第七章 第一节 基本立体图形及表面积与体积（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第一节　基本立体图形及表面积与体积 1.下列说法正确的是（　　） A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，则原四边形中AO的长度为（　　） A.　　　　　　　　 B.2 C.2 D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.（2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（　　） A.2π B.3π C.6π D.9π 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.（2025·北京东城一模）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的黏土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20 cm，高为20 cm.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2 cm的黏土，然后，沿圆桶母线方向将黏土层分割成四等份（如图），等黏土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的黏土量（不计损耗）约为（参考数据：π≈3.14）（　　） A.0.8 m3 B.1.4 m3 C.1.8 m3 D.2.2 m3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（　　） A.24－3π B.24－π C.24＋π D.24＋5π 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6.〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷11题改编）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，P是BB1上一点，且BP＝2B1P，记三棱锥A1-B1C1P，四棱锥P-ACC1A1，三棱锥C-ABP的体积分别为V1，V2，V3，则（　　） A.V3＝2V1 B.V3＝V2 C.V2＝2（V1＋V3） D.2V3＝3V1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7.一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8.（2025·吕梁一模）已知圆台O1O2的高为3，中截面（过高的中点且垂直于轴的截面）的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2的两部分，则该圆台的母线长为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，CC1＝，动点M在棱CC1上，连接MA，MD1，则MD1＋MA的最小值为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a（a＞1），动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱CD，AD上，若EF＝1，A1F＝x，DP＝y，DQ＝z（x，y，z均大于零），则四面体PEFQ的体积（　　） A.与x，y，z都有关 B.与x有关，与y，z无关 C.与y有关，与x，z无关 D.与z有关，与x，y无关 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11.（2024·天津一模）在各棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，上、下底面的中心分别为D，H，三个侧面的中心分别为E，F，G，若在该三棱柱中挖去两个三棱锥D-EFG和H-EFG，则剩余部分的体积为（　　） A. B. C. D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12.一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面将该圆锥截成两个部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的截面面积为（　　） A.3π B.2π C.2π D.2π 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13.在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为（　　） A. B. C. D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14.〔多选〕如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列判断正确的是（　　） A.直三棱柱的侧面积是4＋2 B.直三棱柱的体积是 C.三棱锥E-AA1O的体积为定值 D.AE＋EC1的最小值为2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 15.（创新考法）〔多选〕（2024·甘肃二诊）如图所示，长方体ABCD-EFGH的表面积为6，AE＝1，则（　　） A.该长方体不可能为正方体 B.该长方体体积的最大值为1 C.若长方体下底面的一条边长为2，则三棱锥H-AFC的体积为 D.该长方体外接球表面积的最小值为3π 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 16.（创新知识交汇）（2025·晋城一模）若一个正n棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为{2，3}，则n的最小值为　　　　，该棱台各棱的长度之和的最小值为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章　立体几何与空间向量 第一节　基本立体图形及表面积与体积 1.B　虽然各侧面都是正方形，但底面可能是菱形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误. 2.B　过点A'作A'D'⊥O'B'，垂足为D'.因为A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，所以O'A'＝＝，所以原四边形中AO的长度为2O'A'＝2.故选B. 3.B　设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B. 4.B　由条件可得四片瓦的体积V＝π×122×20－π×102×20＝880π（cm3），所以500名学生，每人制作4片瓦共需黏土的体积为500×880π＝440 000π（cm3），又π≈3.14，所以共需黏土的体积约为1.381 6≈1.4 m3，故选B. 5.B　由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的个球后的剩余部分，则其表面积为6×22－3××π×22＋×4×π×22＝24－π. 6.AC　由题可知V1＝＝＝·B1P，V2＝＝－（V1＋V3），V3＝VC-ABP＝VP-ABC＝S△ABC·BP，根据三棱柱的性质易得S△ABC＝，又BP＝2B1P，所以V3＝2V1，A正确，D错误；因为＝·BB1＝3（S△ABC·B1P＋S△ABC·BP）＝3（V1＋V3），所以V2＝3（V1＋V3）－（V1＋V3）＝2（V1＋V3），B错误，C正确. 7.12　解析：一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则×6××22·h＝2，∴h＝1，棱锥的斜高为＝＝2，该六棱锥的侧面积为6××2×2＝12. 8.5　解析：设圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R，因为中截面的半径为3，所以根据梯形中位线性质可知：r＋R＝6.又中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2的两部分，所以根据圆台侧面积公式可知：＝＝，解得r＝1，所以R＝5.又圆台的高为3，所以圆台的母线长为＝＝5. 9.　解析：由题意，将平面DCC1D1展开到矩形ACC1A1所在平面，结合展开图可知当A，M，D1三点共线时，MD1＋MA取得最小值，最小值为展开图中D1A的长度.因为AC＝＝2，CD＝1，所以展开图中AD＝3.又因为DD1＝CC1＝，所以展开图中D1A＝＝. 10.D　由四面体PEFQ的一个面△PEF的面积不变，即S△PEF＝·EF·a＝a为定值，且△PEF在面A1B1CD内，所以点Q到△PEF的距离就是点Q到平面A1B1CD的距离.设点Q到平面A1B1CD的距离为d，由题意知d随z的变化而变化，又V四面体PEFQ＝S△PEF·d，所以V四面体PEFQ与d有关，即与z有关，与x，y无关. 11.A　如图所示，因为三个侧面的中心分别为E，F，G，所以三棱锥D-EFG和三棱锥H-EFG的底面EFG面积为S△ABC，高为正三棱柱的高的一半，故挖去的几何体的体积为2××××2×2sin 60°×1＝，三棱柱的体积为×2×2sin 60°×2＝2，故剩余几何体的体积为2－＝.故选A. 12.A　由题知，平面截圆锥后上半部分为一小圆锥，下半部分为一圆台，且圆台的上底面即小圆锥的底面，即该平面在原圆锥上的截面；圆台的下底面即原圆锥的底面.不妨设圆台上底面半径为r1，圆台下底面半径为r2，小圆锥母线长为l1，原圆锥母线长为l2，由轴截面为正三角形知，＝＝2，则小圆锥底面积为π，底面周长为2πr1，侧面积为l1·πr1＝2π，易知圆台侧面积可看作原圆锥侧面积减去小圆锥侧面积，则圆台侧面积为2π（－），下底面积为π，由于两部分表面积相等，则π＋2π＝π＋π＋2π（－）⇒＝，因为r2＝2，则r1＝，所以截面面积为3π，故选A. 13.B　如图，连接NC.以A为顶点，三棱锥A-PMN与三棱锥A-PNC的高相同，底面分别为△PMN和△PNC，分别以PM和PC为底边，则这两个三角形的高相同，S△PMN∶S△PNC＝PM∶PC＝1∶3，所以V三棱锥A-PMN∶V三棱锥A-PNC＝1∶3，即V三棱锥A-PMN＝V三棱锥A-PNC.同理，以C为顶点，三棱锥C-PAN与三棱锥C-PAB的高相同，底面分别为△PAN和△PAB，且S△PAN∶S△PAB＝PN∶PB＝2∶3，所以V三棱锥C-PAN∶V三棱锥C-PAB＝2∶3，即V三棱锥C-PAN＝V三棱锥C-PAB.所以V三棱锥A-PMN＝V三棱锥A-PNC＝×V三棱锥C-PAB＝V三棱锥C-PAB，即V三棱锥P-AMN＝V三棱锥P-ABC.故选B. 14.ACD　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋×2＝4＋2，故A正确；直三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝×1×1×2＝1，故B不正确； 如图1所示，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，所以三棱锥E-AA1O的高为定值，＝××2＝，所以＝××＝，故C正确； 将侧面AA1B1B和BB1C1C展开到一个平面上，则四边形AA1C1C为边长为2的正方形，如图2所示.则AC1即为所求AE＋EC1的最小值，AC1＝＝2，故D正确. 15.BD　对于A，当长方体的所有棱长都为1时，表面积为6，此时该长方体为正方体，错误.对于B，设AD＝a，AB＝b，则2（ab＋a＋b）＝6，ab＋a＋b＝3，V长方体＝ab·1＝ab＝3－（a＋b）≤3－2，解得0＜ab≤1，当且仅当a＝b时取“＝”，故长方体体积的最大值为1，正确.对于C，当长方体底面的一条边长为2时，可得与其相邻的边长为，VH-AFC＝V长方体－4VF-ABC＝2××1－4××2×××1＝，错误.对于D，设AD＝a，AB＝b.长方体外接球的直径为其体对角线，长为，S球＝4πR2＝4π（）2＝π（a2＋b2＋1），∵a＋b≥2＝2，∴（a＋b）2≥4[3－（a＋b）]，解得a＋b≥2，当且仅当a＝b时取“＝”，又≥，∴a2＋b2≥2，当且仅当a＝b时取“＝”，∴外接球表面积的最小值为3π，正确.故选B、D. 16.6　42　解析：根据正棱台的结构特征可知，正n棱台的总棱数为3n（n≥3，n∈N*），则3n＞15，得n＞5，所以n的最小值为6.要想各棱长之和最小，则棱数总和要最小，故n＝6，又因为棱台的上、下底面边长不相等，所以可取上底面边长为2，下底面边长为3，要使各棱长之和最小，则侧棱长取2，故该棱台各棱的长度之和的最小值为2×12＋3×6＝42. 学科网（北京）股份有限公司 $