山东省潍坊市寿光市第一中学2025-2026学年高二（培优班）上学期11月期中考试拉练（一）数学试题

高二年级期中考试拉练一试题（一） 数学答案 1.解：由题意已知直线的斜率为-V3, 三=-V3,因此倾斜角为号.故选：C 2.解：依题意，(3,2)为直线的一个法向量，则直线的一个方向向量为(2，-3)，故选：A. 3.由圆C:x2+y2-4x+4y+4=0,可得圆C:(x-2)2+(y+2)2=4,圆心坐标为C(2,-2),半径为2.选：D. 4.解：因为两条直线平行，可得1×1=m×m,且m×1≠(2m-1)×1,解得m=-1.故选：B. 5.C 6丽-丽+@+0)-4+}丽+c-}丽+}而， 又：B距=A+xAB+yD,x=-y=, 2=2故选：A 7.【详解】在正四棱柱ABCD-ABCD中，建立如图所示的空间直角坐标系， D 由AB=1,A4,=2,得D(0,0,0),B(1,1,0),线段AB,的中点E(L,5,2), B 则DE=,22.DB=,10, 2 DE.DB 2 3 所以点B到直线DE的距离h √77 DB DE W21 故选：D 8. 解析】如图，以D为坐标原点， DA,DC,DD,所在直线分别为x,y,z轴 以A=(2z-3,3,z),易知平面BCC,B1 建立空间直角坐标系， 的一个法向量为n=(0,1,0), 则A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0), 则sin0=1cos(花，m)1=市，nl。 C1(0,3,6),B1(3,3,6),D1(0,0,6), IAPIInl 3 3 所以BD=(-3,-3, √(2z-3)2+9+ 6), 设P(x,3,z)(0≤x≤ 又0e[,引，所以当=号时m0 3,0≤2≤6)，则A户= (x-3,3,z),因为 取得最大值，为5 ，则cos6= √6 AP⊥BD,, A 所以AP·BD=9- 个m而店此时地见取最太鱼 3 3x-9+6z=0,即x=2z,则0≤2≤ 2,所 为5.故选A. 第1页（共7页） 9.解：对于A,由题可得：1×（-a)-3=0,解得a=-3, 直线3x+3y+3=0,即x+y+1=0, 则x种+3=0与x+1=0的距离为器=V厄，选项A正确： 对于B,由题可得，a2×1+(-1)×(-a)=0,解得a=-1或a=0, 可知“a=-1”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误； 对于C直线m+1-2m=0,即为mc-2)+1y=0.(1二2二8斜二子 则直线mx-y+1-2m=0过定点Q(2,1),斜率为m, 当直线mx-y+1-2m=0与PQ垂直时，点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大， 因为=号=1，所以m=1,选项C正确： 对于D,如图， ==-3,== 由图可知，当≥或k≤-3时，直线1与线段AB有交点，故选项D正确。 故选：ACD. 10.解：对于A:=(1,0,3),=(-2,0,),可得.=1×(-2)+0x0+3×号=0，所以1∥α或1ca, 故A错误：对于：因为”=”+”+名，因为-十+名=1，所以P,4,B,C四点共面，故 B正确；对于C:根据空间向量基底的概念，空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定 共面，可知C正确：对于D:因为=(1,1，)，=(3，，9)，所以·=1×3+1xx+x×9=3+10x,因为 与的夹角为钝角，则3+10x<0,所以<-品 当∥时，则=了可得x=3,不合题意，故D正确.故选：BCD. 1,解：对于·=1+，因为E是BG的中点，所以i=(1+)=号(+”” 可得=+”+)=+号+“故4项正确：对于8，”1=”+= 1 =+号，所以1=21-，可得1、1、是共面向量，因为Bt平面CE,所 → 以B/平面C6,故B项正确：对于C,以{、”、“1为正交基底，建立空间直角坐标系，可得”- (1,1,2),1=(2,0,-2),所以cos<，1>= 器品-总可行化与 ”1 AC所成角的余弦值等于60s<，1>号故C项错误： 对于D,设=(x,y,z)的法向量，由=（2,0,0)，=(1,1,2)， 第2页（共7页） 可20 ,取y=2,得=(0,2，-1)，而1=(0,0,2)所以点A到平面 =++2=0 4CE的距离二=器-誓放D项正确.故选：ABD. V0+4+1 12.(x+3)2+y+2)2=25 I3.解：以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， Z D A D C A B X 则A(1,0,0),4(1,0,1),C(0,1,1),C(0,1,0),B(1,1,0), 所以11=(-1,1,0)，1=(-1,0,1)，=(0,1,0)，=(-1,1,0)， 设平面ABC的法向量为=(，，)， 则：1=0，取=1，则y=1,=1,所以=a,1,D为平面ABC的一个法向量， . 1=0 所以点4到平面48G,的距离为=奇=号又 .=0,所以°1， 又ACt平面A1BC,所以AC∥平面A1BC1, 所以点A到平面ABC的距离等于直线AC到平面A1BC的距离为号故答案为：号 第3页（共7页） 14. 【解析】由x2+y2+2x-6y+1=0可 得标准方程为(x+1)2+(y3)2= 9,即圆心为(-1,3)， 3a3b16 因为该圆关于直线ax-by+3=0对 称，则直线经过圆心(-13)，即 0-36+3=0,整理得56=1川o0,6小 即a6时，等号成立， 后 13 16 所以-+二的最小值是，故选A a h 5.(1)因为B(-2,0,C(-3,-3),所以BC边的中点D的坐标为(-号，-) 所以中发台条本为三。专前以中线0的直线方指：y-0-,即-50 -0 3 -0 2 (2)设VABC的外接圆O的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 因为点A,B,C三点在圆上， [F=0 D=2 所以{4-2D+F=0 ，解得： E=4,所以外接圆0的方程为x2+y2+2x+4y=0,即 9+9-3D-3E+F=0 F=0 (x+1)2+(y+2)2=5 16.解：(1) 1三 .1 2 1=1十+ ++=+ (2)1P=(+)2=2+.+2=1+1×2×c0s60+2×4=3,故11=V3. 1i2=+-2=2+12+2+2.-2.-2. =1+14+0-2X1-2×1=2,故111=2.”.1=(+号)C+-)=1+0-1+×1+× 1-2×4=-1, 所以异面直线DM与4C所成角的余弦值为l=会 -1 第4页（共7页） 17.【详解】(1)取BC中点F,连接AF,EF,如图： p 因为△BAC与△ADC均为等腰直角三角形，且∠BAC=90°，∠ADC=90°. 所以四边形ABCD为直角梯形，且BC=2AD,AD⊥CD,AD=CD. 所以四边形AFCD为正方形. 所以AFI/CD,CDC平面PDC,AF4平面PDC,所以AF/I平面PDC; 又因为E为PB中点，所以EF/IPC,PCc平面PDC,EF￠平面PDC,所以EFI/平面PDC, 且AF,EFc平面AEF,AF∩EF=F,所以平面AEF/平面PDC. 又AEc平面AEF,所以AE//平面PDC. (2)因为PA⊥平面ABCD,四边形AFCD为正方形，故可以A为原点，建立空间直角坐标系，如图： ZA D B 因为PA=AC=2, 所以A0,00),B2,-2,0),C2,2,0）,D(0,2,0),P(0,0,2). 所以AC=(V2,2,0),DC=(V2,0,0,Dp=(0,-2,2）,AP=(0,0,2. 设平面PDC的法向量为i=(x,y,z), [n⊥DC元.DC=√2x=0 则 n1Da-DP=-V2+2z=0'可取i-(0,2,. 因为AC⊥AB,AC⊥AP,所以平面PAB的一个法向量为：AC=（V2,V2,0) n.AC (i)设平面PAB与平面PDC夹角为0，则cos8= 25 Ac V3×23 (ii)点A到平面PDC的距离为 AP.m2_25 第5页（共7页） 18.解：(1)若1⊥2，则（m+2)m-m=0,解得m=0或m=-1. (2)若点P（1,m)在直线2上，则m×1+m-4=0,即m=2,所以P(1,2), 当直线I经过原点时，直线的方程为y=2x,即2x-y=0:当直线1不经过原点时，设直线1的方程为---=1， 代入点P(1,2),有-2=1，解得a=1,所以直线1的方程为1-=1，即x-+1=0,综上，直 线1的方程为2x-y=0或x-y叶1=0. (3)将直线1：(m+2)x-my-8=0整理得m(x-y)+2x-8=0, 令2-君0。利二年所以直线4恒过定点4,4，即44,4以 因为AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y-14=0,所以直线AB的斜率为2， 所以直线AB的方程为y-4=2(x-4),即y=2x-4,又中线BE所在直线的方程为2x+y-14=0, 联2子二4=0解料二即8学5，设C 代入高线CD所在直线的方程x+2y-14=0,有m+2m-14=0,由4(4,4)，知4C的中点E的坐标为（告， 共)，代入中线8E所在直线的方程2xy-14=0,有2其+号-14=0，即m+2=8, 联立解得m=6,1=4,即C(6:4,所以直线8C的方程为y:4=若(~6，即2+3y:24-0. 19.(1)证明：在菱形ABCD中，E,F分别为AB,AD的中点， 所以DE⊥CD,因为平面ADE⊥平面BCDE,平面ADE∩平面BCDE=DE, 所以CD⊥平面ADE,又CDc平面ACD,所以平面ADE⊥平面ACD: (2)解：由(1)可知，EA,EB,ED两两垂直，所以，以E为坐标原点，射线EA,EB,ED分别为坐 标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(0,0,0,A(0,0,1D,B(1,0,0,C(2,V3,0)D(0,3,0,F(0,, 所以=(1，V3,0),设=t=(t,V36,0)(0s1),所以G(+1,V36,0), 平面BCDE的一个法向量为=(O,O,1),设直线FG与平面BCDE所成的角为0， 第6页（共7页） 义”=(41,8-当-，则n0=十=2司因为0e,所以1=47-+2取得最 小值，此时sn0取得最大值又因为y=sn0在0，止单调递增，所以=时，0取得最大值，此时1= |=子即BG的长度为 7 A F y D >C G B 第7页（共7页）高二年级期中考试拉练试题（一） 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.直线+Y+=的倾斜角a=() A.- B.- C,- D. 2.直线3x+2y-1=0的一个方向向量是() A.(2,-3) B.(2,3) C.(-3,2) D.(3,2) 3.圆C:x2+y2-4x+4y+4=0的圆心坐标与半径分别为() A.(2,-2),4 B.(-2,2),4 C.(-2,2),2 D.(2,-2),2 4.已知直线x+m+2m-1=0和直线mx+y+1=0平行，则实数m的值为() A.0 B.-1 C.1 D.-1或1 5.圆x2+y2=9上任意一点P到直线x+y-4V2=0的距离的最大值为() A.5 B.6 C.7 D.8 6.如图所示，在平行六面体ABCD-AB,CD中，点E为上底面对角线AC的中点，若 BE=AA+xAB+yAD,则() 2 1 1 2 B.x-7.=- 2 c.x=-11 2少、 11 2 D.x=2y=2 2 7.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，AB=1,AA,=2,E为线段AB,的中点，则点B到直线DE的 D C 距离为() A.3 B.5 C.V66 77 D 3 5 6 8如图，在四棱柱ABCD-ABC,D中，底面ABCD为正方形，侧棱 D A4⊥底面ABCD,AB=3,AA=6,P是侧面BCCB,内的动点，且AP⊥BD1, 记AP与平面BCC,B,所成的角为O,则tan0的最大值为() A.5 B.V5 C.2 D.25 D 3 9 试卷第1页，共1页 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分） 9.下列说法正确的是（) A.已知直线+y-a=0与直线3x-ay+3=0平行，则它们之间的距离是V厂 B.“a=-1”是“直线a2x-y叶1=0与直线x-y-2=0互相垂直”的充要条件 C.当点P（3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时，m的值为-1 D.已知直线1过定点P(1,0)且与以A(2,-3),B(-3,-2)为端点的线段有交点，则直线1的斜 率k的取值范围是(-o,-]U[-,+o) 10.下列说法正确的是（) A.若直线1的方向向量为=(，，)，平面的法向量为=(-，，-)，则1∥ B.对空间任意一点0和不共线三点A,B,C,若=-+-+-，则P4,B,C四点共面 C.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D.已知=(，，)，=(，，)，若与的夹角为钝角，则<-一 11.已知直三梭柱ABC-A1B1C中，AB=AC=AA1=2,AB⊥AC,点E为B1C1的中点，则下列说法正 确的是（) B A.=- + E B.AB1∥平面A1CE C : C.异面直线AE与A1C所成的角的余弦值为二 A …B D.点A到平面ACE的距离为C 三.填空题（共3小题） 12.已知圆心为C的圆经过A(1,1),B(2,-2)两点，且圆心c在直线I:x-y+1=0上，求此圆的标准方程 13.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB1CD1中，直线AC到平面ABC1的距离等 于 B D: 14.圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ar-by+3=0(a>0,b>0)对称，则1+3的最小值是 a b 第2页（共4页) 四.解答题（共5小题) 15.(13分)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,0),B(-2,0),C(-3,-3). (1)求BC边上的中线AD所在直线的方程； (2)求AABC的外接圆C的标准方程. 16.（15分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠AMB=∠ 44D=60°，4M=2,=,=,=,M为cG中点. →→ D C (1)用空间的一个基底，，表示，： B (2)求！bㄧ，异面直线DM与A1C所成角的余弦值： D 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△BAC与△ADC均为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ADC=90°. (1)若E为PB的中点，求证：AE/平面PDC; P (2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC=2. (i)求平面PAB与平面PDC夹角的余弦值： (ii)求点A到平面PDC的距离. 第3页（共4页） 18.(17分)已知直线1：(m+2)x-my-8=0与直线2：m+y-4=0,mER. (1)若1L2,求m的值： (2)若点P(1,m)在直线2上，直线1过点P,且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线1的方程. (3)△ABC中，A为直线1过的定点，AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y-14=0,AC边上的中 线BE所在直线的方程为2x+y-14=0,求直线BC的方程. 19.(17分)如图，边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E,F分别为AB,AD的中点，沿DE将 △ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE. （1)证明：平面ADE⊥平面ACD; (2)在棱BC上是否存在一点G,使得直线FG与平面BCDE所成的角最大？若存在，求BG的长度， 若不存在，说明理由。 A D B 第4页（共4页）高二年级期中考试拉练（一） 数学试题 答题纸 2025.11 一选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二.多选题 三填空题 12、 9 10 11 13、 14、 四解答题 15.（13分) 毁 黛 靠 第1页共4页 16.（15分) D B M D… A B 17.(15分) E D B 18.（17分) 第3页共4页 19.（17分) D F F G A E B 第4页共4页