第七章 第十节 立体几何中的截面与动态问题（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第十节　立体几何中的截面与动态问题 1.B　建立如图所示的空间直角坐标系，设OB＝OA＝1，则B（0，1，0），A（0，0，1），设P（x，y，0），则＝（0，1，－1），＝（x，y，－1），所以cos＜，＞＝＝，即x2＋＝1，所以点P的轨迹是椭圆. 2.D　过棱AB，BC的中点E，F作正方体ABCD-A1B1C1D1的截面，∵二面角D1-EF-D，二面角B1-EF-B都大于45°，∴当截面为EFHJIG时，如图所示，为六边形；当截面为EFM时，如图所示，为三角形. 3.B　如图所示，在三棱锥P-ABC中，过E分别作EF∥AB，EH∥PC，再分别过点H，F作HG∥AB，FG∥PC，可得E，F，G，H四点共面，因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH，同理可证，PC∥平面EFGH，所以截面即为平行四边形EFGH，又由E为线段AP上靠近P的三等分点，且AB＋2PC＝9，所以EF＝AB，EH＝PC，所以平行四边形EFGH的周长为2（EF＋EH）＝（AB＋2PC）＝6. 4.B　如图，取B1C1的中点D，BB1的中点E，连接MD，DE，ME，由MD∥A1B1∥AB，DE∥BC1，又MD⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，所以MD∥平面ABC1，同理可得DE∥平面ABC1，又MD∩DE＝D，MD，DE⊂平面MDE，所以平面MDE∥平面ABC1，又MN∥平面ABC1，故点N的轨迹为线段DE，又由DE＝BC1＝2，可得BC1＝4. 5.D　如图，在侧棱AA1上取一点R，使得AR＝2RA1，连接PR，BR，过点A作AN⊥BR交BR于点M，交BB1于点N，连接AC，CN，BD，由PR∥AD，可知PR⊥AN，BR∩PR＝R，BR，PR⊂平面BPR，从而AN⊥平面BPR，BP⊂平面BPR，所以BP⊥AN，又由BP在平面ABCD内的射影BD⊥AC，所以BP⊥AC，又AN，AC⊂平面ACN，AN∩AC＝A，知BP⊥平面ACN，CN⊂平面ACN，所以BP⊥CN，所以动点Q的轨迹为线段CN，在Rt△ABN，Rt△RAB中，∠BAN＝∠ARB，所以Rt△ABN∽Rt△RAB，则＝，得BN＝，易得CN＝＝＝. 6.ACD　设正方体的棱长为a，因为该球的表面积为4πr2＝12π，故半径r＝，且正方体的棱长满足（2r）2＝3a2＝12，故棱长a＝2，选项A，由题意可知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且PA∥平面A1B1C1D1，故PA⊂平面ABCD，则P的轨迹为正方形ABCD的外接圆，故有无数个点P满足，故A正确；选项B，易知AC1⊥平面CB1D1，且平面PAA1⊥平面CB1D1，PA⊂平面PAA1，故P的轨迹为矩形AA1C1C的外接圆，其周长为2πr＝2π，故B错误；选项C，因为PA∥平面A1B1CD，设过PA且与平面A1B1CD平行的平面为α，则P的轨迹为α与外接球的交线，其半径为＝1，周长为2π，故C正确；选项D，若平面PAD⊥平面PBC，则点P在以四边形ABCD所在平面为轴截面的某个圆柱面上，该圆柱面与球面交线为曲线，故有无数个点P满足，故D正确. 7.　解析：如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由E为BC的中点，BM∥C1E得M为B1C1的中点，又MN∥BD，故N为C1D1的中点，故BD＝2，MN＝，且BM＝DN＝，设等腰梯形MNDB的高为h，则h＝＝，∴梯形MNDB的面积为×（＋2）×＝. 8.　解析：如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF，可得四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G∥D1E，又C1G⊄平面CD1EF，D1E⊂平面CD1EF，所以C1G∥平面CD1EF.同理可得C1H∥CF，C1H∥平面CD1EF.因为C1H∩C1G＝C1，C1H，C1G⊂平面C1GH，所以平面C1GH∥平面CD1EF.由M点是正方形ABB1A1内的动点可知，若C1M∥平面CD1EF，则点M在线段GH上，所以M点的轨迹长度GH＝＝. 9.＋2　解析：如图，将△BCC1沿BC1折起铺平在正方体的对角面ABC1D1所在平面内，这时ABCC1D1是一个五边形，过点D1作D1Q⊥BC，垂足为Q，且交BC1于P，显然，此时D1P＋PQ最小.在直角梯形D1QCC1中，∠C1D1Q＝45°，则D1Q＝CC1＋C1D1cos 45°＝＋2. 10.C　截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2，则截面圆的面积为4π，设正四棱锥的底面正方形边长为a，则a＝4，所以a＝2，正四棱锥的底面正方形的面积为（2）2＝8，由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去的正方形与正四棱锥的底面正方形相似，设圆面中挖去的正方形的面积为S'，正四棱锥的底面正方形的面积为S，则＝＝，从而S'＝2，所以截面图形的面积为4π－2. 11.B　如图1 所示，由AB＝AC＝AD＝4，BC＝CD＝DB＝6，可知三棱锥A-BCD为正三棱锥，设CD中点为E，则BE＝3，设点A在底面BCD上的射影为O，则AO⊥平面BCD，OB＝2，OE＝，OA＝＝2，又P为△BCD内部及边界上的动点，AP＝2，所以OP＝2，所以点P的轨迹为以点O为圆心，2为半径的圆在△BCD内部及边界上的部分，如图2所示，OE⊥P1P2，所以cos ∠EOP1＝＝，即∠EOP1＝，∠P1OP2＝，所以点P的轨迹长度为2π×2－3××2＝2π，故选B. 12.A　取AD的中点E，连接PE，PC，CE，PB.易知PE⊥平面ABCD，取PC，AB的中点F，G，连接DF，DG，FG，则PE⊥DG，又易知DG⊥EC，EC∩PE＝E，∴DG⊥平面PEC，又PC⊂平面PEC，∴DG⊥PC，由PD＝DC知DF⊥PC，DF∩DG＝D且DF，DG⊂平面DFG，∴PC⊥平面DFG，又F是PC的中点，∴平面DFG上的点到点P，C的距离相等，又平面DFG∩平面ABCD＝DG，∴线段DG上的M点满足MP＝MC.故选A. 13.BC　由题意知，a，b，AC所在直线两两相互垂直，画出图形如图所示.不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC＝1，AB＝.斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆.以C为坐标原点，以的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的单位方向向量a＝（0，1，0），｜a｜＝1.B点起始坐标为（0，1，0），直线b的单位方向向量b＝（1，0，0），｜b｜＝1.设B点在运动过程中的坐标B'（cos θ，sin θ，0），其中θ如图所示，0°≤θ＜360°，那么AB'在运动过程中对应的向量'＝（cos θ，sin θ，－1），｜'｜＝.设直线AB'与a的夹角为α，则0°＜α≤90°，cos α＝＝＝｜sin θ｜∈［0，］，故45°≤α≤90°，所以C正确，D错误.设直线AB'与b的夹角为β，则0°＜β≤90°，cos β＝＝＝｜cos θ｜.当直线AB'与a的夹角为60°，即α＝60°时，｜sin θ｜＝cos α＝cos 60°＝.因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以｜cos θ｜＝.所以cos β＝｜cos θ｜＝.因为0°＜β≤90°，所以β＝60°，此时直线AB'与b的夹角为60°，所以B正确，A错误.故选B、C. 14.　解析：因为在三棱锥P-ABC中，PA，AB，AC两两垂直，所以AB⊥平面PAC，则BD与平面PAC所成的角为∠ADB，tan ∠ADB＝＝，当AD取得最小值时，∠ADB取得最大值.在等腰Rt△PAC中，当D为PC的中点时，AD取得最小值.以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（0，1，1），则＝（0，1，1），＝（0，2，－2），＝（－3，2，0）.设平面PBC的法向量为n＝（x，y，z），则即令y＝3，得n＝（2，3，3）.因为cos＜n，＞＝＝＝，所以AD与平面PBC所成角的正弦值为. 15.C　如图，作OE⊥AB，与圆O交于一点E，以O为原点，OE，OB，OS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（0，－1，0），B（0，1，0），S（0，0，1）.设M（a，b，0）（a2＋b2＝1，a≠0，b≠±1），则N（，，），易知＝（a，b，－1），＝（0，1，－1），＝（，＋1，），设平面SBM的法向量为n＝（x，y，z），所以即令y＝1，则x＝，z＝1，所以平面SBM的一个法向量为n＝（，1，1）.设直线AN与平面SBM所成角为θ，则sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝＝，令f（x）＝（x∈（－1，1）），则f'（x）＝（x∈（－1，1）），当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当－1＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）≥f（0）＝，所以sin θ＝≤＝，所以直线AN与平面SBM所成角的正弦值的最大值为.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十节　立体几何中的截面与动态问题 1.如图，斜线段AB与平面α所成的角为，B为斜足.平面α上的动点P满足∠PAB＝，则点P的轨迹为（　　） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC的中点E，F作一个截面，使截面与底面ABCD所成二面角为45°，则此截面的形状为（　　） A.三角形或五边形 B.三角形或四边形 C.正六边形 D.三角形或六边形 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.在三棱锥P-ABC中，AB＋2PC＝9，E为线段AP上靠近P的三等分点，过E作平行于AB，PC的平面，则该平面截三棱锥P-ABC所得截面的周长为（　　） A.5 B.6 C.8 D.9 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，N为侧面BCC1B1上的一点，且MN∥平面ABC1，若点N的轨迹长度为2，则（　　） A.AC1＝4 B.BC1＝4 C.AB1＝6 D.B1C＝6 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱DD1上的点，且DP＝2PD1，AA1＝3，AB＝1.若点Q在侧面BCC1B1（包括其边界）上运动，且总保持AQ⊥BP，则动点Q的轨迹长度为（　　） A. B. C. D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6.〔多选〕（2024·济南模拟）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的各顶点均在表面积为12π的球面上，P为该球面上一动点，则（　　） A.存在无数个点P，使得PA∥平面A1B1C1D1 B.当平面PAA1⊥平面CB1D1时，点P的轨迹长度为2π C.当PA∥平面A1B1CD时，点P的轨迹长度为2π D.存在无数个点P，使得平面PAD⊥平面PBC 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P是面对角线BC1上一动点，Q是底面ABCD（含边界）内一动点，则D1P＋PQ的最小值为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10.从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（　　） A.4π－4 B.4π C.4π－2 D.2π－2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11.（2025·南充二模）三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝AD＝4，BC＝CD＝DB＝6，P为△BCD内部及边界上的动点，AP＝2，则点P的轨迹长度为（　　） A.π B.2π C.3π D.4π 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12.如图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MP＝MC，则点M的轨迹为（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13.〔多选〕a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则下列结论中正确的是（　　） A.当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角 B.当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角 C.直线AB与a所成角的最小值为45° D.直线AB与a所成角的最大值为60° 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14.在三棱锥P-ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝3.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 15.（创新知识交汇）（2025·晋城二模）如图，已知圆锥SO的高SO＝1，AB是底面圆O的直径，AB＝2，M是圆O上的动点（不与A，B重合），N是SM的中点，则直线AN与平面SBM所成角的正弦值的最大值为（　　） A. B. C. D.1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $