第一章 微突破 一元二次不等式恒（能）成立问题（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

该高中数学讲义聚焦一元二次不等式恒（能）成立问题这一高考核心考点，整合判别式法、数形结合法、分离参数法等解题方法，按“方法梳理—典例解析—真题演练”逻辑架构知识点，通过考点分类讲解、解题方法指导、分层真题训练等环节，帮助学生构建系统解题思路，突破不等式应用难点。 资料以“方法归类+素养落地”为特色，如分离参数法例题中引导学生通过函数最值转化参数范围，培养数学思维和逻辑推理能力。设计基础巩固与能力提升分层练习，配合即时反馈机制，确保高效复习，助力学生形成模型意识，提升应考能力，为教师精准把控复习节奏提供清晰路径。

　一元二次不等式恒（能）成立问题 　　解决不等式恒（能）成立问题，常用的方法有：判别式法、数形结合法、分离参数法、主参换位法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体的条件选择合适的方法求解. 判别式法解决恒成立问题 若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 点评 （1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是 （2）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是 提醒 当不等式ax2＋bx＋c＞0未说明为一元二次不等式时，要对a分a＝0或a≠0进行讨论. 数形结合法解决恒成立问题 已知函数f（x）＝x2－mx＋2m－4（m∈R）.当x＞2时，不等式f（x）≥－1恒成立，求m的取值范围. 点评 （1）在R上恒成立：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方； （2）在给定区间恒成立：可结合二次函数的图象进行求解，设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）： ①a＞0时，f（x）＜0在α≤x≤β时恒成立⇔ ②a＜0时，f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立⇔ ③f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立⇔{x｜α≤x≤β}⊆A，其中A是f（x）＞0的解集. 分离参数法解决恒成立问题 已知函数f（x）＝ax2＋x－1，若x∈[1，5]时不等式f（x）＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5恒成立，则实数a的取值范围是　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点评 如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值（范围）来得到不等式恒成立时参数的取值范围.一般地，a≥f（x）恒成立时，应有a≥f（x）max，a≤f（x）恒成立时，应有a≤f（x）min. 主参换位法解决恒成立问题 已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点评 如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 转化为函数（式子）的最值解决能成立问题 已知f（x）＝2x2－12x＋10，若对于任意的x∈[1，3]，不等式f（x）≤2＋t能成立，则实数t的取值范围是　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点评 （1）a＞f（x）能成立⇒a＞f（x）min； （2）a＜f（x）能成立⇒a＜f（x）max. 1.当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A.［，＋∞） B.（－∞，） C.（，＋∞） D.（－∞，］ 2.若函数f（x）＝ax2＋20x＋14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，则实数a的最小值为　　　　. 3.已知函数f（x）＝x2＋2ax－a＋2. （1）若∃x∈[－1，1]，使得f（x）≥0成立，求实数a的取值范围； （2）若对于∀a∈[－1，1]，f（x）＞0恒成立，求实数x的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 微突破　一元二次不等式恒（能）成立问题 类型1 【例1】 解：原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0， ∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0， 即4－4（a2－3a－3）≤0，即a2－3a－4≥0， 解得a≤－1或a≥4， ∴实数a的取值范围是{a｜a≤－1或a≥4}. 类型2 【例2】 解：f（x）≥－1，即x2－mx＋2m－3≥0在x＞2时恒成立， 令g（x）＝x2－mx＋2m－3， ①若≤2，即m≤4，如图1， 只需g（2）≥0， 即4－2m＋2m－3≥0，1≥0恒成立， ∴m≤4满足题意； ②若＞2，即m＞4，如图2， 只需Δ＝m2－4（2m－3）≤0， 则（m－2）（m－6）≤0，∴4＜m≤6. 综上所述，m的取值范围为{m｜m≤6}. 类型3 【例3】 （－∞，4）　解析：∵f（x）＝ax2＋x－1，由f（x）＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5可得，ax2＋x－1＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5，整理得，ax＜x2＋4，∵不等式f（x）＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5在x∈[1，5]上恒成立，∴ax＜x2＋4在[1，5]上恒成立，即a＜x＋在[1，5]上恒成立，设g（x）＝x＋，x∈[1，5]，根据对勾函数性质易得函数g（x）在[1，2]上单调递减，在[2，5]上单调递增，故g（x）min＝g（2）＝4，∴a＜g（x）min＝4，即a的取值范围是（－∞，4）. 类型4 【例4】 （－∞，1）∪（3，＋∞）　解析：把不等式的左端看成关于a的函数，记f（a）＝（x－2）a＋x2－4x＋4，则由f（a）＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f（－1）＝x2－5x＋6＞0，且f（1）＝x2－3x＋2＞0，解不等式组得x＜1或x＞3. 类型5 【例5】 [－10，＋∞）　解析：不等式f（x）≤2＋t在x∈[1，3]上能成立，等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1，3]时有解，只要t≥（2x2－12x＋8）min即可，不妨设g（x）＝2x2－12x＋8，x∈[1，3]，则g（x）在[1，3]上单调递减，所以g（x）≥g（3）＝－10，所以t≥－10. 跟踪训练 1.A　当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，所以当1≤x≤2时，a≥＝x＋恒成立，则a≥（x＋）max，令g（x）＝x＋，则g（x）在[1，2]上单调递增，所以g（x）max＝g（2）＝2＋＝，所以a≥. 2.8　解析：因为a＞0，所以二次函数f（x）＝ax2＋20x＋14的图象开口向上.在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，只需t＝－时，f（t＋1）－f（t）≥8，即a（t＋1）2＋20（t＋1）＋14－（at2＋20t＋14）≥8，整理得2at＋a＋20≥8，将t＝－代入解得a≥8.所以a的最小值为8. 3.解：（1）若∃x∈[－1，1]，使得f（x）≥0成立，则f（x）max≥0，x∈[－1，1].函数f（x）图象的对称轴方程为x＝－a. 当－a≤0，即a≥0时，f（x）max＝f（1）＝a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0. 当－a＞0，即a＜0时，f（x）max＝f（－1）＝3－3a≥0，得a≤1，所以a＜0. 综上可得，实数a的取值范围是R. （2）因为对于∀a∈[－1，1]，f（x）＞0， 令g（a）＝（2x－1）a＋x2＋2，则g（a）＞0在[－1，1]上恒成立，所以解得x≠－1，故实数x的取值范围是{x｜x≠－1}. 学科网（北京）股份有限公司 $