第七章 第四节 直线、平面平行的判定与性质（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第四节　直线、平面平行的判定与性质 1.α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α与β平行的是（　　） A.l∥α，l∥β B.α内不共线的三点到β的距离相等 C.l，m是平面α内的直线且l∥β，m∥β D.l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β 2.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的（　　） A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有（　　） A.0条 B.1条 C.2条 D.1条或2条 4.如图，P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC＝（　　） A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.4∶25 5.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（　　） A.没有水的部分始终呈棱柱形 B.水面EFGH所在四边形的面积为定值 C.随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行 D.当容器倾斜如图3所示时，AE·AH为定值 7.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件　　　　时，就有MN∥平面B1BDD1（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）. 8.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝　　　　；若ED与AF相交于点H，则GH＝　　　　. 9.如图，三棱锥P-ABC中，Q为PA的中点，O为AB中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC. 10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是（　　） A.直线BQ∥平面EFG B.直线A1B∥平面EFG C.平面APC∥平面EFG D.平面A1BQ∥平面EFG 11.如图，四棱台ABCD-A'B'C'D'的底面为正方形，M为CC'的中点，点N在线段AB上，AB＝4BN.若MN∥平面ADD'A'，则此棱台上下底面边长的比值为（　　） A. B. C. D. 12.〔多选〕如图所示是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点.在此几何体中，给出下列结论，正确的是（　　） A.平面EFGH∥平面ABCD B.直线PA∥平面BDG C.直线EF∥平面PBC D.直线EF∥平面BDG 13.（创新考法）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，点P在正方形ABB1A1内，若AB＝2，A1P∥平面AEF，则DP的最小值是　　　　. 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点. （1）求证：平面MNQ∥平面PCD； （2）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 15.（创新考查角度）（2024·河南二十名校联考）如图，梯形ABCD是圆台O1O2的轴截面，E，F分别在底面圆O1，O2的圆周上，EF为圆台的母线，∠DO1E＝60°，若CD＝4，AB＝8，G，H分别为O2B，BF的中点，且异面直线AF与CH所成角的余弦值为. （1）证明：平面CGH∥平面O1O2FE； （2）求圆台O1O2的高. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四节　直线、平面平行的判定与性质 1.D　对于A，α和β可平行也可相交；对于B，必须是α内不共线的三点，且在β的同侧到β的距离相等，才可判定平面α与平面β平行，故B错误；对于C，当l，m是平面α内的两条平行直线时，α与β可能相交，故C错误；对于D，过直线l，m分别作平面与平面α，β相交，设交线分别为l1，m1与l2，m2，由l∥α，l∥β得l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，则l1∥β，同理m1∥β，因为l1与m1相交，所以α∥β.故选D. 2.B　若m⊂α，m∥β，而α，β可能相交或平行，充分性不成立；若α∥β，m⊂α，则m∥β，必要性成立，故“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.故选B. 3.C　如图，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.因为EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD.又因为EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，所以EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，所以CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α（平面EFGH）平行的棱有2条. 4.D　∵平面α∥平面ABC，∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝（PA'∶PA）2，又PA'∶AA'＝2∶3，∴PA'∶PA＝2∶5，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝4∶25. 5.D　连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以＝.又AD∥BC，E为AD的中点，所以＝＝，所以＝. 6.AD　根据棱柱的特征（有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行），结合题图易知A正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；因为A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图3所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH-BFG的体积V为定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH为定值，故D正确. 7.点M与点H重合（点M只要在线段FH上即可） 解析：连接HN，FH，FN（图略），则FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1. 8.1　　解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，且AB＝CD.又E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1.因为PA＝AB＝PB＝2，所以PE＝，GH＝PE＝. 9.证明：法一 如图1，连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO. 由G为△AOC的重心，知M为AC中点， 由Q为PA中点，得QM∥PC. 又O为AB中点，得OM∥BC. 又因为QM，MO⊂平面OQM，PC，BC⊂平面PBC， QM∩MO＝M，PC∩BC＝C， 所以平面OQM∥平面PBC， 因为QG⊂平面OQM. 所以QG∥平面PBC. 法二 如图2，连接OG并延长交AC于点M，易知M为AC中点，连接AG并延长交BC于点N， 又O为AB中点，得OM∥BC， 根据平行线分线段对应成比例可知AG＝GN， 从而在△APN中，QG为中位线，QG∥PN， 因为QG⊄平面PBC，PN⊂平面PBC，所以QG∥平面PBC. 10.B　过点E，F，G的截面如图所示（H，I分别为AA1，BC的中点），连接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正确；AP⊂平面ADD1A1，GH⊂平面ADD1A1，GH与PA的延长线必相交，故C错误；易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误. 11.D　设E为CD的中点，G为EC的中点，连接MG，NG，C'E，则NG∥AD，则平面MNG∥平面ADD'A'.又平面DCC'D'分别交平面MNG和平面ADD'A'于直线MG，DD'，则MG∥DD'.因为E为CD的中点，G为EC的中点，M为CC'的中点，所以DD'∥C'E∥MG.所以四边形DEC'D'为平行四边形，棱台上下底面边长的比值为. 12.ABC　作出立体图形如图所示.连接E，F，G，H四点构成平面EFGH.对于A，因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD.又EF⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.同理，EH∥平面ABCD.又EF∩EH＝E，EF⊂平面EFGH，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A项正确；对于B，连接AC，BD，DG，BG，设AC的中点为M，则M也是BD的中点，连接MG，则MG∥PA，又MG⊂平面BDG，PA⊄平面BDG，所以PA∥平面BDG，故B项正确；对于C，由A中的分析知EF∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故C项正确；对于D，根据C中的分析可知EF∥BC，再结合图形可得BC∩BD＝B，则直线EF与平面BDG不平行，故D项错误. 13.　解析：如图，分别取棱B1C1，BB1的中点M，N，连接A1M，A1N，MN.因为正方体中A1M∥AE，MN∥EF，所以平面A1MN内两相交直线A1M，MN与平面AEF平行，所以平面A1MN∥平面AEF，则点P在线段A1N上.过点A作AH⊥A1N，垂足为H，连接DH，则DP≥DH，当且仅当P与H重合时，DP＝DH＝＝. 14.解：（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，所以NQ∥AB∥CD，MQ∥PC. 因为NQ⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以NQ∥平面PCD.同理MQ∥平面PCD， 又NQ∩MQ＝Q，NQ，MQ⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PCD. （2）线段PD上存在一点E，使得MN∥平面ACE，且＝.证明如下： 取PD的中点E，连接NE，CE，AE，因为N，E，M分别是AP，PD，BC的中点，BC∥AD，BC＝AD，所以NE∥MC，NE＝MC， 所以四边形MCEN是平行四边形，所以MN∥CE. 因为MN⊄平面ACE，CE⊂平面ACE，所以MN∥平面ACE，此时＝. 15.解：（1）证明：由题意得O1C＝O2G，O1C∥O2G，所以四边形O1O2GC为平行四边形， 所以O1O2∥CG， 而O1O2⊂平面O1O2FE，CG⊄平面O1O2FE， 所以CG∥平面O1O2FE. 因为G，H分别为O2B，BF的中点， 所以HG为△BO2F的中位线，所以HG∥O2F. 而O2F⊂平面O1O2FE，HG⊄平面O1O2FE， 所以HG∥平面O1O2FE， 又CG，HG⊂平面CGH，且CG∩HG＝G， 所以平面CGH∥平面O1O2FE. （2）设圆台的高为h（h＞0），连接O2H和CO2， 因为点O2和H分别为AB和FB的中点， 所以O2H为△ABF的中位线，所以O2H∥AF， 则∠CHO2或其补角为异面直线AF与CH所成的角， 因为GH＝O2F＝2，则O2G＝GH， 由（1）知O1O2∥CG，则CG⊥平面ABF，因为O2G，HG⊂平面ABF，所以CG⊥O2G，CG⊥HG， 由勾股定理可得CH＝CO2＝＝. 由∠DO1E＝60°，EF为圆台的母线得∠AO2F＝60°，又O2A＝O2F，则△AO2F为等边三角形， 则AF＝4，故O2H＝AF＝2， 在△CO2H中，由余弦定理的推论得cos ∠CHO2＝＝＝， 解得h＝6（舍负）. 故圆台O1O2的高为6. 学科网（北京）股份有限公司 $