专题01 线段重难点题型专训（4个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题01 线段重难点题型专训 （4个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 点、线、面、体四者之间的关系 题型二 两点确定一条直线 题型三 直线、射线、线段的联系与区别 题型四 两点之间线段最短 题型五 两点间的距离 题型六 直线、线段、射线的数量问题 题型七 线段的和与差 题型八 作线段(尺规作图) 题型九 线段中点的有关计算 题型十 线段n等分点的有关计算 题型十一 线段之间的数量关系 拓展训练一 直线相交的交点个数综合 拓展训练二 线段中点的计算综合 拓展训练三 与线段有关的动点问题 知识点一：直线、射线与线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 【即时训练】 1．（25-26六年级上·上海松江·开学考试）如图：同一平面上有直线和射线，那么这两条线（   ）． A．一定相交 B．一定不相交 C．可能相交，可能不相交 【答案】B 【分析】本题考查直线和射线的延伸特点及它们在同一平面内的位置关系，熟练掌握直线没有端点可以向两端无限延伸、射线有一个端点，只能向另一端无限延伸是解题的关键．直线可向两端无限延伸，射线以点C为端点，沿方向无限延伸，所以这两条线一定不相交． 【详解】解：根据分析可知，这两条线一定不相交， 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）下列图示中，直线表示方法正确的有 （填序号）    【答案】①④/④① 【分析】根据直线的表示方法进行判断即可． 【详解】解：用两个点表示直线时，这两个点必须是大写字母，故②③错误，①正确； 用一个字母表示直线时，这个字母必须是小写，且不要在直线上标点，故④正确． 【点睛】本题考查直线的表示方法：用一个小写字母或一条直线上的两个点来表示直线，但前面必须加“直线”两字，掌握直线的表示法是解题的关键． 知识点二：两点确定一条直线 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．射线AB和射线BA是同一条射段 B．经过两点只能作一条直线 C．经过一点可以作无数条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案． 【详解】解：A、射线AB和射线BA不是同一条射线，故此选项错误，符合题意； B、经过两点只能作一条直线，正确，不合题意； C、经过一点可以作无数条直线，正确，不合题意； D、两点之间，线段最短，正确，不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了线段的性质以及直线的性质，正确把握相关性质是解题关键． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）王小毛同学做教室卫生时，发现座位很不整齐，他思考了一下，将第一座和最后一座固定之后，沿着第一座最后一座这条线就把座位摆整齐了！他利用了数学原理： ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】由题知，将教室座位看作一个个点，座位整齐否，只需要观察每个点是否在同一条直线即可，根据直线的性质解答． 【详解】王小毛利用的数学原理：两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查直线的性质及定义，难点在于对实际问题数学模型化，寻找对应的原理． 知识点三：两点间距离、中点概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，，是线段上两点，若，是的中点，则的长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间的距离，线段的中点，熟知各线段之间的和差及倍数关系是解答此题的关键． 根据线段中点的定义得出，计算即可得到答案． 【详解】解：是的中点， ， ， 故选：C ． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为 ． 【答案】1.5 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中点的定义及线段的计算．根据题意先计算的长度，再求出和的长度，最终求得的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D为中点，点E为中点， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：1.5． 知识点四：双中点模型 C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）如图，已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），M，N分别是线段，的中点，下列判断正确的是（   ） A．点C越靠近线段的中点，线段越长 B．不论点C在什么位置都有 C．点C越靠近两个端点，线段越短 D．线段的长度无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了线段的中点与和差倍数问题，解题关键是运用转化的思想，本题先求出，，再利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵M，N分别是线段，的中点， ∴，， ∴，即不论点C在什么位置都有； 故选：B ． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，线段，点是线段上一点，点、分别是、的中点，则的长为 ． 【答案】6.5 【分析】根据中点的性质得出MN=AB即可． 【详解】∵点、分别是、的中点 ∴MC=AC；CN=BC， ∴MN=MC+CN =AC+BC = = =6.5cm 故答案为6.5. 【点睛】本题考查了线段中点的定义和性质，解题的关键是熟练应用中点的性质进行计算． 【经典例题一 点、线、面、体四者之间的关系】 【例1】（24-25六年级上·上海宝山·期中）用笔在纸上写字，从几何的角度可解释为（    ） A．点到直线的距离 B．面动成体 C．点动成线 D．过一点作直线 【答案】C 【分析】本题考查了“点动成线”，据此即可解答． 【详解】解：用笔在纸上写字，从几何的角度可解释为点动成线， 故选：C． 1．（2025·上海长宁·模拟预测）如图是一种折叠灯笼，压扁的时候，它看起来是平面的，提起来却变成了美丽的圆柱形灯笼．这个过程中蕴含的数学原理是（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体的相关知识．根据点、线、面、体相关的知识进行解答即可． 【详解】解：由平面图形变成立体图形的过程是面动成体， 故选：C． 2．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）传统文化情境·武术中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为 ． 【答案】点动成线，线动成面． 【分析】本题考查了点、线、面、体．从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体，再结合题意即可求解． 【详解】解：“枪”尖可以抽象成为一个点，“枪挑”对应的是点的运动，点的轨迹是一条线； “棍”可以抽象成为一条直线，“棍扫”对应的是线运动，线运动形成一个面，就是一大片， “枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为:“点动成线，线动成面”． 故答案为：点动成线，线动成面． 3．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）学科素养·数形结合 用，，，代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．如图是由，，，中的两个图形组合而成的（组合用“&”表示）．如图所示的组合图形中表示&的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查学生通过观察、分析识别图形的的能力，解决此题的关键是通过观察图形确定、、、各代表什么图形． 根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，图中第一个图形和第二个图形都有圆，即表示圆，那么表示正方形，表示三角形，由图中第三个图形可知表示线段． 【详解】解：由题图中第一个图形和第二个图形都有圆知是圆，所以是正方形，是三角形，由题图中第三个图形可知是线段，所以组合图形中表示&的是， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海闵行·单元测试）十九世纪中叶，诞生了一个新的几何学分支 “拓扑学（又称‘位置解析’）”．它所研究的是几何图形这样一些最基本的、最深刻的性质：图形经受剧烈的变形，以致所有度量性质和射影性质都失去之后，这些性质仍然存在．数学家们找到若干个令人叹为观止的实例，例如著名的带、瓶 请看如图，你能否将正方形图中上方的小方块与下方的对应的小方块用平面内不相交的实线连起来，且要求连线只能在该正方形内部的空白处． 【答案】见解析 【分析】根据题意用平面内不相交的实线连起来，且要求连线只能在该正方形内部的空白处即可求解． 【详解】解：如图所示： 或 【点睛】本题考查了数学常识，关键是根据题意要求连线． 【经典例题二 两点确定一条直线】 【例2】（24-25六年级上·上海虹口·期末）为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．射线只有一个端点 D．两直线相交只有一个交点 【答案】A 【分析】先让两个同学站好，实质是确定两定点，而由两点即可确定一条直线． 【详解】解：由题意可知：两点确定一条直线， 故选：A． 【点睛】本题考查了直线的性质，解题的关键是正确掌握直线的性质． 1．（2025·上海·模拟预测）如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的特征，经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断． 【详解】解:设线段m与挡板的交点为A，a、b、c、d与挡板的交点分别为B，C，D，E， 连结AB、AC、AD、AE， 根据直线的特征经过两点有且只有一条直线， 利用直尺可确定线段a与m在同一直线上， 故选择A． 【点睛】本题考查直线的特征，掌握直线的特征是解题关键． 2．（24-25六年级上·上海闵行·课前预习）经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点 一条直线． 【答案】确定 【解析】略 3．（24-25六年级上·上海嘉定·单元测试）木工师傅用刨子可将木板刨平，如图，经过刨平的木板上的两个点，而且只能弹出一条墨线，其数学原理为 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可． 【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线． 故答案是：两点确定一条直线． 【点睛】此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，掌握直线的性质是解题的关键． 4．（24-25六年级上·上海奉贤·课后作业）建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，你能说出这是什么道理吗？ 【答案】两点确定一条直线 【分析】根据两点确定一条直线解答 【详解】解：这样做的道理是：两点确定一条直线． 【点睛】此题考查直线的性质：两点确定一条直线，熟记性质是解题的关键． 【经典例题三 直线、射线、线段的联系与区别】 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）下列各图中，表示“射线”的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线和线段的联系与区别，深刻理解直线、射线和线段的定义是解题的关键． 根据直线、射线和线段的定义作答即可． 【详解】解：A．表示直线，故本选项不符合题意； B．表示射线，故本选项符合题意； C．表示线段，故本选项不符合题意； D．表示射线，故本选项不符合题意； 故选：B． 1．（24-25六年级上·上海嘉定开学考试）如图，A，B，C三点在同一水平线上，则下列说法不正确的是（   ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、直线与直线是同一条直线，此选项说法正确，不符合题意； B、线段与线段是同一条线段，此选项说法正确，不符合题意； C、射线与射线不是同一条射线，此选项说法不正确，符合题意； D、射线与射线的起点相同，是同一条射线，此选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 2．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）直线上 的部分叫做射线，这个点叫做射线的 ． 【答案】 一点和它一旁 端点 【分析】本题考查了射线的定义，根据“直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点”即可解答． 【详解】解：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点． 故答案为：一点和它一旁，端点． 3．（2025六年级上·上海奉贤·专题练习）①用一个小写字母表示．即表示为 ． ②用含端点的两个大写字母表示． 在前．即表示为 ．    【答案】 射线l 端点字母 射线 【分析】本题考查了射线的表示方法，根据射线可以用一个小写字母表示，也可用用两个大写字母表示，用两个大写字母表示时，端点字母在前，即可解答． 【详解】解：①用一个小写字母表示．即表示为射线l． ②用含端点的两个大写字母表示．端点字母在前．即表示为射线． 故答案为：射线l，端点字母，射线． 4．（2025六年级上·上海松江·专题练习）学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【答案】(1)是一条射线，表示为射线 (2)非正数 (3)线段，线段 【分析】本题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键． （1）观察数轴，利用射线定义判断，表示即可； （2）找出射线上的点表示的数即可； （3）由线段的定义可直接得出结论． 【详解】（1）解：数轴在原点O左边部分（包括原点）是一条射线，表示为射线； （2）解：射线上的点表示非正数； （3）解：线段，可表示为线段． 【经典例题四 两点之间线段最短】 【例4】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）如图，甲、乙均从处去往处．甲选择图中的路线①，即依次途径，，，最终到达；乙选择图中的路线②，即途径，最终到达．图中的，，，，，均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走，则两条路线中较长的是（    ） A．① B．② C．一样长 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短， 连接，再利用两点之间线段最短即可求解， 【详解】解：连接 有图可知： 在中， 即， 在中，， 即， ， 则路线①的距离路线②的距离， 故选：A． 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，小李同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点之间，直线最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过两点有且仅有一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案． 【详解】解：如图： 用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小， ∴线段的长小于点A绕点C到B的长度， ∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短， 故选C． 2．（25-26六年级上·上海宝山·期末）如图，在四边形内存在一点 O ，使得 最小；则点 O 所在的位置为 ．（可用文字说明） 【答案】线段与线段的交点 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，根据两点之间线段最短，得出点 O 所在的位置为线段与线段的交点． 【详解】解：∵两点之间线段最短， ∴点 O 所在的位置为线段与线段的交点． 故答案为：线段与线段的交点． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）如图，在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，小明同学认为是两点确定一条直线，小丽同学认为是两点之间线段最短．你认为 同学的说法是正确的． 【答案】小明 【分析】本题考查了直线、线段、射线的概念，根据两点之间确定一条直线即可解答，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】先找点，再画射线这一步骤的画图依据是两点确定一条直线， 故选：小明． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期末）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题．让我们从书本一道习题入手进行探索． (1)如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄．现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由． (2)如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置． 【答案】(1)见解析，理由为：两点之间，线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图所示，连接交直线l于点C，点C即为所求，理由为两点之间，线段最短； （2）如图所示，设生态保护区右下角的顶点为P，连接，连接交直线l于点C，点C即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，连接交直线l于点C，点C即为所求； 理由为：两点之间，线段最短； （2）解：如图所示，设生态保护区右下角的顶点为P，连接，连接交直线l于点C，点C即为所求． 【经典例题五 两点间的距离】 【例5】（24-25六年级上·上海宝山·期末）A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查两点间的距离，分析两种情况求解：点C可能在线段上，也可能在线段的延长线上，进而即可求解． 【详解】解：根据题意点C可能在线段上也可能在线段的延长线上． 若点C在线段上， 则 若点C在线段的延长线上， 则， 综上分析可知：A，C两点间的距离是或． 故选：C． 1．（24-25六年级上·上海青浦·期末）如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一枚钉子，（钉子大小忽略不计，，抽象成两个点），若将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条上钉子之间的距离是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】题目主要考查线段两点间的距离，中点的性质，分类讨论，掌握数形结合的思想是解题关键． 根据题意，分两种情况讨论：当，（或，）重合，且剩余两端点在重合点同侧时；当，或，重合，且剩余两端点在重合点两侧时；作出相应图形，结合图形求解即可． 【详解】解：①当，（或，）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 由图可知，； ②当，或，重合，且剩余两端点在重合点两侧时， ； 两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：D 2．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，点C在线段上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段的“巧分点”． 已知，点C是线段的“巧分点”，则 .    【答案】2或4或3 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，当点C是线段AB的“巧分点”时，可能有、和三种情况，分类讨论计算即可．分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键． 【详解】解：当点是线段的“巧分点”时，可能有、、 三种情况， ①时，，    ②时，，    ③时，．    故答案为：2或4或3． 3．（24-25六年级上·上海崇明·期中）如图，线段，点分别是线段和线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设，，可得，，然后根据，求得，故求出，，再根据中点的定义计算即可． 【详解】解：设，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 又∵点分别是线段和线段的中点， ∴，， ∴， 故答案为． 4．（24-25六年级上·上海闵行·随堂练习）已知直线l上两点A，B之间的距离是． (1)如果点C到A，B两点之间的距离之和恰好等于，那么点C的位置在什么地方？ (2)如果点D到A，B两点之间的距离之和大于，那么点D的位置在什么地方？ (3)小明说存在一点E使点E到A，B两点之间的距离之和等于，你同意他的说法吗？为什么？ (4)你发现平面上任意一点到A，B两点之间的距离之和与线段的长度有什么关系？ 【答案】(1)点C在线段上任意位置都可以 (2)点D在直线上且在点A的左侧，或在直线上且在点B的右侧，或在直线l外 (3)不同意，见解析 (4)平面上任意一点到A，B两点之间的距离之和都大于或等于线段的长度 【分析】本题考查了两点之间的距离，“两点之间，线段最短”，线段的长度，点与直线的位置关系，掌握线段的基本概念是解题的关键． （1）根据两点之间的距离，线段的长度计算即可； （2）根据两点之间的距离，线段的长度，点与直线的位置关系，可得出结论； （3）根据两点之间，线段最短，即可解答； （4）根据两点之间，线段最短，即可解答． 【详解】（1）解：点C到A，B两点之间的距离之和恰好等于，即 ， 则点C在线段上任意位置都可以． （2）当点D到A，B两点之间的距离之和大于时，点D的位置在线段外．有三种情况均符合要求，如图所示，点D在直线上且在点A的左侧，或在直线上且在点B的右侧，或在直线l外． （3）不同意．理由：根据两点之间，线段最短，可知E到A，B两点之间的距离之和最小等于． （4）平面上任意一点到A，B两点之间的距离之和都大于或等于线段的长度． 【经典例题六 直线、线段、射线的数量问题】 【例6】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有5个刻度（如图，单位：厘米）．用这把直尺能直接量出多少个不同的长度（    ）    A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的计数问题，找出不同长度的线段即可． 【详解】解：用这把直尺能直接量出的线段有：1厘米，3厘米，7厘米，10厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米， 所以用这把直尺能直接量出8个不同的长度． 故选C． 1．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，点P沿直线l从左向右移动，当点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段6条，所以出现报警次数最多6次． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中有线段、、、、、，共6条线段， ∴发出警报的点P最多有6个． 故选：D． 2．（25-26六年级上·上海闵行·课后作业）如图，能用字母表示的直线有 条，线段有 条，射线有 条 【答案】 1 3 4 【分析】首先识别图中直线、射线、线段的数量，同时结合还要能用字母表示线段、直线、射线即可解决问题． 【详解】解：直线没有端点，可向两端无限延伸。图中A、B、C三点在同一条直线上，能用字母表示的直线只有条(可表示 为直线，直线直线，本质是同一条直线)； 线段有两个端点，不可延伸，表示线段有共三条； 直线上有三个点，共有六条射线，但是用字母来表示的只有射线，射线，射线，射线共四条． 故答案为：①1  ②3  ③4． 【点睛】本题考查了线段、直线、射线的定义，其中理解能用字母表示线段、直线、射线是解本题的关键． 3．（24-25六年级上·上海松江·期中）高铁京沪二线途径东营市，预计2026年能通车，届时将大大方便人们的出行．列车往返于北京，上海两个城市，中途经过13个站点（共15个站点），不同的车站来往需要不同的车票，则这条路线共有 种不同的车票． 【答案】 【分析】本题考查了线段的数法应用，在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，注意：每条线段有两种车票．n个车站每两站之间车票有两种，则n个车站的票的种类数种，据此即可解答． 【详解】解：n个车站每两站之间车票有两种，则n个车站的票的种类数种， 当时，（种）． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）一款密码游戏，规定参与者都要使用密码交流，且每两个参与者之间使用一套密码．探究游戏参与人数与使用密码总套数之间的关系，小丽同学按如下方式借助示意图进行直观分析：用“点”表示游戏参与者，用“线段”表示密码，则有： ①如图1，当有2人参与游戏时，使用1套密码； ②如图2，当有3人参与游戏时，使用3套密码； ③如图3，当有4人参与游戏时，使用6套密码；．．．．．． (1)操作：仿照小丽同学的方法，探究有5人参与游戏时使用密码的总套数，写出探究过程． (2)归纳：当有个人参与游戏时，每个人使用__________套密码，共有__________套密码（用含代数式表示）． (3)应用：游戏中所有的密码都需要传输设备传递，传输设备有四种型号，分别为5通道、10通道、15通道、20通道，每个通道只能传输一套密码，参与者根据使用密码套数多少选取适当型号传输设备（通道够用的前提下避免浪费，例如4人玩该密码游戏，每个参与者只能选取5通道传输设备，不能选取10通道传输设备）．若甲团队玩该密码游戏参与者选取15通道传输设备，乙团队玩该密码游戏参与者选取10通道传输设备，请直接写出甲团队游戏中传递的密码总套数与乙团队游戏中传递的密码总套数之差的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)99套 【分析】本题考查线段的数量问题： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）根据给定的方法，进行求解即可； （3）设甲团队有个人，乙团队有个人，根据甲团队玩该密码游戏参与者选取15通道传输设备，乙团队玩该密码游戏参与者选取10通道传输设备，确定的范围，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，5人参与游戏时使用密码的总套数为10，即：； （2）2人参与游戏时，每人使用1套密码，共1套密码； 3人参与游戏时，每人使用2套密码，共有套密码； 4人参与游戏时，每人使用3套密码，共有套密码； 5人参与游戏时，每人使用4套密码，共有套密码； ， ∴当有个人参与游戏时，每个人使用套密码，共有套； （3）设甲团队有个人，乙团队有个人，（为正整数） ∵甲团队玩该密码游戏参与者选取15通道传输设备，乙团队玩该密码游戏参与者选取10通道传输设备， ∴， ∴， ∵甲团队游戏中传递的密码总套数与乙团队游戏中传递的密码总套数之差最大， ∴， ∴甲团队游戏中传递的密码总套数与乙团队游戏中传递的密码总套数之差的最大值为（套） 【经典例题七 线段的和与差】 【例7】（24-25六年级上·上海长宁·开学考试）以下四把直尺都只有三个刻度，若要画出5个单位长度的线段，下列直尺中不能使用的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单的枚举法，线段的和差，正确理解线段的和差是解题的关键．根据线段的和差结合图形即可得到结论． 【详解】解：A、如图，画线段，， 则线段，故A不符合题意； B、如图，线段，再画线段， 则；故B不符合题意； C、如图，画线段，再画线段， 则，故C不符合题意； D、∵直尺中只有刻度0，4，12， ∴不能画出5个单位长度的线段， 故选：D． 1．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）已知线段，点C是直线上一点（不同于点A、B）．下列说法：①若点C为线段的中点，则；②若，则点C为线段的四等分点；③若，则点C一定在线段上；④若，则点C一定在线段的延长线上；⑤若，则．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是熟练掌握线段和差的定义． 利用线段的和差逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵点C为线段的中点， ∴， 该选项正确，符合题意； ②若，点不在线段上时，则点C不是线段的四等分点，该选项错误，不符合题意； ③若，则点C一定在线段上，该选项正确，符合题意； ④若，则点C在线段的延长线或者反向延长线上，该选项错误，不符合题意； ⑤若，则或，该选项错误，不符合题意． 故正确选项为：①③， 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，C，D是线段延长线上的两点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是掌握线段的和差． 利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2025六年级上·上海松江·专题练习）如图，已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，E为线段上一点，若线段，则的长度为 ． 【答案】7 【分析】本题考查线段和差，利用中点求线段长． 利用线段的中点意义求出，，再由线段和差即可计算． 【详解】解：∵线段，点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：7． 4．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）如图，点C在上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，点M、N分别为的中点，请猜想的长度，请画出图形，并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)；见解析 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，掌握线段之间的和差关系是解题关键． （1）根据题意求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； （2）根据题意设得到，求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； （3）根据题意设得到，求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； 【详解】（1）解：∵，，M，N分别是，的中点， ∴，， 则． （2）解：设，， ∵M，N分别是，的中点． ∴，， 则． （3）解：如图所示： 设，根据题意得， ∵点C在线段的延长线上，M，N分别是，的中点， ∴，， 则． 【经典例题八 作线段(尺规作图)】 【例8】（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）如图，使用圆规比较线段和线段的长短，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较线段的长短，根据图形，即可解答． 【详解】解：如图，使用圆规比较线段和线段的长短，， 故选：B． 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知线段a，b，c．按如下步骤完成尺规作图， ①用直尺画直线l； ②在直线l上作线段，； ③在线段的延长线上作线段； ④在线段上作线段．则线段的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图作线段，线段和差的计算，数形结合是解题的关键． 根据线段的和差进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 作图为： 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，用圆规比较两条线段和的长短，可知 ．（填写“”，“”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了线段的大小比较，根据比较线段长短的方法即可． 【详解】解：用圆规比较两条线段和的长短，可知， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期末）已知线段，延长至点，使，用圆规在的反向延长线上截取，是线段的中点，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了作线段、线段的和差、线段中点的性质等知识点，正确画出图形是解答本题的关键．根据线段的和差可知长，根据线段中点的性质可知长，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：1． 4．（24-25六年级上·上海松江·开学考试）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段的延长线上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2) ____（填“＞”、“＜”或“＝”），依据是 ______________； (3)若点E是射线上一点，且，求的长； 【答案】(1)见解析； (2)>，两点之间线段最短； (3)； 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了两点间的距离． （1）根据几何语言画出几何图形； （2）根据两点之间线段最短进行判断； （3）先计算出，然后计算即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：根据两点之间线段最短得； 故答案为：＞，两点之间线段最短； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【经典例题九 线段中点的有关计算】 【例9】 （24-25六年级上·上海静安·阶段练习）已知线段，在直线上取一点C，使线段，那么线段和中点的距离为（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段中点有关的计算，理解题意，分情况分析是解题关键． 根据线段中点的性质分两种情况分析计算即可； 【详解】解：当点C位于的延长线上时，如图，D是的中点，E是的中点， ∴，， ∴； 当点C位于的延长线上时，如图，D是的中点，E是的中点， ∴，， ∴； 故选A． 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 【答案】D 【分析】本题考查与线段的中点有关的计算．分点在线段上，点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：，， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图： 则，， ∵， ∴， ∴； 综上，线段的长是20或4． 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海宝山·开学考试）已知点C为线段所在直线上一点，，，点E为的中点，F为的中点．则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：①当点C在点B的右侧时，如图1所示，，②当点C在点B的左侧时，如图2所示，，代入即可求出． 本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵点E，F分别是线段，的中点，且线段，线段， 当点C在点B的右侧时，如图1所示，    ∴， ∴， 当点C在点B的左侧时，如图2所示，    ∴， ∴， 故答案为：或． 3．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）如图，C为射线上一点，，比的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为线段上一点，且，N为的中点，以下结论： ①；②；③当时，， 其中正确的是 ． 【答案】① 【分析】本题考查有关线段上的动点问题以及两点间的距离，根据已知，比的多5，列方程可得，进而得；再由P、Q两点分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，即得、的长，找到、、、之间的数量关系即可得结论． 【详解】解：当在线段上时， ∵，比的多5， ∴， 解得：， 则， ∴， 当在线段外时， ∵，比的多5， ∴， 解得：，不合题意； 故①正确； ∵P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒， ∴时间为时，，， 当在左边时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴， ∴， ∴； 当在右边时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴，此时不一定等于； 故②错误， 当在左边时，，， ∴当时， 则， 解得：， 当在右边时，，， ∴当时， 则， 解得：， 故③错误， 故答案为：①． 4．（25-26六年级上·上海崇明·期中）如图1，直线上从左到右有两条线段：，且满足． (1)求线段的长； (2)将线段向右移动到线段上，如图2．若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； (3)线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，线段不动，，始终分别为，的中点．若运动6秒后，，直接写出运动前点，之间的距离． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，两点间的距离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第二问注意分类讨论思想，此题难度不大． （1）根据非负性求出的值，即可得出结果； （2）根据题意，求出此时，再利用线段中点的定义结合图形即可求解； （3）分6秒后，在点左边时，6秒后，在点右边时两种情况分别计算求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴； （3）解：∵，分别为，的中点， ∴，， 若6秒后，在点左边时， ∵， ∴此时，点重合， ∴运动前点，之间的距离为； 若6秒后，在点右边时， ∵， ∴此时，点重合， ∴运动前点，之间的距离为； 综上，运动前点，之间的距离为或． 【经典例题十 线段n等分点的有关计算】 【例10】（24-25六年级上·上海闵行·单元测试）已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是线段的和与差、含中点线段之间的数量关系，解题关键是利用线段比例得出、的长． 根据题意画出图形，再分点在线段上或线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】解：①当点在线段上时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； ②当点在线段外时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； 综上所述，或． 故选：． 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图所示，长为的线段的中点为M，C将线段分为和，且，则线段的长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】根据中点的定义，可求出AM和BM的长度，根据MC和MB的比例关系，可求出MC的长度，最后用AM加上CM即可求出AC的长． 【详解】∵点M为AB中点， ∴AM=BM==6cm， ∵， ∴=2cm， ∴AC=AM+MC=8cm； 故选：C 【点睛】本题主要考查了中点的定义和成比例线段，熟练地根据中点的定义和线段间的比例关系求出需要线段的长度是解题的关键． 2．（24-25六年级上·上海静安·期末）如图，C为线段的中点，，D是线段的三等分点，则的长是 ． 【答案】4或8/8或4； 【分析】本题考查有关等分点的计算，根据中点得到，再分类讨论三等分点靠近B点或A点即可得到答案； 【详解】解：∵C为线段的中点，， ∴， ∵D是线段的三等分点， ①三等分点靠近B点时， ， ②三等分点靠近A点时， ， 故答案为：4或8． 3．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）二等分点：又叫线段的 ，把线段分成 的两部分． 即：如图，若点P是线段的中点，则或 三等分点：把线段分成 的三部分．以此类推． 【答案】 中点 相等 相等 【分析】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，正确理解定义是解题的关键． 【详解】二等分点：又叫线段的中点，把线段分成相等的两部分．     即：如图，若点P是线段AB的中点，     则或 三等分点：把线段分成相等的三部分．以此类推． 故答案为：中点；相等；相等． 4．（24-25六年级上·上海徐汇期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)5厘米 (3) 【分析】本题考查两点间的距离． （1）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； （2）根据线段的倍比关系以及和差关系进行计算即可； （3）根据（1）、（2）的方法推广到一般，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴ ． 【经典例题十一 线段之间的数量关系】 【例11】（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，是的中点，是的中点，则下列等式：①；②；③；④，其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据线段的中点性质，结合图形解答即可． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴①不符合题意，②符合题意， ∴③符合题意， ∴④不符合题意． 故选： 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，掌握线段中点的概念和性质，灵活运用数形结合思想方法是解此题的关键． 1．（2025·上海松江·模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 【答案】A 【分析】根据作图的方法以及线段的中点，三等分点的定义，即可求解． 【详解】解：①“延长线段到，使”，则点是线段中点，故嘉嘉说法正确； ②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”，如图，如果线段，那么线段或，故淇淇说法错误． 故选：A．           【点睛】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，画线段，分类讨论是解题的关键 2．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，点C，D是线段上两点，且．若，则 ． 【答案】14 【分析】本题考查两点间的距离，理解线段之间的比例关系是正确解答的关键．根据线段的比例关系求出AC的长即可． 【详解】解：∵．若， ， 故答案为：14． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，线段的长为a，点C为线段的中点，D为线段上一点，且．图中共有 条线段；若P为直线上一点，且，则的值为 ． 【答案】 6 或 【分析】本题主要考查线段的和差关系．先根据线段的定义写出所有的线段，再分点P在的延长线上和点P在的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答． 【详解】解：图中的线段有：共6条线段， 故答案为：6； ∵点C为线段的中点，D为线段上一点，且， ∴，， ∵， ∴点P在线段的延长线上或点P在线段的延长线上， 如图：当点P在线段的延长线上时，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图：当点P在的延长线上时，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：或． 4．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）已知线段上有若干个不重合的点，求出该线段上任意两点所决定的线段长度（包括线段），并记所有这些线段的长度总和为y．例如：图1中，，C为的中点，则． (1)如图2，线段上有C、D两点，其中，，求y； (2)如图3，线段上有C、D、E三点，其中C为的中点，E为的中点，且，，求的长度； (3)线段上有C、D两点，线段上任意两点所决定的线段长度是整数，若，且的长度为奇数，直接写出的长度． 【答案】(1)40 (2)14 (3)11 【分析】本题主要考查线段中点的有关计算以及两点间的距离，解题的关键在于能够正确读懂题意，利用数形结合以及方程的思想求解． （1）根据比例求得，，的长，进而利用求解即可； （2）根据中点的定义，设，结合，用x表示每条线段长，再根据，列方程即可求解； （3）根据，可用表示，由是奇数，为正整数，，可求得的长，进而求得的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴，， ∴； （2）解：设， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是奇数，为正整数， ∴，11，17，23，29，35， 又∵， ∴满足条件的有， ∴． 【拓展训练一 直线相交的交点个数综合】 1．（24-25六年级上·上海闵行·随堂练习）平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 【答案】(1)1或4或6 (2) (3)1770 (4)①21，②42 【分析】此题考查图形的变化规律，找出运算的规律与方法，得出规律，解决问题． （1）分三种情况：当四个点在同一直线上时；当只有三个点在同一直线上时；当任意三点都不在同一直线上时，即可求解； （2）根据题意可得线段的总条数为，即可求解； （3）共要握手的次数为，即可求解； （4）①根据题意可得要定种不同的票价；②根据往返车票不同，可得车票的种类是票价的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：当四个点在同一直线上时，可以画1条直线； 当只有三个点在同一直线上时，可以画4条直线； 当任意三点都不在同一直线上时，可以画6条直线． 综上，经过平面上四个点中任意两点可以作1或4或6条直线； 故答案为：1或4或6 （2）解：当直线m上有n个点时，线段的总条数为 ； 故答案为： （3）解：若每人都与其余人握一次手，则共要握（次）； 故答案为：1770 （4）解：①因为客车中途停靠五个站(每两站之间距离不等)， 所以包括甲地和乙地共有七个站， 所以要定种不同的票价； 故答案为：21 ②因为往返车票不同， 所以要准备种不同的车票． 故答案为：42 2．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点P与直线l的关系：　 　； (2)如图1，画直线PA； (3)如图1，画射线PB； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 　 　个交点． 【答案】(1)P在直线l外； (2)见解析 (3)见解析 (4)7 【分析】（1）根据点与直线的关系即可填空； （2）根据直线的定义即可画直线PA； （3）根据射线的定义即可画射线PB； （4）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的交点个数． 【详解】（1）点P与直线l的关系：P在直线l外； 故答案为：P在直线l外； （2）如图1，直线PA即为所求； （3）如图1，射线PB即为所求； （4）如图2，新增的两条直线使得平面内最多新增7个交点． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，直线的性质：两点确定一条直线，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质． 3．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图． 列表如下： 直线条数 最多交点个数 把平面最多分成部分数 1 0 2 2 1 4 3 3 7 … … … (1)当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________；把平面最多分成______部分，可写成和的形式为________． (2)当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分． (3)当直线条数为n时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？ 【答案】(1)10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5　(2)45；56；（3）； 【分析】（1）两条直线只有一个交点， 第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1+2， 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1+2+3， 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1+2+3+4， 可得，n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且n≥2）． 一条直线把平面分成2部分，两条直线把平面分成2+2=4部分，三条直线把平面分成2+2+3=7部分，四条直线把平面分成2+2+3+4=11部分，五条直线把平面分成2+2+3+4+5=16部分，即n条直线把平面分成2+2+3+4+5+…=1+1+2+3+…+n=1+部分 （2）代入（1）中的规律可得结果； （3）由（1）可得结论． 【详解】解：（1）两条直线只有一个交点， 第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1+2， 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1+2+3==6， 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1+2+3+4=10， ∴可得，n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且n≥2）． 一条直线把平面分成2部分， 两条直线把平面分成2+2=4部分， 三条直线把平面分成2+2+3=7部分， 四条直线把平面分成2+2+3+4=11部分， 五条直线把平面分成2+2+3+4+5=16部分， ∴n条直线把平面分成2+2+3+4+5+…=1+1+2+3+…+n=[1+]部分 （2）当n=10时，最多有个交点，把平面最多分成1+部分． （3）当直线条数为n时， 最多有1＋2＋3＋…＋(n－1)＝个交点； 把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n＝部分． 【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交有个交点．本题体现了由“特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识． 【拓展训练二 线段中点的计算综合】 1．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）如图，点B，D在线段上． 发现：____________； 求值：若D是线段的中点，，求线段的长． 【答案】； 【分析】本题考查线段的和差，线段中点．根据线段的和差即可解答“发现”．先由线段的中点求出，再根据得到，再由即可解答． 【详解】解：发现：． 故答案为：；． 求值：因为D是线段的中点，， 所以， 因为，， 所以， 所以． 2．（25-26六年级上·上海普陀·期中）点是线段的中点，，点在线段上，且． (1)如图，若点在线段上，求的长； 完成下面的解答过程： 解：， ． ， __________． 是线段的中点，， （__________）．（填推理的依据） __________． (2)若点在直线上，是的中点．尝试在下面画出符合题意的图形，并直接写出__________． 【答案】(1)，线段中点定义， (2)画图见解析，或 【分析】此题考查线段的中点定义，线段的和差计算， （1）根据线段中点定义及线段和差关系解答； （2）根据点在直线上，分类讨论：当点在线段上时，当点在点右边时，由此即可求解． 【详解】（1）解：，， ． ， ． 是线段的中点， ．（线段中点定义） ． （2）解：当点在线段上时，如图， 由（1）可得，， ∵C是线段的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； 当点在点右边时，如图， ∵， ∴，， ∵C是线段的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ∴或． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）【新知理解】 点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． 例如，图1，线段的长度为6，点在上，的长度为2，则点是线段的其中一个“优点”． （1）若点为图1中线段的“优点”，且，则__________； （2）若点也是图1中线段的“优点”（不同于点），则_______（填“”“ ”或“”） 【解决问题】 如图2，数轴上有，两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4； （3）若点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，则线段的长为____________； （4）若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，则点表示的数为___________． 【答案】（1）9；（2）；（3）；（4）或10 【分析】本题主要查了线段的和与差： （1）根据“优点”的定义解答，即可求解； （2）根据“优点”的定义解答，即可求解； （3）根据“优点”的定义可得，即可求解； （4）根据题意可得，再由“优点”伴侣线段的定义解答，即可求解． 【详解】解：（1）∵点为图1中线段的“优点”，且， ∴， ∴； 故答案为：9 （2）∵点也是图1中线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （3）∵点表示的数为4， ∴， ∵点在点的左侧，且，均为线段的“优点”， ∴， ∴； 故答案为： （4）∵点表示的数为1，点表示的数为4， ∴， ∵线段与互为“优点”伴侣线段， 当时，， ∴点G表示的数为， 当时，， ∴点G表示的数为10， 综上，点G表示的数为或10． 故答案为：或10 【拓展训练三 与线段有关的动点问题】 1．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）已知线段，点是线段延长线上一个动点，是线段的中点． (1)如图，若，求线段的长； (2)若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是____________； ①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大． (3)若，画出所有符合条件的图形并求线段的长． 【答案】(1)线段的长为 (2)④ (3)画图见解析，的长为或 【分析】本题主要考查了线段之间的和差关系，线段中点的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意进行分类讨论． （1）先根据题意求出的长度，再根据中点的定义求解即可； （2）根据题意将的长度表示出来，即可进行解答； （3）分两种情况画出图形，讨论即可：当点D在上时，当点D在延长线上时． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴ ∴ ∴线段的长为； （2）解：∵随着的变长，越来越靠近点，当是点与重合，然后点离点越来越远， 故选：④； （3）解：当点在上时， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； 当点在延长线上时， ∵，， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴． 综上所述：的长为或． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决追及问题，解题的关键是利用线段的和差列出方程． （1）根据路程列出一元一次方程求解即可； （2）根据路程列出一元一次方程求解即可； （3）根据路程列出含有绝对值的一元一次方程求解即可，或分两种情况进行分别求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （2）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （3）解：根据题意得， ， 解得，或 ∴或时，P、Q两点之间距离为2时． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期中）如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“奇点”． 【新知理解】 （1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】 （2）若点和点在数轴上表示的数分别是和，点是线段的“奇点”，求点在数轴上表示的数． 【应用拓展】 （3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当点是线段的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）或或 【分析】本题考查新定义，数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用， （1）根据“奇点”的定义即可求解； （2）设点在数轴上表示的数为，则，，，根据“奇点”的定义，分情况讨论，当或或，分别计算即可； （3）根据“奇点”的定义，分情况讨论，当或或，分别计算即可； 解题的关键是理解题意，利用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：（1）设点为线段的中点， ∴， ∵点在线段上， ∴中点是线段的“奇点”， 故答案为：是； （2）设点在数轴上表示的数为， ∵点和点在数轴上表示的数分别是和， ∴，， ∵点是线段的“奇点”， ∴点在线段上，且或或， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 综上所述，点在数轴上表示的数为或或； （3）秒后，，，， ∵点是线段的“奇点”， ∴或或， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； ∴当为或或时，点是线段的“奇点”． 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段的定义及查找，解题的关键是熟练掌握相关定义． 利用直线，射线和线段的定义进行判断即可． 【详解】解：根据图象可得，共有射线10条，共有线段10条，直线1条， 故选：C． 2．（上海市松江区2025-2026学年六年级上学期期中数学试卷）延长线段至点C，使得，那么的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和与差，设的长度为a，用a表示出是解题的关键． 设的长度为a，则，然后代入化简即可． 【详解】解：设的长度为a，则， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查了线段、直线、射线，熟练掌握线段、直线、射线之间的关系是解题关键．根据线段、直线、射线之间的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、线段和射线都是直线的一部分，则此项正确，不符合题意； B、点不在直线上，则此项不正确，符合题意； C、直线和直线相交于点，则此项正确，不符合题意； D、直线不经过点，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26六年级上·上海闵行·期中）如图，有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位：）．用这把直尺能直接量出的不同长度有（    ） A．3个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的度量，解题关键是按照一定的顺序度量，不漏不重． 根据直尺上的刻度得到图中共有条线段，进而求解即可． 【详解】解：图中共有条线段， 能直接量出6个长度，分别是：． 故选：B． 5．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：B． 6．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，点C，O在线段上，，O是的中点，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键． 根据题意，，可设，，则，由，可得，求出，则，再根据点O是的中点，由线段的中点定义可得： ，最后由进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴可设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵点O是的中点， ∴， ∴． 故答案为：2． 7．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）如图A，B，C，D为直线l上的四个点，则图中共有 条线段，它们分别是 ，图中共有 条射线．若直线l上有五个点，则共 条线段， 条射线．若直线l上有六个点，则共有 条线段， 条射线． 【答案】 6 ，，，，， 8 10 10 15 12 【分析】本题考查了线段和射线的有关知识，读懂题目信息，并学会准确数出线段和射线的条数，做到不重不漏是解题的关键． 结合图形，直接数出线段，射线的个数即可． 【详解】解：图中共有6条线段，它们分别是，，，，，； 图中共有8条射线； 若直线l上有五个点，则共10条线段，10条射线； 若直线l上有六个点，则共有15条线段，12条射线． 故答案为：6；，，，，，；8；10；10；15；12． 8．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图，将一段长为绳子拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠，若将绳子沿N点折叠后，点B落在处（点始终在点A右侧），在重合部分上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2∶3∶6，的值可能为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了线段的和差．分别计算三段绳子的长度，再分类讨论，利用线段的和差进行计算即可． 【详解】解：设绳子三段的长分别为、和，两个断点分别为F、E，则，解得：； ①若，，，如图： ∵N为的中点， ∴， ∴； ②若，，，如图： ∵N为的中点， ∴， ∴； ③若，，，如图： ∵N为的中点， ∴， ∴； 故答案为：或或． 9．（24-25六年级上·上海松江·期中）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．若已知点D是折线的“折中点”，E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】6或14 【分析】本题考查两点间的距离，根据“折中点”的定义，分两种情况分别画出图形，由图形中线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图1，∵点E为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 如图2，∵点E为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 综上所述，或． 故答案为：6或14． 10．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有个面，条棱，个顶点，观察图形，填写下面的空． （1）四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （2）六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （3）由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【答案】 / 【详解】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征是解题的关键； （1）结合已知四棱柱特征，即可求解； （2）结合六棱柱的特征，即可求解； （3）可知棱柱一定有个面，条棱和个顶点； 【解答】解：（1）四棱柱有个面，条棱，个顶点； （2）六棱柱有个面，条棱，个顶点； （3）由此猜想棱柱有个面，条棱，个顶点． 故答案为：（1），，；（2），，；（3），，． 11．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）长度的线段的中点为M，C点在线段上，，求线段的长度． ​ 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系是正确解答的关键． 根据线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：，点是的中点， ， ， ． 12．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）作图： (1)在图1中画线段的延长线； (2)在图2中，在线段的延长线上取一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作线段延长线，尺规作图作线段． （1）延长线段即可； （2）延长线段，取即可． 【详解】（1）解：如图： （2）如图： 13．（25-26六年级上·上海普陀·期中）如图，点，，是不在一条直线上的三个点，过，两点作直线，并连接． (1)尺规作图： ①延长至，使得点为的中点； ②作射线，在射线上截取．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） (2)若，求的长． 小明同学写出解答的部分过程，请你帮忙完成填空． 解：（2）因为点为的中点， 所以___________， 因为， 所以___________， 因为， 所以， 因为， 所以___________， 所以___________． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】本题考查的是线段的长度计算问题，尺规作图，对线段进行和、差、倍、分的计算是解决本题的关键． （1）根据截取线段作出图形即可； （2）利用线段的和差关系即可解答． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：因为点为的中点， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 故答案为：；；；． 14．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点、、、均在格点上，请用无刻度直尺按要求完成画图并回答问题． (1)分别画直线、射线，连接，延长到，使； (2)在射线上找点，使最小，画出点，此画图的依据是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段、两点之间线段最短等知识，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据直线、射线的定义画出直线、射线；结合网格，延长到，使，即可获得答案； （2）根据“两点之间线段最短”，即可获得答案． 【详解】（1）解：如图1，直线、射线，点即为所求； （2）如图2，连接，交于点，点即为所求，画图依据是两点之间线段最短． 15．（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16，8 (2)①或或；②存在， 【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题， 线段等分点的相关计算，列一元一次方程解决实际问题等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形． （1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果； （2）①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过线段图列方程求得；②分为相遇前（点M在上，N在上），此时即可列出方程求得，当M点返回时，点M在上，点N在上，此时，列出方程求得， 【详解】（1）解：，， 故答案是：16，8； （2）①当M、N第一次相遇时，， 当M到达E点时，， 如图1， 当时，， ∴， 如图2， 当时，， ∴， 如图3， 当时，， ∴， 综上所述：或或； ②如图4， 当时， 由得，， ∴， 如图5， 当时，， ∴，此时不构成四边形，舍去 综上所述：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 线段重难点题型专训 （4个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 点、线、面、体四者之间的关系 题型二 两点确定一条直线 题型三 直线、射线、线段的联系与区别 题型四 两点之间线段最短 题型五 两点间的距离 题型六 直线、线段、射线的数量问题 题型七 线段的和与差 题型八 作线段(尺规作图) 题型九 线段中点的有关计算 题型十 线段n等分点的有关计算 题型十一 线段之间的数量关系 拓展训练一 直线相交的交点个数综合 拓展训练二 线段中点的计算综合 拓展训练三 与线段有关的动点问题 知识点一：直线、射线与线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 【即时训练】 1．（25-26六年级上·上海松江·开学考试）如图：同一平面上有直线和射线，那么这两条线（   ）． A．一定相交 B．一定不相交 C．可能相交，可能不相交 2．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）下列图示中，直线表示方法正确的有 （填序号）    知识点二：两点确定一条直线 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．射线AB和射线BA是同一条射段 B．经过两点只能作一条直线 C．经过一点可以作无数条直线 D．两点之间，线段最短 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）王小毛同学做教室卫生时，发现座位很不整齐，他思考了一下，将第一座和最后一座固定之后，沿着第一座最后一座这条线就把座位摆整齐了！他利用了数学原理： ． 知识点三：两点间距离、中点概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，，是线段上两点，若，是的中点，则的长（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为 ． 知识点四：双中点模型 C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）如图，已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），M，N分别是线段，的中点，下列判断正确的是（   ） A．点C越靠近线段的中点，线段越长 B．不论点C在什么位置都有 C．点C越靠近两个端点，线段越短 D．线段的长度无法确定 2．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，线段，点是线段上一点，点、分别是、的中点，则的长为 ． 【经典例题一 点、线、面、体四者之间的关系】 【例1】（24-25六年级上·上海宝山·期中）用笔在纸上写字，从几何的角度可解释为（    ） A．点到直线的距离 B．面动成体 C．点动成线 D．过一点作直线 1．（2025·上海长宁·模拟预测）如图是一种折叠灯笼，压扁的时候，它看起来是平面的，提起来却变成了美丽的圆柱形灯笼．这个过程中蕴含的数学原理是（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．垂线段最短 2．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）传统文化情境·武术中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为 ． 3．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）学科素养·数形结合 用，，，代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．如图是由，，，中的两个图形组合而成的（组合用“&”表示）．如图所示的组合图形中表示&的是 ． 4．（24-25六年级上·上海闵行·单元测试）十九世纪中叶，诞生了一个新的几何学分支 “拓扑学（又称‘位置解析’）”．它所研究的是几何图形这样一些最基本的、最深刻的性质：图形经受剧烈的变形，以致所有度量性质和射影性质都失去之后，这些性质仍然存在．数学家们找到若干个令人叹为观止的实例，例如著名的带、瓶 请看如图，你能否将正方形图中上方的小方块与下方的对应的小方块用平面内不相交的实线连起来，且要求连线只能在该正方形内部的空白处． 【经典例题二 两点确定一条直线】 【例2】（24-25六年级上·上海虹口·期末）为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．射线只有一个端点 D．两直线相交只有一个交点 1．（2025·上海·模拟预测）如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海闵行·课前预习）经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点 一条直线． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·单元测试）木工师傅用刨子可将木板刨平，如图，经过刨平的木板上的两个点，而且只能弹出一条墨线，其数学原理为 ． 4．（24-25六年级上·上海奉贤·课后作业）建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，你能说出这是什么道理吗？ 【经典例题三 直线、射线、线段的联系与区别】 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）下列各图中，表示“射线”的是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海嘉定开学考试）如图，A，B，C三点在同一水平线上，则下列说法不正确的是（   ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与射线是同一条射线 2．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）直线上 的部分叫做射线，这个点叫做射线的 ． 3．（2025六年级上·上海奉贤·专题练习）①用一个小写字母表示．即表示为 ． ②用含端点的两个大写字母表示． 在前．即表示为 ．    4．（2025六年级上·上海松江·专题练习）学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【经典例题四 两点之间线段最短】 【例4】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）如图，甲、乙均从处去往处．甲选择图中的路线①，即依次途径，，，最终到达；乙选择图中的路线②，即途径，最终到达．图中的，，，，，均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走，则两条路线中较长的是（    ） A．① B．② C．一样长 D．无法确定 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，小李同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点之间，直线最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过两点有且仅有一条直线 2．（25-26六年级上·上海宝山·期末）如图，在四边形内存在一点 O ，使得 最小；则点 O 所在的位置为 ．（可用文字说明） 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）如图，在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，小明同学认为是两点确定一条直线，小丽同学认为是两点之间线段最短．你认为 同学的说法是正确的． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期末）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题．让我们从书本一道习题入手进行探索． (1)如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄．现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由． (2)如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置． 【经典例题五 两点间的距离】 【例5】（24-25六年级上·上海宝山·期末）A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 1．（24-25六年级上·上海青浦·期末）如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一枚钉子，（钉子大小忽略不计，，抽象成两个点），若将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条上钉子之间的距离是（   ） A． B． C． D．或 2．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，点C在线段上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段的“巧分点”． 已知，点C是线段的“巧分点”，则 .    3．（24-25六年级上·上海崇明·期中）如图，线段，点分别是线段和线段的中点，则线段的长为 ． 4．（24-25六年级上·上海闵行·随堂练习）已知直线l上两点A，B之间的距离是． (1)如果点C到A，B两点之间的距离之和恰好等于，那么点C的位置在什么地方？ (2)如果点D到A，B两点之间的距离之和大于，那么点D的位置在什么地方？ (3)小明说存在一点E使点E到A，B两点之间的距离之和等于，你同意他的说法吗？为什么？ (4)你发现平面上任意一点到A，B两点之间的距离之和与线段的长度有什么关系？ 【经典例题六 直线、线段、射线的数量问题】 【例6】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有5个刻度（如图，单位：厘米）．用这把直尺能直接量出多少个不同的长度（    ）    A．12 B．10 C．8 D．6 1．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，点P沿直线l从左向右移动，当点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（25-26六年级上·上海闵行·课后作业）如图，能用字母表示的直线有 条，线段有 条，射线有 条 3．（24-25六年级上·上海松江·期中）高铁京沪二线途径东营市，预计2026年能通车，届时将大大方便人们的出行．列车往返于北京，上海两个城市，中途经过13个站点（共15个站点），不同的车站来往需要不同的车票，则这条路线共有 种不同的车票． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）一款密码游戏，规定参与者都要使用密码交流，且每两个参与者之间使用一套密码．探究游戏参与人数与使用密码总套数之间的关系，小丽同学按如下方式借助示意图进行直观分析：用“点”表示游戏参与者，用“线段”表示密码，则有： ①如图1，当有2人参与游戏时，使用1套密码； ②如图2，当有3人参与游戏时，使用3套密码； ③如图3，当有4人参与游戏时，使用6套密码；．．．．．． (1)操作：仿照小丽同学的方法，探究有5人参与游戏时使用密码的总套数，写出探究过程． (2)归纳：当有个人参与游戏时，每个人使用__________套密码，共有__________套密码（用含代数式表示）． (3)应用：游戏中所有的密码都需要传输设备传递，传输设备有四种型号，分别为5通道、10通道、15通道、20通道，每个通道只能传输一套密码，参与者根据使用密码套数多少选取适当型号传输设备（通道够用的前提下避免浪费，例如4人玩该密码游戏，每个参与者只能选取5通道传输设备，不能选取10通道传输设备）．若甲团队玩该密码游戏参与者选取15通道传输设备，乙团队玩该密码游戏参与者选取10通道传输设备，请直接写出甲团队游戏中传递的密码总套数与乙团队游戏中传递的密码总套数之差的最大值． 【经典例题七 线段的和与差】 【例7】（24-25六年级上·上海长宁·开学考试）以下四把直尺都只有三个刻度，若要画出5个单位长度的线段，下列直尺中不能使用的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）已知线段，点C是直线上一点（不同于点A、B）．下列说法：①若点C为线段的中点，则；②若，则点C为线段的四等分点；③若，则点C一定在线段上；④若，则点C一定在线段的延长线上；⑤若，则．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，C，D是线段延长线上的两点，则 ． 3．（2025六年级上·上海松江·专题练习）如图，已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，E为线段上一点，若线段，则的长度为 ． 4．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）如图，点C在上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，点M、N分别为的中点，请猜想的长度，请画出图形，并说明理由． 【经典例题八 作线段(尺规作图)】 【例8】（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）如图，使用圆规比较线段和线段的长短，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知线段a，b，c．按如下步骤完成尺规作图， ①用直尺画直线l； ②在直线l上作线段，； ③在线段的延长线上作线段； ④在线段上作线段．则线段的长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，用圆规比较两条线段和的长短，可知 ．（填写“”，“”，“”） 3．（24-25六年级上·上海闵行·期末）已知线段，延长至点，使，用圆规在的反向延长线上截取，是线段的中点，若，则的长为 ． 4．（24-25六年级上·上海松江·开学考试）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段的延长线上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2) ____（填“＞”、“＜”或“＝”），依据是 ______________； (3)若点E是射线上一点，且，求的长； 【经典例题九 线段中点的有关计算】 【例9】 （24-25六年级上·上海静安·阶段练习）已知线段，在直线上取一点C，使线段，那么线段和中点的距离为（ ） A．或 B．或 C． D． 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 2．（24-25六年级上·上海宝山·开学考试）已知点C为线段所在直线上一点，，，点E为的中点，F为的中点．则 ． 3．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）如图，C为射线上一点，，比的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为线段上一点，且，N为的中点，以下结论： ①；②；③当时，， 其中正确的是 ． 4．（25-26六年级上·上海崇明·期中）如图1，直线上从左到右有两条线段：，且满足． (1)求线段的长； (2)将线段向右移动到线段上，如图2．若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； (3)线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，线段不动，，始终分别为，的中点．若运动6秒后，，直接写出运动前点，之间的距离． 【经典例题十 线段n等分点的有关计算】 【例10】（24-25六年级上·上海闵行·单元测试）已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图所示，长为的线段的中点为M，C将线段分为和，且，则线段的长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．（24-25六年级上·上海静安·期末）如图，C为线段的中点，，D是线段的三等分点，则的长是 ． 3．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）二等分点：又叫线段的 ，把线段分成 的两部分． 即：如图，若点P是线段的中点，则或 三等分点：把线段分成 的三部分．以此类推． 4．（24-25六年级上·上海徐汇期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【经典例题十一 线段之间的数量关系】 【例11】（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，是的中点，是的中点，则下列等式：①；②；③；④，其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2025·上海松江·模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 2．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，点C，D是线段上两点，且．若，则 ． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，线段的长为a，点C为线段的中点，D为线段上一点，且．图中共有 条线段；若P为直线上一点，且，则的值为 ． 4．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）已知线段上有若干个不重合的点，求出该线段上任意两点所决定的线段长度（包括线段），并记所有这些线段的长度总和为y．例如：图1中，，C为的中点，则． (1)如图2，线段上有C、D两点，其中，，求y； (2)如图3，线段上有C、D、E三点，其中C为的中点，E为的中点，且，，求的长度； (3)线段上有C、D两点，线段上任意两点所决定的线段长度是整数，若，且的长度为奇数，直接写出的长度． 【拓展训练一 直线相交的交点个数综合】 1．（24-25六年级上·上海闵行·随堂练习）平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点P与直线l的关系：　 　； (2)如图1，画直线PA； (3)如图1，画射线PB； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 　 　个交点． 3．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图． 列表如下： 直线条数 最多交点个数 把平面最多分成部分数 1 0 2 2 1 4 3 3 7 … … … (1)当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________；把平面最多分成______部分，可写成和的形式为________． (2)当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分． (3)当直线条数为n时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？ 【拓展训练二 线段中点的计算综合】 1．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）如图，点B，D在线段上． 发现：____________； 求值：若D是线段的中点，，求线段的长． 2．（25-26六年级上·上海普陀·期中）点是线段的中点，，点在线段上，且． (1)如图，若点在线段上，求的长； 完成下面的解答过程： 解：， ． ， __________． 是线段的中点，， （__________）．（填推理的依据） __________． (2)若点在直线上，是的中点．尝试在下面画出符合题意的图形，并直接写出__________． 由（1）可得，， 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）【新知理解】 点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． 例如，图1，线段的长度为6，点在上，的长度为2，则点是线段的其中一个“优点”． （1）若点为图1中线段的“优点”，且，则__________； （2）若点也是图1中线段的“优点”（不同于点），则_______（填“”“ ”或“”） 【解决问题】 如图2，数轴上有，两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4； （3）若点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，则线段的长为____________； （4）若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，则点表示的数为___________． 【拓展训练三 与线段有关的动点问题】 1．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）已知线段，点是线段延长线上一个动点，是线段的中点． (1)如图，若，求线段的长； (2)若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是____________； ①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大． (3)若，画出所有符合条件的图形并求线段的长． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期中）如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“奇点”． 【新知理解】 （1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】 （2）若点和点在数轴上表示的数分别是和，点是线段的“奇点”，求点在数轴上表示的数． 【应用拓展】 （3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当点是线段的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值． 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 2．（上海市松江区2025-2026学年六年级上学期期中数学试卷）延长线段至点C，使得，那么的值为（    ） A． B． C． D．2 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 4．（25-26六年级上·上海闵行·期中）如图，有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位：）．用这把直尺能直接量出的不同长度有（    ） A．3个 B．6个 C．8个 D．10个 5．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 6．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，点C，O在线段上，，O是的中点，若，则 ． 7．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）如图A，B，C，D为直线l上的四个点，则图中共有 条线段，它们分别是 ，图中共有 条射线．若直线l上有五个点，则共 条线段， 条射线．若直线l上有六个点，则共有 条线段， 条射线． 8．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图，将一段长为绳子拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠，若将绳子沿N点折叠后，点B落在处（点始终在点A右侧），在重合部分上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2∶3∶6，的值可能为 ． 9．（24-25六年级上·上海松江·期中）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．若已知点D是折线的“折中点”，E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 10．（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有个面，条棱，个顶点，观察图形，填写下面的空． （1）四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （2）六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （3）由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 11．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）长度的线段的中点为M，C点在线段上，，求线段的长度． ​ 12．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）作图： (1)在图1中画线段的延长线； (2)在图2中，在线段的延长线上取一点，使． 13．（25-26六年级上·上海普陀·期中）如图，点，，是不在一条直线上的三个点，过，两点作直线，并连接． (1)尺规作图： ①延长至，使得点为的中点； ②作射线，在射线上截取．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） (2)若，求的长． 小明同学写出解答的部分过程，请你帮忙完成填空． 解：（2）因为点为的中点， 所以___________， 因为， 所以___________， 因为， 所以， 因为， 所以___________， 所以___________． 14．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点、、、均在格点上，请用无刻度直尺按要求完成画图并回答问题． (1)分别画直线、射线，连接，延长到，使； (2)在射线上找点，使最小，画出点，此画图的依据是__________． 15．（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $