第七章 第七节 用空间向量研究线、面位置关系及距离（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第七节　用空间向量研究线、面位置关系及距离 1.若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（　　） A.（2，2，6） B.（1，2，3） C.（3，1，1） D.（－3，0，1） 2.已知平面α的一个法向量为n＝（－1，0，－1），点A（3，3，0）在平面α内，则平面外一点P（－2，1，4）到平面α的距离为（　　） A.　　　B.　　 　C.　　　D.1 3.已知点A（1，0，2），B（－1，1，2），C（1，1，－2），则△ABC的面积为（　　） A. B.2 C.5 D.1 4.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2AB＝2，E为AB的中点，F为线段BB1上一点，且A1C⊥EF，则＝（　　） A.10 B.12 C.15 D.20 5.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，BD⊥DC，BD＝DC＝1，点E在AA1上，且AE＝AA1＝，则点B到平面EDC1的距离为（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则下列选项正确的为（　　） A.EF∥BD1 B.EF⊥A1D C.EF＝ D.点F到平面ABD1的距离为 7.在空间直角坐标系中，a＝（1，2，1）为直线l的一个方向向量，n＝（2，t，4）为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝　　　　. 8.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D间的距离是　　　　. 9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点. 证明：（1）B1D⊥平面ABD； （2）平面EGF∥平面ABD. 10.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，若AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（　　） A.（1，1，1）　　　　　　 B. C. D. 11.若四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，点D在棱OC上，且OC＝3OD，点G为△ABC的重心，则点G到直线AD的距离为（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 12.已知三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝SC＝1，且SA，SB，SC两两垂直，P是三棱锥S-ABC外接球球面上一动点，则点P到平面ABC的距离的最大值是（　　） A. B. C. D. 13.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若AM⊥MP，则点P在圆锥底面上形成的轨迹的长度为　　　　. 14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. （1）在AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD？ （2）在AB上是否存在点P，使得AC1∥平面CPB1？ 15.（新定义）〔多选〕在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实： （1）过点P0（x0，y0，z0），且以v＝（a，b，c）（abc≠0）为方向向量的空间直线l的方程为＝＝； （2）过点P（x0，y0，z0），且以v＝（m，n，t）（mnt≠0）为法向量的平面α的方程为m（x－x0）＋n（y－y0）＋t（z－z0）＝0. 现已知平面α：x＋2y＋3z＝6，l1：l2：x＝y＝2－z，l3：＝＝，则（　　） A.l1∥α　　　　　　B.l2∥α　　　　　　C.l3∥α　　　　　　D.l1⊥α 16.（创新考法）（2025·运城模拟）如图，正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点.若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为　　　　. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七节　用空间向量研究线、面位置关系及距离 1.A　∵M，N在直线l上，且＝（1，1，3），故向量（2，2，6）是直线l的一个方向向量. 2.B　由题得＝（－5，－2，4），所以点P到平面α的距离d＝＝＝＝，故选B. 3.A　由A（1，0，2），B（－1，1，2），C（1，1，－2），则＝（2，－1，0），＝（2，0，－4），则｜｜＝＝2，且点A到直线BC的距离为d＝＝＝，所以△ABC的面积是S△ABC＝×｜｜×d＝×2×＝.故选A. 4.C　取A1B1的中点E1，连接EE1，EC，易知EC，EB，EE1两两垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则E（0，0，0），C（，0，0），A1（0，－，2），＝（，，－2）.设F（0，，λ）（0≤λ≤2），则＝（0，，λ）.由A1C⊥EF，得·＝－2λ＝0，解得λ＝，故＝＝15.故选C. 5.C　建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，－1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），C1（0，1，2），E（1，－1，），所以＝（0，1，2），＝（1，－1，），＝（1，0，0）.设平面EDC1的法向量为m＝（x，y，z），则取z＝1，得m＝（－，－2，1）.所以点B到平面EDC1的距离d＝＝＝. 6.ABD　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.由AB＝3，则E（1，0，1），F（2，1，0），A1（3，0，3），A（3，0，0），C（0，3，0），D（0，0，0），B（3，3，0），D1（0，0，3），∴＝（1，1，－1），＝（－3，－3，3），＝－，故A正确；由＝（－3，0，－3），·＝0，∴EF⊥A1D，故B正确；｜｜＝＝，故C错误；设平面ABD1的一个法向量为n＝（x，y，z），由得令z＝1，得n＝（1，0，1）.易知＝（－1，1，0），则点F到平面ABD1的距离d＝＝，故D正确.故选A、B、D. 7.－3　解析：因为l∥α，所以a＝（1，2，1）与n＝（2，t，4）垂直，故a·n＝（1，2，1）·（2，t，4）＝2＋2t＋4＝0，解得t＝－3. 8.　解析：以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B1（1，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），C1（1，1，1）.设平面AB1C的法向量为m＝（x1，y1，z1），＝（1，0，1），＝（1，1，0），由取x1＝1，可得m＝（1，－1，－1）.设平面A1C1D的法向量为n＝（x2，y2，z2），＝（0，－1，1），＝（1，0，1），由取x2＝1，可得n＝（1，－1，－1）.因为m＝n，平面AB1C与平面A1C1D不重合，故平面AB1C∥平面A1C1D，＝（0，1，0），所以平面AB1C与平面A1C1D间的距离为d＝＝＝. 9.证明：（1）以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA＝a，则A（a，0，0）， 所以＝（a，0，0），＝（0，2，2），＝（0，2，－2）， ·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD. 又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，因此B1D⊥平面ABD. （2）由（1）知，E（0，0，3），G（，1，4），F（0，1，4）， 则＝（，1，1），＝（0，1，1），·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0， 即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，因此B1D⊥平面EGF. 结合（1）可知平面EGF∥平面ABD. 10.C　由已知得A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），E（0，0，1）.设M（x，x，1），则＝（x－，x－，1），＝（，－，0），＝（0，－，1）.设平面BDE的法向量为n＝（a，b，c），则即解得 取b＝1，则n＝（1，1，）.又AM∥平面BDE，所以n·＝0，即2（x－）＋＝0，得x＝，所以M.故选C. 11.A　由∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，知OA，OB，OC两两垂直，以O为原点，OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，因为OA＝1，OB＝2，OC＝3，OC＝3OD，则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），D（0，0，1），G（，，1），于是＝（－，，1），＝（－1，0，1），｜｜＝＝，·＝－×（－1）＋1＝，所以点G到直线AD的距离d＝＝＝. 12.C　将三棱锥S-ABC放在正方体中，如图所示，以B为原点，BM，BQ，BS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（1，0，1），C（0，1，1），S（0，0，1），N（1，1，0），＝（1，0，1），＝（0，1，1），＝（1，1，0）.设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），则取x＝1，得n＝（1，1，－1）.三棱锥S-ABC的外接球就是棱长为1的正方体MNQB-ADCS的外接球.因为P是三棱锥S-ABC的外接球球面上一动点，所以由正方体与球的几何性质可得，点P与点N重合时，点P到平面ABC的距离最大，所以点P到平面ABC的距离的最大值为d＝＝＝. 13.　解析：如图，建立空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（0，1，0），S（0，0，），M（0，0，），设P（x，y，0），－1≤x≤1，－1≤y≤1，则＝（0，1，），＝（x，y，－）.由于AM⊥MP，所以（0，1，）·（x，y，－）＝0，即y＝，此为P点的轨迹方程，其在底面圆内的长度为2＝. 14.解：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则AC，BC，CC1两两垂直. 如图，以C为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），＝（－3，4，0），＝（－3，0，4）. （1）假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD， 设＝λ＝（－3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，则D（3－3λ，4λ，0），故＝（3－3λ，4λ，0）. 因为AC1⊥CD，所以·＝－9＋9λ＝0，解得λ＝1， 所以在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，此时点D与点B重合. （2）假设在AB上存在点P，使得AC1∥平面CPB1，设＝μ＝（－3μ，4μ，0），其中0≤μ≤1， 则P（3－3μ，4μ，0），故＝（3－3μ，4μ－4，－4）. 又＝（0，－4，－4），AC1∥平面CPB1， 所以存在实数m，n，使＝m＋n成立， 所以解得 所以在AB上存在点P，使得AC1∥平面CPB1，此时点P是AB的中点. 15.CD　平面α：x＋2y＋3z＝6即x－1＋2（y－1）＋3（z－1）＝0，则平面α的法向量为v＝（1，2，3）.对于l1：则6x－3＝3y＝2z＋1，即＝＝，所以l1过点（，0，－），方向向量为u1＝（，，），所以v＝6u1，所以v∥u1，所以l1⊥α，故A错误，D正确.对于l2：x＝y＝2－z，即＝＝，所以l2过点（0，0，2），方向向量为u2＝（1，1，－1），点（0，0，2）适合平面α的方程x＋2y＋3z＝6，所以l2与平面α有公共点，故B错误.对于l3：＝＝，所以l3过点（1，0，0），方向向量为u3＝（5，－4，1），因为v·u3＝（1，2，3）·（5，－4，1）＝5－8＋3＝0，所以v⊥u3，所以l3⊂α或l3∥α，但点（1，0，0）不适合方程x＋2y＋3z＝6，故l3⊄α，所以l3∥α，所以C正确.故选C、D. 16.　解析：连接AC，BD交于点O，以O为坐标原点，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则有A（－1，－1，0），B（1，－1，0），C（1，1，0），D（－1，1，0），P（0，0，），E（－，，），＝（－，－，）.设M（x1，－1，0），＝λ，可得N（1－λ，1－λ，λ），则＝（1－λ－x1，2－λ，λ），故｜｜＝ ＝，则当且仅当λ＝，x1＝－1时，｜｜min＝，即MN的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $