，根据同角的余角相等可得；根据三角板中角度的特点可求出第三幅图和的度数；第四幅图中，，且，则；据此可得答案． 【详解】解：左边起，第一幅图中，，则； 第二幅图中，根据同角的余角相等可得； 第三幅图中，； 第四幅图中，，且，则； 则的有3个， 故选：C． 1．（24-25六年级上·上海静安·期末）如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②若变小，则也变小；③若，则；④若OM平分平分，则．其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差；能熟练利用角平分线及角的和差进行运算是解题的关键．①由已知得，即可判断；②由角的和差得，即可判断；③由角的和差得，即可判断；④由角平分线定义得，，由角的和差得即可判断． 【详解】解：①和都是直角， ， ； 故此项正确； ②和都是直角， ， 变小，则变大； 故此项错误； ③由②得 ， ， ， ， 故此项错误； ④OM平分平分， ， ， ， ； 故此项正确； 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）如图：，可得．理由是 ． 【答案】同角的余角相等 【分析】本题考查的是余角和补角，熟知同角的余角相等是解答此题的关键．根据余角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴（同角的余角相等）． 故答案为：同角的余角相等． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）小颖在进行数学探究活动时，将一副直角三角尺如图所示摆放．摆放过程中，小颖惊奇地发现一个有趣的现象：与的度数始终相等．那么，能对这一现象作出合理解释的依据是 ． 【答案】同角的余角相等 【分析】本题考查了同角的余角相等，解题关键是能读懂图． 先根据两个直角相等，两个直角分别转化为两角之和，再利用等式性质变形即可得结果． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴（同角的余角相等）， 故答案为： 同角的余角相等． 4．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）以直线上一点为端点作射线，将一块直角三角板的直角顶点放在处（注：）． (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，且，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕逆时针转动到某个位置时，若在的内部且恰好满足，且度，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线． 【答案】(1) (2) (3)理由见解析 【分析】（）根据角的和差关系求解即可； （）设，则，由角的和差关系可得，求出进而即可求解； （）由平角定义得，由角平分线的定义得，进而由余角性质得，即可说明； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的几何应用等，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，   ∴； （2）解：设，则， ∵，     ∴， 解得，     即， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵平分，     ∴， 又∵， ∴， 即所在射线是的平分线． 【拓展训练一 方向角、钟面角计算综合】 1．（24-25六年级上·上海静安·期末）如图，地和地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东方向上有一艘船，同时，从地发现这艘船在它北偏东方向上． (1)在图中确定船的位置； (2)请通过测量确定的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2)． 【分析】本题考查的是方位角的画法，解题的关键是熟知方向角的描述方法， （1）据方向角的概念分别画出过点A与点B的射线，两条射线的交点即为这艘船的位置． （2）运用量角器测量即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：作，，两射线相交于P点，则点P即为所求． （2）解：使用量角器，将量角器的中心与点重合，0刻度线与重合，读出所对应的刻度，测量可得． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图所示，O点是学校所在的位置，A小区位于学校南偏东，B小区位于学校西北方向，在A小区和B小区之间有一条公路（射线）平分． (1) 度； 度； (2) 度； (3)公路上的车站D相对于学校O的方位是 ． 【答案】(1)15；45； (2)75； (3)北偏东． 【分析】本题考查了方位角的概念及角度计算，涉及角平分线的性质，解题的关键是理解"南偏东""西北方向"等方位角的含义，明确不同方向之间的角度关系，并结合角平分线计算角度． （1）南偏东指从正南方向向东偏，正东与正南夹角为，故；西北方向即北偏西，与正北方向的夹角为，故． （2）先求在南偏东，B在北偏西，两者夹角（劣角）为；因平分，故． 在北偏西，在B与A之间，，即从B向东偏；计算得：北偏西向东偏，最终方位为北偏东． 【详解】（1）解：对于南偏东指从正南方向向东偏转，正东与正南方向的夹角为，因此． 对于西北方向即北偏西，指从正北方向向西偏转，因此． 故答案为：． （2）解：先求的度数： A小区在南偏东，B小区在北偏西，南北方向夹角为， 因此． 因射线平分，故． 故答案为：． （3）解：B小区在北偏西，射线在内部且， 即从B小区向东偏转． 计算相对于正北方向的偏转角度：从北偏西向东偏转，相当于从正北方向向东偏转，因此车站D相对于学校O的方位是北偏东． 故答案为：北偏东． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【拓展训练二 角平分线的有关计算综合】 1．（25-26六年级上·上海闵行·单元测试）已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1．若．求的度数； (2)在图1中，若，直接写出的度数（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，主要考查学生的计算能力，求解过程类似． （1）求出，求出根据角平分线求出，代入求出即可． （2）类似（1）的解题过程可得出结论； （3）先根据角平分线的定义得出，再由即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴．即：． （3）解：． 理由如下：因为，平分， 所以． 所以． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)继续将绕点O按顺时针方向旋转到如图3所示的位置，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的有关计算；能熟练用角的和差表示出所求的角是解题的关键． （1）由角的和差得，由角的平分线得，即可求解； （2）由角的和差得，由角的平分线得，即可求解； （3）由角的和差得，由角的平分线得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 平分， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ； （3）解：，， ， 平分， ， ． 3．（24-25六年级上·上海静安·期末）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（）先求出，再根据角的和差关系即可求解； （）由角平分线的定义可得，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据的取值范围，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵， ∴； （2）解：当恰好平分时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 【拓展训练三 几何图形中角度计算综合】 1．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图：中，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果题目中，其它条件不变，求的度数； (3)如果题目中（为锐角），其它条件不变，求的度数； (4)从（1）、（2）、（3）的结果中能得到什么结论，请简述理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查角平分线的定义以及角的和差运算，解题关键是根据角平分线的性质，将所求角转化为与已知角、相关的角的和差，再进行计算． （1）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； （2）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； （3）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； （4）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； 【详解】（1）解： 是的平分线，是的平分线， ，， （2）解：，， 是的平分线，是的平分线， ，， ． （3）解：，， 是的平分线，是的平分线， ，， ． （4），理由如下： ， 是的平分线，是的平分线， ，， ． 2．（25-26六年级上·上海金山·开学考试）如图，以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则________； (2)如图②，将直角三角板转到如图位置，当恰好平分时，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，直接写出和的数量关系：________． 【答案】(1)20 (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差、几何图形中的角度计算等知识点，能根据图形求出各个角的度数是解题的关键． （1）根据图形得出，然后代入数据即可解答； （2）根据角平分线定义求出，再代入求解即可； （3）根据图形得出，，两式作差即可解答． 【详解】（1）解：如图①，． 故答案为：20． （2）解：如图②，∵恰好平分，， ∴， ∵∠BOC=70°， ∴． （3）解：，理由如下： 如图③，∵， ∴ ， ∴． 3．（24-25六年级上·上海崇明·期末）点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，几何图形中角度的计算． （1）先求出的度数，再根据角平分线得到，平角的定义，求出的度数，即可； （2）根据角平分线平分角推出，再根据平角的定义，求出的度数，即可； （3）分当在右侧和在左侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的识图，找准角度之间的关系，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：平分，平分， ，， ， ． ， ． （3）解：①如图，当在右侧时， 平分，， ． 为的平分线， ， ． ②如图，当在左侧时， 平分， ， ， 为的平分线， ， 的度数为或． 【拓展训练四 余角、补角计算综合】 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 【答案】(1)120，150 (2)30 (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角互补，角的和差． （1）根据邻补角互补求出，，再由角的和差即可求出； （2）根据角平分线求出，再由角的和差即可求解； （3）分两种情况讨论：①当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，②当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，根据角的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：120，150； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： 当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，如图， 设的延长线为，则， ∵， ∴， ∵， ∴； 当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，如图： ∵，， ∴； 综上所述，与的关系为：或． 故答案为：或． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·开学考试）已知，直线相交于点O，，是的平分线． (1)如图1所示，求的度数； (2)如图2所示，作的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，请你过点O作射线，使得为的余角的2倍，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查了角平分线定义和角度的和差计算． （1）求出，求出是平分线，求出即可； （2）求出，根据角平分线的定义求出； （3）求出，内部画和在内部画，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∴ ∵平分， ∴ 答：的度数是． （3）解：∵， ∴的余角是， ∴ ①∵， ∴在内部画，则 ∵ ∴ ②同理在内部画， 答：的度数是或． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如果我们称是的“倍补角”．例如若，则是的“倍补角”，请注意：此时不是的“倍补角”． (1)若是的“倍补角”，且，给出下列四个式子：①；②；③；④．其中可以表示余角的式子有（写出所有正确结论的序号）； (2)如图1，已知，若在直线的上方存在射线，使得是的“倍补角”，且与互余，求的大小； (3)如图2，已知，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（），当是的“倍补角”时，求此时t的值． 【答案】(1)①②③； (2)； (3)． 【分析】本题考查了新定义，角的计算，利用一元一次方程解决几何动点问题等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先由“倍补角”可得，，进而推出，再利用余角的定义直接求解即可； （2）分类讨论：在中以及在中，画出图形，依据“倍补角”和互余的性质求解即可； （3）分别表示出和，进而根据“倍补角”的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 是的“倍补角”， ， ， ，故①符合题意， ，故②符合题意， ③，故③符合题意， ，故④不符合题意， ∴表示余角的式子有①②③， 故答案为：①②③； （2）解：当在中时，如图： 设， ∵且， ∴， ∵， 解得：， ∴， 又∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∴， 当在中时，如图： ∵， ∴与小于， ∵，故不存在（舍去）， 综上，； （3）解：如图： ∵平分平分， ∴， ， ∵，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转， ∴， 又∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【拓展训练五 利用余角、补角探索角度关系】 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知在同一平面上的点A，B，C，D，O． (1)按下列要求作图．（尺规作图，保留作图痕迹） ①分别作直线，射线，连接； ②在的延长线上作，使； (2)按（1）作图所示，若，，探究与的关系． 解：∵，， ∴ ① °， ∵ ② ， ③ ， ∴ ④ ． 通过以上探究，请同学们联系所学思考：若，，所以．我们可以得到一个结论： ⑤ ． 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2)①，②，③，④，⑤同角（或等角）的余角相等 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①根据直线，射线，线段的定义画出图形；②根据射线，线段的定义画出图形； （2）利用角的和差定义，等式的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：①如图所示 ②如图所示 （2）解：∵，， ∴． ∵， ， ∴． 通过以上探究，请同学们联系所学思考：若，，所以．我们可以得到一个结论：等角的余角相等． 故答案为：①，②，③，④，⑤同角（或等角）的余角相等． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）根据以下素材，探索完成任务． 探究三角尺中的学问 素材1 已知点C为直线上一点，，． 素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放． 问题解决 任务1 问题1：如图1，若，图中哪些角与互余？ 任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数； 任务3 问题3：探究当，求三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数，请直接写出探究结论，不必写出探究过程． 【答案】问题1：和 问题2： 问题3：或后或． 【分析】本题考查了角的互余、角平分线的性质、角的和差计算以及三角尺中角度的关系，解题的关键是利用平角（）、直角（）的度数特征，结合角的和差与比例关系建立等量关系． 问题1：根据互余定义，结合直角和平角性质，找出和为的角． 问题2：设比例系数，利用角平分线性质表示角，结合平角和直角列方程求解． 问题3：利用三角尺②的直角特征和的度数，结合的度数计算夹角，分四种情况讨论． 【详解】解：任务 1（问题 1）：∵，即， ∴与互余； ∵直角三角形中，则， 又∵， ∴与互余； 任务2（问题2）：设，， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； 任务3（问题3）：分四种情况讨论： ①当与边的夹角，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ②当与边的夹角，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； ③当与边的夹角时，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ④当与边的夹角时，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； 综上所述，另一条直角边与边的夹角可能是或后或． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）【探索新知】 （1）如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则_______________；若，则_______________． ②猜想与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，作（都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）①；；②；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）①根据互余关系得出，根据得出，继而得出，根据互余关系得出即可求解；②根据，即可得出； （2）根据（1）的方法得出，即可求解； （3）分4种情况讨论，即①在上方时，②在内部，③在内部，④在下方，分别画出图形，结合图形即可求解． 【详解】解：（1）①∵，， ∴ ∵， ∴； ∵，， ∴ ∵， ∴． 故答案为：；； ②∵ ∴； 即 （2）．理由如下： ∵； ∴； （3）①在上方时，如图： 同理可得： ②在内部，如图： 同理可得：； ③在内部，如图：； ④在下方，如图： ． 综上所述，或或． 1．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查角的定义，根据角的定义，进行判断即可． 【详解】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；故①错误； 角的大小与边的长短无关；故②错误； 角的两边是两条射线，无法比较长短；故③错误； 角的两边是两条射线．故④正确； 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）若为，那么它的补角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查补角定义，角的大小计算，注意分与度之间的进率为，此处易错．根据和为180度的两角互为补角，再计算即可． 【详解】解： 故选：A． 3．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）如果，，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了余角的知识，用到的知识点为：等角的余角相等．根据等角的余角相等，即可判断∠1=∠3． 【详解】解：，， ， 故选：C． 4．（24-25六年级上·上海静安·期末）一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点在线段的延长线上．如图2，将边三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当线段与射线重合时停止），平分，当满足时，三角板的运动时间为（   ） A．16秒 B．秒 C．32秒 D．秒 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，直角三角板中角度的计算，解题的关键是理解题意，弄清各角之间的关系．设三角板的运动时间为秒，根据题意并利用角平分线的定义，列出关于的方程，解方程即可获得答案． 【详解】解：设三角板的运动时间为秒， 根据题意，将边绕点以每秒的速度顺时针旋转， 则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，解得秒， ∴三角板的运动时间为秒． 故选：B． 5．（24-25六年级上·上海松江·期中）如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：∵平分平分，平分， ∴， ∵， ∴，，，②错误， ∴，故①正确， ∵， ∴， ∵， ∴与互补，故③正确， ∵， ∴．故④正确． 综上所述：错误的结论是②，共1个． 故选A ． 6．（24-25六年级上·上海金山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角度的运算，注意将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60是解答此题的关键． 首先将分化为秒，乘以60，与秒相减，将度化为分与分相减，最后度与度相减． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）如图，是直线上一点，且，，则 ，的余角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角，角的和差，解答本题的关键是掌握互余的两角之和为．根据可知和互为余角，已知，根据互余两角之和为即可求解． 【详解】解：， 和互为余角， ， ， 即的余角是， 故答案为：，． 8．（24-25六年级上·上海虹口·期末）一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 【答案】或或或 【分析】此题主要考查了角平分线定义和几何图形中角度计算问题，作的平分线为，的平分线为，求出，然后分如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当和重合，即同向共线时，再求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作的平分线为，的平分线为， ∴，， ∴， 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了或或或 故答案为：或或或． 9．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在中，平分，平分，E，F分别在，的延长线上，平分，平分，，相交于点G，若，则的度数是 ．    【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义． 先求出，根据角平分线的定义得到，即可得到，再由角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：因为， 所以． 因为平分，平分， 所以， 所以， 所以． 因为平分，平分， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 10．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）如图，直线与相交于点，，将一等腰直角三角尺的直角顶点与重合，平分．将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒，若直线平分，则的值为 ．    【答案】36或108 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转等知识点，分两种情况进行讨论：当平分时，；当平分时，，分别利用t表示角度，根据等量关系列方程求解即可，利用旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键． 【详解】∵平分， ∴， ∴， ①当平分时，， 此时， ∴ ∴， 解得，   ． ②当平分时，， 此时，， ∴， 解得． 故答案为：36或108．   ． 11．（25-26六年级上·上海闵行·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的换算：1度分，即，1分秒，即． （1）先分别进行度、分的加法运算，然后利用60进位制转化； （2）先把化为，再分别进行度、分的减法运算； （3）先把化为，再分别进行度、分的减法运算； （4）原式进行乘法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（24-25六年级上·上海青浦·期中）某路公共汽车从起点站先向东偏北方向行驶，再向东行驶，最后向东偏南方向行驶到达终点站．请根据描述画出该路公共汽车的行驶路线． 【答案】图见解析 【分析】本题考查位置和方向的相关知识，掌握根据方向、角度和距离画路线图是解题的关键． 以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示相当于实际的，某路公共汽车从起点站出发，在起点的东偏北方向上画长的线段；以此处为观测点，再向正东方向上画长的线段；再以此为观测点，最后向东偏南方向上画长的线段，即是终点站． 【详解】解：， ， ， 如图： 13．（25-26六年级上·上海闵行·课后作业）（1）如图1，和都是直角，试猜想和是相等、互余还是互补的关系，请说明理由． （2）若绕着点O旋转，如图2所示，则（1）中的猜想还成立吗？ 【答案】（1）与互补，理由见解析；（2）猜想成立，理由见解析 【分析】本题考查的是余角及补角的定义，掌握补角的定义是解题关键， （1）根据和都是直角求出，，进而求出结论； （2）根据和都是直角求出，进而求出结论． 【详解】解：（1）与互补，理由如下： ∵和都是直角， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与互补； （2）猜想成立，理由如下： ∵和都是直角， ∴. ∵， ∴， ∴与互补． 14．（25-26六年级上·上海徐汇·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是补角和余角的定义，掌握图形相关角的和与差的关系是解题的关键． （1）利用角的和与差的关系即可求值； （2）利用角的和与差的关系即可求值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ． 故答案为：． （2）解：由题意得，， ， ． 15．（24-25六年级上·上海金山·期末）（1）如图，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处若与的差的绝对值为，求的度数． （2）如图，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，，沿着，分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处． ①如图，当点，，三点共线时，与的差的绝对值为，求的度数； ②当点，，三点不共线时，与的差的绝对值为，，且，求的度数． 【答案】（1）或；（2）①或，②或 【分析】（1）当时，设，根据折叠的性质，得，当时，设，根据折叠的性质，得，根据平角的定义列式计算解答即可． （2）①当时，设，根据折叠的性质，得，根据题意，得，解答即可；当时，设，根据折叠的性质，得，根据题意，得，解答即可； ②当点，，三点不共线时，分，两种情况解答即可． 本题考查了折叠的性质，平角的定义，分类的思想，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）当时，设，根据折叠的性质，得， 根据题意，得， 解得； 当时，设，根据折叠的性质，得， 根据题意，得， 解得； 故的度数为或． （2）解：①当时，设，根据折叠的性质，得， 根据题意，得， 解得； 当时，设，根据折叠的性质，得， 根据题意，得， 解得； 故的度数为或． ②解：当点，，三点不共线时，与的差的绝对值为，， 故，设，根据折叠的性质，得， 根据题意，得， 解得； 故 当时，此时； 当时，根据题意，得， 解得 此时； 故的度数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $