第七章 第六节 空间向量的概念及运算（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第六节　空间向量的概念及运算 1.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是（　　） A.－a＋b＋c　　 　 B.a＋b＋c C.－a－b＋c D.a－b＋c 2.已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若a，b，c共面，则λ＝（　　） A.9　　　　B.－9　　　C.－3　　　D.3 3.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝（　　） A.1 B.2 C. D. 5.（2025·大连模拟）若点A（3cos α，3sin α，1），B（2cos θ，2sin θ，1），则｜｜的取值范围是（　　） A.[0，5] B.[1，5] C.（1，5） D.[1，25] 6.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜是a，b共线的充要条件 B.若，共线，则AB∥CD C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 D.若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ（，不共线），则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 7.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，则xy＝　　　　. 8.在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则·＝　　　　. 9.已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设a＝，b＝. （1）若｜c｜＝3，且c∥，求c； （2）求a与b夹角的余弦值； （3）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值. 10.（2024·金华模拟）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，且满足＝x＋y＋（1－x－y），则｜｜的最小值是（　　） A. B. C. D. 11.〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列说法中正确的是（　　） A.（＋＋）2＝3 B.·（－）＝0 C.向量与向量的夹角是60° D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为｜··｜ 12.〔多选〕（2025·梅州模拟）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含端点）.若D1M⊥MN，则下列命题正确的是（　　） A.MN⊥A1M B.MN⊥平面D1MC C.线段BN长度的最大值为 D.三棱锥C1-A1D1M的体积不变 13.已知半径为2的球O内切于正四面体ABCD，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则·的取值范围是　　　　. 14.在①（＋）⊥（－），②｜｜＝，③0＜cos＜，＞＜1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成问题. 问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为（0，0，2），E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，　　　　，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？若存在，求·的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 15.（创新设问）〔多选〕设向量u＝（a，b，0），v＝（c，d，1），其中a2＋b2＝c2＋d2＝1，则下列判断正确的是（　　） A.向量v与z轴正方向的夹角为定值（与c，d无关） B.u·v的最大值为 C.u与v的夹角的最大值为 D.ad＋bc的最大值为1 16.（创新解题路径）已知：a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，其中a，b，c，x，y，z均为实数.求证：－1≤ax＋by＋cz≤1. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六节　空间向量的概念及运算 1.A　由题意，得＝＋＝＋（－）＝c＋（b－a）＝－a＋b＋c. 2.B　由题意知c＝xa＋yb，即（7，6，λ）＝x（2，1，－3）＋y（－1，2，3），∴解得λ＝－9. 3.C　由于a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝7，即a·c＝－7.又因为｜a｜＝＝，所以cos＜a，c＞＝＝－，所以＜a，c＞＝120°.故选C. 4.A　∵EC＝2PE，∴＝，∴＝－＝＋－＝＋－＝＋（－）－＝＋－＝＋－＝＋－（－）＝－＋，∴x＝1，y＝－，z＝，∴x＋y＋z＝1，故选A. 5.B　因为＝（2cos θ－3cos α，2sin θ－3sin α，0），所以｜｜2＝（2cos θ－3cos α）2＋（2sin θ－3sin α）2＝4＋9－12（cos θcos α＋sin θsin α）＝13－12cos（θ－α）.因为－1≤cos（θ－α）≤1，所以1≤｜｜2≤25，即1≤｜｜≤5. 6.CD　由｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜，所以A不正确；若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，因为＋＋＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ（，不共线），当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得－＝λ（－），即＝λ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确. 7.2　解析：由三点共线得向量与共线，即＝k，（3，4，－8）＝k（x－1，y＋2，4），＝＝，解得x＝－，y＝－4，∴xy＝2. 8.　解析：∵P-ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，∴PO⊥AO，∴·＝0，AO＝·AB·sin 60°＝，故·＝·（＋）＝｜｜2＝｜｜2－｜｜2＝4－＝. 9.解：（1）∵c∥，∴c＝m＝m（－2，－1，2）＝（－2m，－m，2m）. ∴｜c｜＝＝3｜m｜＝3. ∴m＝±1. ∴c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）. （2）∵a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2）， ∴a·b＝（1，1，0）·（－1，0，2）＝－1， 又｜a｜＝＝， ｜b｜＝＝， ∴cos＜a，b＞＝＝＝－. ∴a与b夹角的余弦值为－. （3）∵ka＋b＝（k－1，k，2），ka－2b＝（k＋2，k，－4），ka＋b与ka－2b互相垂直， ∴（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）（k＋2）＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－. 即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－. 10.C　因为＝x＋y＋（1－x－y），由共面向量定理可知，E，A，C，D1四点共面.即点E在平面ACD1上，所以｜｜的最小值即为点D到平面ACD1的距离d，由正方体的棱长为1，可得△ACD1是边长为的等边三角形，则＝×（）2×sin＝，S△ACD＝×1×1＝，由等积法可得＝，所以×d＝××1，解得d＝，所以｜｜的最小值为. 11.AB　由向量的加法运算得到＋＋＝，∵A1C2＝3A1，∴＝3，故A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1为等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C错误；∵AB⊥AA1，∴·＝0，故｜··｜＝0，故D错误.故选A、B. 12.ACD　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A1（3，0，3），D1（0，0，3），C（0，3，0），B（3，3，0），设M（3，y，0），N（3，3，z），y，z∈（0，3），＝（3，y，－3），＝（0，3－y，z），而D1M⊥MN，则·＝y（3－y）－3z＝0，即z＝y（3－y）.对于A，＝（0，y，－3），则·＝y（3－y）－3z＝0，则⊥，MN⊥A1M，故A正确；对于B，＝（3，y－3，0），·＝（y－3）·（3－y）＝－（3－y）2＜0，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，故B错误；对于C，＝（0，0，z），则线段BN的长度｜｜＝z＝［－（y－）2＋］≤，当且仅当y＝时等号成立，故C正确；对于D，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而＝＝×3×＝，所以三棱锥C1-A1D1M的体积为定值，故D正确. 13.[0，32]　解析：设球O与底面BCD切于点E，连接AE，易知点O在AE上，AE为正四面体的高.设正四面体的棱长为a，根据正四面体的棱长与其内切球半径间的关系，有a＝2，解得a＝4，即正四面体的棱长为4，所以AE＝a＝8.连接OP（图略），则＝－，＝－，所以·＝（－）·（－）＝·－·（＋）＋，而·＝－4，＋＝0，则·＝－4.由题意可知2≤｜｜≤OA＝8－2＝6，所以0≤－4≤32，故·的取值范围为[0，32]. 14.解：由题意得，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则A（2，0，0），B（2，2，0），A1（2，0，2），D（0，0，0），C（0，2，0）， 设E（0，a，2）（0≤a≤2），F（b，2，2）（0≤b≤2），则＝（b，2－a，0），＝（－2，2，－2），＝（－2，a，2），＝（b－2，0，2）， 则·＝4－2（a＋b），·＝8－2b. 若选①：（＋）⊥（－），则＝，故a＝b，若EF⊥A1C，则·＝4－2（a＋b）＝0，解得a＝b＝1， 故存在点E（0，1，2），F（1，2，2），使得EF⊥A1C，此时·＝8－2b＝6. 若选②：｜｜＝，则＝，解得a＝，若EF⊥A1C，则·＝4－2（a＋b）＝0，解得b＝，故存在点E（0，，2），F（，2，2），使得EF⊥A1C，此时·＝8－2b＝5. 若选③：0＜cos＜，＞＜1，则与不共线，所以b≠2－a，即a＋b≠2，所以·＝4－2（a＋b）≠0，故不存在点E，F，使得EF⊥A1C. 15.ACD　对于选项A，设z轴正方向的方向向量为z＝（0，0，t）（t＞0），v与z轴正方向的夹角为α，则cos α＝＝＝，∴α＝，∴向量v与z轴正方向的夹角为定值（与c，d无关），故A正确；对于选项B，u·v＝ac＋bd≤＋＝＝1，当且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此u·v的最大值为1，故B错误；对于选项C，由｜u·v｜≤1，得－1≤u·v≤1，∴cos＜u，v＞＝＝≥－＝－，∴u与v的夹角的最大值为，故C正确；对于选项D，ad＋bc≤＋＝＝1，当且仅当a＝d，b＝c时取等号，∴ad＋bc的最大值为1，故D正确. 16.证明：构造向量α＝（a，b，c），β＝（x，y，z）， 则由题设知｜α｜2＝1，｜β｜2＝1. 令α，β的夹角为θ，则θ∈[0，π]， ∴cos θ＝＝α·β＝ax＋by＋cz. ∵－1≤cos θ≤1，∴－1≤ax＋by＋cz≤1. 学科网（北京）股份有限公司 $