精品解析：新疆乌鲁木齐市第四十一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025－2026学年第一学期高二数学期中考试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前考生务必用黑色字迹签字笔将自己的姓名、考号写在试卷和答题卡相应位置上． 2.答选择题时，用2B铅笔将答题卡对应的题目涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，非选择题部分用黑色字迹签字笔写在答题卡相应区域上，写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的． 1. 已知为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到，再根据向量相等得到方程组，解得即可. 【详解】因为，所以，所以，即， 所以，解得． 故选：B． 2. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两条互相垂直的直线的斜率相乘等于，先求出斜率，再根据点斜式写出直线方程即可. 【详解】因为直线的斜率为，所以与其垂直的直线的斜率， 又因为直线过点，所以直线方程为，即. 故选：A 3. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆心坐标代入直线的方程，可求得实数的值. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 则直线经过圆心，则，解得. 故选：B. 4. 已知空间问量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，只需限制：数量积为负数且向量不能反向共线，即可解题. 【详解】由题意可得，且不能反向共线， 即解得或. 故选：A． 5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行求出，利用两平行线间的距离公式求出这两条直线之间的距离. 【详解】根据题意，直线与直线平行，则有， 则两直线的方程分别为， 直线可化为，则它们之间的距离. 故选：C. 6. 在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于（　　） A. 26 B. 13 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】设平面的法向量，则，令，得， 所以这个四棱锥的高. 故选：D 7. 已知，，直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线过的定点，再得到，，进而结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由，得. 令，解得，则直线经过定点， 则，， 如图，设直线的斜率为，则或， 即或，解得或. 因当时，直线与线段也有交点， 所以的取值范围是，故A正确. 故选：A 8. 过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程和曲线方程，判断面积最大时的情况，进而列出直线满足的条件，列出方程，求出参数即可. 【详解】由，则，，即， 所以曲线，是以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，如图. 可知，因为， 则当面积取最大值时，，即， 半圆的圆心为，半径，此时， 所以圆心到直线的距离为. 设直线的斜率为，则直线的方程为，， 圆心到直线的距离， 解得，因为，所以. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l过点，，则（ ） A. 点在直线l上 B. 直线l的两点式方程为 C. 直线l的一个方向向量的坐标为 D. 直线l的截距式方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程，对. 故选：BD 10. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 的取值范围为 C. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D. 到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 11. 如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截该正方体所得的截面为正三角形 B. 平面平面 C. 直线与所成角为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】分别取，，的中点为，，，连接各中点，求出平面截该正方体所得的截面为正六边形判断A；利用面面平行的判定定理证明判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面夹角正弦，即可判断CD. 【详解】对于A，分别取，，的中点为，，，连接各中点，如下图所示： 因为，所以，同理 ，， 即可知在同一平面内， 所以平面截该正方体所得截面即为六边形，即A错误； 对于B，因为点分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为点分别为，的中点，所以， 又，所以，平面，平面， 所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面，即平面平面，故B正确； 对于C，建立以为原点空间直角坐标系，如图所示： 不妨取正方体的棱长为2， 则，，，，， 所以，， 所以直线ME与所成的角的余弦值为， 所以直线ME与所成的角为，故C正确； 对于D，由选项C可知，，， 设平面EFM的一个法向量为， 则，取，则，， 所以平面EFM的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为，故D错误． 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解. 【详解】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 13. 已知直线经过点，且方向向量为，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得. 【详解】由题意可得与同向的单位向量， 设，则， 点到直线的距离． 故答案为： 14. 已知，，动点P在直线上.则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】借助线段和的几何意义求解即可. 【详解】设关于直线对称对称点坐标为， 则，解得，即， ， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间三点，，，设，. （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）写出两个向量的坐标，然后通过向量垂直的坐标公式求解； （2）通过向量平行设出向量的坐标、再通过向量的模长求解. 【小问1详解】 由题意知， ， 所以， 又，所以， 解得. 【小问2详解】 因为，又， 设， 又，所以，解得， 当时，；当时，， 所以向量的坐标为或. 16. 已知直线经过、两点． （1）求直线的方程； （2）设直线，若，求实数的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程； （2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数的值. 【小问1详解】 直线经过、两点， ， 直线，即：． 【小问2详解】 由，直线，， 得，解得， 即实数的值为． 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证. （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解. （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 在四棱柱中，取中点，连接，， 由是的中点，得，且， 由是的中点，得，且， 则，且，四边形是平行四边形，， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 在四棱柱中，由平面，，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面与平面的法向量分别为，， 则，， 取，得，则， 所以平面与平面的夹角余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知平面，则直线到平面的距离等于点到平面的距离， 由（2）知平面的法向量，而， 点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 18. 已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作直线与圆相切，求直线的方程； （3）已知实数满足圆的方程，求的最小值. 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）借助待定系数法计算即可得； （2）分直线斜率不存在与直线斜率存在，结合切线性质进行讨论即可得； （3）等价于点到点的距离的平方，再利用圆的性质计算即可得. 【小问1详解】 设圆的圆心为，半径为， 则有，解得， 即圆的标准方程为； 【小问2详解】 由圆的标准方程为，即圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为， 故与圆相切，故符合要求； 当直线斜率存在时，设，即， 则有，化简得，即， 即，即； 综上所述：直线的方程为或； 【小问3详解】 由实数满足圆的方程，则点在圆上，有， 则等价于点到点的距离的平方， 则 ， 即的最小值为， 当且仅当、、三点共线且在线段上. 19. 已知圆C经过，两点． （1）如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标． （2）已知点A关于直线的对称点也在圆C上，且过点B的直线l与两坐标轴分别交于不同两点M和N，当圆C的面积最小时，试求的最小值. 【答案】（1）证明见解析，定点为 （2） 【解析】 【分析】（1）设点是圆上任意一点，由AB是圆C的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论； （2）根据题意可得点C在直线上，要使圆C的面积最小，则圆C是以为直径的圆，从而可求出圆的方程，进而可求得点的坐标，设出直线的方程，分别求出的坐标，再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解． 【小问1详解】 设点是圆上任意一点， 因为AB是圆C的直径，所以， 即， 所以圆的方程为：， 则，时等式恒成立，故定点为， 所以无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，定点坐标为； 【小问2详解】 因点A关于直线的对称点也在圆C上， 所以点C在直线上， 又圆C的面积最小，所以圆C是以直径的圆， 设过点A与直线垂直的直线方程为， 由方程组得，则 所以圆C的方程为， 当时，或，又，所以，即， 由题意知直线l斜率存在且不为零，设直线l的方程为， 当时，当，时， 所以， （当且仅当，即时取等号） 则当时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期高二数学期中考试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前考生务必用黑色字迹签字笔将自己的姓名、考号写在试卷和答题卡相应位置上． 2.答选择题时，用2B铅笔将答题卡对应的题目涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，非选择题部分用黑色字迹签字笔写在答题卡相应区域上，写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的． 1. 已知为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间问量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 在四棱锥中，，，，则这个四棱锥高等于（　　） A 26 B. 13 C. 2 D. 1 7. 已知，，直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l过点，，则（ ） A. 点在直线l上 B. 直线l的两点式方程为 C. 直线l的一个方向向量的坐标为 D. 直线l截距式方程为 10. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 的取值范围为 C. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D. 到两个圆的公共弦所在直线的距离为 11. 如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截该正方体所得的截面为正三角形 B. 平面平面 C. 直线与所成角为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为__________． 13. 已知直线经过点，且方向向量为，则点到直线的距离为__________. 14. 已知，，动点P在直线上.则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间三点，，，设，. （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标. 16. 已知直线经过、两点． （1）求直线的方程； （2）设直线，若，求实数的值． 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 18. 已知圆过点和点，且圆心直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作直线与圆相切，求直线的方程； （3）已知实数满足圆的方程，求的最小值. 19. 已知圆C经过，两点． （1）如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标． （2）已知点A关于直线对称点也在圆C上，且过点B的直线l与两坐标轴分别交于不同两点M和N，当圆C的面积最小时，试求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $