精品解析：云南省昆明市五华区云南师范大学实验中学2025-2026学年八年级上学期11月期中考试数学试卷

（2025-2026上）八年级期中试卷数学 （全卷满分：100分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得只有“中”字是轴对称图形，符合题意， 故选：C． 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘除、幂的乘方以及合并同类项．根据运算法则逐项分析即可，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 【详解】A．∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A错误； B．∵合并同类项，系数相加，指数不变， ∴，故B错误； C．∵积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， ∴，故C错误； D．∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故D正确． 故选D． 3. 同学们学习完“全等三角形”的知识后，对以下题目进行了讨论，下面是四位同学的答案，其中错误的是（ ） ，_____（添加一个条件，使结论成立）， 可以得到． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：由，则： A、添加的条件是，根据可证明，故选项A不符合题意； B、添加的条件是，得，根据可证明，故选项B不符合题意； C、添加的条件是，根据不能证明，故选项C符合题意； D、添加的条件是，根据可证明，故选项D不符合题意． 故选：C． 4. 如图， 与相交于点．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键． 由平行线的性质可得，根据三角形外角的性质可得，再结合即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 5. 如图，在中，，，，是高，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要运用直角三角形的性质，即在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，通过角度关系得到边的关系，进而求解线段长度． 【详解】解：∵，是高，， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 6. 如图，中边的垂直平分线分别交于点D、E，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解答此题的关键．根据垂直平分线的性质可得，再根据已知条件即可求出的周长． 【详解】解：垂直平分线段， ， 的周长为， ， ， 又， ， ，即的周长是． 故选：B． 7. 有两根长度分别为和的小棒，要摆一个等腰三角形，则第三根小棒的长度为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三边数量关系，掌握以上知识，分类讨论是关键． 根据等腰三角形的定义及三角形三边关系，确定第三根小棒的可能长度． 【详解】解：第三根小棒需与已有的两根（和）中的一根相等，形成两条相等的边， ∴若第三根为：三边为，此时，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，无法构成三角形，不符合题意，舍去； 若第三根为：三边为，此时，均满足三角形三边关系，可构成等腰三角形符合题意； ∴第三根小棒的长度必须为， 故选：C． 8. 已知（均为正整数），则的值为（ ） A. 3 B. 9 C. 27 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了逆用幂的乘方法则、同底数幂的除法法则等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将27和9分别表示为3的幂，利用同底数幂的运算法则简化表达式，再代入已知条件求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， 故选C． 9. 已知，则的值为（ ） A. 19 B. 22 C. 25 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确对完全平方公式进行变形是解题的关键． 先利用完全平方公式的变形，再将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选A． 10. 如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是4．则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心、三角形中线的性质等知识点，掌握三角形的重心是三角形中线的交点是解题的关键． 根据三角形的重心可得和都是的中线，再根据中线的性质求解即可． 【详解】解：∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E， ∴和都是的中线， ∵的面积是4， ∴． 故选：B． 11. 如图，在中，．则x的值为（ ）     A. 50 B. 120 C. 130 D. 140 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是三角形内角和定理、几何图形中角度的计算，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理得出，，再结合，即可求出的度数，从而求解． 【详解】解：根据三角形内角和定理可得： ，， 即， 又，， ， ． 故选：． 12. 如图，在中，，点C的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：分别过A和B作轴于D，轴于E，由点C的坐标为，点B的坐标为可得，，，则；根据角之间的数量关系可得，再根据“角角边”得到，再根据全等三角形的性质得到、，即，再结合图确定A点的坐标即可． 【详解】解：如图：分别过A和B作轴于D，轴于E， ∵点C的坐标为，点B的坐标为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴、， ∴， ∴A点的坐标是． 故选A． 13. 已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理求出，即可求出答案． 【详解】解：设， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 14. 如图，ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为 A. 4 B. C. 15 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接AO，根据S△ABC=S△ABO+S△AOC，结合AB=AC=5，利用三角形面积公式进行求解即可. 【详解】连接AO，如图， ∵AB=AC=5， ∴S△ABC=S△ABO+S△AOC=AB•OE+AC•OF=OE+OF=12， ∴OE+OF=， 故选 B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，正确添加辅助线将三角形分成两个小三角形并正确地表示面积是解题的关键. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 15. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变换，掌握点关于坐标轴对称的规律是解题的关键． 根据点关于轴对称的规律：原坐标为，对称后的坐标为，据此回答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 16. 规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数乘方，理解新运算是解题的关键． 根据新运算的定义，需要找到指数，使得即可解答． 【详解】解：∵， ∴根据新定义运算可得：． 故答案为：3． 17. 把两个同样大小的三角尺与像如图所示那样放置，M是与的交点，发现只要测得的长度，就可以得到点M到的距离，若，则点M到的距离是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，先判断，然后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过M作于H， 根据题意知：，， ∴， ∴， 又，，， ∴， 即点M到的距离是， 故答案为：5． 18. 在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了角平线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ = =， 故答案为：12． 三、解答题（本大题共8题，共62分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，熟知整式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方和单项式乘以单项式，再合并同类项去括号，最后计算单项式除以单项式即可； （2）先计算多项式除以单项式，完全平方公式去括号，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 21. 如图，，，求证： 【答案】 证明：， ， ． 在和中， ， ． ． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 先根据得，进而依据“”判定和全等即可得出结论． 【详解】略 22. 作图题： （1）如图1，的三个顶点的坐标分别为．请作出关于x轴对称的，并写出点坐标：______； （2）如图2，已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点，使得为等边三角形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】（1）先作出点关于x轴对称的点，然后顺次连接可得，再根据坐标系写出点坐标； （2）先过A点作于H点，再以点A、H为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，接着作的平分线，交直线l于B点，然后截取，则满足条件 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由作法可知，， 是等边三角形， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【点睛】本题主要考查坐标与图形变换，轴对称的性质，尺柜作图，等边三角形的判定与性质，解题的关键是作出对应点的位置． 23. 如图，在中，，平分，且， （1）过作垂足为，求证： （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴； （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握含30度的直角三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质直接得到结论； （2）先求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 24. 如图，是的角平分线，分别是和的高，连接交于点O． （1）求证：垂直平分； （2）若是等边三角形，求证：． 【答案】（1） 证明：是的角平分线，，， ，，， ， ． ∵， ∴ ∴，， 垂直平分； （2） 证明：是等边三角形， ． 平分，， ，， 又， ． ，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义和性质定理，线段垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．解题的关键是能够综合运用上述知识． （1）由角平分线的性质定理可证，即得出，从而可证，即得出，，即可得出结论； （2）由题意可求出，再根据角平分线的定义得出，，最后结合含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 综合实践． 活动主题：借助图形直观，感受数与形之间的关系 初步应用 （1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则________（用图中字母表示）． ②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式：__________（用图中字母表示）． 问题探究过程 提出问题 （2）仿照图2，构造图形并计算． 迁移应用 （3）若正数和正数，满足，请通过构造图形比较与的大小（画出图形，并说明理由）． 【答案】（1）①； ②； （2）如图：已知大正方形的边长为， ； （3）如图， 结论：， 理由，由图2，大正方形的边长为，则面积为， ∴. 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）①用两种方法表示出大长方形的面积求解即可；②用两种方法表示出正方形的面积求解即可； （2）用两种方法表示出正方形的面积求解即可； （3）先构造图形，然后根据图形进行证明即可． 【详解】解：（1）①大长方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴； ②大正方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴； （2）大正方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴； （3）略 26. 【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长______（写一个即可）； 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于E，交于F，．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】： （3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则______． 【答案】（1）3或5； （2），理由如下： 延长到M，使，连接，如图2所示： 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质得出，证出； （3）由“SAS”可证，可得，，由“”可证，可得，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：（1）延长至点E，使，连接， 则， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴ 即； 边的长度为奇数， 或5； （2）略 （3）延长到R，使得，连接、 点Q是的中点， ， 又，， ∴， ，， ∴， ∴， ，，， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 即， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ （2025-2026上）八年级期中试卷数学 （全卷满分：100分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 同学们学习完“全等三角形”的知识后，对以下题目进行了讨论，下面是四位同学的答案，其中错误的是（ ） ，_____（添加一个条件，使结论成立）， 可以得到． A. B. C. D. 4. 如图， 与相交于点．则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，是高，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，中边的垂直平分线分别交于点D、E，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 有两根长度分别为和的小棒，要摆一个等腰三角形，则第三根小棒的长度为（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知（均为正整数），则的值为（ ） A. 3 B. 9 C. 27 D. 81 9. 已知，则的值为（ ） A. 19 B. 22 C. 25 D. 28 10. 如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是4．则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 11. 如图，在中，．则x的值为（ ）     A. 50 B. 120 C. 130 D. 140 12. 如图，在中，，点C的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 13. 已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为 A. 4 B. C. 15 D. 8 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 15. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为____________． 16. 规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．则_____． 17. 把两个同样大小的三角尺与像如图所示那样放置，M是与的交点，发现只要测得的长度，就可以得到点M到的距离，若，则点M到的距离是_____． 18. 在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求___________． 三、解答题（本大题共8题，共62分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，，，求证： 22. 作图题： （1）如图1，的三个顶点的坐标分别为．请作出关于x轴对称的，并写出点坐标：______； （2）如图2，已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点，使得为等边三角形（不写作法，保留作图痕迹）． 23. 如图，在中，，平分，且， （1）过作垂足为，求证： （2）若，求的长． 24. 如图，是的角平分线，分别是和的高，连接交于点O． （1）求证：垂直平分； （2）若是等边三角形，求证：． 25. 综合实践． 活动主题：借助图形直观，感受数与形之间的关系 初步应用 （1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则________（用图中字母表示）． ②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式：__________（用图中字母表示）． 问题探究过程 提出问题 （2）仿照图2，构造图形并计算． 迁移应用 （3）若正数和正数，满足，请通过构造图形比较与的大小（画出图形，并说明理由）． 26. 【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长______（写一个即可）； 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于E，交于F，．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】： （3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $