第一章 考教衔接 基本不等式链的探究与应用（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

　 基本不等式链的探究与应用 一、基本不等式链的几何解释与证明 几何解释 由人A必修一P45探究可知. 如图，以O为圆心，AD＝a，DB＝b，过点O作AB的垂线交半圆O于C，再过点D作AB的垂线，交半圆O于E，连接OE，CD，再过点D作OE的垂线，垂足为F. 则OC＝OE＝（算术平均数），CD＝＝＝（平方平均数）. 由△FED∽△DEO可得，DE＝（几何平均数），EF＝（调和平均数）. 由图形易知EF＜DE＜OE＝OC＜CD， 故≤≤≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立（基本不等式链） 代数证明 证明：若实数a＞0，b＞0. （1）由＝，所以即证≤，即证≤1，即证2≤a＋b，即证≤，显然上式成立.所以≤（当且仅当a＝b时取等号）. （2）由基本不等式得，≤成立（当且仅当a＝b时取等号）. （3）要证≤，即证（）2≤，即证≤，即证a2＋2ab＋b2≤2a2＋2b2，即证a2＋b2－2ab≥0，即证（a－b）2≥0，显然上式成立.所以≤（当且仅当a＝b时取等号）.综上可得，若实数a＞0，b＞0，则有≤≤≤成立，当且仅当a＝b时取等号 二、基本不等式链的应用 利用基本不等式链求最值 （1）〔多选〕设正实数a，b满足a＋b＝1，则（　　） A.有最大值 B.＋有最小值3 C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值 （2）函数y＝＋的最大值为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 利用基本不等式链判断（证明） 〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（　　） A.x＋y≤1　　　　　B.x＋y≥－2 C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基本不等式链应用中的创新问题 〔多选〕设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为A（a，b）＝，几何平均数为G（a，b）＝.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即Lp（a，b）＝，其中p为有理数.下列结论正确的是（　　） A.L0.5（a，b）≤L1（a，b） B.L0（a，b）≤G（a，b） C.L2（a，b）≤A（a，b） D.Ln＋1（a，b）≤Ln（a，b） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　☞高考还可以这样考 1.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则（1＋x）·（1＋2y）的最大值为（　　） A.36　　 　B.4　　 　C.16　　 　D.9 2.若a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是（　　） A.＜＜ B.≥≥ C.＞＞ D.＜＜ 3.已知x＞0，y＞0且3x＋2y＝10，则＋的最大值为　　　　. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 考教衔接　基本不等式链的探究与应用 【例1】 （1）ACD　（2）2　解析：（1）对于A，由基本不等式可得≤＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A正确；对于B，由≤＝＝，得＋≥， 当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，B错误；对于C，由≥＝，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，C正确；对于D，由≤＝，得＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，D正确. （2）函数的定义域为x∈［，］，由≤，得a＋b≤2，则y＝＋≤2＝2，当且仅当＝，即x＝时等号成立. 【例2】 BC　因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤，所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－（x＋y）2＝（x＋y）2，故（x＋y）2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立.故C正确，D错误，故选B、C. 【例3】 AB　对于A，L0.5（a，b）＝＝≤L1（a，b）＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故A正确；对于B，L0（a，b）＝＝≤＝＝G（a，b），当且仅当a＝b时，等号成立，故B正确；对于C，L2（a，b）＝＝≥＝＝＝A（a，b），当且仅当a＝b时，等号成立，故C不正确；对于D，当n＝1时，由选项C可知，L2（a，b）≥＝L1（a，b），故D不正确.综上，选A、B. 高考还可以这样考 1.D　由题意得（1＋x）＋（1＋2y）＝6，1＋x＞1，1＋2y＞1，所以（1＋x）（1＋2y）≤［］2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，取等号，故选D. 2.C　a＞b＞0，＞，＜＝.从而＞＞，故选C. 3.2　解析：因为x＞0，y＞0，3x＋2y＝10，所以≤＝，当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $