精品解析：江苏省扬州市第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

扬州市第一中学2025-2026学年度第一学期 高二数学期中考试试卷 命题人：李腾飞 审核人：曹阳 （满分：150分 考试时间：120分钟） 2025.11 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 而，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线标准方程确定参数后，可得焦点坐标. 【详解】因为抛物线标准方程为，所以，，焦点坐标为， 故选：B. 3. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆方程结构得到：，求解即可； 【详解】由题意可得：， 解得：， 故选：B 4. 已知两点，则线段AB的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出线段的中点坐标及直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】两点，则线段的中点，直线的斜率为， 所以线段AB的垂直平分线方程为，即. 故选：D 5. 已知直线和圆，若直线与圆相切，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列方程可求出的值. 【详解】圆，则圆心为，半径为， 因为直线即和圆相切， 所以，平方得，解得或. 故选：C 6. 已知为双曲线的左右焦点，点的坐标为．若为等边三角形，则双曲线的离心率是（　　） A. B. 2 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，即，再根据求解即可． 【详解】为等边三角形，为的中点， ，则， ， ． 故选：C． 7. 若圆上总存在两点到点的距离等于3，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，由圆与圆的位置关系建立不等式求解即可． 【详解】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：或， 所以实数的取值范围是． 故选：A． 8. 已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的性质可知，求点C关于l的对称点为，根据对称性转化，并结合几何性质运算求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 设点C关于l的对称点为， 则，解得，即， 则， 所以的最小值为． 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：与：，则下列选项正确的是（    ） A. 当时， B. 若，则，间的距离为 C. 当时， D. 原点到的距离的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线一般式中平行和垂直满足的系数关系即可求解AC,结合距离公式即可求解BD. 【详解】对于A，当时， ，两直线重合，错误； 对于B，若 ，则，解得或.当时，重合， 当时， ，∴的方程为，的方程为，间的距离为，正确； 对于C，当时，则，解得或，故C错误， 对于D，由，可得恒过点，所以原点到的距离的最大值为，正确； 故选：BD. 10. 已知圆，则（ ）． A. 圆的面积是 B. 圆关于直线对称 C. 点在圆外 D. 直线与圆相离 【答案】BCD 【解析】 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再利用圆的性质、面积公式、两点间距离公式及点到直线的距离公式等知识点逐一判断选项． 【详解】， ，即圆是圆心为，半径是的圆． 圆的面积为：，故A错误； 圆心在直线上，即， 圆关于直线对称，故B正确； 设点与圆心距离为，则， 点在圆外，故C正确； 设圆心到直线的距离为，则， 直线与圆相离，故D正确． 故选：． 11. 已知双曲线的左､右顶点分别为，左､右焦点分别为，直线与双曲线相交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线为 C. 直线的斜率之积为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出、、的值，可判断AB选项；根据斜率公式及点在双曲线上即可判断C选项；根据双曲线的定义及余弦定理判断D选项 【详解】在双曲线中，，，. 对于A选项，双曲线的离心率为，A正确； 对于B选项，双曲线的渐近线方程为，B错误； 对于C选项，设，，， 则， 即直线的斜率之积为，C正确； 对于D选项：不妨点P在第一象限，联立，消y得，解得，所以，则，， 所以，在中， 由余弦定理得，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若双曲线的虚轴长为6，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题可先根据双曲线虚轴长求出的值，再结合双曲线中的关系求出的值，最后根据离心率公式计算出离心率. 【详解】因为双曲线的虚轴长为6， 所以，， 因为，. 所以的离心率. 故答案为：. 13. 在直角坐标平面内有一直角，，顶点的坐标为，所在直线方程为，则顶点的坐标为 _______. 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直关系可设所在直线方程为，代入点可得，联立直线方程即可得顶点的坐标. 【详解】因，即，且所在直线方程为， 可设所在直线方程为， 代入点可得，解得， 即所在直线方程为， 联立方程组，解得， 所以顶点的坐标为. 故答案为：. 14. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出曲线，考查直线与圆相切且切点在第四象限时的值、直线过点、时的值，以及直线过点时的值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】由，可得，即， 所以，曲线表示圆的下半圆， 作出曲线与直线如下图所示， 当直线与圆相切且切点在第四象限时， 且由几何关系可得，解得，此时，直线与曲线有1个公共点； 当直线过点时，，此时，直线与曲线有2个公共点； 当直线过点时，，此时，直线与曲线有1个公共点； 由上图可知，曲线与直线恰有个公共点时，的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两直线，.求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程. 【答案】 【解析】 【分析】先求得交点坐标，再设直线方程为，代入交点坐标，即求解. 【详解】联立，得，即两条直线的交点坐标为， 设与直线平行的直线方程为， 将代入得，即， 所以所求直线方程为. 16. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求过原点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【小问1详解】 线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 17. （1）已知和为椭圆上两点．求C的离心率； （2）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，求双曲线C的方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上，代入椭圆方程，求出即可求解； （2）由渐近线斜率得到，再结合在双曲线上，列出等式求解即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以． （2）由一条渐近线的斜率为，可得， 可得：，又在双曲线上， 所以， 解得， 所以双曲线方程为：． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义计算即可得； （2）联立直线与抛物线方程，计算可得两交点横坐标关系，再利用两点间距离公式及点到直线距离公式计算出三角形的底与高即可得解. 【小问1详解】 依题意得，抛物线C的焦点F坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，，解得， 所以抛物线C的方程为； 【小问2详解】 设，， 则 ， 由，得， 则，， 所以， 又因为原点O到直线的距离， 所以的面积. 19. 已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. （1）求圆的标准方程； （2）是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； （3）若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出圆的半径，再根据圆的标准方程直接写出答案； （2）设，先求出两点的坐标，再求出直线和的方程，得到的坐标，对进行变形求解即可； （3）设直线方程为，，，联立根据韦达定理得出，，再由建立方程，得到的关系，证明直线过定点即可. 【小问1详解】 解：由已知得圆的半径. 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 证明：由（1）可知，， 设，则， 由题意知，直线的方程为. 令，得，所以. 由，得直线的方程为. 令，得，所以. 所以 ， 所以定值. 【小问3详解】 证明：设直线的方程为，，，已知， 联立得， ，即. 所以，. 所以. 所以. 所以. 整理得，所以或. 当时，直线的方程为，恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，恒过点，符合题意. 所以直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市第一中学2025-2026学年度第一学期 高二数学期中考试试卷 命题人：李腾飞 审核人：曹阳 （满分：150分 考试时间：120分钟） 2025.11 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知两点，则线段AB垂直平分线方程为（ ） A. B. C D. 5. 已知直线和圆，若直线与圆相切，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知为双曲线的左右焦点，点的坐标为．若为等边三角形，则双曲线的离心率是（　　） A B. 2 C. 2 D. 3 7. 若圆上总存在两点到点的距离等于3，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：与：，则下列选项正确是（    ） A. 当时， B. 若，则，间的距离为 C. 当时， D. 原点到的距离的最大值为 10. 已知圆，则（ ）． A. 圆的面积是 B. 圆关于直线对称 C. 点在圆外 D. 直线与圆相离 11. 已知双曲线的左､右顶点分别为，左､右焦点分别为，直线与双曲线相交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线为 C. 直线的斜率之积为 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若双曲线的虚轴长为6，则的离心率为______. 13. 在直角坐标平面内有一直角，，顶点的坐标为，所在直线方程为，则顶点的坐标为 _______. 14. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两直线，.求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程. 16. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求过原点且与圆相切的直线方程. 17. （1）已知和为椭圆上两点．求C的离心率； （2）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，求双曲线C的方程． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 19. 已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. （1）求圆标准方程； （2）是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； （3）若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $