第20讲 角及其度量 角的比较与应用（四类知识点+六大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年六年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第20讲 角及其度量 角的比较与应用（六大题型） 学习目标 1、了解角的概念、表示与分类； 2. 知道角度制及其换算； 3、掌握角的大小比较的方法。 一、角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 【即学即练1】以广场为观测点，学校在广场北偏西的方向上，图中正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方向角的应用，根据地图上的方向：上北下南，左西右东及角度依次判断即可． 【解析】解：A、学校在广场北偏东的方向上，不符合题意； B、学校在广场北偏东的方向上，不符合题意； C、学校在广场北偏西的方向上，符合题意； D、学校在广场北偏西的方向上，不符合题意； 故选：C． 【即学即练2】用度、分、秒表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查度、分、秒的换算：，．先将先化成，再将化成，进而得出答案． 【解析】解：∵，， ∴， ∴将用度分秒表示为． 故选：A． 【即学即练3】如图，钟表上的时间下午时，时针与分针所组成的小于平角的角的度数是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征．因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可． 【解析】解：∵在时，时针位于3与4中间，分针指到6上，中间夹份， ∴时针与分针的夹角是． 故选：D． 【即学即练4】如图，是直线，是直线上一点，、是两条射线，则图中小于平角的角有(             ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】利用角的定义以及结合图形得出即可． 【解析】解：图中小于平角的角有：，，，，，共个． 故选C． 【点睛】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键． 【即学即练5】如图，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的计算，余角相关计算，准确识图，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 根据余角的定义可求出，再根据即可得出的度数． 【解析】解：，， ， ． 故选：C． 题型1：角的概念与表示、分类 【典例1】．下列说法中，正确的是（    ） A．两条射线组成的图形叫做角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．角的边越长，角越大 【答案】C 【分析】根据角的动态定义和角的静态定义解答． 【解析】解：A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故此选项不符合题意； B、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故此选项不符合题意； C、角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，故此选项符合题意；； D、角度的大小与边的长短无关，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了角的动态定义，解题关键是熟练掌握角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．角的静态定义：具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边． 【典例2】．如图，下列说法正确的是（    ） A．与表示同一个角 B． C．与表示同一个角 D．图中只有两个角，即和 【答案】A 【分析】根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时这个角可以用顶点来表示，由此可得结论． 【解析】A．与表示同一个角，故该选项正确； B. 不一定成立，故该选项错误； C. 与表示同一个角，故该选项错误； D.图中有三个角，为、和，故该选项错误． 【点睛】此题考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键． 【典例3】．下列各角中，是钝角的是（    ） A．周角 B．平角 C．2锐角 D．直角 【答案】B 【分析】根据周角、平角、直角的度数计算出各角，再根据钝角定义判定即可． 【解析】解：A、周角是直角，故此选项不符合题意； B、平角是钝角，故此选项符合题意； C、∵锐角，当锐角时，2锐角，2锐角是锐角；当锐角时，2锐角，2锐角是直角；当锐角时，2锐角，2锐角是钝角；故此选项不符合题意； D、∵直角是锐角，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查角的分类，熟练掌握大于90度且小于180度的角叫钝角是解题的关键． 【典例4】．下列说法正确的是（    ）． A．大于且小于的角是锐角 B．大于的角是钝角 C．大于且小于的角是锐角或钝角 D．直角既是锐角也是钝角 【答案】A 【分析】根据锐角、直角、钝角的概念逐个判断即可． 【解析】解：A、大于且小于的角是锐角，故A选项正确； B、大于且小于的角是钝角，故B选项错误； C、大于且小于的角是锐角、直角或钝角，故C选项错误； D、直角既不是锐角也不是钝角，故D选项错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角、直角、钝角的概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 【典例5】．如图所示,小于平角的角有(　　) A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】C 【分析】分别根据以A，B，C，D，E为顶点得出角的个数即可． 【解析】解：符合条件的角中以A为顶点的角有1个， 以B为顶点的角有2个， 以C为顶点的角有1个， 以D为顶点的角有1个， 以E为顶点的角有2个， 故有1+2+1+1+2=7个角． 故选C． 【点睛】此题主要考查了角的定义，根据已知分别得出角的个数是解题关键． 题型2：钟面角、方位角及其应用 【典例6】．一节课45分钟，分针所转过的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用钟表表盘的特征解答．表盘共被分成60小格，每一小格所对角的度数为． 【解析】解：分针经过45分钟，那么它转过的角度是． 故选：B． 【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动时针转动；两个相邻数字间的夹角为，每个小格夹角为，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 【典例7】．12点15分，钟表上时针与分针所成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从12时到12时15分，利用分针每分钟走，时针每分钟所走，计算出分针走过的角度，减去时针走过的角度，即可得到时针与分针所成的夹角的度数． 【解析】解：分针走一圈用时60分钟，则每分钟分针所走度数为， 时针走一圈用时12时=720分钟，则每分钟时针所走度数为， 则分针12时开始从0分到15分，走了， 时针开始从12时到12时15分，走了， 则12点15分，时针与分针所夹的小于平角的角为. 故选C． 【点睛】本题考查分针每分钟走，时针每分钟所走，时针每小时走都是常用的，记忆理解结论是解题的关键． 【典例8】．如图，钟表上显示的时间是，此时，时针与分针的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，然后分别求出时针、分针转过的角度，即可得到答案． 【解析】解：∵时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转， ∴钟表上12时20分钟时，时针转过的角度为，分针转过的角度为， 所以时分针与时针的夹角为． 故选B． 【点睛】本题主要考查了钟面角，解题的关键在于能够熟练掌握时针和分针每分钟所转过的角度是多少． 【典例9】．【真实问题情境】如图，有一个灯塔，测得灯塔在海岛的南偏西方向上，在海岛的南偏西方向上，则灯塔的位置可能是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据方向角的定义解答可得，也可作出以A为基准的南偏西、以点B为基准的南偏西方向的交点即为灯塔所在位置． 【解析】解：由题意知，若灯塔位于海岛A的南偏西、海岛B的南偏西的方向上， 如图所示，灯塔的位置可以是点，    【点睛】本题主要考查方向角，解题的关键是根据方向角确定物体的位置． 【典例10】．如图，下列说法中正确的是（    ）    A．方向是北偏东 B．方向是北偏西 C．方向是南偏西 D．方向是南偏东 【答案】D 【分析】根据方向角的定义，即可解答． 【解析】解：A、的方向是北偏东，原说法错误，本选项不符合题意； B、的方向是北偏西，原说法错误，本选项不符合题意； C、的方向是南偏西，原说法错误，本选项不符合题意； D、的方向是南偏西，正确，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了方向角的定义，解决本题的关键是熟记方向角的定义． 【典例11】．一艘运输船在处遇险后，向位于处的救生船报警，处的救生船相对于处的位置是（    ）    A．北偏东，50n mile B．南偏西，50n mile C．南偏西，50n mile D．北偏东，50n mile 【答案】A 【分析】根据方位角的概念以及确定位置的方法，可得答案． 【解析】解：由图知，遇险船B相对于救生船A的位置是北偏东，50n mile， 故选：A． 【点睛】本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量：一个是方向角，一个是距离． 【典例12】．如图，甲从O地出发向北偏东方向走到A处，乙从O地出发向南偏东方向走到B处，则的度数是（    ） A．90° B．100° C．105° D．110° 【答案】B 【分析】首先求得与正东方向的夹角的度数，再求得与正东方向的夹角的度数，然后 等于这两个角的和，即可得到答案． 【解析】解：与正东方向的夹角的度数是：， 与正东方向的夹角的度数是：， 则， 故选：B 【点睛】本题考查了方位角，角的和差运算，解决此题时，能准确找到方位角是解题的关键． 【典例13】．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西方向，以每小时12海里的速度航行；乙船沿北偏东方向，以每小时16海里的速度航行．1小时后两船分别位于点A与B处，此时两船相距（　　） A．12海里 B．16海里 C．20海里 D．24海里 【答案】C 【分析】先求出，再根据勾股定理求解即可． 【解析】解：由题意得，，， ∴． ∵海里，海里， ∴海里． 故选C． 【点睛】本题考查了方向角，勾股定理，求出是解答本题的关键． 题型3：角的单位与角度制 【典例14】．（角的换算）把用度、分、秒表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据1度等于60分，1分等于60秒，由大单位转换成小单位乘以60，按此转化即可． 【解析】解：； 故选：A 【点睛】考查了度分秒的换算，分秒化为度时用除法，而度化为分秒时用乘法． 【典例15】．若，则用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解． 【解析】解：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，掌握，是关键． 【典例16】．等于 '，等于 ''，等于 ° 【答案】 24 75 【分析】根据进行换算即可得． 【解析】解：， ， ， 故答案为：24，75，． 【点睛】本题考查了角的单位与角度制，熟练掌握角度制的换算关系是解题关键． 【典例17】．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）6；0.1 （2）720；0.2 （3）57；10；48 （4）74.325 【分析】根据度分秒的进率进行计算即可． 【解析】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：6；0.1． （2）∵，， ∴， 故答案为：720；0.2． （3）∵，， ∴， 故答案为：57；10；48． （4）∵，， ∴， 故答案为：74.325． 【点睛】本题考查度分秒的互换，解题关键是熟练掌握，． 题型4：角的大小比较 【典例18】．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将统一化成“度、分、秒”的形式，即可比较大小． 【解析】 ∵． ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了角度的比较大小，解题的关键是将角度的度量单位化成统一的形式． 【典例19】．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论． 【解析】∵，，=25°， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关键． 【典例20】．如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图1中射线经过角的一边，图2中射线经过角的一边，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】根据两个图得到角在内，角在外，即可比较大小． 【解析】解：由图1可知： 角在内， 由图2可知： 角在外， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了角的大小比较，解题的关键是结合图形，利用已知角作为中间量． 【典例21】．如图，与之间的关系是（    ） A． B． C． D．与的大小无法比较 【答案】B 【分析】利用度量法测量各角，故可求解． 【解析】用度量法测得∠1=24°，∠2=24° ∴． 故选B． 【点睛】此题主要考查角度的大小比较，解题的关键是熟知量角器的使用． 【典例22】．如图，，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．与无法比较大小 【答案】C 【分析】先根据得出，故可得出结论． 【解析】解：， ，即． 故选：C． 【点睛】本题考查的是角的大小比较，熟知角比较大小的法则是解答此题的关键． 题型5：与三角板有关的计算题 【典例23】．只利用一副（两块）三角尺不能直接拼出的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用三角板角度相加减法，根据选项逐一分析，排除错误答案即可． 【解析】解：A、，能拼出角，故A不符合题意； B、，能拼出的角，故B不符合题意； C、，能拼出角，故C不符合题意； D、三角尺不能直接拼出角，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了用三角板直接画特殊角，用三角板直接画特殊角步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数． 【典例24】．将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A、由图形可得两角互余，不合题意； B、由图形得出两角的关系，即可做出判断； C、根据图形可得出两角都为的邻补角，可得出两角相等； D、由图形得出两角的关系，即可做出判断． 【解析】解：A、由图形得：，不合题意； B、由图形得：，，可得，不合题意； C、由图形可得：，符合题意； D、由图形得：，可得，不合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了角的计算，弄清图形中角的关系是解本题的关键． 【典例25】．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（　　） A．70° B．90° C．105° D．120° 【答案】D 【分析】∠ABC等于30度角与直角的和，据此即可计算得到． 【解析】解：∠ABC＝30°+90°＝120°． 故选：D． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解三角板的角的度数是关键． 题型6：角的四则运算、几何图形中的角度计算 【典例26】．如图，点为直线上一点，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】是直线，是平角，，据此可求得答案． 【解析】∵， ∴． ∵是平角， ∴． ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查角的运算，牢记角的运算的性质是解题的关键． 【典例27】．如图，点在直线上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平角定义可得，然后再利用度分秒的进制进行计算即可解答． 【解析】】解：∵， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，角的计算，熟练掌握平角定义是解题的关键． 【典例28】．计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先进行度、分、秒的乘法除法计算，再算减法． 【解析】 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了度、分、秒的四则混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可． 【典例29】．计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 【答案】 ° 【分析】根据角的四则运算及度、分、秒的换算法则逐个计算即可求解． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4） ． 【点睛】本题考查了角的四则运算及度、分、秒的换算法则，解题的关键是掌握运算法则及换算法则． 【典例30】．已知，都是钝角，甲，乙，丙，丁四位同学计算的结果依次是50°，26°，72°，90°，其中计算结果正确的同学是： ． 【答案】甲 【分析】根据钝角的取值范围，得到两个钝角和的取值范围，除以6后看所给的哪个角在这个范围内即可． 【解析】解：∵，都是钝角， ∴，， ∴， ∴， ∴算得正确的是甲． 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查了角的有关计算的应用，解决本题的关键是得到所求角的取值范围． 一、单选题 1．下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案． 【解析】A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意； B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意； C、，所以此说法正确，不符合题意； D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意． 故选D． 2．如果一个角为，用10倍的放大镜观察这个角应是（           ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】此题主要考查角的含义，角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个10倍的放大镜看一个30度的角，仍然是30度，放大镜放大的只是两边的长短． 【解析】解：用一个10倍的放大镜看一个30度的角，那么看到的仍然是30度的角， 故选：A． 3．下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可，解题的关键正确理解角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角． 【解析】解：、因为顶点处有四个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处只有一个角，所以这个角能用，，表示，故本选项正确； 、因为顶点处有三个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处有两个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 故选：． 4．如图，货船A与港口B相距40海里，港口B相对货船A的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距40海里处 B．北偏西方向，相距40海里处 C．北偏东方向，相距40海里处 D．北偏东方向，相距40海里处 【答案】A 【分析】本题主要考查的是方向角的概念．根据方向角的概念即可解答． 【解析】解：由图形可知：港口B相对货船A的位置可描述为南偏西方向，相距40海里处． 故选：A． 5．已知，，，则相等的两个角是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查角度的换算，根据，进行求解判断即可． 【解析】解：∵，，， ∴， 故选：B． 6．两直角三角板按如图所示方式摆放，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，根据图形得，则，计算得出答案即可，熟练掌握角度关系、正确计算是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 7．如图，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的计算，余角相关计算，准确识图，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 根据余角的定义可求出，再根据即可得出的度数． 【解析】解：，， ， ． 故选：C． 8．如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．也可用表示 D．图中共有三个角，， 【答案】C 【分析】本题考查角的表示方法，根据角的表示，数形结合即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【解析】解：A、与表示同一个角，正确，不符合题意； B、表示的是，正确，不符合题意； C、也可用表示，错误，符合题意； D、图中共有三个角，，，正确，符合题意； 故选：C． 9．用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了角的比较，根据角的大小比较即可得到结论． 【解析】解：如图， ∴， 故选：A 10．已知是两个钝角，计算的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案，分别为，，，．其中，只有一个答案是正确的，正确的答案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】熟记钝角的特点是解决此题的关键． 主要利用钝角的定义，钝角都大于且小于计算． 【解析】解：因为，是两个钝角（钝角都大于且小于）， 所以一定大于且小于； 则一定大于且小于， 故正确． 故选：B． 二、填空题 11．下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 【答案】3 【分析】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题.掌握锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例． 【解析】①小于的角也可能是 ，不一定是锐角，原说法错误； ②等于的角是直角，说法正确； ③平角大于但不是钝角，原说法错误； ④平角等于，说法正确； ⑤周角等于，说法正确， 故正确的有3个， 故答案为：3． 12．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查角的计算，解题关键是掌握度、分、秒之间的进率及四测运算法则：进行角度的加减运算时，同单位相加减，即度与度相加减、分与分相加减、秒与秒相加减．做加法时，秒够进分，分够进度；做减法时，不够减的，从上一级借，再进行减法运算．在乘法运算中，从最低位开始乘所给的因数，够则进；除法运算中，按从高到低的顺序相除，余数乘，再加到下一级单位中进行计算．据此解答即可． 【解析】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4） ， 故答案为：． 13．钟表上10时15分，时针与分针所夹的角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，涉及角的和差运算；先计算出10时时针与分针所夹的角为，过15分钟，分针转了，此时时针转了，则10时15分，时针与分针所夹的角为10时时针与分针的夹角加上经过15分钟分针所转的角，再减去时针15分钟所转的角． 【解析】解：分针1分钟转，时针1分钟转； 在10时，时针与分针所夹的角为，经过15分钟，分针转了，时针转了， ∴10时15分，时针与分针所夹的角是； 故答案为：． 14．周角= 平角= 直角． 【答案】 /0.5 1 【分析】根据周角、平角、直角的定义可知，1周角=360度，1平角=180度，1直角=90度，据此即可求解． 【解析】解：1周角度，1平角度，1直角度， ∴周角平角直角， 故答案为：，1． 【点睛】本题主要考查周角和平角．直角的定义，是需要熟记的内容 15．如图，，，则的度数为 ． 【答案】/54度 【分析】本题主要考查了角的和差，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．根据图形可得，求得，再由，即可求解． 【解析】解：∵，， ， ， 故答案为：． 16．已知有公共顶点的三条射线，，，若，则 ． 【答案】或 【分析】此题考查了角的计算，解题关键：要根据射线的位置不同，分类讨论，分别求出的度数． 【解析】解：当在内部， ∵， ∴； 当在外部， ∵， ∴； ∴为或． 故答案为：或． 17．（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 ； （2）以A为顶点的角有 ； （3）图中一共 个角（不包括平角）． 【答案】 7 【分析】本题主要考查了角的表示方法，角的个数问题： （1）顶点处只有一个角的可以用一个大写字母表示即可； （2）以为顶点的角有三个，逐一写出即可； （3）把图中所有角（不包括平角）写出数一数即可． 【解析】解：（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 故答案为：． （2）以A为顶点的角有； 故答案为：． （3）图中的角为：，，共7个． 故答案为：． 18．如图所示，∠BOD＝45°，那么不大于90°的角有 个，它们的度数之和是 ． 【答案】 10 450° 【分析】(1)∠AOE＝90°，故图中所有的角都是不大于90°的角； (2)将所有的角相加，发现有的角相加等于∠EOA，即和为90°，而有的角相加等于∠BOD，即和为45°，将这样的角凑在一起计算，即可求出所有角的度数. 【解析】不大于 90°的角有∠EOD，∠EOC，∠EOB，∠EOA，∠DOC，∠DOB，∠DOA，∠COB，∠COA，∠BOA共10个； 它们的度数之和是(∠EOD＋∠DOA)＋(∠EOC＋∠COA)＋(∠ EOB＋∠BOA)＋[(∠DOC＋∠COB)＋∠DOB]＋∠EOA＝90°＋90°＋90°＋(45°＋45°)＋90°＝450°. 故答案为10；450°. 【点睛】此题主要考查角的表示与和差关系，解题的关键是熟知角的定义运算法则. 三、解答题 19．分别用三种形式表示下图中的角： 【答案】∠ABC，∠1，∠B；∠MON，∠α，∠O；∠AOB，∠2，∠O 【分析】根据角的三种表示方法写出即可． 【解析】解：图1中的角可以表示为：∠ABC，∠1，∠B； 图2中的角可以表示为：∠MON，∠α，∠O； 图3中的角可以表示为：∠AOB，∠2，∠O． 【点睛】此题考查的是角的表示，掌握角的三种表示方法是解决此题的关键． 20．如图，点是直线上一点，比小，求和的度数． 【答案】 【分析】根据平角的定义以及角的和差关系解决此题．本题主要考查平角、角的和差关系，熟练掌握平角的定义、角的和差关系是解决本题的关键． 【解析】解：由题意得， ∵比小， ∴． ， ． ． ． 21．在平面图上标出各建筑物的位置． (1)超市在百货大楼的正北方向米处； (2)医院在百货大楼北偏西度方向米处． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了位置与方向．熟练掌握位置与方向是解题的关键． （1）（2）根据位置与方向作图即可． 【解析】（1）解：如图1，超市即为所作； （2）解：如图1，医院即为所作． 22．把下图中小于平角的角用三个大写字母的形式表示出来： 【答案】∠AOC、∠AOD，∠COD，∠COB，∠DOB；∠MON，∠MOE，∠MOF，∠NOE，∠NOF，∠EOF；∠AEP，∠PEB，∠AFQ，∠QFB 【分析】根据用三个大写字母表示角写出图中小于平角的角即可． 【解析】解：图1中所有小于平角的角有：∠AOC、∠AOD，∠COD，∠COB，∠DOB； 图2中所有小于平角的角有：∠MON，∠MOE，∠MOF，∠NOE，∠NOF，∠EOF； 图3中所有小于平角的角有：∠AEP，∠PEB，∠AFQ，∠QFB． 【点睛】此题考查的是用三个大写字母表示图中小于平角的角，掌握角的表示方法是解决此题的关键． 23． （1）因为OA与OA是公共边，边OC在∠AOB的 ，所以∠AOC ∠AOB； （2）因为OA与OA是公共边，边OD与边OC叠合，所以∠AOC ∠AOD； （3）因为OB与OB是公共边，边OA在 的 ，所以∠BOC ∠BOA． 【答案】（1）内部，＜；（2）=；（3）∠BOC，外部，＜ 【分析】（1）根据图形及角度关系即可判断； （2）根据图形及角度关系即可判断； （3）根据图形及角度关系即可判断． 【解析】由图可知：（1）因为OA与OA是公共边，边OC在∠AOB的内部，所以∠AOC＜∠AOB 故答案为：内部；＜； （2）因为OA与OA是公共边，边OD与边OC叠合，所以∠AOC=∠AOD 故答案为：=； （3）因为OB与OB是公共边，边OA在∠BOC的外部，所以∠BOC＜∠BOA． 故答案为：∠BOC；外部；＜． 【点睛】此题主要考查角度之间的关系，解题的关键是根据图形数形结合进行求解． 24．（1）如图，四边形，在四边形内找一点，使得线段、、、的和最小．（画出即可，不写作法） （2）用度、分、秒表示______°______′______″ （3）计算：______． （4）比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】（1）见解析  （2），，  （3）  （4）> 【分析】本题考查两点间线段最短，度分秒的换算，角度的加法和比较大小； （1）连接和交于点O，则点O即为所作； （2）利用度、分、秒的进位制是计算即可； （3）根据度、分、秒的减法运算； （4）先把化为，然后比较大小即可． 【解析】解：（1）如图，点即为所作； （2）， 故答案为：，，； （3）， 故答案为：； （4）， ∵， ∴， 故答案为：． 25．将一副三角尺叠放在一起： （1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数； （2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数． 【答案】（1）∠CAE＝18°；（2）∠ACD＝120°． 【分析】（1）由题意根据∠BAC＝90°列出关于∠1、∠2的方程求解即可得到∠2的度数，再根据同角的余角相等求出∠CAE＝∠2，从而得解； （2）根据∠ACB和∠DCE的度数列出等式求出∠ACE﹣∠BCD＝30°，再结合已知条件求出∠BCD，然后由∠ACD＝∠ACB+∠BCD并代入数据计算即可得解． 【解析】解：（1）∵∠BAC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠1＝4∠2， ∴4∠2+∠2＝90°， ∴∠2＝18°， 又∵∠DAE＝90°， ∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°， ∴∠CAE＝∠2＝18°； （2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCD+∠BCE＝60°， ∴∠ACE﹣∠BCD＝30°， 又∠ACE＝2∠BCD， ∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，∠BCD＝30°， ∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 26．数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题： （1）如图（1）：当∠DCE=30°时，∠ACB+∠DCE等于多少？若∠DCE为任意锐角时，你还能求出∠ACB与∠DCE的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由． （2）当转动到图（2）情况时，∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由详见解析． 【分析】（1）根据已知条件∠DCE=30°及三角板的特征可得∠ACE=60°，即可求得∠ACB=150°，所以∠ACB+∠DCE=180°；当∠DCE为任意锐角时，∠ACB+∠DCE=180°，根据题意可得∠ACE+∠DCE=90°，∠BCD+∠DCE=90°，由此可得∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE=90°+90°=180°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，由题意可得∠ACD=90°=∠ECB，再由周角的定义即可证得结论. 【解析】（1）解：∠ACB+∠DCE=180°；  若∠DCE为任意锐角时，∠ACB+∠DCE=180°， 理由如下：∵∠ACE+∠DCE=90°， ∠BCD+∠DCE=90°， ∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE=90°+90°=180° （2）解：∠ACB+∠DCE=180°．  理由如下：∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°， ∴∠ECD+∠ACB=360°﹣（∠ACD+∠ECB）=360°﹣180°=180°. 【点睛】本题考查了与直角三角板有关的计算，准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 角及其度量 角的比较与应用（六大题型） 学习目标 1、了解角的概念、表示与分类； 2. 知道角度制及其换算； 3、掌握角的大小比较的方法。 一、角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 【即学即练1】以广场为观测点，学校在广场北偏西的方向上，图中正确的是（   ） A．B．C．D． 【即学即练2】用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】如图，钟表上的时间下午时，时针与分针所组成的小于平角的角的度数是 （   ） A． B． C． D． 【即学即练4】如图，是直线，是直线上一点，、是两条射线，则图中小于平角的角有(             ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【即学即练5】如图，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 题型1：角的概念与表示、分类 【典例1】．下列说法中，正确的是（    ） A．两条射线组成的图形叫做角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．角的边越长，角越大 【典例2】．如图，下列说法正确的是（    ） A．与表示同一个角 B． C．与表示同一个角 D．图中只有两个角，即和 【典例3】．下列各角中，是钝角的是（    ） A．周角 B．平角 C．2锐角 D．直角 【典例4】．下列说法正确的是（    ）． A．大于且小于的角是锐角 B．大于的角是钝角 C．大于且小于的角是锐角或钝角 D．直角既是锐角也是钝角 【典例5】．如图所示,小于平角的角有(　　) A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 题型2：钟面角、方位角及其应用 【典例6】．一节课45分钟，分针所转过的角度是（    ） A． B． C． D． 【典例7】．12点15分，钟表上时针与分针所成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例8】．如图，钟表上显示的时间是，此时，时针与分针的夹角是（    ） A． B． C． D． 【典例9】．【真实问题情境】如图，有一个灯塔，测得灯塔在海岛的南偏西方向上，在海岛的南偏西方向上，则灯塔的位置可能是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【典例10】．如图，下列说法中正确的是（    ）    A． 方向是北偏东 B．方向是北偏西 C．方向是南偏西 D．方向是南偏东 【典例11】．一艘运输船在处遇险后，向位于处的救生船报警，处的救生船相对于处的位置是（    ）    A．北偏东，50n mile B．南偏西，50n mile C．南偏西，50n mile D．北偏东，50n mile 【典例12】．如图，甲从O地出发向北偏东方向走到A处，乙从O地出发向南偏东方向走到B处，则的度数是（    ） A．90° B．100° C．105° D．110° 【典例13】．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西方向，以每小时12海里的速度航行；乙船沿北偏东方向，以每小时16海里的速度航行．1小时后两船分别位于点A与B处，此时两船相距（　　） A．12海里 B．16海里 C．20海里 D．24海里 题型3：角的单位与角度制 【典例14】．（角的换算）把用度、分、秒表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例15】．若，则用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【典例16】．等于 '，等于 ''，等于 ° 【典例17】．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型4：角的大小比较 【典例18】．若，则（    ） A． B． C． D． 【典例19】．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例20】．如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图1中射线经过角的一边，图2中射线经过角的一边，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D．无法判断 【典例21】．如图，与之间的关系是（    ） A． B． C． D．与的大小无法比较 【典例22】．如图，，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．与无法比较大小 题型5：与三角板有关的计算题 【典例23】．只利用一副（两块）三角尺不能直接拼出的角度是（    ） A． B． C． D． 【典例24】．将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与相等的是（    ） A． B． C． D． 题型6：角的四则运算、几何图形中的角度计算 【典例25】．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（　　） A．70° B．90° C．105° D．120° 【典例26】．如图，点为直线上一点，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【典例27】．如图，点在直线上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【典例28】．计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【典例29】．计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 【典例30】．已知，都是钝角，甲，乙，丙，丁四位同学计算的结果依次是50°，26°，72°，90°，其中计算结果正确的同学是： ． 一、单选题 1．下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 2．如果一个角为，用10倍的放大镜观察这个角应是（           ） A． B． C． D．不能确定 3．下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，货船A与港口B相距40海里，港口B相对货船A的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距40海里处 B．北偏西方向，相距40海里处 C．北偏东方向，相距40海里处 D．北偏东方向，相距40海里处 5．已知，，，则相等的两个角是（　　） A． B． C． D．无法确定 6．两直角三角板按如图所示方式摆放，若，则等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．也可用表示 D．图中共有三个角，， 9．用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（　　） A． B． C． D．不确定 10．已知是两个钝角，计算的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案，分别为，，，．其中，只有一个答案是正确的，正确的答案是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 12．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 13．钟表上10时15分，时针与分针所夹的角是 度． 14．周角= 平角= 直角． 15．如图，，，则的度数为 ． 16．已知有公共顶点的三条射线，，，若，则 ． 17．（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 ； （2）以A为顶点的角有 ； （3）图中一共 个角（不包括平角）． 18．如图所示，∠BOD＝45°，那么不大于90°的角有 个，它们的度数之和是 ． 三、解答题 19．分别用三种形式表示下图中的角： 20．如图，点是直线上一点，比小，求和的度数． 21．在平面图上标出各建筑物的位置． (1)超市在百货大楼的正北方向米处； (2)医院在百货大楼北偏西度方向米处． 22．把下图中小于平角的角用三个大写字母的形式表示出来： 23． （1）因为OA与OA是公共边，边OC在∠AOB的 ，所以∠AOC ∠AOB； （2）因为OA与OA是公共边，边OD与边OC叠合，所以∠AOC ∠AOD； （3）因为OB与OB是公共边，边OA在 的 ，所以∠BOC ∠BOA． 24．（1）如图，四边形，在四边形内找一点，使得线段、、、的和最小．（画出即可，不写作法） （2）用度、分、秒表示______°______′______″ （3）计算：______． （4）比较大小：______．（填“”“”或“”） 25．将一副三角尺叠放在一起： （1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数； （2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数． 26．数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题： （1）如图（1）：当∠DCE=30°时，∠ACB+∠DCE等于多少？若∠DCE为任意锐角时，你还能求出∠ACB与∠DCE的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由． （2）当转动到图（2）情况时，∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$