第六章 第四节 数列的通项公式（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第四节　数列的通项公式 1.数列0.4，0.44，0.444，0.444 4，…的一个通项公式是an＝（　　） A.（10n－1） B.（10n－1） C.（1－） D.（10n－1） 2.在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝（　　） A.4－ B.4＋ C.4＋n D.4－n 3.已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1－2an＝n－1，其中n∈N*，则数列{an}的通项公式为（　　） A.an＝2n－n B.an＝2n＋n C.an＝3n－1 D.an＝3n＋1 4.在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝，则an＝（　　） A.2n－1 B.3n－1 C. D. 5.在数列{an}中，a1＝5，且满足－2＝，则数列{an}的通项公式an＝（　　） A.2n－3 B.2n－7 C.（2n－3）（2n－7） D.2n－5 6.〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2（n∈N*），则下列说法正确的有（　　） A.a1＝ B.S4＝ C.{an}是等比数列 D.Sn＋是等比数列 7.已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝　　　　. 8.已知数列{an}中，a2＝a（a为非零常数），其前n项和Sn满足：Sn＝（n∈N*），数列{an}的通项公式为　　　　. 9.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足－（n2＋n－3）Sn－3（n2＋n）＝0，n∈N*. （1）求a1的值； （2）求数列{an}的通项公式. 10.〔多选〕已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝（n∈N*），则（　　） A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an＝ C.{an}为单调递减数列 D.的前n项和Tn＝ 11.若x＝1是函数f（x）＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1（n∈N*）的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝　　　　. 12.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝（－1）nan－，n∈N*，则数列{an}的通项公式为　　　　. 13.已知f1（x）＝，fn＋1（x）＝f1[fn（x）]，an＝，n∈N*，数列{an}的通项公式an＝　　　　. 14.（2025·八省联考）已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝. （1）证明：数列{1－}为等比数列； （2）求{an}的通项公式； （3）令bn＝，证明：bn＜bn＋1＜1. 15.（新定义）对于一个给定的数列{an}，令bn＝，则数列{bn}称为数列{an}的一阶商数列，再令cn＝，则数列{cn}是数列{an}的二阶商数列.已知数列{An}为1，2，8，64，1 024，…，且它的二阶商数列是常数列，则An＝（　　） A.2n（n－1）　　　　　　　　　　　　 B.（）n（n＋1） C. D.2n＋（n－1） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四节　数列的通项公式 1.C　因为数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为10n－1，则数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的一个通项公式为（10n－1）＝1－，而数列0.4，0.44，0.444，0.444 4，…的每一项都是上面数列对应项的，所以数列0.4，0.44，0.444，0.444 4，…的一个通项公式为an＝（1－），故选C. 2.A　∵an＋1－an＝＝－，∴当n≥2时，an－an－1＝－，an－1－an－2＝－，…，a2－a1＝1－，∴以上各式相加得an－a1＝1－，∴an＝4－，a1＝3适合上式，∴an＝4－. 3.A　由题设，an＋1＋（n＋1）＝2（an＋n），而a1＋1＝2，∴{an＋n}是首项、公比均为2的等比数列，故an＋n＝2n，即an＝2n－n. 4.D　由a1＝3，an＋1＝知an＞0，对an＋1＝两边取以3为底的对数得，log3an＋1＝2log3an，则数列{log3an}是以log3a1＝1为首项，2为公比的等比数列，则log3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝. 5.C　因为－2＝，所以－＝2，又＝－1，所以数列是以－1为首项，公差为2的等差数列，所以＝－1＋2（n－1）＝2n－3，所以an＝（2n－3）（2n－7）. 6.ABD　由题意，数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2，则a2＝3S1＋2＝3a1＋2，所以a1＝，故A正确；因为an＋1＝3Sn＋2　①，所以当n≥2时，an＝3Sn－1＋2　②，①－②得，an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an，当n＝1时，a1＝，不满足a2＝4a1，故数列{an}不是等比数列，故C错误；当n≥2时，an＋1＝4an，则a3＝4a2＝12，a4＝4a3＝48，故S4＝＋3＋12＋48＝，故B正确；由an＋1＝3Sn＋2，得Sn＋1－Sn＝3Sn＋2，所以Sn＋1＝4Sn＋2，令Sn＋1＋λ＝4（Sn＋λ），则Sn＋1＝4Sn＋3λ，所以3λ＝2，即λ＝，所以Sn＋1＋＝4（Sn＋），即＝4，故Sn＋是首项为S1＋＝a1＋＝1，公比为4的等比数列，故D正确. 7.　解析：因为＝2n，所以当n≥2时，＝2n－1，＝2n－2，…，＝22，＝2，以上各式累乘得an＝··…···a1＝2n－1·2n－2·…·22·2·2＝21＋2＋3＋…＋（n－1）·2＝＝，且a1＝2也适合上式，所以an＝. 8.an＝（n－1）a　解析：由已知得a1＝S1＝＝0，∴Sn＝，则有Sn＋1＝，∴2（Sn＋1－Sn）＝（n＋1）an＋1－nan，即（n－1）an＋1＝nan（n∈N*），∴nan＋2＝（n＋1）an＋1，两式相减得2an＋1＝an＋2＋an（n∈N*），即an＋2－an＋1＝an＋1－an（n∈N*），故数列{an}是等差数列.又a1＝0，a2＝a，∴公差d＝a，an＝（n－1）a. 9.解：（1）令n＝1，得－（－1）S1－3×2＝0， 即＋S1－6＝0，∴（S1＋3）（S1－2）＝0. 又S1＞0，∴S1＝2，即a1＝2. （2）由－（n2＋n－3）Sn－3（n2＋n）＝0，得（Sn＋3）·[Sn－（n2＋n）]＝0. ∵an＞0（n∈N*），∴Sn＞0，∴Sn＋3＞0，∴Sn＝n2＋n， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[（n－1）2＋（n－1）]＝2n. 又a1＝2满足上式，∴an＝2n（n∈N*）. 10.BCD　对于选项A，因为＝＝＋3，则－＝3，所以数列是以＝1为首项，3为公差的等差数列，故选项A错误；对于选项B，＝1＋3（n－1）＝3n－2，即an＝，故选项B正确；对于选项C，根据函数y＝在[1，＋∞）上单调递减，又an＝，n∈N*，则数列{an}为单调递减数列，故选项C正确；对于选项D，数列的前n项和Tn＝n×1＋×3＝，故选项D正确，故选B、C、D. 11.3n－1　解析：f'（x）＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，∴f'（1）＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3（an＋1－an），∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n－1，则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1＝3n－1. 12.an＝　解析：因为Sn＝（－1）nan－，n∈N*，所以当n为奇数时，Sn＝－an－，Sn＋1＝an＋1－，两式相减得an＋1＝an＋1＋an＋，所以an＝－（n为奇数）；当n为偶数时，Sn＝an－，Sn＋1＝－an＋1－，两式相减可得an＋1＝－an＋1－an＋，即2an＋1＝－an＋，所以2×（－）＝－an＋，解得an＝.因此，所求数列{an}的通项公式为an＝ 13.（－）n＋1　解析：an＋1＝＝＝＝＝－×＝－an，所以数列{an}是以－为公比的等比数列，f1（0）＝＝2，a1＝＝，an＝（－）n－1＝（－）n＋1. 14.解：（1）证明：由an＋1＝得＝＝＋， 则1－＝－＝（ 1－）， 所以数列{1－}是首项为1－＝，公比为的等比数列. （2）由（1）得1－＝×（ ）n－1＝（ ）n， 即an＝＝. （3）证明：法一 由（2）知，bn＝＝·＝＝＝1－， 因为bn－bn＋1＝（ 1－）－（ 1－） ＝－＜0， 所以bn＜bn＋1，又n∈N*，所以bn＋1＝1－＜1， 所以bn＜bn＋1＜1. 法二 由（2）知，bn＝＝·＝＝＝＝1－. 令f（n）＝3·（ ）n－2，n∈[1，＋∞）， 因为f（n）＝3·（ ）n－2在n∈[1，＋∞）上单调递增， 则f（n）≥f（1）＝3×－2＝＞0， 从而数列{bn}在n∈N*上单调递增，且bn＜1， 故得bn＜bn＋1＜1. 15.C　设数列{An}的一阶商数列为{bn}，二阶商数列为{cn}，则b1＝＝2，b2＝＝4，c1＝＝2.又数列{An}的二阶商数列{cn}是常数列，所以cn＝c1＝2，则{bn}满足＝cn＝2，所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，则bn＝2·2n－1＝2n，所以＝2n.当n≥2时，＝2n－1，＝2n－2，＝2n－3，…，＝22，＝21，将这n－1个式子相乘可得＝2n－1·2n－2·2n－3·…·22×21＝2（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋…＋2＋1＝＝（n≥2），又A1＝1，所以An＝·A1＝.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $