第二章 第二节 函数的单调性与最值（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第二节　函数的单调性与最值 1.若函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，则f（m）与f（1）的大小关系是（　　） A.f（m）＜f（1） B.f（m）＞f（1） C.f（m）≤f（1） D.f（m）＝f（1） 2.函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜的单调递增区间是（　　） A.[1，＋∞） B.（－∞，1] C.[1，2] D.[2，＋∞） 3.函数f（x）＝在（　　） A.（－∞，1）∪（1，＋∞）上单调递增 B.（－∞，1）∪（1，＋∞）上单调递减 C.（－∞，1）和（1，＋∞）上单调递增 D.（－∞，1）和（1，＋∞）上单调递减 4.已知函数f（x）＝＋2x，若f（2a2－5a＋4）＜f（a2＋a＋4），则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，）∪（2，＋∞） B.[2，6） C.（0，］∪[2，6） D.（0，6） 5.设函数f（x）＝若函数f（x）在区间（a，a＋1）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，1] B.[4，＋∞） C.（－∞，1）∪（4，＋∞） D.（－∞，1]∪[4，＋∞） 6.〔多选〕设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）＞0，g（x）＞0，f（x）是减函数，g（x）是增函数，则下列说法正确的有（　　） A.g（x）＋f（x）是增函数 B.f（x）－g（x）是减函数 C.f（x）g（x）是增函数 D.是减函数 7.已知一次函数f（x）＝（4a－2）x＋3在[－2，1]上的最大值为9，则实数a的值为　　　　. 8.若函数f（x）＝在（a，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为　　　　. 9.已知函数f（x）＝－x2＋2x＋1的定义域为（－2，3），求函数f（｜x｜）的单调递增区间. 10.已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，－2），B（3，2）是其图象上的两点，则不等式｜f（x＋1）｜＜2的解集是（　　） A.（1，4） B.（－1，2） C.（－∞，－1）∪[4，＋∞） D.（－∞，－1）∪[2，＋∞） 11.已知函数f（x）＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f（x1）＋f（x2）＋f（x3）的值（　　） A.一定大于0 B.一定小于0 C.等于0 D.正负都有可能 12.〔多选〕已知函数f（x）＝（a≠0）在区间（－2，＋∞）上单调递增，则a，b的取值可以是（　　） A.a＝－1，b＝2 B.a＝2，b＝1 C.a＝1，b＞ D.0＜a≤1，b＝2 13.（开放创新题）能使“函数f（x）＝x｜x－1｜在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I为　　　　. 14.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（）＝f（x1）－f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0. （1）求f（1）的值； （2）证明：f（x）为减函数； （3）若f（3）＝－1，求f（x）在[2，9]上的最小值. 15.（新定义）〔多选〕若对任意x1，x2∈（1，＋∞）（x1≠x2），不等式＜1成立，则称f（x）在（1，＋∞）上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的为（　　） A.f（x）＝－2x－1　　　　　　　　 B.f（x）＝x2＋2x＋1 C.f（x）＝x2－log2x D.f（x）＝x2－x＋ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二节　函数的单调性与最值 1.B　因为函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，所以m－1＜0，得m＜1，因为f（x）在R上是减函数，所以f（m）＞f（1）.故选B. 2.D　因为f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜＝所以f（x）的单调递增区间为[2，＋∞），故选D. 3.C　函数f（x）的定义域为{x｜x≠1}，f（x）＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f（x）在（－∞，1）和（1，＋∞）上单调递增. 4.C　由题意可知，函数f（x）在[2，＋∞）上单调递增，∵f（2a2－5a＋4）＜f（a2＋a＋4），∴2≤2a2－5a＋4＜a2＋a＋4，解得2≤a＜6或0＜a≤. 5.D　函数f（x）的图象如图所示，由图象可知f（x）在（a，a＋1）上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4. 6.BD　对于A，若g（x）＝2x，f（x）＝（）x，则g（1）＋f（1）＝，g（－1）＋f（－1）＝，故g（x）＋f（x）不一定为增函数，A错误；而f（x）·g（x）＝1不是增函数，C错误；对于B，因为g（x）是增函数，所以－g（x）为减函数.又f（x）是减函数，所以f（x）－g（x）＝f（x）＋（－g（x））为减函数，B正确；对于D，因为g（x）是增函数，且g（x）＞0，所以＞0且是减函数.又f（x）＞0，且f（x）为减函数，所以＝f（x）×为减函数，D正确. 7.2或－　解析：当4a－2＞0时，f（x）在[－2，1]上单调递增，∴∴则a＝2；当4a－2＜0时，f（x）在[－2，1]上单调递减，∴∴则a＝－.综上所述，a＝2或a＝－. 8.[1，2）　解析：f（x）＝＝＝1＋，且定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞）.∵f（x）在（a，＋∞）上单调递增，∴解得1≤a＜2. 9.解：因为函数f（x）＝－x2＋2x＋1的定义域为（－2，3），对称轴为直线x＝1，开口向下，所以函数f（｜x｜）满足－2＜｜x｜＜3，所以－3＜x＜3.又f（｜x｜）＝－x2＋2｜x｜＋1＝且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数f（｜x｜）的单调递增区间是（－3，－1）和（0，1）. 10.B　不等式｜f（x＋1）｜＜2即为－2＜f（x＋1）＜2，因为A（0，－2），B（3，2）是函数f（x）图象上的两点，所以－2＜f（x＋1）＜2等价于f（0）＜f（x＋1）＜f（3）.又因为f（x）是定义在R上的增函数，所以0＜x＋1＜3，解得－1＜x＜2.故选B. 11.B　因为f（x）＝x＋x3是增函数，且x1＋x2＜0，所以f（x1）＜f（－x2）.又易验证f（－x）＝－f（x），所以f（x1）＜－f（x2），即f（x1）＋f（x2）＜0.同理f（x2）＋f（x3）＜0，f（x3）＋f（x1）＜0.所以f（x1）＋f（x2）＋f（x3）＝[f（x1）＋f（x2）＋f（x2）＋f（x3）＋f（x3）＋f（x1）]＜0. 12.CD　函数f（x）＝＝＋在区间（－2，＋∞）上单调递增，必有－≤－2且3－＜0，即0＜a≤1且＞3.选项A、B都不满足0＜a≤1；对于选项C，当a＝1，b＞时，满足0＜a≤1且＞3，条件成立；对于选项D，当0＜a≤1，b＝2时，满足0＜a≤1且＞3，条件成立.故选C、D. 13.［，2］（答案不唯一）　解析：当x≥1时，f（x）＝x（x－1）＝x2－x；当x＜1时，f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x，∴f（x）在，（1，＋∞）上单调递增，在上单调递减.令f（x）＝0，解得x＝1或x＝0；令f（x）＝2，解得x＝2，∴只需I＝[a，2]，0≤a＜1或I＝（b，2]，0≤b＜1时，f（x）在I上不单调且函数值的集合为[0，2]. 14.解：（1）令x1＝x2＞0，代入得f（1）＝f（x1）－f（x1）＝0，故f（1）＝0. （2）证明：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＞x2，则＞1， 由于当x＞1时，f（x）＜0，∴f（）＜0，即f（x1）－f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2）， ∴函数f（x）在区间（0，＋∞）上是减函数. （3）∵f（x）在（0，＋∞）上是减函数.∴f（x）在[2，9]上的最小值为f（9）. 由f（）＝f（x1）－f（x2）得，f（）＝f（9）－f（3），∴f（9）＝2f（3）＝－2.即f（x）在[2，9]上的最小值为－2. 15.ACD　设g（x）＝f（x）－x2，由题意可得－1＝＝·＜0，则函数g（x）＝f（x）－x2在（1，＋∞）上单调递减；反之亦然.对于选项A，f（x）＝－2x－1，g（x）＝f（x）－x2＝－x2－2x－1在（1，＋∞）上单调递减，则f（x）在（1，＋∞）上是“平方差减函数”.对于选项B，f（x）＝x2＋2x＋1，g（x）＝f（x）－x2＝2x＋1在（1，＋∞）上单调递增，则f（x）在（1，＋∞）上不是“平方差减函数”.对于选项C，f（x）＝x2－log2x，g（x）＝f（x）－x2＝－log2x在（1，＋∞）上单调递减，则f（x）在（1，＋∞）上是“平方差减函数”.对于选项D，f（x）＝x2－x＋，g（x）＝f（x）－x2＝－x＋在（1，＋∞）上单调递减，则f（x）在（1，＋∞）上是“平方差减函数”.故选A、C、D. 学科网（北京）股份有限公司 $