第三章 第八节 极值点偏移问题（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第八节　极值点偏移问题 1.已知函数f（x）＝x2－2ax＋ln x（a为常数）. （1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2（x1＜x2），求f（x2）的取值范围. 2.已知函数f（x）＝2ln x－x2－ax（a∈R）有两个不同的零点x1，x2，且满足0＜x1＜x2，求证：x1x2＞. 3.已知函数f（x）＝ln x＋－1. （1）若存在实数x，使f（x）＜－1成立，求实数m的取值范围； （2）若f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1＋x2＞2. 4.已知函数f（x）＝x2＋2cos x，f'（x）为函数f（x）的导函数. （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）已知函数g（x）＝f'（x）－5x＋5aln x，存在x1，x2且x1≠x2，使得g（x1）＝g（x2），证明：x1＋x2＞2a. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 第八节极值点偏移问题 1.解：(1)当a=1时，f(x)=x2-2x十nx,f(x)=x-2+支， 所以f(1)=-号，(1)=0， 故曲线y=f()在点(1，f(1))处的切线方程为y=-昌. (2)f(x)的定义域为(0，十o),f(x)=x-2a十是=-2，则，2是方程2-2a 十1=0的两个不相等的正实根， 1△=4a2-4>0, X1+2=2a>0,即0>1，又0<<，故>1，且2a=号+l, (x1x2=1>0, f()=x号-2a2十ln=x经(x+1)十ln=-x3-1+ln=-经-1+nx, 令=经1，则8(0=--1+ht(>1),8()=-吉+京=芸<0，所以g) 在(1，+∞)上单调递减，所以g(t)<8(1)=-,即g()的值域为(-∞，-昌)， 所以f()的取值范围是(-∞，一号) 2.证明：法一（换元法）设函数∫(x)与x轴的两个交点分别为A(x1,0),B(2,0), |2lnx1-x经=ax1, ① 由2lmx2-x好=ax2,② 2nx1+ln8-(x子+x号)=ax1+x 得2mX1-lnx-(x经-x号)=ax1-x 两式相除消去a得：2(ln十n)一(x+ =2mxrh-s好x到 Inx1-Inx2 X1X3 (5十)，化简得1n()十2=9 (2十)· 因为A(D=n什i(>0)是单调递增的，所以>昌。A(x)>X()=n号+， 而n喝+2<定+是=2，故只需证明n密>2 61)3 设1=经>1，构造函数g(0=h2(>1,由于g)=:+>0,所以8 t+1 (D在(1，+o)上单调递增，所以g()>g1)=0,所以n1>2(t>1）,即 +1 h>2故>是 法二（对数均值不等式法）设函数f(x)与x轴的两个交点分别为A(1,0)，,B(,0), （2nX1-X=ax1, 由2nx2-x号=ax2, 得（2n1-X)=1（2ln32-x), 即2(2n1一lnx2)=（一x2）· 独家授权侵权必究· 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (2-)In+(In x1-In x)=(-x2) 所以有 (x2-1 )In x+(In x1-Inx)=(1-) 两式相加得（十）=h《)十 由对数平均不等式n<学及h《+1)≤，知h《）+>2>h+是，因 为入()=ln十t(1>0)是增函数，所以x2> 3.解：(1)由f(x)<-l,得nx+罗<0， 即m<-xnx在(0，十∞)上有解， 令o(x)=一xlnx,只需m<o(x)mx p'(x)=-1一lnx,当0<x<时，p'(x)>0,0(x)单调递增， 当x>言时，o'(x)<0,0(x)单调递减， p(x)≤0（吉）=吉，m<吉，故m的取值范围为(-∞，是). (2)证明：f(x)有两个不同的零点x1,2, ∴m=x(1一nx)有两个不同的实根，x2, 令g(x)=x(1-nx),则g(1)=g(2)=m, 又g'(x)=-lnx, 当x∈(0,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 当x∈(1，+∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 又g(1)=1>0,g(e)=0,.0<m<1, 不妨设0<1<1<2<e, 令h(x)=g(x)-g(2-x)(0<x<1), .h'(x)=g'(x)+g'(2-x)=-ln(-x2+2x)>0, ∴.h(x)在(0,1)上单调递增，h(x)<h(1)=0, g(x)<g(2-x),即g()<g(2-x1), 又g()=g()，8(2)<g(2-), 32>1,2-8>1,3>2-灯， 61十2>2. 4.解：(1)f(x)的定义域为R,f(x)=2x-2sinx, 令h(x)=2x-2sinx,则h'(x)=2-2cosx≥0， 所以函数h(x)在R上是增函数， 又因为h(0)=0, 所以h(x)<0曰x<0,h(x)>0→x>0, 即f(x)<0→x<0,f(x)>0曰x>0, ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增. (2)证明：由(1)得g(x)=2x-2sinx-5x+5alnx=-2sinx-3x+5alnx,x>0, 又g(:)=g(x32)，即-2sin-31+5aln=-2sin2-3x2+5aln2, 所以5a(ln2-ln1)=2(sinx2-sin)+3(x-)· 不妨设>x>0,所以n>n 由(1)得当x>0时，函数f(x)单调递增， 所以2x1-2sin61<22-2sin2, 故2(sin2-sin)<2(x2-), 所以5a(ln2-ln1)=2(sinx2-sinG)+3(x3-1)<5(x2-), X2-X1 所以a<nxgn81' 2) 故2a<nx:Inx1 2图红) 下证nxn8 <2十1. 即证2 <Inx2-Inx1=Ini, 设密=>1，h)=h2,>, 61)2 则N()=:+1>0,所以函数h()在区间(1，+o）上单调递增， 所以h()>h1-2x1=0, 1+1 故lnt>2t1) t+1, 2降1 即n器>1· 所以2 <Inx2-Inxi, 2图g) 即n8n8 <十， 所以十2>2a,得证. ·独家授权侵权必究·